附采樣定理及z變換

1、第一節(jié)第一節(jié) 采樣控制系統(tǒng)的基本概念采樣控制系統(tǒng)的基本概念 一、采樣控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)一、采樣控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)二、采樣過(guò)程與采樣定理二、采樣過(guò)程與采樣定理三、采樣信號(hào)的復(fù)現(xiàn)三、采樣信號(hào)的復(fù)現(xiàn) 一、采樣控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)一、采樣控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)r(t)e(t)e*(t)c(t)反饋反饋脈沖控制器脈沖控制器保持器保持器對(duì)象對(duì)象e(t) 連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)e*(t) 離散信號(hào)離散信號(hào)T采樣周期采樣周期T連續(xù)信號(hào)的采樣過(guò)程：連續(xù)信號(hào)的采樣過(guò)程：e(t)0t0te*(t)T T一般一般T數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖數(shù)字控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖r(t)檢測(cè)元件檢測(cè)元件e(t)c(t)e(kT)D/AD/A和和保持器保持器對(duì)

2、象對(duì)象b(t)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)和和A/D采樣開(kāi)關(guān)采樣開(kāi)關(guān) 系統(tǒng)中的系統(tǒng)中的A/D轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)采樣開(kāi)轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，關(guān)，D/A轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)保持器。轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)保持器。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖r(t)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)保持器保持器對(duì)象對(duì)象saTc(t)檢測(cè)元件檢測(cè)元件t0e(t)采樣采樣過(guò)程如圖所示：過(guò)程如圖所示： 通過(guò)采樣開(kāi)關(guān)，將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變成離散信號(hào)。通過(guò)采樣開(kāi)關(guān)，將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變成離散信號(hào)。實(shí)實(shí)為理想脈沖序列為理想脈沖序列T(t) 對(duì)對(duì)e(t)幅值的調(diào)制過(guò)程。幅值的調(diào)制過(guò)程。 二、采樣過(guò)程與采樣定理二、采樣過(guò)程與采樣定理T(t )= (t kT) 8k=-

3、+8t0T(t)2T 3TT-T4T 5Tt0e*(t)T 2T 3T 4T 5T1采樣函數(shù)的數(shù)學(xué)表示采樣函數(shù)的數(shù)學(xué)表示 二、采樣過(guò)程與采樣定理二、采樣過(guò)程與采樣定理=e(0 )(t )+e(T)(t -T)+e(2T)(t -2T)+ 采樣函數(shù)的數(shù)學(xué)表示采樣函數(shù)的數(shù)學(xué)表示: T(t )= (t kT) 8k=- +8t 0 時(shí)，時(shí)，e(t) = 0 則則 e* (t )=e(t ) (t kT) 8k=0 +e(t )(t kT) 8k=0 +=e*(t )=e(t )T (t )=e(t )(t kT)8k=- +8 0k)kTt ()kT(e 在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，采樣信號(hào)在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

4、中，采樣信號(hào) 是一數(shù)是一數(shù)字序列，可分解成一系列單脈沖之和。字序列，可分解成一系列單脈沖之和。 )( *tekeeete10)(*)()(kTtkTeek式中，式中， 為為 時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值為時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值為 ； 為為 時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值為時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值為 ； 為為 時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值為時(shí)刻的單脈沖，脈沖的幅值為 。 Tt0 0e)0( Te1eTt1 )1 ( TekekTt )(kTe則：則： 只有在 時(shí)刻，才有 ，而在的所有 時(shí)刻，都有 。 kTt 0)( kTt kTt 0)( kTt 。 量化過(guò)程量化過(guò)程 圖圖3 3 量化過(guò)程量化過(guò)程所謂量化，

