高等數(shù)學：8-4 多元復合函數(shù)的求導法則

1、1復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則全微分形式不變性全微分形式不變性小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數(shù)的多元復合函數(shù)的 求導法則求導法則第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其應用多元函數(shù)微分法及其應用2一、一、復合函數(shù)的求導復合函數(shù)的求導法則法則(鏈導法則鏈導法則)證證),()(tttu 則則);()(tttv ，獲得增量獲得增量設設tt 1. 中間變量為中間變量為一元函數(shù)一元函數(shù))(),(),(tvtuvufz 的情形的情形.定理定理,)()(可導可導都在點都在點及及如果函數(shù)如果函數(shù)ttvtu ),(),(vuvufz在對應點在對應點函數(shù)函數(shù) ,)(),(可導可導在對應點

2、在對應點則復合函數(shù)則復合函數(shù)tttfz 且且其導數(shù)可用下列公式計算其導數(shù)可用下列公式計算: tzdd多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù), tuuzdd.ddtvvz 3 z tz,ddtutu ,ddtvtv 可微可微)( ovBuAz 由于函數(shù)由于函數(shù)),(),(vuvufz在點在點 有有連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù) vvzuuz,21vu ,0, 0時時當當 vu0, 021 tvvztuuztvtu 21 ,0時時當當 t0, 0 vu tzt0lim多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 tuuzddtvvzdd tzdd4復合函數(shù)的復合函數(shù)的中間變

3、量多于兩個中間變量多于兩個的情況的情況.定理推廣定理推廣 tzdduvwtz導數(shù)導數(shù)tzdd變量樹圖變量樹圖 三個中間變量三個中間變量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz vz tudd wz tvdd twdd 稱為稱為多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則5項數(shù)項數(shù)問問:每一項每一項中間變量中間變量函數(shù)對函數(shù)對中間變量中間變量的偏導數(shù)的偏導數(shù)該中間變量對其該中間變量對其指定自變量指定自變量的偏導數(shù)的偏導數(shù)(或導數(shù)或導數(shù)).的個數(shù)的個數(shù). 函數(shù)對某自變量的偏導數(shù)之結構函數(shù)對某自變量的偏導數(shù)之結構),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 多元復合

4、函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 tzdduz vz tudd wz tvdd twdd 6例例 設設 求求xydd這是冪指函數(shù)的導數(shù)這是冪指函數(shù)的導數(shù),但用但用全導數(shù)公式全導數(shù)公式較簡便較簡便.法二法二 xyddyuvx,)(cossin xxy 解解 法一法一,cos xu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 則則可用可用取對數(shù)求導法取對數(shù)求導法計算計算.,sin xv xuuyddxvvydd 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則7多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則),(),(),(yxvyxuvuf

5、z ).,(),(yxyxfz 復合函數(shù)為復合函數(shù)為,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都在點都在點及及如果如果 ,的偏導數(shù)的偏導數(shù)和和具有對具有對yx在對在對且函數(shù)且函數(shù)),(vufz ),(vu應點應點則復合函數(shù)則復合函數(shù)),(),(yxyxfz 的兩個的兩個在對應點在對應點),(yx偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在, 且可用下列公式計算且可用下列公式計算 兩個中間變量兩個中間變量 兩個自變量兩個自變量具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù),2.的情形的情形.zzuz vyuyv y 8uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 變量樹圖變量樹圖uv多元復合函數(shù)的求導法

6、則多元復合函數(shù)的求導法則 ( , ),( , )zfx yx y9解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則例例 ,sinyxvxyuvezu 設設.yzxz 和和求求10中間變量多于兩個的情形中間變量多于兩個的情形 xz yz類似地再推廣類似地再推廣,),(),(),(yxwyxvyxu 設設,),(的偏導數(shù)的偏導數(shù)和和處具有對處具有對都在點都在點yxyx復合函數(shù)復合函數(shù)),(),(),(yxy

