計算機控制技術(shù)7

1、計算機控制技術(shù)無紋波最小拍無差控制系統(tǒng)設(shè)計紋波產(chǎn)生的原因計算機控制技術(shù)如果系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，施加到被控對象如果系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，施加到被控對象Gp(s)的控制信號的控制信號u*(t)盡管是收斂的，但盡管是收斂的，但圍繞自己的平均值波動，圍繞自己的平均值波動，不為常值或零不為常值或零，那么輸出，那么輸出C(t)在穩(wěn)態(tài)時在兩采樣點之間在穩(wěn)態(tài)時在兩采樣點之間就會有紋波。就會有紋波。無紋波最小拍無差控制系統(tǒng)設(shè)計無紋波最小拍無差控制系統(tǒng)設(shè)計消除了采樣點之間的紋波，在一定程度上減少了控制能量，但它仍然是針消除了采樣點之間的紋波，在一定程度上減少了控制能量，但它仍然是針對某一種特定輸入的最小拍誤差系統(tǒng)。對某一種

2、特定輸入的最小拍誤差系統(tǒng)。數(shù)字控制器輸出波形系統(tǒng)輸出波形消除紋波的基本思路：消除紋波的基本思路：使系統(tǒng)的采樣脈沖控制信號使系統(tǒng)的采樣脈沖控制信號u u* *(t)(t)以最少的節(jié)拍進入穩(wěn)態(tài)，其穩(wěn)以最少的節(jié)拍進入穩(wěn)態(tài)，其穩(wěn)態(tài)值要么為零要么為某個恒值。態(tài)值要么為零要么為某個恒值。計算機控制技術(shù)即系統(tǒng)中控制信號即系統(tǒng)中控制信號u(z)的冪級數(shù)展開式的冪級數(shù)展開式1(1)0( )( )(0)(1).( )(1).kllkU zu k zuuzu l zu lz系統(tǒng)經(jīng)過系統(tǒng)經(jīng)過 L L個個采樣周期到達穩(wěn)態(tài)，無紋波系統(tǒng)要求采樣周期到達穩(wěn)態(tài)，無紋波系統(tǒng)要求u(l) (l)、u(l l+1)要要么為零，要么相

3、等么為零，要么相等.l設(shè)計無紋波系統(tǒng)的必要條件設(shè)計無紋波系統(tǒng)的必要條件計算機控制技術(shù) 除了使控制信號達到無紋波的要求外，為了使系統(tǒng)的被除了使控制信號達到無紋波的要求外，為了使系統(tǒng)的被控制量控制量(輸出）在穩(wěn)態(tài)過程中獲得無紋波的平滑輸出，被控對輸出）在穩(wěn)態(tài)過程中獲得無紋波的平滑輸出，被控對象象 必須有能力給出與系統(tǒng)輸入相同的、平滑的輸出，使必須有能力給出與系統(tǒng)輸入相同的、平滑的輸出，使得當?shù)卯?的直接輸入是常值或零時，它的穩(wěn)態(tài)輸出也是要求的直接輸入是常值或零時，它的穩(wěn)態(tài)輸出也是要求的輸出。的輸出。也就是說也就是說： 若系統(tǒng)參考輸入是等速度輸入，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出也是等速輸出若系統(tǒng)參考輸入是等速度輸入，

4、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出也是等速輸出，則，則 的傳遞函數(shù)中必須至少有一個積分環(huán)節(jié)（的傳遞函數(shù)中必須至少有一個積分環(huán)節(jié)（U(l)保持常保持常量，系統(tǒng)輸出才能為等速輸出）量，系統(tǒng)輸出才能為等速輸出）； 若系統(tǒng)參考輸入是等加速度輸入，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出也是等加速若系統(tǒng)參考輸入是等加速度輸入，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出也是等加速 輸出，則輸出，則 的傳遞函數(shù)中必須至少有兩個積分環(huán)節(jié)；的傳遞函數(shù)中必須至少有兩個積分環(huán)節(jié)； 對于參考輸入是階躍輸入，對于參考輸入是階躍輸入， 中可以不需要有積分環(huán)節(jié)。中可以不需要有積分環(huán)節(jié)。( )pGs( )pGs( )pGs( )pGs( )pGs如何獲得希望的采樣脈沖控制信號如何獲得希望的采樣脈沖控制信

