ch初等函數(shù)的連續(xù)性PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1ch初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性,從前兩節(jié)我們已經(jīng)知道，在基本初等函數(shù)中 三角函數(shù)反三角函數(shù) 有理指數(shù)冪函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的.本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和實(shí)指數(shù)冪函數(shù)的連續(xù)性.一、指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性一、指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性(0,1)6xyaaaR前面證明了指數(shù)函數(shù)在 上是嚴(yán)格單調(diào)的（見P.18，例 ），.個(gè)個(gè)重重要要性性質(zhì)質(zhì)下下面面證證明明實(shí)實(shí)指指數(shù)數(shù)冪冪的的一一定理定理 4.10.)( , 0 aaaaaa 為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，則則有有，設(shè)設(shè)證明：證明：1,sup|.xrrxaxRaar 不不妨妨設(shè)設(shè)則則對(duì)對(duì)有有為為有有理理數(shù)數(shù)（見見P P. .1 14 4) )0, , ,

2、.rsr srsaaaa 因因此此，對(duì)對(duì)于于任任給給總總有有兩兩個(gè)個(gè)有有理理數(shù)數(shù)使使得得且且.: aaasrx的的嚴(yán)嚴(yán)格格增增性性知知由由,srsraaa ()().rsaaaa 第1頁/共11頁0:.aaa 讓讓得得,.pppaa 為為正正相相反反的的不不等等式式，設(shè)設(shè) 為為有有理理數(shù)數(shù) 且且使使得得,r srsprs再再取取有有理理數(shù)數(shù)使使以以及及（由由有有理理數(shù)數(shù)的的稠稠密密性性，這這是是可可以以做做到到的的）則則有有. aaaaaasrsrp.aaa 故故得得到到 .aaa 由由 的的任任意意性性推推出出 .aaa 所所以以有有 ().aa 可可類類似似證證明明第2頁/共11頁定理定理

3、4.11(0,1).xaaaR 指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)在在 上上是是連連續(xù)續(xù)的的證：證：001,lim1.51,4 .xxaaa 設(shè)設(shè)則則（見見P P例例 ）00000,4.10,xxxxxxxxRaaaa 任任取取由由定定理理則則有有00.xxaxxaR所所以以在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)，再再由由 的的任任意意性性知知在在 上上連連續(xù)續(xù), 1,1, 10 baba則則有有令令設(shè)設(shè)1( )xxxabb 而而，,ubux 可可看看作作復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)與與的的復(fù)復(fù)合合.xaR由由復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性可可知知，在在 上上連連續(xù)續(xù)0000000000,limlimlim.xx xxxxtxxxxttxxx

4、xtaaaaa 令令則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有從從而而第3頁/共11頁lim0, lim(1)xxxxaaa 因因?yàn)闉椋?., 0( xa)., 0(10 xaa時(shí)也有時(shí)也有當(dāng)當(dāng)log(0,).xaax 的的反反函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函由由反反函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性可可得得數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)也也連連續(xù)續(xù)，.)(0)(ln)()(連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)xexuxuxvxv 例例1.)(lim:,)(lim, 0)(lim)(000bxvxxxxxxaxubxvaxu 證證明明設(shè)設(shè)證證:000(), (),( ), ( ),u xa v xbu xv xx 補(bǔ)補(bǔ)充充或或改改變變定定義義，令令則則在在點(diǎn)點(diǎn)連

5、連續(xù)續(xù),)(ln)(0連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)從從而而xxuxv0000()ln ()()()ln ()lnlim( )lim.v xu xv xv xu xbabxxxxu xeeea 第4頁/共11頁v定理定理4.12 一切基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的一切基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的 注注: : 所謂定義區(qū)間所謂定義區(qū)間 就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 v定理定理4.13 任何初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的任何初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的 lnln,ln0.xxuxxeeeuxx 由由于于冪冪函函數(shù)數(shù) （ 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)）可可表表為為它它是是函函數(shù)數(shù)和和的

6、的復(fù)復(fù)合合，故故由由指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)、對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性以以及及復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性可可知知，冪冪函函數(shù)數(shù)y=y=在在其其定定義義域域，內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)第5頁/共11頁例 8 求xxax)1 (loglim0 例例3 例例2 例 7 求xxx11lim20 解解 xxx11lim20) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx02011lim20 xxx解解 xxax)1 (loglim0 xaxx10)1 (loglimaealn1log 解解 解解 xxx11lim20) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx 02011lim20 xxx xx

7、ax)1 (loglim0 xaxx10)1 (loglimaealn1logxxax)1 (loglim0 xaxx10)1 (loglimaealn1log v利用連續(xù)性求極限舉例利用連續(xù)性求極限舉例第6頁/共11頁 例例4 例 9 求xaxx1lim0 令a x1t 解解 xaxx1lim0 xaxx1lim0attatln)1 (loglim0attatln)1 (loglim0 則xlog a(1t) x0時(shí)t0 于是 v利用連續(xù)性求極限舉例利用連續(xù)性求極限舉例第7頁/共11頁例例5 求2221) 1ln(2limxexxxx2lim( )(2)xf xf 因因此此，22221) 12ln(22e2244 5.55ee 2222ln(1)( )1(1,)2(1,)2limxxxxf xfexx = 解解：令令，因因 為為初初等等函函數(shù)數(shù)，其其定定義義域域?yàn)闉椋?，故故其其在在處處連連續(xù)續(xù). .例例6.cos)1ln(lim20 xxx 求求解解: xxxcos)1ln(lim20.