5、就是采所謂量化，就是采用一組數(shù)碼（如二用一組數(shù)碼（如二進(jìn)制碼）來(lái)逼近離進(jìn)制碼）來(lái)逼近離散模擬信號(hào)的幅值，散模擬信號(hào)的幅值，將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字信將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)。這個(gè)經(jīng)量化使號(hào)。這個(gè)經(jīng)量化使采樣信號(hào)成為數(shù)字采樣信號(hào)成為數(shù)字信號(hào)的過(guò)程稱為量信號(hào)的過(guò)程稱為量化過(guò)程。化過(guò)程。 為保證采樣信號(hào)的頻譜是被采樣信號(hào)的頻譜無(wú)重疊的重為保證采樣信號(hào)的頻譜是被采樣信號(hào)的頻譜無(wú)重疊的重復(fù)（沿頻率軸方向），以便采樣信號(hào)能反映被采樣信號(hào)的復(fù)（沿頻率軸方向），以便采樣信號(hào)能反映被采樣信號(hào)的變化規(guī)律，采樣頻率變化規(guī)律，采樣頻率 至少應(yīng)是至少應(yīng)是 的頻的頻譜譜 的最高頻率的最高頻率 的兩倍，即的兩倍，即 )2/2(fTs )(

6、tf)( jFmax max2 s 采樣定理奠定了選擇采樣頻率的理論基礎(chǔ)，但對(duì)于采樣定理奠定了選擇采樣頻率的理論基礎(chǔ)，但對(duì)于連續(xù)對(duì)象的離散控制，不易確定連續(xù)信號(hào)的最高頻率。連續(xù)對(duì)象的離散控制，不易確定連續(xù)信號(hào)的最高頻率。因此，采樣定理給出了選擇頻率的準(zhǔn)則，在實(shí)際應(yīng)用中因此，采樣定理給出了選擇頻率的準(zhǔn)則，在實(shí)際應(yīng)用中還要根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際情況綜合考慮。還要根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際情況綜合考慮。2.采樣定理采樣定理 采樣定理采樣定理 圖圖4 4 、 的頻譜的頻譜 及從及從 恢復(fù)恢復(fù) （a) a) 的頻譜的頻譜 （b b） 的頻譜的頻譜 （c c） 理想的濾波器理想的濾波器 （d d） 濾波器輸出信號(hào)頻譜濾波器輸

7、出信號(hào)頻譜 )(tf)(* tf)( jF)(* jF)( jF)(tf)( jF)(* tf)(* jF)( jC三、三、 采樣信號(hào)的復(fù)現(xiàn)采樣信號(hào)的復(fù)現(xiàn)信號(hào)的復(fù)現(xiàn)：信號(hào)的復(fù)現(xiàn)：保持器：保持器：采樣信號(hào)經(jīng)過(guò)保持器后，保持器的輸出就將采樣信號(hào)經(jīng)過(guò)保持器后，保持器的輸出就將采樣信號(hào)恢復(fù)成相應(yīng)的連續(xù)信號(hào)，該過(guò)程就采樣信號(hào)恢復(fù)成相應(yīng)的連續(xù)信號(hào)，該過(guò)程就是信號(hào)恢復(fù)的過(guò)程。是信號(hào)恢復(fù)的過(guò)程。將采樣信號(hào)復(fù)現(xiàn)為原來(lái)連續(xù)信號(hào)的裝置。將采樣信號(hào)復(fù)現(xiàn)為原來(lái)連續(xù)信號(hào)的裝置。零階保持器的輸入輸出特性零階保持器的輸入輸出特性恒值外推原理：恒值外推原理：把采樣時(shí)刻把采樣時(shí)刻kT的采樣值的采樣值e(kT)保持到下一保持到下一

8、 個(gè)采樣時(shí)刻個(gè)采樣時(shí)刻(k+1)T。kT t 1 = 1+ eaT z-1 + e2aT z-2 + e3aTz-3 + | ze at | 1 zz eaT 11 eaT z-1 = =（2）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù) f (t) = e at f (kT) z-k F (z)= 8k=0+ f (kT)= e akT （3）單位脈沖函數(shù)）單位脈沖函數(shù)f (t)=(t ) =f (kT) z-k =1F (z)8k=0+f (kT)=(kT ) 1 s(s+1)F (s)=2部分分式展開(kāi)法部分分式展開(kāi)法求求F(s)F(s)的的z z變換變換F(z)F(z)。 1 s2(s+1)F (s)=)()(a

