二元函數(shù)的極值PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值2定理定理6.6.1 (必要條必要條件件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處偏處偏導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在,并取得極值并取得極值, 則則0),(, 0),(0000yxfyxfyx證明證明:不妨設(shè)不妨設(shè)),(yxfz 在點在點),(00yx處取得處取得極大值極大值.則則),(),(00yxfyxf, 特別地特別地,取取0yy 有有),(),(000yxfyxf由一元函數(shù)極值必要條件知由一元函數(shù)極值必要條件知,0),(00yxfx同理同理,0),(00yxfy 使使, 0),(yxfx0),(yxfy同時成立的點同時成立的點,),(yxfz 的的駐

2、點駐點.稱為函數(shù)稱為函數(shù)在在 x = x0 點取得極大值，點取得極大值， 考慮一元函數(shù)考慮一元函數(shù)),(0yxf第1頁/共14頁3注意注意:1)若極值點的偏導(dǎo)數(shù)存在，極值點必是駐點若極值點的偏導(dǎo)數(shù)存在，極值點必是駐點.2)函數(shù)的駐點不一定是極值點函數(shù)的駐點不一定是極值點.122xyz例例 3)函數(shù)的極值點也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點函數(shù)的極值點也可能是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點.。是是駐駐點點，但但不不是是極極值值點點點點)0 , 0(但在但在 (0,0)點取得極小值點取得極小值例例3232),(yxyxf4)函數(shù)的極值點：函數(shù)的極值點：駐點駐點)0 , 0(xf 不存在不存在,)0 , 0(yf 不存在不

3、存在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點偏導(dǎo)數(shù)不存在的點第2頁/共14頁4定理定理6.6.2 (充分條件充分條件)0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(00yxfCyy 令令),(00yxfAxx ),(00yxfBxy (1).若若, 02 ACB有極值有極值,(2).若若, 02ACB(3).若若, 02ACB情況不定情況不定.,0A且且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且且有一階有一階是是極大值極大值.),(00yxf是是極小值極小值.),(00yxf不是不是極值極值.),(00yxf, 0A注意注意：結(jié)論結(jié)論(1)中的中的 A

4、換為換為 C 結(jié)論不變。結(jié)論不變。第3頁/共14頁5例例1. 求函數(shù)求函數(shù)xyxyxyxf933),(2233的極值的極值.解解:),(yxfy),(yxfx得駐點得駐點:)2 , 3(),0 , 3(),2 , 1 (),0 , 1 (66 yfyyxxf , 0 xyf在點在點)0 , 1 (處處,ACB 2, 072,有極小值有極小值5)0 , 1 (f在點在點),(03處處,ACB 2072 , 無極值無極值.ACB 2072 , 無極值無極值.ACB 2, 072 有極大值有極大值31)2 , 3(f,09632xx0632yy,66x在點在點),( 21處處,在點在點),(23處處

5、,解方程組解方程組012A012 A6, 0,12CBA第4頁/共14頁6步驟步驟：（2）對每個駐點）對每個駐點( x0 , y0 )，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ), B, C.（3）應(yīng)用定理）應(yīng)用定理4.9判定得出結(jié)論。判定得出結(jié)論。,),(),(yxfyxfyx，（1）求）求求出駐點求出駐點( x0 , y0 ),0),(0),(yxfyxfyx，并令并令求函數(shù)求函數(shù) 極值的方法和步驟極值的方法和步驟.),(yxfz 第5頁/共14頁7 最大值、最小值最大值、最小值對于區(qū)域?qū)τ趨^(qū)域 D 內(nèi)內(nèi)任一點任一點),(yx, 若恒有不等式若恒有不等式),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域D

6、內(nèi)有定義內(nèi)有定義,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)DyxP),(00),(),(:1) 00yxfyxf),(),(: ) 200yxfyxf最大值與最小值統(tǒng)稱為最值最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.例如：例如：2243yxz在點在點)0 , 0(處取得處取得最小值最小值 0.)(222yxz在點在點)0 , 0(處取得處取得最大值最大值 2.).,(00yxf則稱該函數(shù)在點則稱該函數(shù)在點 處有處有最大值最大值P使函數(shù)取得最值的點統(tǒng)稱為最值點使函數(shù)取得最值的點統(tǒng)稱為最值點.).,(00yxf則稱該函數(shù)在點則稱該函數(shù)在點 處有處有最小值最小值P第6頁/共14頁8 最大值、最小值的求法最大值、最小值的求法最值點最值點（1）邊

7、界點）邊界點求出該函數(shù)在這些點上的函數(shù)值，比較大小即可求得最值求出該函數(shù)在這些點上的函數(shù)值，比較大小即可求得最值),(yxfz 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則一定有最值。上連續(xù)，則一定有最值。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)（2）駐點）駐點（3）偏導(dǎo)數(shù)不存在的點）偏導(dǎo)數(shù)不存在的點若根據(jù)實際問題確定函數(shù)的最值在區(qū)域若根據(jù)實際問題確定函數(shù)的最值在區(qū)域 D 內(nèi)部點取到，而函數(shù)在內(nèi)部點取到，而函數(shù)在 D 內(nèi)有唯一駐點，沒有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點，則可斷定函數(shù)在此駐點上取到最值。內(nèi)有唯一駐點，沒有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點，則可斷定函數(shù)在此駐點上取到最值。極值點極值點第7頁/共14頁9例例2. 某廠要用鐵板做成一個體積為某廠要用鐵板

