先把教科書讀厚,再把教科書讀薄

1、· 先把教科書讀厚，再把教科書讀薄例談基于教科研讀的教學(xué)設(shè)計(jì)（一）我是編教科書的，今天講得內(nèi)容自然要和教科書掛鉤！平時(shí)又比較喜歡聽課，在聽課的過程中必然會(huì)涉及教科書的編寫。怎么去解讀教科書？怎么去理解教科書？怎么去用好教科書？這都是我們老師平常在上課時(shí)總會(huì)碰到的一些實(shí)際問題。所以今天我們談一談怎么樣先把教科書讀厚，再把教科書讀薄地過程。這句話其實(shí)大家都很熟悉。不光是教科書，所有的書都有這樣一個(gè)過程。有的是先讀厚再讀薄，有的是先讀薄再讀厚，這是角度不同。那么我作為一個(gè)教科書編寫者，直到現(xiàn)在我也不敢說把教科書先讀厚了再讀薄了。我會(huì)通過一些例子和你們進(jìn)行交流。平時(shí)我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候怎么樣

2、看教科書，怎么樣利用用好教科書。那對(duì)于同樣的一本教科書上的內(nèi)容，不同的老師有不同的解讀方式，有不同的設(shè)計(jì)方式，可能最后會(huì)取得不同的效果。我們?nèi)私躺缛ダッ鲄⒓恿擞^摩課，其中不乏有很多很精彩的課，但也看到了一些問題。我想這些課精彩在哪兒？問題又出在哪兒？我們可以從這些方面去看。首先，這一節(jié)課對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)，或者說我們現(xiàn)在所講的技能、知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)于數(shù)學(xué)方面的這些東西，老師有沒有一個(gè)本質(zhì)的理解，理解又是不是深刻到位。毫無疑問，數(shù)學(xué)老師必須要對(duì)數(shù)學(xué)形成一個(gè)本質(zhì)的理解。很多出問題的課，是因?yàn)槔蠋熆赡軐?duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的程度不夠到位。第二，我們?cè)诮虒W(xué)的時(shí)候，必然會(huì)用到教科書，那么對(duì)于教科書上的

3、這些呈現(xiàn)方式、素材，老師怎么去理解、使用，這是很重要的。第三，教學(xué)設(shè)計(jì)。有了教科書的素材以后，怎么進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。我們大家都知道進(jìn)行教案設(shè)計(jì)時(shí)，首先是基于教科書，教科書上的內(nèi)容是以怎么樣的方式展開呈現(xiàn)。但當(dāng)你真正具體教學(xué)時(shí)，肯定不會(huì)完全按教科書進(jìn)行設(shè)計(jì)，你會(huì)設(shè)計(jì)一些情境，或者說用不同的切入方式、展開模式，所以這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)和教材又是不完全一樣的。有了好的教學(xué)設(shè)計(jì)以后，到實(shí)施時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多時(shí)候教學(xué)設(shè)計(jì)是比較理想的，會(huì)出現(xiàn)很多問題。我們也會(huì)看到，老師在實(shí)施的時(shí)候會(huì)反射，從他的教學(xué)行為投射出平時(shí)教學(xué)的一些問題。對(duì)我來說沖擊最大的，就是學(xué)生觀。我們教學(xué)展示到底是為了展示教案還是教學(xué)設(shè)計(jì)，抑或是學(xué)生這

4、堂課上得到的東西？他得到了什么發(fā)展？狀態(tài)是怎么樣的？他們的這種好奇心、探索精神有沒有在這些課上被激發(fā)出來？老師在上課的關(guān)注點(diǎn)是在想著教案走到哪兒了，還是學(xué)生是怎么回答這個(gè)問題的？當(dāng)學(xué)生回答的這個(gè)方式跟你預(yù)想的不一樣的，怎么去利用這些資源？其實(shí)這是一個(gè)關(guān)于教師本質(zhì)的問題：我們教學(xué)到底是為了什么？另一個(gè)問題是老師的調(diào)控能力，當(dāng)這些意外在課堂上產(chǎn)生時(shí)，怎么樣去進(jìn)行生成？有時(shí)候，這些錯(cuò)誤的資源或者節(jié)外生枝的東西，往往會(huì)給你提供更好的資源。如果抓住這些機(jī)會(huì)，老師的課會(huì)非常精彩。這兩天在這些課上，感觸非常深是反饋。老師們的反饋太簡單了，太蒼白了，太無力了。老師有時(shí)候不太會(huì)去關(guān)注學(xué)生說什么，學(xué)生回答的跟你預(yù)

5、想的不一樣，會(huì)說請(qǐng)坐。接著問其他的學(xué)生，總想得到自己預(yù)想的結(jié)果。對(duì)于學(xué)生的反饋，不對(duì)哪兒？好在哪兒？沒有這些精細(xì)的分析，往往用“你很棒”、“你很聰明”之類，其實(shí)這些反饋在現(xiàn)在的課堂上是蒼白無力的。所以我想還有很多事情等待我們?nèi)プ?，去改變。今天主要談三個(gè)話題。第一，怎么樣看待教科書？第二，怎么樣把教科書讀厚？第三，怎么樣把教課書讀??？怎么樣看待教科書？我想從一個(gè)例題的教學(xué)說起。這個(gè)例題其實(shí)是我們前不久在浙江省教研室合作的微課的一個(gè)項(xiàng)目，現(xiàn)在我們正不斷地開發(fā)數(shù)字化新的產(chǎn)品。在開發(fā)微課時(shí)會(huì)涉及兩個(gè)維度，第一個(gè)是技術(shù)方面，我們的微課呈現(xiàn)方式是什么？微課呈現(xiàn)方式我們可以不考慮，最重要的還是這些微課要設(shè)計(jì)

6、成什么樣，想要設(shè)計(jì)得精彩。有時(shí)候方式或許沒有花里胡哨，但是卻把知識(shí)的來龍去脈講得非常清楚，過程也展開得非常清楚，這很重要。個(gè)人覺得這是把微課做好的核心。再來看這道例題，當(dāng)時(shí)我在省的一個(gè)微課，因版權(quán)問題，我只是把流程展示出來，這里面和我們教科書有關(guān)的，和教科書的編寫意圖有關(guān)的，老師在理解這個(gè)教材的時(shí)候，當(dāng)然會(huì)產(chǎn)生了一些的誤差，有的時(shí)候是教材編的不夠明確，或者說教材編的不夠完善。大家看一看具體的例題：有一個(gè)孩子說，我五投三中，另外一個(gè)孩子說我六投四中，那么老師現(xiàn)在提出一個(gè)問題，他們誰投得準(zhǔn)一些？這是一個(gè)什么問題？就是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，然后進(jìn)行比較。那么有的孩子說，三除以五等于五分之三，