5、號u u* *(t)(t)？計算機控制技術(shù)( )( )( )( )U zzR zG z根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建立采樣脈沖控制信號與參考輸入采樣脈沖信號之根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建立采樣脈沖控制信號與參考輸入采樣脈沖信號之間的脈沖傳遞函數(shù)間的脈沖傳遞函數(shù)為了使為了使 對參考輸入的瞬態(tài)響應不產(chǎn)生任何波動，對參考輸入的瞬態(tài)響應不產(chǎn)生任何波動，就應該使就應該使上式的上式的Z Z傳遞函數(shù)沒有位于傳遞函數(shù)沒有位于Z Z平面原點以外的任何極點。平面原點以外的任何極點。*( )u t討論： 對于 如果有位于Z 平面單位上或單位圓外的極點（也即 有位于單位圓上或單位圓外的零點），那么 必然是發(fā)散和震蕩的。 對于 如果有位于Z 平面單

6、位內(nèi)的極點（也即 有位于單位圓內(nèi)的零點），那么 是穩(wěn)定收斂的，但一旦有極點位于正實軸以外的區(qū)域都會引起 的較長時間的衰減震蕩。 為了使 能在有限拍單調(diào)的衰減至零或某個常量，應使 不包含Z平面單位圓內(nèi)、外及圓上的任何極點。 ( )/ ( )zG z( )G z*( )u t( )/ ( )zG z( )G z*( )u t*( )u t*( )u t( )/ ( )zG z計算機控制技術(shù)( )( ).(4)( )P zG zQ z那么那么，( )( )( ) ( ).(5)( )( )( )U zzz Q zR zG zP z為此，設(shè)廣義對象設(shè)廣義對象G(z)是關(guān)于是關(guān)于z-1的有理分式的有理分

7、式從式從式(5)可以看出，如果要使可以看出，如果要使U(z)/R(z)不包含任何極點，并且是關(guān)不包含任何極點，并且是關(guān)于于z-1的有限項多項式，那么希望的系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的有限項多項式，那么希望的系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 必須包含必須包含G(z)的分子多項式的分子多項式P(z)。即。即其中，其中， 是關(guān)于是關(guān)于z-1的多項式。的多項式。( ) z0( )( )( ).(6)zP zz0( ) z1111110( )(1).(1)(1).(1)( )ikzzzzzz計算機控制技術(shù) 也就是說，也就是說， 必須包含廣義對象脈沖傳遞函數(shù)必須包含廣義對象脈沖傳遞函數(shù)G(z)的所的所有零點，包括單位圓內(nèi)、

8、單位圓上和單位圓外的零點。有零點，包括單位圓內(nèi)、單位圓上和單位圓外的零點。 這樣處理后，所得到無紋波系統(tǒng)比有紋波系統(tǒng)的調(diào)整時間要這樣處理后，所得到無紋波系統(tǒng)比有紋波系統(tǒng)的調(diào)整時間要增加若干拍。增加的拍數(shù)等于增加若干拍。增加的拍數(shù)等于G（Z)在單位園內(nèi)的零點數(shù)。在單位園內(nèi)的零點數(shù)。1._( )ii個G z 位于單位圓上和單位圓外的零點1._kG(z)k個位于單位圓內(nèi)的零點( ) z快速無紋波系統(tǒng)快速無紋波系統(tǒng) 的確定方法的確定方法計算機控制技術(shù)(1)、被控對象、被控對象Gp(s)中含有無紋波系統(tǒng)必須的積分環(huán)節(jié)數(shù)（必要條中含有無紋波系統(tǒng)必須的積分環(huán)節(jié)數(shù)（必要條件）。件）。(2)、滿足有紋波系統(tǒng)的性