8、做成一個體積為8立方米的有蓋長方體水箱立方米的有蓋長方體水箱.問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最?。繂栠x擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最?。拷饨?則由體積則由體積xyzV 水箱所用材料即水箱表面積水箱所用材料即水箱表面積S)88(2yxxy)(2zxyzxyzyx,設(shè)水箱的長、寬、高分別為設(shè)水箱的長、寬、高分別為 米，米，,8xyxyVz 可得可得), 0(), 0(),(yx0)8(22xySx令令得唯一駐點得唯一駐點(2,2).根據(jù)實際問題，根據(jù)實際問題，S 一定存在最小值一定存在最小值.因此因此,當(dāng)當(dāng) x = 2 米米, y = 2 米米, z = 2米時，表面積米時，表面積 S 取得

9、最小值取得最小值24 平方米平方米.即當(dāng)水箱的長，寬，搞相等時，所用材料最省即當(dāng)水箱的長，寬，搞相等時，所用材料最省.0)8(22yxSy第8頁/共14頁10求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 在約束條件在約束條件0),(yxg下的極值。下的極值。拉格朗日乘數(shù)法：拉格朗日乘數(shù)法：（1). 構(gòu)造構(gòu)造拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù):),( ),(),(yxgyxfyxL其中常數(shù)其中常數(shù) 稱為稱為拉格朗日乘數(shù)拉格朗日乘數(shù).(2). 解方程組：解方程組：0 xxxgfL解得解得,yx則點則點( x , y )可能為極值點可能為極值點. (3). 判斷判斷 (x, y) 是否為極值點是否為極值點.(一般情況下根據(jù)實際

10、問題的實際意義可以判斷一般情況下根據(jù)實際問題的實際意義可以判斷)0yyygfL0),(yxgL第9頁/共14頁11推廣推廣 求函數(shù)求函數(shù)),(zyxf在約束條件在約束條件0),(, 0),(zyxhzyxg下的極值下的極值.(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):),(),(),(),(2121zyxhzyxgzyxfzyxL0 x,y,zhL0 x,y,zgL0L0L0Lzyx)()(21(2)解方程組解方程組解得解得),(zyx(3) 判斷判斷 (x, y, z) 是否為極值點是否為極值點.第10頁/共14頁12再解例再解例2. 例例2. 某廠要用鐵板做成一個體積為某廠要用鐵板做成一個體積

11、為8立方米的有蓋長方體水箱立方米的有蓋長方體水箱.問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最??？問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最省？解解:則問題變?yōu)閯t問題變?yōu)榍笄骃)(2zxyzxyzyx,設(shè)水箱的長、寬、高分別為設(shè)水箱的長、寬、高分別為 米，米，令令得唯一駐點得唯一駐點(2,2,2).此駐點即為最小值點此駐點即為最小值點.因此因此,當(dāng)當(dāng) x = 2 米米, y = 2 米米, z = 2米時，表面積米時，表面積 S 取得最小值取得最小值24 平方米平方米.即當(dāng)水箱的長，寬，高相等時，所用材料最省即當(dāng)水箱的長，寬，高相等時，所用材料最省.8xyz在約束條件在約束條件下的最小值下的最小值.作拉格朗

12、日函數(shù)作拉格朗日函數(shù):) 8()( 2),(xyzzxyzxyzyxL0)(2yzzyLx0)(2xzzxLy0)(2xyxyLz08 xyzL第11頁/共14頁13解解:問題即為問題即為:1502yx在約束條件在約束條件下的最大值下的最大值.yxQ2005. 0求求解方程組解方程組令令)1502(005. 0),(2yxyxyxL001. 0 xyLx得得,25100yx此唯一駐點即為最大值點此唯一駐點即為最大值點.購買購買兩種原料兩種原料A、B的數(shù)量的數(shù)量分別為分別為100，25時時,可使產(chǎn)量最大可使產(chǎn)量最大.02005. 02xLy01502yxL例例3.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量Q與所用兩種原料與所用兩種原料A、B的數(shù)量的數(shù)量x，y間的關(guān)系間的關(guān)系式為：式為：Q = 0.005x2y，已知，已知A、B兩種原料的單價分別為兩種原料的單價分別為1元和元和2元，現(xiàn)有元，現(xiàn)有150元，問應(yīng)如何購料，可使產(chǎn)量最大元，問應(yīng)如何購料，可使產(chǎn)量最大?第12頁/共14頁14解解拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù):),(zyxL聯(lián)立聯(lián)立0)(20AxxLx解得解得),(422222CBAd222000)( 2CBADCzByAx所求距離為所求距離為:222000CBADCzByAx例例4 求由一定點求由一定點),(000