7、四除以六等于六分之四。另外有一種孩子說，三除以五他得到了小數(shù)的結(jié)果，到此為止，大家認(rèn)為這個(gè)問題解決了嗎？如果是解決誰投得準(zhǔn)一些，顯然已經(jīng)解決。這個(gè)時(shí)候老師又說，我們可以寫成百分?jǐn)?shù)，通過百分?jǐn)?shù)的大小比較。這樣的學(xué)過程大家應(yīng)該能明白了吧，可以通過三種方式，一種分?jǐn)?shù)，一種小數(shù)，一種百分?jǐn)?shù)。為什么我們要用百分?jǐn)?shù)？我們看看教材的問題是什么？他們兩人的命中率分別是多少？誰的命中率高？這兩個(gè)問題有什么區(qū)別？命中率指的指的是一個(gè)數(shù)占另一個(gè)數(shù)的百分之幾，所以如果要求命中率，必須把結(jié)果轉(zhuǎn)化成百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)只有在求命中率的時(shí)候才有這種需求，把教材上的問題用那樣一種方式呈現(xiàn)，百分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的需求就不存在。當(dāng)老師改造教材的

8、時(shí)候，換一種說法就會(huì)出問題。這個(gè)例題中間，知識(shí)點(diǎn)有哪些？分?jǐn)?shù)大小比較、通分、小數(shù)分?jǐn)?shù)互化、去近似值，還有百分率的理解。所以在這個(gè)問題中，新的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)：1.求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少？這是過去的一類的實(shí)際問題的解決。2.分?jǐn)?shù)、小數(shù)化為百分?jǐn)?shù)的方法。用過人教版教材的老師應(yīng)該記得，過去教小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的互化是怎么教的，它用了四個(gè)例題。第一個(gè)例題是小數(shù)化為百分?jǐn)?shù)，第二個(gè)例題是百分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，第三個(gè)例題是分?jǐn)?shù)化為百分?jǐn)?shù)，第四個(gè)例題是百分?jǐn)?shù)化為分?jǐn)?shù)。那現(xiàn)在為什么要這樣改編，我想最主要的原因是要突出轉(zhuǎn)化的必要性。過去我們的例題是直接指令性的，比如“請(qǐng)你把這個(gè)小數(shù)改寫成百分?jǐn)?shù)”。做了這樣的修訂

9、后，我們知道把分?jǐn)?shù)和小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)是實(shí)際的需要，因?yàn)轭}目最后的結(jié)果要用百分?jǐn)?shù)表示，不能用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示。那么什么情形下需要將百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)或分?jǐn)?shù)呢？最直接的應(yīng)用就是求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少。如果說五十乘上百分之五十，如果不把百分之五十寫成分?jǐn)?shù)，你是不會(huì)計(jì)算的。這個(gè)時(shí)候才有要把一個(gè)百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)或者分?jǐn)?shù)的需求。所以我們把這兩點(diǎn)知識(shí)融合起來，就是為了體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)、小數(shù)化百分?jǐn)?shù)的需求性。而在后面的一個(gè)例題里是求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少的時(shí)候，要把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)或者小數(shù)，所以背景交代清楚很重要。那么為什么在編寫教材的時(shí)候，左邊編寫的是小數(shù)化百分?jǐn)?shù)，右邊編寫的是分?jǐn)?shù)化百分?jǐn)?shù)？因?yàn)槿种槐M。先教小數(shù)，然

10、后再去解決三分之二的問題。所以就這么簡單的一道問題，由于問題提出的方式用左右編排的形式也很有講究。如果老師在這樣一道例題上理解不到位的話，可能就會(huì)在教學(xué)設(shè)計(jì)上出問題。如今是一個(gè)大數(shù)據(jù)的時(shí)代，是一個(gè)數(shù)字化的時(shí)代，是一個(gè)云計(jì)算的時(shí)代，怎么樣來看待新時(shí)代下教科書的功能？知識(shí)的來源不再像之前一樣只來源于教科書了，我們可以從手機(jī)、網(wǎng)絡(luò)及各種地方獲取?，F(xiàn)在這些孩子得到的信息容量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過我們上學(xué)的那個(gè)時(shí)候。過去我們教科書的呈現(xiàn)方式是靜態(tài)的、呆板的?？萍荚谶M(jìn)步，我們的生活方式在改變，對(duì)于孩子而言，教育也一樣。教與學(xué)的方式發(fā)生了很大的變化，我們現(xiàn)在用微課的形式、慕課的形式、翻轉(zhuǎn)課堂的模式，最近開始出現(xiàn)彈幕的形式

11、。這些方式都沖擊著我們傳統(tǒng)教育學(xué)的方式。那么我們傳統(tǒng)的教科書，它的作用和定位怎么樣去鑒定，給我們提出了很多思考的空間。我們是編紙質(zhì)教科書的，但是當(dāng)這些新技術(shù)來臨的時(shí)候，將來我們用什么樣的方式去呈現(xiàn)？那么教材到底是什么東西？數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題，基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。所以這是一個(gè)重要資源，不是唯一的資源。我們的教材也不光是教科書，還有很多其他的教學(xué)材料。我們給孩子的學(xué)習(xí)提供了一個(gè)主題、基本的線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)。我們的教材不能完全和教學(xué)過程一樣，教材是很難完全教學(xué)過程化的。在教學(xué)中，我們看到的現(xiàn)象是什么？有時(shí)候老師特別忠實(shí)于教材，這是多年

12、以來的文化影響。在過去的年代，中國人所用的教學(xué)材料甚少，只有教科書，以至于老師對(duì)教材看得特別重，教材怎么說的上課就必須怎么說，非常忠實(shí)于教材。我們看到特別忠實(shí)于教材的這種教學(xué)設(shè)計(jì)，教學(xué)往往變成了教材靜態(tài)內(nèi)容的一種分布呈現(xiàn)。我們要從“教教材”到“用教材教”，這句話大家耳熟能詳，是不是真正的實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換了呢？我們是不是真的在用教材教了呢？我們有沒有建立起一個(gè)特別好的教材觀？這才是一個(gè)基本的載體、基本的素材，在研究調(diào)查時(shí)要研究顯性的材料背后的一些東西，包括它所蘊(yùn)含的這些數(shù)學(xué)思想方法和知識(shí)點(diǎn)的建構(gòu)。大家回憶一下剛才那道例題，就這么呈現(xiàn)出來的，就是求命中率，大家有沒有體會(huì)到為什么要用命中率引入。所以理解這個(gè)

13、教材不要再像過去那樣“教教材”而是“用教材去教”。能在教材的基礎(chǔ)上有所發(fā)揮，并規(guī)避教材中一些不太合適的地方，讓它創(chuàng)造得更好。這樣完美的轉(zhuǎn)化我們是不是實(shí)現(xiàn)了？今天聽完課以后，我們有很多感概?！半u兔同籠”問題，這個(gè)內(nèi)容原來是放在六年級(jí)的，現(xiàn)在提到了四年級(jí)。首先要想為什么要叫“雞兔同籠”問題？“雞兔同籠”問題是干什么的？我們可以看整個(gè)教材的呈現(xiàn)過程。首先呈現(xiàn)了古代經(jīng)典孫子算經(jīng)上面的一個(gè)雞兔同籠問題，這是一個(gè)比較復(fù)雜的35個(gè)頭，94只腳的問題。學(xué)生在解決的時(shí)候，老師讓學(xué)生猜測可能有幾只雞幾只兔子，有的孩子猜12只雞，23只兔子。這個(gè)時(shí)候老師就停止了，為什么不讓學(xué)生繼續(xù)猜？算一算有多少只腳呢？為什么要在

