ch函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運算PPT學習教案

1、會計學1ch函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運算函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運算01010( )lim( ).( )xxxxexxx其其中中推廣推廣v 將 換成 , 及 , , 該法則仍然成立。 0 xx0 xx0 xxx x x 第1頁/共49頁v v v .0, )0, 0(lim0階無窮小階無窮小的的是是時時就說當就說當如果如果kxxkCCxkx v 第2頁/共49頁定理定理( (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存在存在且且設設注注: :對于對于代數(shù)和代數(shù)和中各中各無窮小不能分別替換無窮小不能分別替換. .v v 1cosx2;2x1xa ln ;xa(1)1

2、x; x11nx1xn3300tansinlimlimsin 2(2 )xxxxxxxx 第3頁/共49頁用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:, 1lim lim0, ( ),o即即( ).o 于于是是有有例如例如,),(sinxoxx 221cos1().2xxo x,( ). o =+設設是是同同一一過過程程中中的的兩兩個個無無窮窮小小 則則 的的充充要要條條件件是是().是是的的主主要要部部分分 主主部部稱稱22()(), 0oxo xkk第4頁/共49頁例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解55t ta an n x xx x

3、o o( (x x) ), ,),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 可用函數(shù)的近似表達來解決可用函數(shù)的近似表達來解決第5頁/共49頁一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點三、四則運算的連續(xù)性三、四則運算的連續(xù)性四、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性四、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性五、初等函數(shù)的連續(xù)性五、初等函數(shù)的連續(xù)性 新課新課 第一章第一章 第6頁/共49頁第7頁/共49頁xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x

4、y y )(xfy 第8頁/共49頁定義定義1 1 設設 函數(shù)函數(shù)在在 內內有定義有定義，如，如果當自變量的增量果當自變量的增量 趨向于零時，對應的函趨向于零時，對應的函數(shù)的增量數(shù)的增量 也趨向于零，即也趨向于零，即 或或 ，那末就稱函數(shù)，那末就稱函數(shù)在點在點 連續(xù)連續(xù)， 稱為稱為 的連續(xù)點。的連續(xù)點。)(xf),(0 xUx y 0lim0 yx0)()(lim000 xfxxfx)(xf)(xf2.2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是0 x0 x0,xxx 設設第9頁/共49頁:定義定義 .)()(, 0, 000

5、xfxfxx恒有恒有時時使當使當定義定義2 設函數(shù)設函數(shù) 在在 內有定義內有定義,如果如果函數(shù)函數(shù) 當當 時的極限存在時的極限存在,且等于它在且等于它在點點 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 ,即即 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù) 在點在點 連續(xù)連續(xù). )(xf),(0 xU)(xf0 xx 0 x)(0 xf)()(lim00 xfxfxx )(xf0 x定義定義3設函數(shù)設函數(shù) 在在 內有定義內有定義 )(xf),(0 xU稱函數(shù)稱函數(shù) 在點在點 連續(xù)連續(xù). )(xf0 x第10頁/共49頁例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證)(lim0 xfx,

6、 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx xxx1sinlim0 , 0 .)(,)( 00處連續(xù)處連續(xù)在在也也它的絕對值它的絕對值處連續(xù)時處連續(xù)時在在當函數(shù)當函數(shù)xxfxxf由定義由定義 2或或3 可推得：可推得：反之呢？反之呢？2( )fx第11頁/共49頁解解)(xf在在0 x連續(xù)，連續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且00lim( )() ,xxf xf x )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都

7、連續(xù)都連續(xù).但但反之不成立反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)思考題思考題夾逼準則夾逼準則00()xx第12頁/共49頁3.單側連續(xù)單側連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理00函函數(shù)數(shù)f(x)f(x)在在 x x 處處連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)f(x)f(x)在在 x x處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù) . .)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxf

8、xfxfbxxf 00lim( )()xxf xf x即000lim( )lim( )()xxxxf xf xf x第13頁/共49頁:)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點函函數(shù)數(shù)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx .)(,0處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)要要有有一一個個不不滿滿足足如如果果上上述述三三個個條條件件中中只只xxf0(, )x (1) f(x)在在 內有定義；內有定義；第14頁/共49頁例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(l

9、im00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf第15頁/共49頁4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 如如果果函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )在在區(qū)區(qū)間間( (a a, ,b b) )內內有有定定義義，且且對對( (a a, ,b b) )內內每每一一點點f f( (x x) )連連續(xù)續(xù), ,則則稱稱函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )在在( (a a, ,b b) )內內連連續(xù)續(xù), ,( (a a, ,b b) )叫叫做做f f( (x x) )的的連連開開續(xù)續(xù)

10、區(qū)區(qū)間間. .如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間( (a a, ,b b) )內內連連續(xù)續(xù), , 并并且且在在左左端端點點x xa a處處右右連連續(xù)續(xù), ,在在右右端端點點x xb b處處左左連連續(xù)續(xù), , 則則稱稱函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )在在區(qū)區(qū)間間 a a, ,b b續(xù)續(xù). .閉閉 上上連連在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),稱函數(shù)在該區(qū)間稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，或者叫做在該區(qū)間上的上連續(xù)，或者叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷連續(xù)而不間斷的曲線的曲線.第16頁/共49頁.0, 0, 0, 0 , 2,sin)(,2

11、處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當當 xxxaxxxbxxfba解解xbxxfxxsinlim)(lim00 , b )(lim)(lim200 xaxfxx , a , 2)0( f),0()00()00(fff 要使要使,2時時故當且僅當故當且僅當 ba.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 2 ba例例3第17頁/共49頁(但但在點在點x0的去心領域內有定義的去心領域內有定義 )第18頁/共49頁2243( )xf xxxx 函數(shù)函數(shù)的間斷點的間斷點思考思考(但但在點在點 x= 0 的去心領域內有定義的去心領域內有定義 )-1第19頁/共49頁.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),

