線性代數(shù)教案

1、第（1）次課 授課時間（）教學章節(jié)第一章第一、二、三節(jié)學時2學時教材和 參考書1.線性代數(shù)（第4版）同濟大學編1. 教學目的：熟練掌握2階,3階行列式的計算；掌握逆序數(shù)的疋義，并會計算； 掌握n階行列式的定義；2. 教學重點：逆序數(shù)的計算；3. 教學難點：逆序數(shù)的計算.1. 教學內(nèi)谷：一、二階行列式的疋義；全排列及其逆序數(shù)；階行列式的疋義2. 時間安排：2學時；3. 教學方法：講授與討論相結合；4. 教學手段：黑板講解與多媒體演示.備注基本內(nèi)容第一節(jié)二、三階行列式的定義一、二階行列式的定義從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。設二元線性方程組a11x1 a12x2 b1a21 X2a2

2、2x2b2用消元法，當 aa 22 a12 a210 時，解得a22 bi a12b2a11 b2 a21b1Xi,X2a11a22 a12 a 21玄11玄22 a12 a 21令$ a12ana22 a12a21,稱為二階行列式，則a21 a22如果將D中第一列的元素an, a21換成常數(shù)項b1, b2 ,則可得到另一個行列式，用字母D1表示,于是有Db1a121 b2 a22按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：b1a22 b2a21,這就是公式（2）中X1的表達式的分子。同理將D中第二列的元素a 12,a 22換成常數(shù)項b1,b2 ,可得到另一個行列式，用字母D2表示,于是有Da11

3、b12 a21 b2按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：a11b2a21b1,這就是公式（2）中X2的表達式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫為XiX2DiDD2其中3x1 2x212例1.解線性方程組2x1 X21a1 X1a12X2a13X3b1冋樣，在解三兀一次方程組a21x1a22X2a23X3b2時,要用到a31 X1a32 X2a33x3b3“三階行列式”，這里可采用如下的定義二、三階行列式的定義a2 X2a13 X3b1設三元線性方程組a21X1a 22 X2a23X3b2a 31X1a32 X2a33X3b3用消元法解得定義 設有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表ai1ai2ai

4、3a21a22a23a31a32a 33ai1ai2 ai3a21a22 a23a1 a22a33ai2a23a31ai32ia32ai3 a22 a31ai1 a23 a32a12a21 a33 ,a31a32a33稱為三階行列式，則三階行列式所表示的6項的代數(shù)和，也用對角線法則來記憶: 從左上角到右下角三個元素相乘取正號，從右上角到左下角三個元素取負號，即例2.計算三階行列式1 1例3.求解方程 2 34 9例4.解線性方程組124D221.(-14)3421X0(X2或X 3)2 X2x y z 2x y 4z 03x 7 y 5z 5解先計算系數(shù)行列式:10 12 7 3 56 5D2

5、 11114375再計算D1, D2 , D369 021122 121 2D101451，D210431，D311 0557535537 5得X D1175yD231,ZD35D23D69D69第二節(jié)全排列及其逆序數(shù)引例：用1、2、3三個數(shù)字,可以組成多少個沒有重復的三位 數(shù)？一、全排列把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列(簡稱排列).可將n個不同元素按1 n進行編號,則n個不同元素的全排列 可看成這n個自然數(shù)的全排列.n個不同元素的全排列共有n!種.二、逆序及逆序數(shù)逆序的定義：取一個排列為標準排列，其它排列中某兩個元素 的次序與標準排列中這兩個元素的次序相反時，則稱有一個逆序.

6、通常取從小到大的排列為標準排列，即1 n的全排列中取123 (n 1)n為標準排列.逆序數(shù)的定義：一個排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為這個排列 的逆序數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,標準排列規(guī)定為偶排列例1：討論1,2,3的全排列.全排列123231312132213321逆序數(shù)022113奇偶性偶奇逆序數(shù)的計算：設P1P2 Pn為123 (n 1)n的一個全排列，則其n逆序數(shù)為t t1 t2tnti .i 1其中ti為排在Pi前，且比Pi大的數(shù)的個數(shù).例2:求排列54321的逆序數(shù).解：t 0,t21,t32,t43,t54,tti10.i 1（對于逆序數(shù)的計算介紹