14、這個(gè)時(shí)候停止？大家都去猜，就會(huì)有各種猜法。這個(gè)問題很復(fù)雜，我們來解決一個(gè)更簡單的問題。教材是有這樣一種思路，就是遇到一個(gè)難的問題時(shí)要化繁為簡，來解決一個(gè)相對(duì)簡單的問題。在解決8個(gè)頭26只腳這樣一個(gè)簡單問題的時(shí)候，怎么樣發(fā)現(xiàn)雞和兔的只數(shù)，這個(gè)時(shí)候其實(shí)還是猜。有的猜是6只雞、2只兔子，有的猜是3只雞、5只兔子。可以讓孩子去經(jīng)歷這樣一個(gè)過程，但是今天這堂課所有的過程都是老師帶著孩子。我們?cè)趺礃硬恢夭宦┑匕阉锌赡苄粤谐鰜?？其?shí)無論做教學(xué)設(shè)計(jì)，還是做數(shù)學(xué)知識(shí)都是一樣的，但如果把這個(gè)過程交給孩子完成，孩子會(huì)得到各種各樣精彩的結(jié)論。他們會(huì)逐漸地從一些沒有規(guī)律的想、無序的思考，慢慢地過渡到有序的思考。一旦這

15、個(gè)過程由老師包辦代替，整個(gè)孩子的這種狀態(tài)便不會(huì)激發(fā)出來。所以同樣的內(nèi)容，我們都是從經(jīng)典的問題到簡單的問題，總體的教學(xué)設(shè)計(jì)的流程是一樣的，但是由于在設(shè)計(jì)的時(shí)候，有些結(jié)論性的話是老師說的，還是學(xué)生說的？這就變成了完全不同的實(shí)施了。我想課堂的精彩程度效果以及一個(gè)孩子在其中得到的了什么，這是很重要的。如果孩子只是跟著老師走，那么他下次見到這些問題時(shí)還是不會(huì)。所以我們就是要讓孩子在猜的過程中去發(fā)現(xiàn)，當(dāng)雞的只數(shù)減少，兔子的只數(shù)增加時(shí)，每把一只雞換成一只兔子，腳就增加了兩只。當(dāng)發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律以后，再去探索方法，一切就水到渠成了。三方面，課標(biāo)，教材，還有課堂教學(xué)。教材是根據(jù)課標(biāo)的這種思想編寫的，課堂教學(xué)一方面是

16、參考教材，更多的是在課標(biāo)的理念下去實(shí)施，課標(biāo)作出修改，教材就要作出修改，這三方面互相形成作用。不管它怎么影響，我想到三個(gè)方面。第一，社會(huì)的需要。社會(huì)需要孩子掌握什么東西？第二，數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。我們要讓孩子了解數(shù)學(xué)的什么？第三，兒童的認(rèn)知，尤其是小學(xué)，我們?cè)诎才鸥鞑糠謨?nèi)容的時(shí)候，要符合兒童心理發(fā)展的階段。不管課標(biāo)，教材，還是課堂教學(xué)，這三方面都是必須要考慮的。我想最后的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)就是看孩子，不是看老師在課上表演得多好，而是看孩子在課上的精神狀態(tài)。我們經(jīng)常會(huì)看到一些什么課？孩子一開始特別興奮，尤其在暖場的時(shí)候，可是上著上著，孩子的這種狀態(tài)降下來。大家都聽過很多課，很多課把孩子本來有一點(diǎn)清晰的概念教糊涂了

17、?！耙詫W(xué)定教”其實(shí)很簡單，關(guān)鍵看孩子的狀態(tài)，先不說孩子獲得了多少，只看他的這種態(tài)度情感、探究的欲望、興趣有沒有提高。這其實(shí)是一個(gè)很重要的指標(biāo)。老師在教學(xué)時(shí)有一個(gè)好的教材觀，是非常重要的。第二，怎么要把教科書讀厚？我們中國的教科書有多厚？我特意找了到一套美國教科書。我們兩套教材加起來，跟它一樣高，當(dāng)然也有紙張的問題。我們的教科書的確不厚，但其中承載的東西很多。實(shí)際上在評(píng)價(jià)中國教育時(shí)都覺得我們中國的數(shù)學(xué)內(nèi)容多，這種情況下我們?cè)鯓影盐覀兊慕炭茣x厚，把它里面的東西充分挖掘出來？第一點(diǎn)就是怎么樣充分利用教材所提供的素材。舉幾個(gè)簡單的例子，比大小的時(shí)候出現(xiàn)了一個(gè)主題圖，3只猴子在吃水果，里面有一些桃、梨

18、、香蕉。教材上就把3只猴子和桃建立一對(duì)一關(guān)系，和香蕉也建立這樣的關(guān)系，然后引出同樣多，多些少些。有的老師因?yàn)榻滩氖沁@么編的，照搬不誤。實(shí)際上這些素材中，還有很多可以用的素材，比如桃和香蕉的比較、桃和梨的比較、香蕉和梨的比較，當(dāng)然也有很多老師會(huì)做這樣的挖掘。第二點(diǎn)就是要從理解性的角度去理解知識(shí)定位，加強(qiáng)橫縱聯(lián)系。任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都不是孤立的，尤其在我們小學(xué)數(shù)學(xué)中，有些看似很簡單的知識(shí)點(diǎn)，實(shí)際上它都是跟各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間有網(wǎng)絡(luò)狀的千絲萬縷的聯(lián)系。舉一個(gè)簡單的例子，分解質(zhì)因數(shù)?，F(xiàn)在在教材中不作為正式的教材內(nèi)容，我們向課標(biāo)的專家提出，希望能把分解質(zhì)因數(shù)作為正式的教學(xué)內(nèi)容。理由其實(shí)是因?yàn)榍案拍詈秃蟾拍钪g的相

19、互聯(lián)系性。我們小學(xué)相關(guān)的知識(shí)怎么和分解質(zhì)因數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系。大家都知道，我們?cè)诮桃驍?shù)和倍數(shù)單元的時(shí)候，首先教的是2、5、3倍數(shù)的特征。那么大家有沒有想過，為什么要教2、5、3倍數(shù)的特征？只是為了了解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)嗎？過去實(shí)際上是為了分解質(zhì)因數(shù)時(shí)能夠比較快地分解。質(zhì)數(shù)和合數(shù)在課標(biāo)里是有的，什么是質(zhì)數(shù)？什么是合數(shù)？了解這些有什么用？互質(zhì)和質(zhì)數(shù)沒有關(guān)系。有了質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念以后，才有分解質(zhì)因數(shù)的概念。要把一個(gè)合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的積，這時(shí)候才會(huì)用到基數(shù)和。還有一些細(xì)節(jié)，比如我們?cè)谥v分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的時(shí)候，在這些題目里面有一個(gè)要求“能夠化成有限小數(shù)的化成有限小數(shù)，不能化成有限小數(shù)的保留兩位小數(shù)”。怎么判斷能不能

