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1、品味數(shù)學(xué)(觀察、發(fā)現(xiàn),試探,整理,品味),提高思維討論題151、求,其中積分區(qū)域D為由曲線及軸圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域。解 先聯(lián)立,解得第一象限的交點為,作圖略。,或者試試!2、求,其中積分區(qū)域D為由及圍成解 求交點作圖(略),3、計算解 需要交換積分次序,依據(jù)上下限先表述出積分區(qū)域作圖,再改表述方式為,從而 4、求解 為了避免麻煩,需要交換積分次序,依據(jù)上下限先表述出積分區(qū)域,作圖,再改表述方式為,從而 5、求,其中積分區(qū)域D為由圍成解 用曲線將區(qū)域分成兩個關(guān)于坐標軸有對稱性的區(qū)域,用對稱性6、求為解 直線將區(qū)域分成上下兩部分,分塊積分7、計算為解 因為區(qū)域D關(guān)于兩個坐標軸及原點都對稱,又被積
2、函數(shù),故8、求解 ,先由解得交點,作圖看出或推出,從而原式9、求,其中D是和的公共部分解 由區(qū)域的極坐標曲線,解得交點的極坐標,從而10、求解 所給積分區(qū)域在極坐標下可以表示為于是 原式11、求解 ,從而 原式12、(1)設(shè)在上連續(xù),利用二重積分證明:證 記,則又從而故 (注:用不等式也可以證明的!試思考)(2)設(shè)在上連續(xù),利用二重積分證明:證 記,則,從而又從而,故13、求二重積分的值,其中D是由直線圍成的平面區(qū)域。解 故14、設(shè),求,其中解 設(shè)從而15、計算,其中解設(shè)則原式16、計算二重積分,其中解 設(shè)故 原式17、設(shè)閉區(qū)域為D上的連續(xù)函數(shù),且。求解 由于閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的重積分存在,可設(shè)
3、,則,從而故17+、設(shè)圍成閉區(qū)域D,為D上的連續(xù)函數(shù),且。求。(答案)18、求,其中D是由圓及所圍成的平面區(qū)域(編者注:兩圓為邊界線,即夾夾在中間)解 設(shè),由區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性,得或19、計算解 設(shè)。令,則當或時,當時,故有原式 (用到:)20、求解下列各題(1)、求極限,其中;(2)、設(shè)為連續(xù)函數(shù),求極限,其中解(1)、由積分中值定理,存在,使得=;(2)、由積分中值定理,存在,使得21、判別的符號,其中解 。在內(nèi),則為其面積;在內(nèi),則為其面積;由中值定理,得22、求,其中D是由圍成的區(qū)域。解 作圖,發(fā)現(xiàn)添加輔助線能夠造出關(guān)于坐標軸對稱的兩塊來。其中關(guān)于軸對稱,關(guān)于軸對稱,故(分
4、塊用對稱性質(zhì))23、設(shè)函數(shù)是正值連續(xù)函數(shù),計算二重積分,其中D為圓域:解 由于積分區(qū)域關(guān)于對稱,從而因此24、計算,其中解 設(shè)則25、計算解 26、設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的正值連續(xù)函數(shù),用二重積分性質(zhì)證明: 證 由定積分性質(zhì)再轉(zhuǎn)化為二重積分,用性質(zhì),得27、設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的可積函數(shù),用二重積分性質(zhì)證明:證 設(shè)區(qū)域則28、設(shè),求為全平面。解 從而29、作適當?shù)淖儞Q計算下列二重積分(1);(2),其中由直線圍成;(3);(4);(5),其中由線圍成;(6),其中由線圍成解 (1)用廣義極坐標,令,則積分區(qū)域在廣義極坐標下為;(2)令,則;(3)令,則, 原式=;(4)令,則, 原式;(5),其中由線圍成;解 令,則原式(6),其中由線圍成解 令,則原式3
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