9、ssasF assassasF 11)()(11e111111)( zzasZsZzFat)e1)(1 (e1 (111) zzzaTaT例例 已知已知，求求F F（z z）。 解解: : v 部分分式法部分分式法 已知，具有已知，具有N N個(gè)不同的極點(diǎn)，有個(gè)不同的極點(diǎn)，有 個(gè)重極點(diǎn)個(gè)重極點(diǎn)（ =1=1，為單極點(diǎn)），則，為單極點(diǎn)），則 )(zF21)(ssf，求，求 。 例例 已知已知v 留數(shù)法留數(shù)法 )(sfisssTlillNizzsFssslzF e)()(dd)!1(1)(111若若ll1 N2 l01 s0S22 e1dd)!12(1)( sTzzssszF解解: : ， , ,2)

10、1( zTz三、三、Z變換的基本定理變換的基本定理1. 線性定理線性定理 2滯后定理滯后定理zzZ f (t k1T ) = Z k1F(z)求求Z t T Z t T = Z t z -1 Tz (z1)2T(z1)2z -1=例例 3超前定理超前定理f (kT)z-kZ f(t+k1T)=z k1F(z)-zk1k11k=0 例例 求求1(t+2T)的的Z變換變換Z1(t+2T )=z2zz1-z2 f (0)z0+f (T)z-1z3z1z2z= 例例 求求te-at 的的Z 變換。變換。 解：解： Zteat =T zeaT (zeaT1)25初值定理初值定理 t00Lim f(t)

11、= lim F(z)z6終值定理終值定理 tLim f(t) = lim (z-1)F(z)z11 4復(fù)數(shù)位移定理復(fù)數(shù)位移定理Z f (t)e -at =F(ze +at)四、四、Z 反變換反變換記作記作 從函數(shù)從函數(shù)F(z)求出原函數(shù)求出原函數(shù)f*(t)的過(guò)程的過(guò)程Z -1 F (z) = f * (t) 由于由于F(z)只含有連續(xù)函數(shù)只含有連續(xù)函數(shù)f(t)在采樣時(shí)在采樣時(shí)刻的信息，因而通過(guò)刻的信息，因而通過(guò)z反變換只能求得連反變換只能求得連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的數(shù)值。求反變換一續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的數(shù)值。求反變換一般有兩種方法。般有兩種方法。按按Z-1的升冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，即的升冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，即 1長(zhǎng)除法

12、長(zhǎng)除法 例例1 求求F(z)反變換反變換f*(t) 。解：解： zz1F (z)=1+z1+z2+z3+ zz1F (z)=f *(t)=(t)+(t T)+(t 2T)+ 例例2 求求F(z)反變換反變換f*(t) 。解：解： F (z)=z(z+1)(z+2)Z-1F (z)=(t-T)-3(t-2T) +7(t-3T)-15(t-4T)+ F (z)=z z2+3z+2=0+z-1-3z-2+7z-3-15z-4 + 例例3 3 用長(zhǎng)除法求函數(shù)用長(zhǎng)除法求函數(shù) 的的Z Z反變換。反變換。 解：解： 4 . 04 . 16 . 0)(2 zzzzF1232111 060.840.9361.4

13、0.4)0.6 0.60.84 0.24 0.84 0.24 0.84 1.1760. . zzzzzzzzzz21212323336 0.9360.336 0.9361.3100.3744 0.974 0.3744 zzzzzzzz )3(936. 0)2(84. 0)(6 . 0)(*TtTtTttf 321936084060z.z.z.F(z) 2部分分式法部分分式法 例例1 求求F(z)反變換反變換f*(t) 。 F (z) =0.5z(z1)(z0.5)解：解： 0.5(z1)(z0.5) F(z)z=1 z11 z0.5 = z z1z z0.5 F(z)= f (kT)=1 0.