20、化成有限小數(shù)呢？過去有一條的規(guī)則“這個(gè)數(shù)里面除了2、5以外，沒有其他的質(zhì)因數(shù)，就是可以化成有限小數(shù)的。如果還有其他的質(zhì)因數(shù)，是不能化成有限小數(shù)的”。現(xiàn)在沒有分解質(zhì)因數(shù)，這一條就不存在，沒法判斷。所以只是一個(gè)題目的要求，由于缺少了分解質(zhì)因數(shù)這樣一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，就沒有辦法去操作。更不用說分解質(zhì)因數(shù)的思想、方法，以及將來到中學(xué)后要學(xué)的因式分解。不會(huì)因式分解就不會(huì)解高次方程，不會(huì)進(jìn)行分式的運(yùn)算。所以小學(xué)的知識(shí)不只是和小學(xué)的相關(guān)知識(shí)有聯(lián)系，還和中學(xué)的一些思想、方法，建立起這樣的聯(lián)系。有時(shí)候你發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)忽略后，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)鏈條就斷掉了，所以我想我們?cè)诶斫庖粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候要瞻前顧后、左顧右盼，不只要理解在同

21、一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，還有不同領(lǐng)域里頭的。比如數(shù)與計(jì)算的領(lǐng)域里面，前面要有怎么樣的鋪墊，建立什么樣的基礎(chǔ)，后面為什么內(nèi)容做準(zhǔn)備。知識(shí)要理清楚，還有左右關(guān)系。最簡單的例子，扇形統(tǒng)計(jì)圖。首先要知道扇形。扇形是什么內(nèi)容？扇形是幾何的內(nèi)容，圖形與幾何的內(nèi)容。要知道百分?jǐn)?shù)，我們?cè)谡J(rèn)識(shí)扇形統(tǒng)計(jì)圖的時(shí)候，經(jīng)常用百分?jǐn)?shù)解決實(shí)際問題。百分?jǐn)?shù)是什么內(nèi)容？數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容。所以在扇形統(tǒng)計(jì)圖這樣簡單的內(nèi)容里，其實(shí)包含了數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率統(tǒng)計(jì)，這三方面內(nèi)容。再舉一個(gè)例子，有余數(shù)除法。在二年級(jí)下冊(cè)開始學(xué)習(xí)有余數(shù)除法。為什么要學(xué)習(xí)有余數(shù)除法。很多老師回答不上來。這是1924年的民國教材，民國教材從一開始引入除法的時(shí)候，就用分

22、數(shù)來表示。當(dāng)數(shù)據(jù)變大，口算能力不夠，要進(jìn)行筆算的時(shí)候，195除以3是整除。但在除的過程中我們先用190÷3，得到的就是18余1，這就是有余數(shù)除法。當(dāng)我們要大數(shù)據(jù)計(jì)算的時(shí)候，中間過程必須要有余數(shù)除法。所以我以前編教材的時(shí)候，一直在迷惑這個(gè)問題，為什么前面要用余數(shù)除法，后面就用小數(shù)來表示了？因?yàn)闆]有學(xué)有余數(shù)除法，這個(gè)問題是解決不了的。那么在這個(gè)問題中，在進(jìn)行除數(shù)是一位數(shù)的除法時(shí)，涉及到什么知識(shí)？表內(nèi)的乘除法及兩位數(shù)的加減法。如果編教材的時(shí)候把這兩個(gè)內(nèi)容順序變化了，那就麻煩了，所以搭建教材結(jié)構(gòu)的時(shí)候，特別容易出現(xiàn)漏洞。有時(shí)候漏掉一個(gè)，后面全都沒用了。再看除數(shù)是兩位數(shù)的時(shí)候，同樣是有余數(shù)除法

23、。大家都知道兩位數(shù)乘除一位數(shù)的口算，課標(biāo)從第二學(xué)段移到了第一學(xué)段，就是因?yàn)檫@樣一種情況。13乘5這樣的計(jì)算在我們的除法過程中，這是筆算除法，但是里面有口算乘法。因此這些內(nèi)容在相關(guān)的地方要有鋪墊。有余數(shù)除法和整除有本質(zhì)的區(qū)別嗎？有的老師說我們有兩種除法，一種是整除，一種是有余數(shù)除法。怎么樣去理解余數(shù)的概念？余數(shù)能不能是零？老師們覺得余數(shù)可以為零嗎？可以！可以比除數(shù)大嗎？余數(shù)其實(shí)是可以比除數(shù)大的，只不過在大的時(shí)候，還要再繼續(xù)除?，F(xiàn)在我們理解的余數(shù)就是那個(gè)最終不能再被除的余下來的數(shù)。但實(shí)際上，我覺得我們應(yīng)該用一種更一般的角度去理解余數(shù)，就是剩下來的數(shù)。我們不要特別絕對(duì)化，包括問能不能是零。我覺得像這

24、樣的問題反映了大家在學(xué)術(shù)上特別較勁，其實(shí)是沒有多大意義的。要理解余數(shù)的真正意義是什么。除法的本質(zhì)就是分。怎么分？要平均分，平均分才可以用除法。那么分的結(jié)果會(huì)怎么樣？有的時(shí)候分完了，余數(shù)是0了，這就是整除。有余數(shù)除法和整除是完全沒有沖突的概念。那么怎么樣去處理好教學(xué)的層次？我們?cè)诮滩纳暇帉懥怂膫€(gè)例題。老師們有沒有理解為什么要編四個(gè)例題？每一個(gè)例題他的教學(xué)要點(diǎn)是什么？第一個(gè)例題就是剛才我講的。我們突出除法的本質(zhì)，除法的本質(zhì)就是平均分。最終的余數(shù)為什么要比除數(shù)??？這不是規(guī)定，是歸納。那么例3要從分到算。例2用小棒擺正方形。為什么商要大于1，余數(shù)要大于0。當(dāng)這個(gè)數(shù)越來越大的時(shí)候，每次都是畫圖去圈，顯然

25、不是好方法。豎式計(jì)算其實(shí)就很簡單，口算不夠就要用筆算。有的是用短除的方式，各種各樣。于是在列豎式里，就出現(xiàn)了一個(gè)新的數(shù)。我們是先出現(xiàn)有余數(shù)除法的豎式，然后再出現(xiàn)整除的豎式，這個(gè)過程跟過去不太一樣。所以從這點(diǎn)上也可以看出，有余數(shù)除法才具有一般性，而余數(shù)是0的是有余數(shù)除法的特殊性。最后例4才是從算理慢慢過渡到算法，為什么可以這樣去算，怎么樣去算，這就是算法總結(jié)的道理。這樣的四道例題的層次就很清晰。我想理解教材應(yīng)該從前后知識(shí)的關(guān)系去理解?；旌线\(yùn)算和運(yùn)算定律天天在用，為什么在學(xué)完了10以內(nèi)加減法后安排連加、連減、加減混合的學(xué)習(xí)？我們?cè)谧鲞M(jìn)位加的時(shí)候就是在做連加，在做退位減的時(shí)候就是在做連減。所以一年級(jí)