7、xyxfz 在對應點在對應點),(yx的兩個偏導數(shù)存在的兩個偏導數(shù)存在, 且可用下列公式計算且可用下列公式計算:三個中間變量兩個自變量三個中間變量兩個自變量vuwzwvuyx xuuz xvvzxwwz yuuz yvvzywwz 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則11例例 設設,1222wvuz xz 解解22232()()uxvxwyuvw自己畫變量樹自己畫變量樹uwvuuz2)(2123222 xxu2 求求,2222yxvyxu .2xyw xwwzxvvzxuuzxz 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則12只有一個中間變量只有一個中間變量),(),(yxuyxuf

8、z 其其中中即即,),(yxyxfz xz yz兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則3.的情形的情形.xwwzxvvzxuuzxz 把復合函數(shù)把復合函數(shù),),(yxyxfz 中的中的y看作不變而對看作不變而對x的偏導數(shù)的偏導數(shù)),(yxufz 把把中的中的u及及y看作不變看作不變而對而對x的偏導數(shù)的偏導數(shù)ywwzyvvzyuuzyz xuufuv w xv xw yv. 1, 1, 0, 0 yw,xf yuuf.yf 13sin(),uzzexyuxyx而求yz 解解xfxuufxz yfyuufyz zuxyxy變量樹圖變量樹圖sin()cos(

9、)uuexyyexy)sin(yxeu 例例多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則)cos(yxeu x 14 例例 設設 f具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù), ,22xu 求求.2txu 變量樹圖變量樹圖ursxtxssfxrrf 或記或記 sfxtrfx 22 u對中間變量對中間變量 r,s 的的偏導數(shù)偏導數(shù) ),(22xttxfu 注注從而也是從而也是自變量自變量x, t 的復合函數(shù)的復合函數(shù). 解解),(srf都是都是x, t 的函數(shù)的函數(shù), 對抽象函數(shù)在求偏導數(shù)時對抽象函數(shù)在求偏導數(shù)時, 一定要設中間變量一定要設中間變量.多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則sr x

10、u12,ffffrs,ffrs15sfxtrfx 22xu .2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrf rfxu 222ursxt變量樹圖變量樹圖,22xu 求求.2txu rs 設設 f具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù), ),(22xttxfu x2 )2xt sfxt 322xt 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 srf 2)2x rsf 2(22rf x2 (22sf 2xt 16rs.21242232222222sfxtrsfxtsfxsrfrfxt ursxt變量樹圖變量樹圖 txu2,22xu 求求.2txu 設設 f具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階

11、連續(xù)偏導數(shù), ),(22xttxfu sfxtrfx 22xu sfx 212xt )122xsf trfx2(222 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則)1x (rsf 2t 2 2fr s 17多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則解解具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù), 且滿足且滿足, 12222 vfuf),(21,),(22yxxyfyxg 又又.2222ygxg 求求vu,xvfyufxg 2003年考研數(shù)學三年考研數(shù)學三, 8分分).( yvfxufyg 故故 22xg.2222222222vfvfyvufxyufxyg ,22222222vfvfxvufxyu

12、fy yufy22( )2xvuf vf ),2yuvf xvfx22( 22yx ( , )f u v18由由例例,)1(22 yuxu.)2(2222yuxu sin,cosryrx 解解 ),(yxfu現(xiàn)將現(xiàn)將22 yuxu2222yuxu , r用用),( rF 把下列表達式轉換為把下列表達式轉換為極坐標系極坐標系中的形式中的形式:),(yxfu 設設 的所有的所有二階偏導數(shù)連續(xù)二階偏導數(shù)連續(xù),)sin,cos( rrf函數(shù)函數(shù)),(yxfu 換成極坐標換成極坐標 及及r的函數(shù)的函數(shù):及及 以及函數(shù)以及函數(shù)),( rFu , r對對 的偏導數(shù)的偏導數(shù)來表達來表達.多元復合函數(shù)的求導法則

13、多元復合函數(shù)的求導法則19復合而成復合而成. xu2ryurxru ruxyruru sincos cos xrrx sin (1)看成由看成由),(yxfu xyarctan ,22yxr ),( rFu 及及 xrruxu 22)1( yuxu多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則20 yu2rxuryru ruru cossin sin yrry cos 2221 urru得得22 yuxu yrruyu xyarctan ,22yxr ),( rFu ruxy xururu sincos 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則21ruruxu sincos (2) 22xu

