初二數(shù)學(xué).秋.直升班.教師版.第2講幾何變換之旋轉(zhuǎn)(二)

1、第二講幾何變換之旋轉(zhuǎn)（二）一、“ Y ”字型旋轉(zhuǎn)：模型 I：等邊三角形的“Y”字型旋轉(zhuǎn)因?yàn)樵谛D(zhuǎn)角為 60 的旋轉(zhuǎn)變換下， 任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心恰好構(gòu)成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，這樣，對(duì)于條件中含有正三角形的平面幾何問題，我們即可以考慮用旋轉(zhuǎn)角為 60 的旋轉(zhuǎn)變換處理旋轉(zhuǎn)中心可以選取正三角形的某個(gè)頂點(diǎn)AAABPP'P 'CBCBPP'CP模型 II ：等腰直角三角形的“Y ”字型旋轉(zhuǎn)因?yàn)樵谛D(zhuǎn)角為 90 的旋轉(zhuǎn)變換下， 任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心恰好構(gòu)成一個(gè)等腰直角角形的三個(gè)頂點(diǎn)，這樣，對(duì)于條件中含有等腰直角三角形的平面幾何問題，我們即可以考慮用旋轉(zhuǎn)角為 90 的旋轉(zhuǎn)變

2、換處理 旋轉(zhuǎn)中心通常選取等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)二、三角形中的費(fèi)馬點(diǎn)：1定義： 在一個(gè)四邊形內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到四邊形四個(gè)點(diǎn)的距離和最小，這個(gè)點(diǎn)即為四邊形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)在一個(gè)三角形內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)點(diǎn)的距離和最小，這個(gè)點(diǎn)我們稱為三角形中的費(fèi)馬點(diǎn)AAC 'AC 'PPP'P 'PBCBCBC2性質(zhì)：（ 1）費(fèi)馬點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最??；（ 2）費(fèi)馬點(diǎn)對(duì)應(yīng)三邊的三個(gè)張角都相等，且為120 模塊一“ Y”字型旋轉(zhuǎn)例 1AAAPPPBCBCBC內(nèi)“ Y”AAAPPPBCBCBCAA等邊三角形的“ Y”線“ Y”字型旋轉(zhuǎn)BPCBPCAAABC

3、BCBCPPP外“ Y”AAABCBCBCPPPAA內(nèi)“ Y”PCPCBBAA線“ Y”PP等腰直角BCBC三角形的“Y”字型AA旋轉(zhuǎn)PPBCBC外“ Y”ABCP例2（ 1）如圖2-1，P 是等邊 ABC 內(nèi)部一點(diǎn)， PC3， PA4，PB5，求 ABC 的邊長（ 2）如圖2-2，在等邊 ABC 中， P 為 BC 邊上一點(diǎn)，則以AP、 BP、 CP 為邊組成的新三角形的最大內(nèi)角為，則為多少度？（ 3）如圖 2-3， ABD 是等邊三角形，在 ABC 中， BCa ， CAb ，問：當(dāng) ACB為何值時(shí)， C、 D 兩點(diǎn)的距離最大？最大值是多少？BCAABPACBPCD圖 2-1圖 2-2圖

4、2-3（ 1）將 APC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 ，得到 AQB 連接 PQ，則AQBAPC ，PAQ60 ，AQ AP 4 ， QB PC 3 ，故 APQ 是等邊三角形，從而 AQP 60 ， PQ AP 4在PQB中， PQ4，QB3，PB5，B故 PQB 90，APCAQBAQPPQB150 Q過點(diǎn) C作CDAP ，交 AP 的延長線于點(diǎn)D ，則 CPD 30， CD1 PC3 ，DP22PDPC2CD2 33 AC2因此，在 Rt ACD 中， ACAD2CD 2(433) 2(3)225 12 322（ 2） 120 ；（ 3）我們通過旋轉(zhuǎn)設(shè)法將 a、b、 CD 集中到一個(gè)三角

5、形中將 BCD 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 ，得到 AED C連接 EC，則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CDED ，f CDE 60 ，故 CDE 是等邊三角形，則 CEDECD EB而 ACb ，AEBCa ，A故 CE ACAEab 當(dāng)且僅當(dāng) A、 C、 E 三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，即 EADCAD180 D此時(shí)CADCBD180 ，ACB180ADB120 因此，當(dāng)ACB 120 時(shí)， CD 最大，最大值為 a b 例 3（ 1）如圖 3-1，在正方形 ABCD 內(nèi)有一點(diǎn) P，且 PA 5 ，PB 2 ，PC 1求 BPC 度數(shù)的大小和正方形 ABCD 的邊長（ 2）如圖 3-2，已知在 ABC 中，