26、上冊(cè)的時(shí)候，連加、連減、加減混合主要的目的是為這做鋪墊的，不一定是從算法上做鋪墊，而是從思路上。課標(biāo)里寫得非常詳細(xì)，第一學(xué)段和第二學(xué)段中關(guān)于混合運(yùn)算有什么樣的要求。為什么在小學(xué)階段要學(xué)習(xí)混合運(yùn)算？價(jià)值何在？混合運(yùn)算只是為了解決實(shí)際問題嗎？大部分老師認(rèn)為是為了列綜合算式解決實(shí)際問題；有的老師想到了更復(fù)雜的問題，如當(dāng)學(xué)生算不出來能列方程時(shí)是不是只能列出一個(gè)混合運(yùn)算的方程；有的老師說為了思維的完整性，當(dāng)我們用綜合算式來想問題時(shí)，思維要高度抽象，更加完整，這些都是理由。那我們要追問，是不是我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問題的時(shí)候，就不再要求列綜合算式了呢？如果不要求的話，將來孩子遇到實(shí)際問題時(shí)，列綜合算式的能力會(huì)大大

27、下降。舉個(gè)例子：蘋果每千克7.8元，梨每千克6元，媽媽買了4千克蘋果和4千克梨，一共花了多少錢？列式有不同的方法，題目里隱含了運(yùn)算定律、乘法分配律。解決這樣一個(gè)問題，我們可以不列綜合算式，可以分步解決。說到方程，如果是這樣一類題目：蘋果每千克7.8元，梨每千克6元。媽媽買了6千克蘋果，還買了一些梨，一共花了70.8元。媽媽買了多少梨？這個(gè)時(shí)候列方程。這個(gè)方程是不是要用綜合方式？沒有必須。我們可以這樣分步算，列一個(gè)最簡單的方程。所以運(yùn)算、混合運(yùn)算、運(yùn)算定律，我們從名詞上就可以看到，都是為運(yùn)算服務(wù)的。那么運(yùn)算不只是小學(xué)的事情，小學(xué)更多的是算術(shù)，到了中學(xué)以后，如果我們都用字母表示，這個(gè)時(shí)候還能分步嗎

28、？不能分步了。因?yàn)樗悴怀鰜恚赃@個(gè)時(shí)候就需要用這種綜合的方法來呈現(xiàn)。 作者：丁國忠（人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室編輯，副編審）· 先把教科書讀厚，再把教科書讀薄例談基于教科研讀的教學(xué)設(shè)計(jì)（二） 通過這種通分的方法，像上面那種就是分步計(jì)算的方法，如果你列成下面這種方式，那它其實(shí)就是綜合算式。如果說是a/12和b/15相加，只能列成這樣一個(gè)綜合算式，這樣的情況我們?cè)谕ǚ值臅r(shí)候需要加上小括號(hào)。那為什么要加上小括號(hào)呢？就是為了要保證先算a+b，為了保證先算的層次，如果是這樣一種情況，又涉及到了運(yùn)算定律，提公因式其實(shí)就是運(yùn)算定律乘法分配律的應(yīng)用。所以我們?cè)诜质竭\(yùn)算的時(shí)候會(huì)大量

29、地用到字母運(yùn)算，如果你在小學(xué)，對(duì)這種先算什么后算什么搞不清楚的話，將來到中學(xué)的分式運(yùn)算一定會(huì)跌跟斗。所以我想，這個(gè)混合運(yùn)算的主要目的不是為了解決實(shí)際問題，但是它對(duì)于將來中學(xué)的學(xué)習(xí)有這么重要的作用，所以我們?cè)谛W(xué)時(shí)一定要讓孩子學(xué)會(huì)用一個(gè)綜合算式的方法，一個(gè)正確的綜合算式把你解決問題的多個(gè)步驟同時(shí)表示出來。在一個(gè)混合算式中間，先算什么再算什么，和你解決問題的時(shí)候先求什么再求什么統(tǒng)一起來，所以這是非常重要的。第三點(diǎn)，把書讀厚的想法，盡量去挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想。實(shí)際上我看小學(xué)數(shù)學(xué)很多地方到處都充滿了數(shù)學(xué)思想，而且這種數(shù)學(xué)思想不是孤立的，往往是融合在一起的。比如六年級(jí)下冊(cè)的例題，關(guān)于數(shù)學(xué)思考方面的

30、整理和復(fù)習(xí)。6個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段？8個(gè)點(diǎn)呢？孩子在解決問題的時(shí)候，就畫6個(gè)點(diǎn)、8個(gè)點(diǎn)，然后一片混亂。我們先不解決這個(gè)問題，先看看這個(gè)問題有沒有碰到過，在前面學(xué)排列組合的時(shí)候就碰到過這樣的問題?！?個(gè)隊(duì)踢球，每兩個(gè)隊(duì)踢一場，一共要踢多少場？”我們可以用這種方法（PPT呈現(xiàn)），實(shí)際上右邊這種方法是更加有序的一種方式，而左邊的方法如果對(duì)它進(jìn)行抽象化、數(shù)學(xué)化，我們往往不是從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)畫兩三條線段，而是每兩個(gè)點(diǎn)之間先連起來，最后看看哪兩個(gè)點(diǎn)之間還沒有連，再連起來。這兩種模型實(shí)際上孩子的思路，不太一樣，如果要保證不重不漏應(yīng)該是右邊的更加一般化的方法。前不久在微信上看到的一篇文章里面的一個(gè)圖（PPT呈現(xiàn)）

31、，25個(gè)點(diǎn)之間互相連接，圖形很美，80個(gè)點(diǎn)連出來更美。那么這里面到底有多少條線呢？用你們的模型解釋一下為什么是這么多。80個(gè)點(diǎn)之間可以連多少條線段？怎么解決這個(gè)問題？其實(shí)這個(gè)方法，不管點(diǎn)是在圓上均勻的還是隨意散亂的，都跟解決這個(gè)問題是沒有關(guān)系。當(dāng)你在解決6個(gè)點(diǎn)、8個(gè)點(diǎn)的時(shí)候，覺得太亂數(shù)不過來怎么辦？我們從簡單的出發(fā)，就是化繁為簡。最簡單的方法就是從兩個(gè)點(diǎn)開始，逐漸增加點(diǎn)數(shù)，隨著點(diǎn)的增加，它的條數(shù)有什么變化呢？我們的教學(xué)過程，其實(shí)跟我做的PPT一樣，把這個(gè)過程展現(xiàn)出來。從第一個(gè)數(shù)到第二個(gè)數(shù)，從第二個(gè)數(shù)到第三個(gè)數(shù)、第四個(gè)數(shù)，有這樣的一個(gè)變化，那我為什么要加2、加3、加4？這只是從現(xiàn)象上看到這樣一個(gè)

32、數(shù)的變化規(guī)律。為什么加2？我記得教材上是用虛線的方式來呈現(xiàn)的，每增加的那個(gè)點(diǎn)的前面的所有各點(diǎn)要連起來，那么這是多少條呢？如果是N個(gè)點(diǎn)，就是N-1條，從這種特殊的事例得到一般化的一個(gè)公式，所以如果是80個(gè)點(diǎn)的話，應(yīng)該是從1加到79，那這個(gè)數(shù)到底是多少，我們不要求孩子用一個(gè)公式計(jì)算。如果是N個(gè)點(diǎn)就是N-1，那么N-1個(gè)數(shù)的連續(xù)自然數(shù)相加是（n-1）* n/2。這個(gè)公式還可以怎么解釋？有一次培訓(xùn)，我問老師有多少個(gè)點(diǎn)，有的老師就回答（n-1）* n。為什么？減一個(gè)點(diǎn)，連接的線段會(huì)有會(huì)重復(fù)，所以要除以2。（n-1）* n/2 不是n-1的連續(xù)自然數(shù)之和公式的推導(dǎo)，而是另外一種解釋的模型，所以這