14、5kk = 0,1,2 f * (t) = f (0)(t)+ f (T)(t T ) +f(2T)(t 2T)+ )T3t (875. 0)T2t (75. 0)Tt (5 . 0) t (*f 例例2 求求F(z)反變換反變換f*(t) 。 解解: F (z)=(1e-aT)z(z1)(ze-aT)F(z)z1 z 11 ze-aT =(1e-aT)z(z1)(ze-aT) =F(z)=z z 1z ze-aT f (kT)=1e-akT k = 0,1,2 8k=0 (1e-akT )(tkT) f * (t )= 3留數(shù)計(jì)算法留數(shù)計(jì)算法 已知函數(shù)已知函數(shù)F (z)及其全部極點(diǎn)及其全部極

15、點(diǎn)pi ,可由可由留數(shù)計(jì)算公式求留數(shù)計(jì)算公式求z反變換反變換: F(z)zk-1(z-pi)rif (kT)=1d ri -1(r1)! dzri -1z=pii=1n式中式中 ： ri 為為z=pi 的極點(diǎn)重?cái)?shù)的極點(diǎn)重?cái)?shù) 例例 3 3 用留數(shù)計(jì)算法求用留數(shù)計(jì)算法求 的的Z Z反變換。反變換。4 . 04 . 16 . 0)(2 zzzzF11)()(lim)(Res kipzpzkzzFpzzzFii根據(jù)留數(shù)定理根據(jù)留數(shù)定理 nipzkizzFkTf11)(Res)( nikipzzzFpzkTfi11)()(lim)(4 . 0, 1, 221 ppn4 . 04 . 16 . 0)4 .

16、 0(lim4 . 04 . 16 . 0)1(lim)(24 . 021 zzzzzzzzkTfkzkzk)4 . 0(1 例例4 求求F(z)的的z反變換反變換f(kT)。z (z-0.5)(z-1)2F (z)= 解：解： z=0.5 f(kT)=zk (z-0.5)(z-1)2(z-0.5)(2-1)! dzd1z=1 +zk (z-0.5)(z-1)2(z-1)21 k10.5-=(0.51)2+0.5k(1-0.5)2=4(0.5k -1)+2k第三節(jié)第三節(jié) 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二 、脈沖傳遞函數(shù)的定義、脈沖傳遞函數(shù)的定義三 、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖

17、傳遞函數(shù)四四 、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)一 、差分方程及其求解、差分方程及其求解一、差分方程及其求解一、差分方程及其求解 差分又分為前向差分又分為前向差分和后向差分。差分和后向差分。1.差分的定義差分的定義差分：差分：f(k)tk+1k-1 kf(k)0離散函數(shù)兩數(shù)之差離散函數(shù)兩數(shù)之差f(k)令：令：T = 1 s 一階前向差分定義為：一階前向差分定義為： f (k) = f (k+1) f (k) 二階前向差分定義為：二階前向差分定義為： 2f (k) =f(k) =f (k+1) -f(k) =f (k+1) -f(k) =f (k+2) -2f(k+1)+f(k)n

18、階前向差分定義為：階前向差分定義為： nf (k)= n-1f (k+1) -n-1f(k)一階后向差分定義為：一階后向差分定義為： 二階后向差分定義為：二階后向差分定義為： =f(k)-2f(k-1)+f(k-2) 2f (k) = f(k)f (k) = f(k)- f(k-1)= f(k)- f(k-1)=f (k) -f(k-1)n階后向差分定義為：階后向差分定義為： nf (k) = n-1f(k)- n-1f(k-1) 2差分方程差分方程 如果方程中除了含有如果方程中除了含有f(k)以外，還以外，還有有f(k)的差分的差分,則此方程則此方程稱為差稱為差 分方程。分方程。差分方程的一