6、AB AC ， BAC 90 ，點(diǎn) D 是 BC 上的任意一點(diǎn)，探究： BD， CD 與 AD 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論（ 3）如圖 3-3，四邊形 ABCD 被對(duì)角線BD 分為等腰直角ABD 和直角 CBD ，其中A 和C 都是直角，另一條對(duì)角線AC 的長度為2，求四邊形ABCD 的面積AADABDPBCBDCC圖 3-1圖 3-2圖 3-3（ 1）如圖，將 BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得BP A，則 BPC90° APPC 1， BPBP2 ，P'BP90 連接PP，在 Rt BP P 中， BPBP2 ，PBP 90°PP2，BP P45°在APP中

7、， AP1， PP2， AP5 ，A 1222( 5)2，即 AP 2PP 2AP2 P'APP是直角三角形，即AP P 90°AP BE135°BP ADP BPCAP B 135°過點(diǎn) B 作 BE AP 交 AP 的延長線于點(diǎn) EEP BAE245°EPBE1在 Rt ABE 中，由勾股定理，得 AB5 BPC，正方形邊長為5 135°BC（ 2）探究得到的關(guān)系為：BD 2CD 22AD2 證明：以 AC 為邊向三角形外作EAC DAB ，且 AEAD ，連接 DE、 CEABAC在 ABD 和 ACE 中 BAD CAEAADA

8、E ABD ACE ， BDCE ， ABC ACEE BADCAD90，又 BADCAEBDC CAECAD90即 DAE 90 ，同理 DCE 90 ED2AD2AE2， ED2CD2CE 2 ， AD2AE2CD 2CE 2 AEAD ，CEBD ， AD2AD2CD2BD2，即 2AD2CD2BD2 （ 3）將三角形ABC 繞 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，使 B 與 D 重合， C 到 C'點(diǎn)則有CDC 'ADCADC 'ADCABC 180 ，所A以 C， D， C ' 在同一條直線上，又因?yàn)锳CAC' 所以 ACC ' 是等腰直角三角形 又

9、四邊形 ABCD 的面C'積等于等腰直角 ACC ' BD的面積 S四邊形 ABCDS ACC '2222 C例 4如圖，正方形連接 OE， DEABCD 的對(duì)角線交于點(diǎn)6，OE8 2 ，求O，以 ADAE 的長為邊向外作Rt ADE，AED90，EEADADOOFBCBC將 AOE 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，使 OA 和 OD 重合，得到 DOF ，則可得 OFOE8 2， EOF90，點(diǎn) E、O、F 三點(diǎn)共線，EF 16， DF10， AE DF10例 5如圖，以 Rt ABC 的斜邊BC 為一邊在 ABC 同側(cè)作正方形BCEF ，設(shè)正方形的中心為 O，連接 AO

10、，如果 AB4，AO 62 ，求 AC 的長BCBMCAAOOFEFE在 AC 上截取 CMAB ，連接 OM，可證 ABO MCO ， COMBOA，AOMBOC90 ， AO MO 62， AM 12，AC AM MC 12 4 16模塊二三角形中的費(fèi)馬點(diǎn)例6若 P 為 ABC 所在平面上一點(diǎn)， 且 APB BPC 的費(fèi)馬點(diǎn) 如圖，在銳角 ABC 外側(cè)作等邊 ACB 費(fèi)馬點(diǎn) P，且 BB' PA PB PC CPA 120 ，則點(diǎn) P 叫做 ABC 連接 BB 求證： BB 過 ABC 的B'B'AAEPBCBC在BB 上取點(diǎn) P，使BPC120 ，連接 AP，再在

11、 PB 上截取 PEPC ，連接 CE BPC 120 ，EPC60 ， PCE 為正三角形，PC CE ， PCE60，CEB 120 ， ACB 為正三角形，AC BC，ACB60 ，PCAACEACEECB 60PCAECB ，ACPBCE APCBEC 120 ， PA EB ，APBAPCBPC120 ， P 為 ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)， BB 過 ABC 的費(fèi)馬點(diǎn) P，且BB EBPB PE PAPB PC例7如圖，四邊形ABCD 是正方形， ABE 是等邊三角形，M 為對(duì)角線BD （不含 B 點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 得到 BN，連接 EN、 AM、 CM （

12、1）求證： AMB ENB ；（ 2）當(dāng) M 點(diǎn)在何處時(shí)， AM CM 的值最小；當(dāng) M 點(diǎn)在何處時(shí)，AM BMCM 的值最小，并說明理由；（ 3）當(dāng) AMBM CM 的最小值為3 1 時(shí)，求正方形的邊長ADADENENMMBCFBC（ 1）證明： ABE 是等邊三角形，BABE ， ABE60 MBN 60，MBNABNABEABN 即MBANBE 又 MBNB ， AMB ENB（ SAS）（ 2）當(dāng) M 點(diǎn)落在 BD 的中點(diǎn)時(shí)， A、M 、C 三點(diǎn)共線， AMCM 的值最小如圖，連接 CE ，當(dāng) M 點(diǎn)位于 BD 與 CE 的交點(diǎn)處時(shí)，AMBMCM 的值最小理由如下：連接MN ，由（ 1