33、里有數(shù)形結(jié)合，有推理。我們從若干具體的規(guī)律得到一般性的規(guī)律，然后再去解決，那就是一般性的規(guī)律應(yīng)用到具體的情景，因此這里也有歸納推理，有演繹推理。再來看另外一個(gè)問題，從北京到杭州坐高鐵，這趟列車七個(gè)站，所有車站一共要賣多少種不同的車票？看起來跟前面這些問題都沒有關(guān)系，剛才我們解決的是排列組合問題，這是一個(gè)賣車票問題，看上去沒有關(guān)系，實(shí)際上模型就是這個(gè)模型，只不過把線變成了雙方向的線。這就是數(shù)學(xué)的模型的思想。  第四個(gè)方面，就是關(guān)注過程性，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。我們的教學(xué)，一定是動(dòng)態(tài)生成的，關(guān)注孩子的數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面的變化的過程，所以我們現(xiàn)在非常強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生去積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。那

34、怎么樣積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？不是說設(shè)計(jì)一個(gè)活動(dòng)，今天就要培養(yǎng)這些經(jīng)驗(yàn)，而是通過各種細(xì)節(jié)的地方，一點(diǎn)一點(diǎn)地試圖滲透。比如我們教“圓”時(shí)，就是利用圓來創(chuàng)造、設(shè)計(jì)美麗的圖案。很多老師就覺得用圓可以創(chuàng)造出很多漂亮的圖案，只是美觀。從這樣一個(gè)角度去認(rèn)識(shí)這個(gè)內(nèi)容，實(shí)際上是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。我們應(yīng)該去挖掘，在這樣一個(gè)設(shè)計(jì)圖案的過程中有關(guān)數(shù)學(xué)的東西，大家都知道現(xiàn)在關(guān)于圓的特性增加了一條，就是圓心決定圓的位置、圓的半徑?jīng)Q定圓的大小這兩種特性。這兩種特性在哪里用呢？平時(shí)在我們的教學(xué)中好像不太容易使用。我們要了解這個(gè)圖案是怎樣形成的，而不是給出一個(gè)最終的結(jié)果。在這個(gè)過程中，讓學(xué)生深刻體會(huì)圓心決定圓的位置、半徑?jīng)Q定圓的大

35、小這一特性。怎么樣畫出這個(gè)圖案？首先要想到這個(gè)圖案是怎么組成的，分哪些部分。所以當(dāng)你面對(duì)結(jié)果性的東西時(shí)，第一步就是要去分解，是由一個(gè)圓，有四個(gè)這樣的半圓。分解完之后，這四個(gè)半圓畫的時(shí)候要找圓心、半徑。半徑是多少，我們就看這個(gè)半圓，它是由這樣的四條直徑?jīng)Q定的，那么這四條直徑怎么來的？圓通過兩條互相垂直的直徑，得到這樣四個(gè)點(diǎn)，所以我們整個(gè)過程是回溯，不是一開始就能畫的。有了這樣一個(gè)分解過程，我們?cè)偃ギ嬤@個(gè)圖的時(shí)候思路就清晰了。先畫一個(gè)圓，然后再畫一條垂直的直徑，找到了四個(gè)點(diǎn)，把這四個(gè)點(diǎn)連接起來，所以這一定不僅僅是美的過程，更多的是去體會(huì)數(shù)學(xué)的這些東西。同樣的教材可以用不同的方式去呈現(xiàn)這個(gè)過程。比如

36、說我們可以從數(shù)出發(fā)，從數(shù)數(shù)出發(fā)有不同的方法，第一種完全按教材，先出現(xiàn)這樣三個(gè)算式1=(1)2 ，1+3=（2）2，1+3+5=（3）2，這些學(xué)生都能算。那么上面的算式有什么規(guī)律？學(xué)生能不能說出來，左邊是1開始的連續(xù)奇數(shù)之和，右邊是一個(gè)數(shù)的平方。這個(gè)規(guī)律是比較容易發(fā)現(xiàn)的，然后按照規(guī)律填出接下來的數(shù)。這節(jié)課五分鐘可能就上完了，學(xué)生對(duì)這個(gè)規(guī)律的掌握也沒有問題。可以這樣，不出算式，直接出一個(gè)數(shù)列：1、4、9、（ ）、（ ）接下來是什么數(shù)呢？學(xué)生就會(huì)想到1是1的平方，4是2的平方，9是3的平方。還有學(xué)生從數(shù)與數(shù)的之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)1+3=4，4+5=9，后面一個(gè)數(shù)是前面一個(gè)數(shù)加上每相鄰兩個(gè)數(shù)之間的

37、差。同樣一列數(shù)，可以從不同的角度去看。那么形的作用到底是什么？在上一題的基礎(chǔ)上，如果設(shè)計(jì)成1、4、9、16、（ ）、（ ）這樣的數(shù)字，那么可以表示成一個(gè)數(shù)的平方，這樣的數(shù)叫正方形數(shù)。為什么叫正方形數(shù)呢？因?yàn)檫@些數(shù)量的物體可以排列成一個(gè)正方形。你們可以用正方形和圓片擺出這樣的數(shù)，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，“你能在正方形中發(fā)現(xiàn)上面敘述的式子嗎？”這個(gè)時(shí)候2的平方是怎么解讀的，1+3是怎么解讀的，1+3+5是怎么解讀的。從不同的角度去解讀這個(gè)形，所以形在這里的作用非常直觀，也給學(xué)生留下了深刻的印象?？赡苓^了一段時(shí)間會(huì)忘記這個(gè)算式，但是這個(gè)形可能在他的頭腦里。每次想到一個(gè)正方形數(shù)時(shí)，就想到了正方形，然后根據(jù)頭腦中

38、的正方形去寫出那些算式。如果利用圓片擺，我們可以看到的效果和正方形是完全一樣的。同樣的，16個(gè)圓片，可以用不同的角度去解讀，可以1、3、5、7，也可以4個(gè)、4個(gè)，還可以是連續(xù)自然數(shù)1+2+3+4+3+2+1，這是超越了教材，我們不要去死摳著教材，可以創(chuàng)造性地在教材的基礎(chǔ)上發(fā)展。同樣一個(gè)模型我們可以從不同的角度去解讀，得到不同的算式。這些都是從數(shù)出發(fā)，那么還可以從形出發(fā)。先出形，給出一個(gè)正方形，接下來要問一個(gè)問題，“要想拼一個(gè)更大的正方形，至少還要多少個(gè)正方形？”需要三個(gè)。拼一個(gè)更大的正方形呢？再增加五個(gè)。能發(fā)現(xiàn)圖形中間隱藏著的數(shù)的規(guī)律嗎？拼出來的總數(shù)是多少？讓孩子自發(fā)地去尋找圖中間隱藏的算式。