19、般表達(dá)式為：差分方程的一般表達(dá)式為： c(k)+a1c(k1)+an1c(k-n+1)+anc(k-n) = b0r(k)+b1r(k1)+bm1r(k-m+1)+bm r(k-m) ( n m ) 描述線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微描述線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，而描述線性離散系統(tǒng)的分方程，而描述線性離散系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)模數(shù)學(xué)模型是差分方程。用差分方程來(lái)近似表示型是差分方程。用差分方程來(lái)近似表示微分方程，稱為離散化。微分方程，稱為離散化。 e(t)r(t)c(t)K1/S 例例 如圖所示為一階系統(tǒng)，一階微如圖所示為一階系統(tǒng)，一階微 分方程為：分方程為： 試將系統(tǒng)的微分方試將系統(tǒng)的微分方 程離散

20、化。程離散化。dc(t)dt+Kc(t)=Kr(t)解：解： c(kT)c(k-1)T T dc(t)dt t = kT(k= 0,1,2)得得 c(kT)c(k-1)T)T+Kc(kT)=Kr(kT) (KcT+1 ) c(kT)-c(k-1)T = KrT(kT ) 例例 已知差分方程已知差分方程 式中式中r(k)=1(k),試求試求c(k) 對(duì)差分方程求對(duì)差分方程求Z變換變換z-2C(z)-5z-1C(z)+6C(z)= zz1 c(k-2)-5c(k-1)+6c(k) = r(k) 解：解：C(z)=(z1)(6z2-5z+1)z33用用Z變換解差分方程變換解差分方程(z-1)(z-1

21、/2)(z-1/3)z2/6=0.5z z1 0.5z z-1/2 z /6z-1/3-=z3 /6z+(z2-)(z1)=1656求求z反變換得：反變換得： c(kT)=0.5-0.5(13)k )k+ ( 1216注注: :用變換求解差分方程主要用到變換的平移定理。用變換求解差分方程主要用到變換的平移定理。 例例 用用Z Z變換解下列差分方程：變換解下列差分方程：0)(2)1(3)2( kykyky初始條件為：初始條件為： 1)1(, 0)0( yy 解：解： 對(duì)上式進(jìn)行對(duì)上式進(jìn)行Z Z變換得變換得 0)(2)1(3)2( kykykyZ由線性定理由線性定理:0)(2)1(3)2( kyZ

22、kyZkyZ由超前定理由超前定理:0)(2)0()( 3)1()0()(22 zYzyzzYzyyzzYz21)2)(1(23)(2 zzzzzzzzzzzY查表得查表得), 2 , 1 , 0()2()1()( kkTykk為了書(shū)寫(xiě)方便，通常將為了書(shū)寫(xiě)方便，通常將 寫(xiě)成寫(xiě)成 。kkT代入初始條件，解得代入初始條件，解得二 、脈沖傳遞函數(shù)的定義、脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖脈沖傳遞函數(shù)的定義：傳遞函數(shù)的定義： 零初始條件下，離散輸出信號(hào)的零初始條件下，離散輸出信號(hào)的Z Z 變變換與離散輸入信號(hào)的換與離散輸入信號(hào)的Z Z變換之比。變換之比。C (z)R(z)G(z) =r(t)G(s)Tr*(t)c(

23、t)R(z)Tc*(t)C(z)G(z) 大多數(shù)采樣系統(tǒng)的輸出大多數(shù)采樣系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號(hào)是連續(xù)信號(hào)c(t)c(t)而不而不是離散信號(hào)是離散信號(hào) c c* *(t)(t)，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，通常在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，如圖中虛線所通常在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，如圖中虛線所示，它與輸入端采樣開(kāi)關(guān)同步工作。示，它與輸入端采樣開(kāi)關(guān)同步工作。Tc*(t)C(z)G(z)R(z)TD(s)r(t)r*(t)c(t)G1(s)G2(s)輸出的采樣信號(hào)可根據(jù)下式求得輸出的采樣信號(hào)可根據(jù)下式求得c* (t )=Z-1C(z)=Z -1R(z) G (z) 三、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)