9、能要求和、滿足有紋波系統(tǒng)的性能要求和D(z)物理可實現(xiàn)的約束條件。物理可實現(xiàn)的約束條件。(3)、 的零點包括的零點包括G(z)在在z平面上的所有零點。平面上的所有零點。確定快速無紋波系統(tǒng)希望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) ，必須滿足以下要求：( ) z( ) z( ) z快速無紋波系統(tǒng)確定快速無紋波系統(tǒng)確定 的確定的一般方法的確定的一般方法計算機控制技術(shù)綜合考慮閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、準確性和可實現(xiàn)性，無綜合考慮閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、準確性和可實現(xiàn)性，無紋波系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)紋波系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(z)必須選擇為：必須選擇為：式中：式中：m為系統(tǒng)廣義對象為系統(tǒng)廣義對象中所包含純延遲環(huán)節(jié)數(shù)；中所包含

10、純延遲環(huán)節(jié)數(shù)； 是是G(z)所有的所有的w個零點數(shù)；個零點數(shù)；式中式中v為廣義對象為廣義對象G(z) 在在 Z平面單位圓外及圓上的極點數(shù)平面單位圓外及圓上的極點數(shù)( z z =1的極點除外的極點除外)。q值的確定方法：值的確定方法： 典型的輸入函數(shù)為階躍、斜坡和加速度時，分別為典型的輸入函數(shù)為階躍、斜坡和加速度時，分別為q=1,2,311(1)0111( )(1) (.)wmq viq vizzbzzz 12.wbbb、01+v-1.q、( ) z計算機控制技術(shù) 1111111101011,2,zqqzqjdzdzqvdzdzajv個方程q+v個待定系數(shù)個待定系數(shù) 由下列方程組確定：由下列方程

11、組確定：01+v-1.q、例：對以下的系統(tǒng)對以下的系統(tǒng)計算機控制技術(shù)針對等速度輸入設(shè)計快速無紋波系統(tǒng)針對等速度輸入設(shè)計快速無紋波系統(tǒng)10( ),0.025(1)pmmG sTTss T s計算機控制技術(shù)解：被控對象解：被控對象 中有一個積分環(huán)節(jié)，滿足無紋波設(shè)中有一個積分環(huán)節(jié)，滿足無紋波設(shè)計條件。計條件。設(shè)計第一步：求廣義對象脈沖傳遞函數(shù)設(shè)計第一步：求廣義對象脈沖傳遞函數(shù)21101( )10(1)(1)(1)TsTsmmeG sess T ss T s2121( )10(1)()1mmmTTG zzssT s11110.092(10.718)( )(1)(10.368)zzG zzz(s)pG計

12、算機控制技術(shù)設(shè)計第二步：設(shè)計第二步：確定系統(tǒng)希望的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)確定系統(tǒng)希望的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)11110.092(10.718)( )(1)(10.368)zzG zzz11(1)0111( )(1) (.)wmq viq vizzbzzz 由廣義對象脈沖傳遞函數(shù)由廣義對象脈沖傳遞函數(shù)G(z)可以看出：可以看出：m=1，w=1，q=2，v=0，也即，也即11101( )(10.718)()zzzz( ) z計算機控制技術(shù)設(shè)計第三步：設(shè)計第三步：求求 的待定系數(shù)的待定系數(shù)(1)1(1)011101( )(10.718)()zzzz011.4070.826 設(shè)計第四步：設(shè)計第四步：求求D(z)1

13、1111( )15.29(10.368)(10.587)( )( )1( )(1)(10.592)zzzD zG zzzz( ) z計算機控制技術(shù)設(shè)計第五步：設(shè)計第五步：求系統(tǒng)輸出序列求系統(tǒng)輸出序列234( )( ) ( )1.4134.C zz R zTzTzTz設(shè)計第六步：設(shè)計第六步：求控制器輸出序列求控制器輸出序列123( )0.380.020.09.U zzzz計算機控制技術(shù)C(z)21111 2112.1( )(1.252)0.265(12.78)(1 0.2)(1) (1 0.286)TseG zZssszzzzzr(t)TTR(z)T=1sT=1sD(z)e*(t)u*(t)u(

14、t)1Tses22.1(1.252)ss c(t)例：例：針對如下的系統(tǒng)求其對于單位階躍輸入的無紋波最小拍針對如下的系統(tǒng)求其對于單位階躍輸入的無紋波最小拍數(shù)字控制器數(shù)字控制器 D(z)D(z)解：系統(tǒng)被控制對象包含兩個積分環(huán)節(jié)，滿足無紋波前提條件。 首先確定系統(tǒng)希望的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)( )z21111 2112.1( )(1.252)0.265(1 2.78)(1 0.2)(1) (1 0.286)TseG zZssszzzzz根據(jù)系統(tǒng)廣義對象脈沖傳遞函數(shù)，可以確定：m=1、w=2、q=1、v=0，故-1-1-10( )= 1+2.78)(1+0.2)zzzz（ 確定數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(