39、這是相同教材的內(nèi)容，可以設(shè)計(jì)得很單薄，也可以很豐厚，不同的教學(xué)設(shè)計(jì)反映了不同的設(shè)計(jì)能力。再舉一個(gè)例子，一年級(jí)下學(xué)期有這樣一個(gè)活動(dòng)，前不久小學(xué)數(shù)學(xué)教育也正好刊登了這篇文章。一個(gè)簡單的活動(dòng)，它包含了豐富的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法以及培養(yǎng)孩子數(shù)學(xué)技能方面的東西，能不能挖掘出來，就體現(xiàn)于老師在利用這樣一種知識(shí)時(shí)教科書讀得厚不厚?；顒?dòng)就是讓孩子在數(shù)位表上擺珠子，看看擺出來的是哪些數(shù)。先讓孩子動(dòng)手?jǐn)[，擺的過程當(dāng)中思考如何做到不重復(fù)、不遺漏，培養(yǎng)有序思考的能力。然后慢慢從擺過渡到不擺，這就是一個(gè)抽象的過程。如果不擺，能不能寫出某個(gè)數(shù)量的珠子能擺出的數(shù)，實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象的過程？實(shí)際上，這個(gè)時(shí)候你已經(jīng)在應(yīng)用這些規(guī)律。

40、珠子的變化擺出的數(shù)有什么變化，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律。老師把孩子寫的過程一步一步寫下來，孩子會(huì)發(fā)現(xiàn)橫向的、縱向的、斜向的都是有一些數(shù)的規(guī)律，一直到九個(gè)數(shù)。我們的教材就到九個(gè)數(shù)，但是我覺得真正有意思的還在后面。所以我建議老師在上課的時(shí)候再往后延伸一點(diǎn)，實(shí)際上從一到九擺出的數(shù)字有什么規(guī)律，規(guī)律已經(jīng)很明顯了，到此為止還是繼續(xù)深入？我覺得還可以再往下深入，11顆珠子呢？12顆珠子呢？我在培訓(xùn)的時(shí)候經(jīng)常問老師，11顆珠子12個(gè)數(shù)，12顆珠子13個(gè)數(shù)，這很正常！因?yàn)榍懊嫖覀兛偨Y(jié)了這樣的規(guī)律，那么我們寫一寫看12顆珠子可以擺出哪13個(gè)數(shù)字？這才發(fā)現(xiàn)寫不出13個(gè)數(shù)字，為什么？有的老師說十個(gè)要進(jìn)位了，在這樣一個(gè)簡單活動(dòng)

41、讓孩子體會(huì)了十進(jìn)制甚至一般進(jìn)制的實(shí)質(zhì)。十進(jìn)制是滿十進(jìn)位，六進(jìn)制就是滿六進(jìn)位，這就是一般進(jìn)制的實(shí)質(zhì)。隨著數(shù)越來越多，到最后18顆只能擺出一個(gè)數(shù)。大家看一看這是一個(gè)什么圖形？是平行四邊形嗎？上面缺了一個(gè)角，這就是美中不足。那這個(gè)角能不能補(bǔ)上呢？這個(gè)角我們是去擺的嗎？連我們不用擺，也不會(huì)去想到擺，但是當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)地方缺一個(gè)角時(shí)我們一定想去補(bǔ)完整，這是為什么？因?yàn)閿?shù)學(xué)是完美的，讓學(xué)生去體會(huì)數(shù)學(xué)這種美，那么如果我們把每一列數(shù)往上一推，就是我們小學(xué)所學(xué)的百數(shù)表。在這個(gè)百數(shù)表上面，哪些是一顆擺出來的，兩顆擺出來的，清清楚楚。用這樣簡單的活動(dòng)展示數(shù)學(xué)豐厚的組成，包含了多維度教學(xué)目標(biāo)的有機(jī)整合。一顆同樣的珠子

42、放在不同的數(shù)位為代表的大小數(shù)是不一樣的，進(jìn)位制的體會(huì)，用這樣的一種方式去呈現(xiàn)的話，孩子對(duì)進(jìn)位的實(shí)質(zhì)應(yīng)該會(huì)更加深刻。數(shù)學(xué)思考方面有序思考，發(fā)現(xiàn)模式，進(jìn)行抽象，問題解決方面，讓孩子聽一個(gè)無序到有序的過程、動(dòng)手到動(dòng)腦的過程、猜想和驗(yàn)證的過程，這些在活動(dòng)過程中都應(yīng)有機(jī)結(jié)合。我們的情感態(tài)度一定要滲透在活動(dòng)中，決定著孩子在上課過程中越來越蔫頭耷耳還是越來越覺得數(shù)學(xué)真有意思。如果能激發(fā)起孩子學(xué)習(xí)的興趣態(tài)度、探究的欲望，我覺得這是數(shù)學(xué)教育最大的成功。第五個(gè)方面，把書讀厚，就是適度延展。比如說我們用量角器量角的時(shí)候，有時(shí)看的是里面的刻度，有時(shí)又要看外面的刻度。那孩子怎么知道什么時(shí)候看里面，什么時(shí)候看外面呢？量角

43、器為什么要有兩圈刻度，因?yàn)榻怯胁煌姆较?。我去找量角器的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，有各種各樣的量角器。低年級(jí)認(rèn)識(shí)鐘面時(shí)，鐘面為什么要設(shè)計(jì)成12個(gè)大格而不是24個(gè)大格，這其實(shí)是公倍數(shù)的問題。再比如怎么延展三角形內(nèi)角和是180度的問題，其中設(shè)計(jì)的一個(gè)環(huán)節(jié)是先出一個(gè)長方形，然后把這個(gè)長方形分成兩半，得到一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180度，其實(shí)這是一個(gè)循環(huán)論證。你怎么知道兩個(gè)直角三角形拼在一塊的時(shí)候就是180度呢，其實(shí)是你已經(jīng)默認(rèn)了這個(gè)，所以在教材上是沒有這種方法的，不是沒編寫上去，而是它在邏輯上有問題。我們的教材都是從實(shí)驗(yàn)的方式來論證的。讓孩子探索四邊形、六邊形的內(nèi)角和，及對(duì)鄰角相等這些內(nèi)容，不是說直接得到四邊形內(nèi)角

44、和是多少度、五邊形內(nèi)角和是多少度、對(duì)頂角相等，而是要知道老師想傳達(dá)的是什么，是一個(gè)邏輯推理的思維問題。比如說要證明角1等于角3，可以有不同的方法去證明，讓孩子說出他自己的理由。有時(shí)候是利用等式的傳遞性，有時(shí)候是利用等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)減去同一個(gè)數(shù)，等式保持。從不同的角度去證明，你可以利用角1、角2、角3的關(guān)系去證明，也可以利用角1、角4、角3的關(guān)系去證明。有這么一道題“三角形的內(nèi)角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”，這個(gè)結(jié)論本身在小學(xué)是不作要求的，我們只是想讓孩子通過邏輯推理得到一個(gè)結(jié)論，在這個(gè)基礎(chǔ)上我們可以進(jìn)一步延展。我們教材上有這樣一個(gè)問題問題：“利用三顆珠子尋求移動(dòng)的方法，一次只能一個(gè)，一次