14、r sin ruxyru u)sincos(rurux ru2ru 2),(yxfu 設設 的所有的所有二階偏導數(shù)連續(xù)二階偏導數(shù)連續(xù)x 2222)2(yuxu cos多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則22ru xr x )sin( 22 u x xr sin)1(2r x xr r1 cos cos xrrx sin 22 ururrurrurru222222222cossin2sinsincossin2cos同理可得同理可得(自己練自己練) ururrurrurruyu222222222222cossin2coscoscossin2sin多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則

15、 sin yrry cos 23兩式相加兩式相加,得得:22222222211 urrurruyuxu)(1222 ururrrr多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則24多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則例例假設流體中一質點的運動速度為假設流體中一質點的運動速度為),(zyxvvvv 其中其中),(tzyxfvx ),(tzyxgvy );,(tzyxhvz 由于質點隨流體運動由于質點隨流體運動,故其位置故其位置),(zyx也隨時間也隨時間t 而變化而變化.).(),(),(tzztyytxx 即即試求質點運動的加速度試求質點運動的加速度.dd,dd,dd tvtvtvazy

16、x1dddddddd tvtzzvtyyvtxxvtvxxxxx答案答案.4321fzfyfxf 時變加速度時變加速度位變加速度位變加速度25 已知已知f(t)可微可微,證明證明 滿足方程滿足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示提示)(tfyz t, y 為中間變量為中間變量, x, y 為自變量為自變量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中間變量引入中間變量,則則,22yxt 令令多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則26二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性),(vufz 設函數(shù)設函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù), 則有

17、則有全微分全微分;dddvvzuuzz ,),(),(時時當當yxvyxu 則有全微分則有全微分,dddyyzxxzz xvvzxuuz yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 全微分形式不變性的實質全微分形式不變性的實質多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則27解解0)2(d zxyeze)(dxyexy zezd)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(d xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例例, 02 zxyeze已知已知.yzxz 和和求求zd2 zezd 0 )dd(xyyxexy 通過全微分求所有一階偏導數(shù)通過

18、全微分求所有一階偏導數(shù),比鏈比鏈導法則求偏導數(shù)有時會顯得靈活方便導法則求偏導數(shù)有時會顯得靈活方便.多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則281994年研究生考題年研究生考題,計算計算,3分分,),(),(均均連連續(xù)續(xù)可可微微設設gfxyxgvxyxfu xvxu 求求)1()(ygfyfxvxuxyx 答案：答案：多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則291989年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分,)(),()2(二二階階可可導導其其中中設設tfxyxgyxfz .,),(2yxzvug 求求有連續(xù)二階導數(shù)有連續(xù)二階導數(shù) 解解,2yxt 設設 xz yxz20( vugy2

19、ttuvvvvfxgxygg 1 vg 0 uugxguv vg )xgvv ,xu xyv tf 2 ug y 2( 1)ttf 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則301990年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分yxz 2求求 解解 xz yxz2xyfvcos xyvsin xycos vfx cossin xfvv sin xfuv uvuufxyxf )cossin2(2vvvfxfxxy coscossin,2yxu 設設2 uf)1( 2 uuf( 1)vuf 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則有連續(xù)的二階導數(shù)有連續(xù)的二階導數(shù),(2, sin ),( ,

20、)zfxy yxf u v設其中311992年研究生考題年研究生考題,計算計算,5分分yxz 2求求 解解,sin yeux 22yxv xzxfv2 yxz2yefxucos )2yfuv x2yyef yyexuuxsin(2cossin2 uxvvuvf yefxyfyx cos4)cosyexsin )2yfvv 設設yefxusin yefxuucos( 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則連續(xù)的二階導數(shù)連續(xù)的二階導數(shù),22(sin ,),( , )xzf ey xyf u v設其中有(cosxvuf ey32) )1 ,1(,1()1(ff )(dd3xx 1)1 ,1( fxxdd)(32 3 ),(,(1xxfxf )(,(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 351 ,1)1 ,1( f,),(,()(xxfxfx ,2)1 , 1( xf求求.1)(dd3 xxx ),(yxfz 在點在點(1,1)處可微處可微, ,且且設函數(shù)設函數(shù),3)1 , 1( yf解解2 3)32( 2001年考研數(shù)學一年考研數(shù)學一, 6分分多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則由題設由題設1 x1 x