15、z)-1-1-1-21( )0.83-)(1-0.28)( )=( )1( )1+0.78+1.226zzD zG zzzz（1 z根據(jù)也即，0(1)=1,=0.2可解的-1-1-10-1-1-1( )=1+2.78)(1+0.2)=0.221+2.78)(1+0.2)zzzzzzz（ 求解控制信號的z變換式U(z)-1-1-11 21111111( )0.221+2.78 )(1+0.2)(1) (1 0.286)( )( )( )(1)0.265(1 2.78)(1 0.2)0.83(1)(1 0.286)zzzzzzU zR zG zzzzzzz（ 求解系統(tǒng)輸出的Z變換式Y(jié)(z)-1-1

16、-111( )( ) ( )0.221+2.78)(1+0.2)(1)Y zz R zzzzz（ 分別給出控制信號和系統(tǒng)輸出的時間序列():0.83, 1.0676,0.2374,0,0.():0,0.22,0.8754,1,1,.U kTY kT( )y tt11( )u t-1計算機控制技術(shù)非最小拍控制系統(tǒng)設(shè)計采用非最小拍無差設(shè)計的原因采用非最小拍無差設(shè)計的原因計算機控制技術(shù) 最小拍無差系統(tǒng)及無紋波最小拍無差系統(tǒng)只適最小拍無差系統(tǒng)及無紋波最小拍無差系統(tǒng)只適用于特定的輸入。用于特定的輸入。 為了使系統(tǒng)能夠?qū)Χ喾N類型輸入都能獲得較為為了使系統(tǒng)能夠?qū)Χ喾N類型輸入都能獲得較為滿意的效果，我們只有以

17、犧牲有限拍無差性質(zhì)為滿意的效果，我們只有以犧牲有限拍無差性質(zhì)為代價。代價。采用非最小拍無差設(shè)計的原因采用非最小拍無差設(shè)計的原因計算機控制技術(shù)針對理想最小拍控制器設(shè)計針對理想最小拍控制器設(shè)計解決上述問題的基本思想解決上述問題的基本思想計算機控制技術(shù)令閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)不再是有限項多項式令閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)不再是有限項多項式而是將其修改為：而是將其修改為： *11( )1( )1zzz1*1( )( )1zzzz 為非最小拍誤差控制系統(tǒng)希望的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。它為非最小拍誤差控制系統(tǒng)希望的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。它也已經(jīng)不是也已經(jīng)不是 的有限項多項式。也即，系統(tǒng)是漸近地趨于穩(wěn)的有限項多項式。也即，系

18、統(tǒng)是漸近地趨于穩(wěn)態(tài)。但可使系統(tǒng)對輸入類型的敏感程度卻因此降低。態(tài)。但可使系統(tǒng)對輸入類型的敏感程度卻因此降低。 1( )1( )(1)( )mezzzF z *( ) z慣量因子1z通過一個例子可說明通過一個例子可說明 的作用的作用計算機控制技術(shù)設(shè)廣義對象傳遞函數(shù)如下，試按等速度輸入設(shè)計設(shè)廣義對象傳遞函數(shù)如下，試按等速度輸入設(shè)計 時的時的非非 最小拍控制。最小拍控制。10.6476( )1 0.1353G zz第一步：廣義對象傳遞函數(shù)只有一個單位圓內(nèi)的極點，單位速第一步：廣義對象傳遞函數(shù)只有一個單位圓內(nèi)的極點，單位速度輸入下最小拍無差系統(tǒng)的希望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為度輸入下最小拍無差系統(tǒng)的希望閉環(huán)脈