45、只能移動(dòng)一顆，不能把大的落到小的上面”。學(xué)生通過七個(gè)步驟，將珠子從一移到了三的位置。第二個(gè)環(huán)節(jié)就是增加一顆珠子，大家都知道，從三顆增加到四顆，雖然說只增加了一顆珠子，但是挪動(dòng)的情形變得非常復(fù)雜了。學(xué)生如果能想出來，那最好讓學(xué)生來展示；如果真的挪不出來，老師可以帶著學(xué)生來試一下，最后用了十五次把它挪出來。這個(gè)時(shí)候只出現(xiàn)了兩種數(shù)據(jù)，能看出這個(gè)模式嗎？不太容易看出來。研究復(fù)雜問題的時(shí)候要從最簡單的問題研究起，猜想珠子顆數(shù)與移動(dòng)次數(shù)之間的關(guān)系。發(fā)現(xiàn)規(guī)律的時(shí)候，不同的孩子發(fā)現(xiàn)的角度是完全不一樣的，有的孩子從1、3、7、15發(fā)現(xiàn)，是1、4、8、16，就是2n-1；有的從數(shù)與數(shù)的關(guān)系，從1到3，就是1*2+

46、1=3，3到7就是3*2+1=7，7到15就是7*2+1=15，每一次都是前面數(shù)的兩倍加上一就得到后面那個(gè)數(shù)；還有的孩子從數(shù)與數(shù)之間的差，1到3之間是2，3到7之間是4，7到15之間是8。孩子發(fā)現(xiàn)了不同的規(guī)律，這些規(guī)律實(shí)際上在小學(xué)階段是不完全歸納，這就是一個(gè)歸納推理的思想，從特殊的數(shù)去形成一個(gè)一般性的猜想、一個(gè)規(guī)律。有了這個(gè)規(guī)律，64片怎么做呢？64片就是64個(gè)2相乘減1。其實(shí)這就是一道思考題，涉及了多維目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)化繁為簡的模式的思想。模式有多樣化的，推理有從特殊到一般、從一般到特殊。數(shù)感的建立，數(shù)學(xué)的美感，不是形式的美，更多的是內(nèi)在的美。數(shù)學(xué)很有力量，能物理操作嗎？操作是不可能的事情，只能用

47、數(shù)學(xué)的工具來解決這個(gè)問題，正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，探究過程的經(jīng)歷，探究數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)。張景中教授前兩天微信上的一篇文章，提到好的文章、好的讀物讓學(xué)生展開數(shù)學(xué)思維的美妙，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)幾樣?xùn)|西。第一，震憾感。剛才這個(gè)例子中有震憾感，也有力量感、解放感和科學(xué)之美（圖形的美、規(guī)律的美、和諧的美）。所以我們要深入淺出地讓孩子去感受到這些數(shù)學(xué)的美妙。第三個(gè)問題，怎么樣把教科書讀薄。一說到讀薄，首先想到的是融會(huì)貫通這四個(gè)字，我們教了那么多數(shù)學(xué)知識(shí)以后，希望孩子對(duì)一些知識(shí)、一些方法有融會(huì)貫通的地步。數(shù)學(xué)中有很多概念、很多方法、很多技能，但是有一些是非常核心的。就像我們從事教育一樣，可能到最后也濃縮成教育是什

48、么這樣的問題了。我們到底給學(xué)生留下什么東西呢？這是作為老師應(yīng)該思考的。我們經(jīng)常講理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，那它內(nèi)在的本質(zhì)是什么？追根溯源，找到本源在哪，在這樣的情況下融會(huì)貫通。我經(jīng)常引用這些名家如朱熹的話，后來又抄了梁漱溟的思考問題的八層境界。他的“以簡御繁”里講過一段話，我覺得對(duì)我們學(xué)數(shù)很有啟發(fā)，“你見到的意見越多，專研地愈深，這個(gè)時(shí)候零碎的知識(shí)、片斷的見解都沒有了，心里便是一貫的系統(tǒng)，整個(gè)的組織。如此，就可以算成功了，到了這時(shí)候，才能以簡御繁，才可以學(xué)問多而不覺得多。凡有系統(tǒng)的思想，在心里都很簡單，仿佛只有一兩句話。凡是大哲學(xué)家皆沒有許多話說，總不過一兩句?！焙軓?fù)雜很沉重的宇宙，在他手心里是異常輕松

49、的所謂舉重著輕。雖然達(dá)不到這樣一種境界，但是我們能往這個(gè)方向去努力，希望留下來的是系統(tǒng)性，是整個(gè)的組織而不是零零碎碎的知識(shí)。又引了張恭慶老師的一段話，“數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它像一個(gè)龐大的、多層次的、不斷生長的、無限延伸的網(wǎng)絡(luò)。高層次網(wǎng)絡(luò)是由低層次網(wǎng)絡(luò)和結(jié)點(diǎn)組成的，后者是各種概念、命題和定理。各層次的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)點(diǎn)之間是用嚴(yán)密的邏輯連接起來的。這種連接是客觀事物內(nèi)在邏輯的反映。”大家可以好好琢磨這篇話，我們的孩子從低年級(jí)到高年級(jí)，從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)就是一層一層不斷伸展的。每個(gè)節(jié)點(diǎn)連起來是可以形成這樣一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的。接下去講三個(gè)方面。第一，數(shù)學(xué)知識(shí)的一致性。我們大家都知道在學(xué)平面圖形時(shí)，首先學(xué)的是長方形

50、的面積，然后是正方形，當(dāng)然這是一個(gè)類推而已。從長方形把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，得到平行四邊形的面積，然后要求三角面積的時(shí)候，把三角形拼接成一個(gè)平行四邊形來求。梯形也是經(jīng)過分割或拼接，轉(zhuǎn)化成已知的圖形來求的。圓的面積呢？我們把它分割完后，轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積來求。如果我們整個(gè)認(rèn)知是這樣的一個(gè)過程，那學(xué)完這些東西后應(yīng)該是反過來的。我們從一個(gè)梯形出來，如果這個(gè)梯形的扇形是0，這個(gè)梯形就轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形，前面我們?yōu)槭裁茨芡ㄟ^這種轉(zhuǎn)換的方式來推導(dǎo)，就是因?yàn)樗鼈儍?nèi)在是一致的。現(xiàn)在我們看看這些東西有沒有本質(zhì)的區(qū)別，顯然沒有，包括圓。我們把圓分成若干等份，每一份都是扇形，這個(gè)扇形可以看成是一個(gè)三角形。這

51、個(gè)三角形底面就是一條弧，然后高是一條半徑的三角形，這些三角形拼起來其實(shí)就是一個(gè)大的三角形，這個(gè)大三角形的底是什么？圓的周長。高是什么？高是半徑，就是1/2乘以上底再乘以高。所以這樣的情況下，我們可以看到平面圖形其實(shí)都是一致的。立體圖形也是這樣，學(xué)的時(shí)候我們先學(xué)長方體，再學(xué)正方體、圓柱、圓錐，學(xué)完以后發(fā)現(xiàn)這些東西都是一回事情。上下一致的都叫柱體。再說一件事情，關(guān)于單位“1”與單位“1”的個(gè)數(shù)，我們經(jīng)常一提到單位“1”就想到是分?jǐn)?shù)。我們把一個(gè)月餅平均分成四份，每份是這個(gè)月餅的1/4，是1/4個(gè)。5個(gè)月餅平均分成四份，每份是這些月餅的1/4，是5/4個(gè)。在這兩句話里，我們可以看到兩個(gè)1/4，為什么都可以表示成1/4？這個(gè)跟分的多少有沒