24、的脈沖傳遞函數(shù)三、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的求取與采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的求取與連續(xù)系統(tǒng)求傳遞函數(shù)類似。但脈沖傳遞連續(xù)系統(tǒng)求傳遞函數(shù)類似。但脈沖傳遞函數(shù)與采樣開(kāi)關(guān)的位置有關(guān)。當(dāng)采樣系函數(shù)與采樣開(kāi)關(guān)的位置有關(guān)。當(dāng)采樣系統(tǒng)中有環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，根據(jù)它們之間有無(wú)統(tǒng)中有環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，根據(jù)它們之間有無(wú)采樣開(kāi)關(guān)，其等效的脈沖傳遞函數(shù)是不采樣開(kāi)關(guān)，其等效的脈沖傳遞函數(shù)是不相同的。相同的。1串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)采樣開(kāi)關(guān) G1G2(z)r(t)Tr*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)G1(s)G2(s)由圖可見(jiàn)由圖可見(jiàn) = ZG1(s)G2(s)=G1G2(z)C (z)R(z

25、)G(z) =例例 求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)G(z)。解：解： 1s+aG1(s)=1(s+a)(s+b)G(s)=G1(s)G2(s)=s+bG2(s)= 1( 1b-a- 1s+a) 1s+b= G(z)=Z( 1b-a- 1s+a) 1s+b 1bazz-e-aT -=zz-e-bT z(e-aT-e-bT) (z-e-aT)( z-e-bT) 1ba=2串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開(kāi)關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開(kāi)關(guān) G1(z)G2(z)G(z)r(t)Tr*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)d*(s)d(t)TD(z)G1(s)G2(s)D(z )=R(z)G1(z)C(z

26、)=D(z)G2(z)= R(z)G1(z)G2(z)C (z)R(z)G(z) = G1(z)G2(z)G1(z)G2(z) G1G2(z)例例 求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)G(z)。 解：解： 1s+aG1(s)=s+bG2(s)= 1G1(z)=zz-e-aT G2(z)=zz-e-bT G1(z)G2(z) G1G2(z) z2 (z-e-aT)( z-e-bT)G(z)=G1(z)G2(z)=3帶零階保持器的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈帶零階保持器的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)沖傳遞函數(shù) r(t)Tr*(t)c(t)Tc*(t)C(z)1-es-TSG1(s)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

27、為 G1(s) s=(1-e-Ts)G(s) =(1-e-Ts ) sG1(s)設(shè)設(shè) G1(s)sG2(s)=則則 G(s) = (1-e-Ts )G2(s) ZG2(s) = G2(z)Ze-TsG2(s) = z-1G2(z)G(z ) = Z(1-e-Ts )G2(s) = (1-z-1 )G2(z)例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如上圖所示，求系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如上圖所示，求G(z).G(z).解：解： T = 1s1s(s+1)G1(s)=1s2(s+1)G2(s)=(1-e-Ts )sG(s)=1s(s+1)G2(z) = Z1s2(s+1) = Z1s2-1s+1 s+1 z(z-e-1)-(z-1)( z

28、-e-1) + (z-1)2( z-1)2(z-e-1)=0.386 z+0.264z2-1.368z+0.386 =e-1z+(1-2e-1)(z-1)(z-e-1)=G(z) = (1-z-1)G2(z)=(z-1)z z(z-e-1)-(z-1)( z-e-1) + (z-1)2( z-1)2(z-e-1) z(z-e-1)-(z-1)( z-e-1) + (z-1)2( z-1)2(z-e-1)=G2(z) = Z1s2(s+1)四、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)四、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 在連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)和開(kāi)環(huán)傳遞函在連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)之間有著確定的關(guān)系，而在采