19、沖傳遞函數(shù)為0.512( )2zzz 這里這里 是一個設(shè)計參數(shù)，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使是一個設(shè)計參數(shù)，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使 1。再通過適當?shù)倪x擇再通過適當?shù)倪x擇 可對不同類型的輸入都可獲得較好的效果可對不同類型的輸入都可獲得較好的效果。計算機控制技術(shù)112*11( )1.5( )11 0.5zzzzzzz0.5第二步：為了適應不同類型的輸入，將第二步：為了適應不同類型的輸入，將 并令并令*( )( )z改變成z第三步：根據(jù)第三步：根據(jù) 確定控制器脈沖傳遞函數(shù)確定控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)D(z)*( ) z*11*1 21( )1.544(1.5)(1 0.1353)( )( )1( )

20、(1)zzzD zG zzz計算機控制技術(shù)第四步：求系統(tǒng)單位階躍響應和單位速度輸入響應第四步：求系統(tǒng)單位階躍響應和單位速度輸入響應*1234( )( ) ( )1.51.251.1251.0625.C zz R zzzzz單位階躍響應*2345( )( ) ( )1.52.753.8754.9375.C zz R zzzzz可見：在第一拍時，輸入超調(diào)為可見：在第一拍時，輸入超調(diào)為50%，比起不修正閉環(huán)脈，比起不修正閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的時候，超調(diào)量變小。原來的超調(diào)量是沖傳遞函數(shù)的時候，超調(diào)量變小。原來的超調(diào)量是100%。這表明，修正閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)后，系統(tǒng)更好地適應了單這表明，修正閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

21、后，系統(tǒng)更好地適應了單位階躍輸入。位階躍輸入。單位速度輸入響應可見：在第五拍就已非常接近期望值可見：在第五拍就已非常接近期望值計算機控制技術(shù) 采用未使用慣量因子修正的設(shè)計辦法，系統(tǒng)對輸入采用未使用慣量因子修正的設(shè)計辦法，系統(tǒng)對輸入敏感，只有在針對特定輸入的時候，才能得到好的控敏感，只有在針對特定輸入的時候，才能得到好的控制效果。制效果。 采用慣量因子修正的設(shè)計辦法后，雖然使特定輸采用慣量因子修正的設(shè)計辦法后，雖然使特定輸入下的響應變差，但卻降低了系統(tǒng)對輸入的敏感度。入下的響應變差，但卻降低了系統(tǒng)對輸入的敏感度。這樣的非最小拍無差系統(tǒng)設(shè)計方法也被稱為慣量因子這樣的非最小拍無差系統(tǒng)設(shè)計方法也被稱為

22、慣量因子法法最小均方誤差系統(tǒng)最小均方誤差系統(tǒng)最小均方誤差系統(tǒng)對于不同典型輸入可使其均方誤差2=0=()kJe kT2-1-1= 01=()=( )()2kcJe kTE z E zz dzj系統(tǒng)的均方誤差可由下式計算得到式中的封閉積分曲線c 為Z平面的單位圓。達到最小。計算機控制技術(shù) 最小均方差設(shè)計是一種工程設(shè)計的方法，是在有限拍設(shè)計的最小均方差設(shè)計是一種工程設(shè)計的方法，是在有限拍設(shè)計的基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)誤差閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)誤差閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 和系統(tǒng)閉環(huán)脈沖和系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 都引入一個極點都引入一個極點 （ ），以改善其瞬），以改善其瞬態(tài)響應過程。態(tài)響應過程。1( )

23、ez( ) zz也即，使也即，使*1( )( )1eezzz*111( )( )( )11ezzzzz計算機控制技術(shù)*( )( ) ( )eE zz R zE(z)里便包含參數(shù)里便包含參數(shù) ，從而有，從而有對系統(tǒng)誤差閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)對系統(tǒng)誤差閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 引入極點引入極點 后，后，系統(tǒng)系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)的誤差傳遞函數(shù)的z變換為變換為 ( )ezz由于2-1-1= 01=()=( )()2kcJe kTE z E zz dzj( )( )E zf于是有2=0=()( )kJe kTf上式說明選擇不同的 值，便可得到不同系統(tǒng)均方誤差。通過一個具體的例子說明最小均方誤差系統(tǒng)的設(shè)計方法計算機控制技術(shù)