12、0()0(,)(0000的跳躍間斷點的跳躍間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點在點如果如果xfxxfxfxxf 例例5 5.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解00()f00()f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點點 x1.第一類間斷第一類間斷點點oxy10,1,第20頁/共49頁.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數(shù)為函數(shù)義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfx

13、xfxx 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解1 02(),f, 2)01( f11( ),f2)(lim1 xfx),1(f x = 1為函數(shù)的可去間斷點第21頁/共49頁如例如例6中中,12( ),f若若令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點第一類間斷點. .特特點點.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點點 xoxy112注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷

14、點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.第22頁/共49頁2.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第二類間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy00()f00()f.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間0, x = 0為函數(shù)的第二類間斷點.第23頁/共49頁例例8 8.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin

15、 ,0處沒有定義處沒有定義在在 x001x x且且當當x x時時, ,函函數(shù)數(shù)值值在在-1-1和和+1+1之之間間無無限限次次變變動動, ,故故limsinlimsin不不存存在在. .x x.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間第24頁/共49頁o1x2x3xyx xfy 判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型:第25頁/共49頁有幾個間斷點？有幾個間斷點？練練 習習( (書習題書習題P70 3(2) )跳躍跳躍可去可去無窮無窮1011, ( ), , xxf xxxx2211( )limnnnxf xxx第26頁/共49頁定理定理1 1.)0)

16、()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點點則則處處連連續(xù)續(xù)在在點點若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內連續(xù)內連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內連續(xù)在其定義域內連續(xù)故故xxxx.),()()(0處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點為常數(shù)為常數(shù)xxgxf 三角函數(shù)在其定義域內皆連續(xù)三角函數(shù)在其定義域內皆連續(xù).第27頁/共49頁取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg由右由右圖可圖可知知,max)(2xxxf 220011xxxxx

17、x xyo2xy xy 122 例例 補充補充第28頁/共49頁例例.)(),(min)( ),(),(max)( ,)(),(00處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點那么函數(shù)那么函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在點在點設函數(shù)設函數(shù)xxgxfxxgxfxxxgxf )()()()(21)(),(maxxgxfxgxfxgxf )()()()(21)(),(minxgxfxgxfxgxf 第29頁/共49頁,自變量自變量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y,uy 設設,12xu 21xy 例：例： fDR 注意注意: :1. 復合條件：復合條件：2.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一

18、個復合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 補充補充第30頁/共49頁2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經過復合構成復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經過復合構成.cot2xy 可可復復合合成成. .,yu 例例如如由由,cotvu 2xv 3.函數(shù)復合應注意其定義域函數(shù)復合應注意其定義域.f xxxxfx( )arcsin, ( )2, ( ) 則的例定義域是：.1,322x22x第31頁/共49頁定理定理2 2 嚴格單調的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調的連嚴格單調的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上單調增加且連續(xù)上單調增加且連續(xù)在在 x

19、y.1 , 1arcsin上也是單調增加且連續(xù)上也是單調增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調減少且連續(xù)上單調減少且連續(xù)在在同理同理 xy.,cot,arctan上單調且連續(xù)上單調且連續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內皆連續(xù).第32頁/共49頁例如例如,), 0()0,(1內連續(xù)內連續(xù)在在 xu,),(sin內連續(xù)內連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內連續(xù)內連續(xù)在在 xy.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點在點設函數(shù)設函數(shù)xxxfyuuufyuxxxx

20、u 定理定理3 3uuf u(x)00lim ( )()xxu xu x 00lim ( ) ()xxf u xf u x 00lim( )()uuf uf u 0,u 0lim ( )xxfu x 意義意義極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;第33頁/共49頁000 0 01x xx xx xa ax xa al li imm x xx xx xx xx xl li imml ln nx xlln nlliimmx xlln na a ( (a a) )l li imm a aa aa a( (a a, ,a a) )連續(xù)函數(shù)時連續(xù)函數(shù)時例如：例如：第34頁/共49頁三角函

21、數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是連續(xù)的是連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內單調且連續(xù)內單調且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內內單單調調且且連連續(xù)續(xù)在在 定理定理5 5 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)在定義域內是連續(xù)的在定義域內是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內連續(xù)內連續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內連續(xù)均在其定義域內連續(xù) )第35頁/共49頁定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內都是內都是 連續(xù)的連續(xù)的. . 定義區(qū)間

22、是指包含在定義域內的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內連續(xù)僅在其定義區(qū)間內連續(xù), 在在其定義域內不一定連續(xù)其定義域內不一定連續(xù);注注意意例如例如, 1cos xy,4,2,0: xD這些這些孤立點孤立點的鄰域內沒有定義的鄰域內沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在點在點x= 0的鄰域內沒有定義的鄰域內沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間第36頁/共49頁2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.)()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx211cos()limarctanxxxx 10

23、1cosarctan .4 例：例：3. 分段函數(shù)的連續(xù)性：各段內部的連續(xù)性及各分段函數(shù)的連續(xù)性：各段內部的連續(xù)性及各分段點處的連續(xù)性分段點處的連續(xù)性.練練習習1sin,0,( )ln(1),10,axxf xxxbx 求使函數(shù)求使函數(shù)連續(xù)的連續(xù)的 a, b 值值. (即即 作業(yè)本作業(yè)本P P1717 二二2)2)第37頁/共49頁1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)第38頁/共49頁可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x第39頁/共49頁連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個定理兩個定理; 兩點意義兩點意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.第40頁/共49頁練練 習習 題題 一一第41頁/共49頁第42頁/共49頁一、一、1