29、樣系統(tǒng)中，閉數(shù)之間有著確定的關(guān)系，而在采樣系統(tǒng)中，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)還與采樣開(kāi)關(guān)的位置有關(guān)。環(huán)脈沖傳遞函數(shù)還與采樣開(kāi)關(guān)的位置有關(guān)。 Z 變換是對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)變換，變換是對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)變換，為了方便分析系統(tǒng)中的連續(xù)信號(hào)都假設(shè)離散化為了方便分析系統(tǒng)中的連續(xù)信號(hào)都假設(shè)離散化了，用虛線表示采樣開(kāi)關(guān)。了，用虛線表示采樣開(kāi)關(guān)。r(t)e(t)c(t)G(s)H(s)b(t)r*(t)TTTTc*(t)C(z)e*(t)E(z)R(z)b*(t)B(z)(z)（1）采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖：）采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖：E(z)=R(z)B(z)B(z)=GH(z)E(z) R(z) 1+GH(z) E

30、(z)=E(z)=R(z)GH(z)E(s)C(z)=G(z)E(z) R(z)G(z) 1+GH(z) C(z)= G(z) 1+GH(z) =C (z)R(z)(z) =（2 2）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖r(t)c(t)TC(z)G2(s)D*(s)D(z)C(s)c*(t)R(s)H(s)G1(s)d(t)TD(s)r(t)c(t)TC(z)G2(s)D*(s)D(z)C(s)c*(t)R(s)H(s)G1(s)d(t)TD(s)G1(s)R(s)G1(s)RG1(z) 1+G1G2H(z) D(z)=RG1(z)G2(z) 1+G1G2H(z) C(z)=對(duì)于這種系統(tǒng)，只能求

31、出對(duì)于這種系統(tǒng)，只能求出C(z),C(z),求不出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。求不出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（3 3）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖G1(s)G2(s)H(s)c*(t)c(t)C(z)e(t)E(s)r(t)R(s)TT-e*(t)TTG1(z)G2(z)R(z)1+G1(z)G2(z)H(z) C(z)=E(z)X(z)x(t)x*(t)B(z)R(z)C(z)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 =C (z)R(z)G1(z)G2(z)1+G1(z)G2(z)H(z) 環(huán)節(jié)之間都有采樣開(kāi)關(guān)，可直接寫(xiě)出輸出的環(huán)節(jié)之間都有采樣開(kāi)關(guān)，可直接寫(xiě)出輸出的Z Z變換式。變

32、換式。 （4 4）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖G1(s)G2(s)H(s)c*(t)C(z)c(t)e(t)r(t)R(s)TT-G1(z)G2(z)1+G2H(z)+G1(z)G2(z) C(z) R(z)=系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 R(z)G1(z)G2(z)1+G2H(z)+G1(z)G2(z) C(z) =-T+T G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)c*(t)c(t)C(z)r(t)R(s)（5 5）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖）采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖RG1(z)G2G3G4(z)+RG5G4(z) 1+G2G3G4(z) C(z) =第四節(jié)第四節(jié) 離散系統(tǒng)

33、的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差 在采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，可以在采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，可以從從s平面和平面和z平面之間的關(guān)系中，找出分平面之間的關(guān)系中，找出分析采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。析采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。 一、一、 z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件平面內(nèi)的穩(wěn)定條件 二、二、 z平面和平面和s平面的關(guān)系平面的關(guān)系 三、三、 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù) 四、四、 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 z變量和變量和s變量的關(guān)系為變量的關(guān)系為: 其中其中s是復(fù)變量是復(fù)變量: Z平面和平面和s平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系：平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 一、一、 z平面和平面和s平面的關(guān)系平面的關(guān)系z(mì)=eTss=+jz