24、設(shè)系統(tǒng)對象傳遞函數(shù)設(shè)系統(tǒng)對象傳遞函數(shù)10( ),0.8(1 0.1 )(1 0.05 )pGsTssss系統(tǒng)輸入為單位階躍和單位速度輸入信號，設(shè)計系統(tǒng)數(shù)字控制器系統(tǒng)輸入為單位階躍和單位速度輸入信號，設(shè)計系統(tǒng)數(shù)字控制器使系統(tǒng)為一最小均方誤差法系統(tǒng)使系統(tǒng)為一最小均方誤差法系統(tǒng)，試確定參數(shù)試確定參數(shù) 值。值。1111110.76(1 0.046)(1 1.13)( )(1)(1 0.135)(1 0.018)zzzG zzzz廣義脈沖傳函在單位圓上有一個極點廣義脈沖傳函在單位圓上有一個極點z=1，單位圓外有一零點，單位圓外有一零點-1.13，沒有單位圓外極點。也即，沒有單位圓外極點。也即，m=1,u

25、=1,q=2,v=0解：首先確定系統(tǒng)先確定系統(tǒng)廣義脈沖傳遞函數(shù)廣義脈沖傳遞函數(shù)計算機控制技術(shù) 對于速度輸入設(shè)計最小拍無差系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)對于速度輸入設(shè)計最小拍無差系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 和系和系統(tǒng)閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)統(tǒng)閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)11(1)0111( )(1)(.)umq viq vizzb zzz 11112( )1( )(1 1.13)()ezzzzbb z 1211( )1( )(1) (1)ezzza z m=1,u=1,q=2,v=0( ) z( )ez根據(jù)以上閉環(huán)脈沖傳函的一般表達式可得到計算機控制技術(shù)將將 可確定上兩式中的參數(shù)可確定上兩式中的參數(shù)b1，b2和和a1112

26、0.811 0.2811.1890.7190.7180.249abb 1 21*11-1(1) (1)1( )( )=11-eza zzzzz111*121-1(1 1.13)()( )( )1-( )=11-ezzbb zzzzzz分別構(gòu)造分別構(gòu)造 如下：如下：*( )( )ezz和*( )( )ezz代 入計算機控制技術(shù) 求取系統(tǒng)在等加速輸入下最小均方誤差求取系統(tǒng)在等加速輸入下最小均方誤差 1 211111111 21(1) (1)(1)( )( ) ( )1(1)1eza zTza zTzE zz R zzzz 11(1)()1Tza zE zz2110121112111( )= ()(

27、 ) ()2(1)(1)12(1)(1)()(1)2()(1)ckccJe kTE z E zz dzja za zTdzjzzzzaa zTdzjz zz22110()(1)= ()2()(1)ckzaa zTJe kTdzjz zz( )J計算機控制技術(shù)iz為閉合積分曲線包圍的為閉合積分曲線包圍的F(z)的全部的全部n個極點。系統(tǒng)均方誤差個極點。系統(tǒng)均方誤差可利用留數(shù)定理進行計算可利用留數(shù)定理進行計算11( )Re ( ( )2iniz zF z dzs F zj根據(jù)留數(shù)定理22110221110,()(1)= ()2()(1)()(1)=TRe()(1)ckizzaa zTJe kTdz

28、jz zzzaa zsz zzC為單位圓封閉積分曲線， 是被積函數(shù)在單位圓內(nèi)的兩個極點。 =0,z=z計算機控制技術(shù)22110221111022221111122()(1)( )= ()2()(1)()(1)()(1)()()(1)()(1)()(1)121.0620.(1)7111kzzzaa zTJe kTdzjz zzzaa zzaa zTzTzz zzz zzT aTaaaaT由上式，可計算系統(tǒng)均方誤差由上式，可計算系統(tǒng)均方誤差 如下如下：( )J計算機控制技術(shù)再求在單位階躍輸入時的系統(tǒng)最小均方誤差再求在單位階躍輸入時的系統(tǒng)最小均方誤差1 2111*11111(1) (1)(1)(1)1( )( ) ( )111eza zza zE zz R zzzz同理，對同理，對，2110211222110211221()= ()( )()2()(1) (1)12()(1)()(1) (1)()(1) (1)Re Re ()(11.691).270()(1).41kzzJe kTE z E zzdzjzaza zdzjzzzzaza zzaza