13、）知， AMB ENB ， AMEN ， MBN60 ，MBNB ， BMN 是等邊三角形BM MN AMBMCMENMNCM 根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得 ENMNCMEC 最短當(dāng) M 點(diǎn)位于 BD 與 CE 的交點(diǎn)處時(shí)，AMBMCM 的值最小，即等于EC 的長（3）過 E 點(diǎn)作 EFBC 交 CB 的延長線于 F ，EBFABFABE906030設(shè)正方形的邊長為 x ，則BF3xx ， EF222x23 x2在 Rt EFC 中， EF 2FC 2EC2，x=3122解得， x1 = 2 ， x2 =2（舍去負(fù)值）正方形的邊長為2例 8（金牛區(qū)期末）如圖，矩形紙片ABCD ( ADAB)

14、中，將它折疊，使點(diǎn)A 與C 重合，在矩形確定點(diǎn)ABCD 中， AB600， BCP、 Q 的位置，使得PAPD1000 ，P 是內(nèi)部一點(diǎn)， Q 是 BCPQ 最小，并求出這個(gè)最小值邊上任意一點(diǎn)，試EP'ADADPPBQCBHQC點(diǎn) Q 是 BC 邊的中點(diǎn)，點(diǎn)最小值為 600500 3 P 在AD的中垂線上且滿足ADP120復(fù)習(xí)鞏固模塊一“Y”字型旋轉(zhuǎn)演練 1如圖， ABC 為等邊三角形，以AB 為對(duì)角線作矩形接 EC，若 BEC 150 ， EC 1，則 ABC 的邊長為 _ADBE ，點(diǎn) E 在 ABC 內(nèi)部，連AD7 E演練 2BC已知： PA2，PB4 ，以 AB 為一邊作正方形

15、ABCD ，使 P、 D 兩點(diǎn)落在直線 AB的兩側(cè)當(dāng)APB 45時(shí)，求 AB 及 PD 的長DDDCCCP'AAAPBPEBPB圖 1圖 2如圖 1，過點(diǎn)A作 AEPB于點(diǎn) E APB45， APE 是等腰直角三角形 PA2 ，PB 4， AEPE 1， BE3 ， ABAE 2BE 210 .如圖 2，將 APD 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 至 APB' ，連接 P' P ，則 APP 是等腰直角三角形 PA2， PP2 ， APB 45， BPP90 ， BPP 是直角三角形 BPPP 2BP 222422 5顯然， APD AP B ， PDBP25 模塊二三角形中

16、的費(fèi)馬點(diǎn)演練 3如圖所示，在四邊形ABCD 中， ABAD ，BAD 60 ，BCD 120 ，證明：BC DC ACA（思想：以D 為旋轉(zhuǎn)中心將 ACD 旋轉(zhuǎn) 60如圖所示，延長BC 至 E，使 CE CD連接 DE，由BCD 120 可知DCE60又由 CECD可知 CDE 為等邊三角形，即有 DECDCE ，CDE60 又因 ABAD，BAD60 ，連接BD ，可知 ABD 為等邊三角形，即到 BED ），ABADBD，BDCABDA60 在 ACD 和 BED 中，由ADBCDE 可得：ADCADBBDCCDEBDCBDE 而 ADBD，CDDE，故ACDBED 于是 ACBEBCCE

17、BCCD ，即 BCDCAC演練 4BDCE已知 O 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，AOB BOCCOA 120； P 是 ABC 內(nèi)任一點(diǎn)，求證： PA PB PC OAOB OC （O 為費(fèi)馬點(diǎn)）C'O'CCP'OOPPABAB以 B 為旋轉(zhuǎn)中心， 60 為旋轉(zhuǎn)角， 將點(diǎn) P、O、C 分別旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) P 、O 、C ，連接 OO' 、 PP '則 BOO ' 、 BPP' 都是正三角形 OO'OB ， PP'PB顯然 BO C BOC ， BP 'C 'BPC 由于BO 'C 'BOC120180BO 'O ， A ，O ，O '、 C ' 四點(diǎn)共線 APPP'P'C'AC'AOOO'O'C'，即 PAPBPCOAOBOC演練 5已知正方形 ABCD 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) E 到 A、 B、C 三點(diǎn)的距離之和的最小值為26，求此正方形的邊長如圖，連接 AC，把