34、=eTs=eTejT=zejz =eT=T系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定0=00z10js平面平面0ImRez平面平面 s平面和平面和z平面的穩(wěn)定域平面的穩(wěn)定域穩(wěn)定區(qū)穩(wěn)定區(qū)穩(wěn)定區(qū)穩(wěn)定區(qū) 二、二、 z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件平面內(nèi)的穩(wěn)定條件 采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的條件： 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于z平平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。即面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。即zi1 若閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有位于單位圓若閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有位于單位圓外的極點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。外的極點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例例 試判斷試判斷圖示圖示系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中系統(tǒng)的

35、穩(wěn)定性，其中T=0.25 s。 r(t)e(t)c(t)G(s)TC(s)R(s)G(s)=s(s+4)1解：解： G(z)=Z s(s+4)1 41s1s+41( - )=Z = 41z-1zz-e-4Tz( - )(1-e-4T)z/4(z-1)(1-e-4T)=41(z-1)(1-e-4T)+ (1-e-4T)z=0特征方程式為特征方程式為z2-1.21z+0.368=0z1,2=0.605j0.044441所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。z1=z20u0u=0單位圓單位圓 x2+y2 =1單位圓內(nèi)單位圓內(nèi) x2+y2 1 將將Z Z平面上的特征方程式經(jīng)過(guò)平面上的特征方程式經(jīng)過(guò)ZWZ

36、W變換，變換，就可就可應(yīng)用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。應(yīng)用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例例 已知閉環(huán)特征方程如下，已知閉環(huán)特征方程如下，試判穩(wěn)。試判穩(wěn)。解：解： D(z)=45z3-117z2+119z-39=045( w+1w-1w+1w-1w+1w-1 )3-117( )2+119( )-39=0 45(w+1)3-117(w+1)2(w-1) +119(w+1)(w-1)2-39(w-1)3=0 將將ZWZW變換變換代入特征方程式：代入特征方程式： 經(jīng)整理得經(jīng)整理得 w3+2w2+2w+40=0 有二個(gè)根在有二個(gè)根在w右半平面右半平面,即有兩個(gè)根在即有兩個(gè)根在Z 平面上的單位平面上的單位圓外

37、，故系統(tǒng)為不穩(wěn)定。圓外，故系統(tǒng)為不穩(wěn)定。列勞斯表列勞斯表 w3w2w1w00040240-1821 穩(wěn)態(tài)誤差是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的一穩(wěn)態(tài)誤差是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的一個(gè)重要性能指標(biāo)，通過(guò)對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的分析個(gè)重要性能指標(biāo)，通過(guò)對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的分析可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)的大小可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)的大小和形式、系統(tǒng)的型別以及開(kāi)環(huán)增益有關(guān)。和形式、系統(tǒng)的型別以及開(kāi)環(huán)增益有關(guān)。這一結(jié)論同樣也適用于采樣系統(tǒng)。這一結(jié)論同樣也適用于采樣系統(tǒng)。 四、四、 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差G(s)-e(t)Te*(t)E(z)c(t)c*(t)C(z)Tr(t) 單位反饋誤差采樣系統(tǒng)的單位反饋誤差采

38、樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖E(z)=R(z)-C(z)=R(z)1+G(z) 閉環(huán)穩(wěn)定的采樣控制系統(tǒng)，由終值定閉環(huán)穩(wěn)定的采樣控制系統(tǒng)，由終值定理可求得其穩(wěn)態(tài)誤差。理可求得其穩(wěn)態(tài)誤差。R(z)1+G(z)e*()=lim(z-1)E(z)=lim(z-1)z1z1系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)一般表達(dá)式：函數(shù)一般表達(dá)式：G(z)=Kr(z-zi)mi=1n-v(z-1)v(z-pj)j=1一、單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差R(z)=z-1z=11+limG(z)z111+G(z)e*()=lim(z-1) z1 z-1z定義系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)定義系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)： e*()=1+Kp1(1) v=0(2) v=1e*()=0Kp=limG(z)z1e*()=1+Kp1Kp=常