7、另一種算法）第三節(jié)n階行列式的定義F面可用全排列的方式改寫二階，三階行列式.二階行列式a11 a12a21 a223ii a 22a12 a21a11a12a11a22a12a 21a21a22(I) a1 P1 a2 P2 .其中:P1P2是1,2的全排列,t是p1 p2的逆序數(shù), 是對所有1,2的全排列求和.三階行列式a11a12a21a22a31a32ai3a23a33a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32a13a22a3ia11a23a32a12a2ia33其中： P1P2P3 是1,2,3的全排列，t是 P1P2P3 的逆序數(shù),是對所有1,2,3的全排列求和.a1

8、1a12ai3a21 a22a23(I) a1p1 a2p2 a3'pn .其中：P1 P2Pn是1,2,n的全排列，t是P1 P2Pn的逆序數(shù)， 是對所有1,2, ,n的全排列求和.例1.計算對角行列式OOO0 0 20(24)00例2.證明對角行列式(其對角線上的元素是,未寫出的元素都為0)證明：按定義式1211n 1321 n11 n 111 23nnnnnn n 11212 n例3.證明下三角行列式a11a21a22an1an2a11a22annann證明:按定義式得D a11a220a11 a22a 33a 430a32a333n2an3annan3an4anna11 a22

9、ann 以上，n階行列式的定義式，是利用行列式的第一行元素來定義行列式的,這個式子通常稱為行列式按第一行兀素的展開式.回顧和小結小結：1. 二三階行列式的定義；2. 全排列及其逆序數(shù)；3.n階行列式的定義。復習思考題或作業(yè)題思考題：1231. 計算三階行列式D7894562. 求排列54321的逆序數(shù).作業(yè)題：習題一：第 1 （ 1,3 ）、2（ 2,4,6 ）實施情況及分析1. 通過學習學員理解了二、三階行列式和全排列及的定義概念，會計算二、三階行列式；2. 對其逆序數(shù)等方面的應用有待加強.第（2 ）次課授課時間（）教學章節(jié)第一章第四、五節(jié)學時2學時教材和 參考書線性代數(shù)（第4版）同濟大學編

10、1. 教學目的：掌握對換的概念；掌握階行列式的性質，會利用階行列式的性質計算階行列式的值；2. 教學重點：行列式的性質；3. 教學難點：行列式的性質.1. 教學內(nèi)容：對換；行列式的性質；2. 時間安排：2學時；3. 教學方法：講授與討論相結合；4. 教學手段：黑板講解與多媒體演示.基本內(nèi)容備注第四節(jié)對換對換的定義：在排列中，將任意兩個兀素對調,其余兀素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換將相鄰兩個兀素對調，叫做相鄰對換.例：a1al a b b baaIba bIb.定理1一個排列中的任意兩個兀素對換,排列改變奇偶性.推論奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證

11、明：由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標準排列是偶排列（逆序數(shù)為0）,因此知推論成立定理2:n階行列式為：ai1ai2ai3a21a22a23(1)tap1ap22aPnn .an1an2an1其中t為PP2Pn的逆序數(shù)（以4階行列式為例，對證明過程作以說明）（補充）定理3 n階行列式也可定義為aa21ai2a22an1 an 2ai3a23ani(I) aP1q1 aP2ql2aPnqn .其中P1P2Pn和qgqn是兩個n級排列，t為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和練習：試判斷 玄湘:彳玄怡彳:玄厶點無 和a32a43a14a51a25a66是否都是六階行列式中的項第五節(jié)轉

12、置行列式的定義行列式的性質a11a21a1n記 Da21a22a2nan1an2anna11a21an1DT =a1222n2(D )a1na2nann行列式DT稱為行列式D的轉置行列式（依次將行換成列）一、n階行列式的性質性質1 :行列式與它的轉置行列式相等.由此知，行與列具有同等地位.關于行的性質，對列也同樣成 立，反之亦然.如：Da bDTaCC dbd以r i表示第i行，Cj表示第j列.交換i, j兩行記為ri rj,交 換i,j兩列記作 Ci Cj .性質2 : 行列式互換兩行（列），行列式變號. 推論： 行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零.性質3 : 行列式的某一行（列）的所有

13、元素乘以數(shù)k,等于 用數(shù)k乘以該行列式.推論：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號外.性質4:行列式中有兩行（列）的元素對應成比例，則此行列式為零.性質5:若行列式中某一行的元素都是兩數(shù)之和,則此行列式等于兩個行列式之和.即若aIla21ai2a22(aiia2iaii)a2iaIna2n的元素乘以數(shù) k再加到另aIlai2aiiaInaIIa12a1ia1n則Da21a22a2ia2n+a21a22a2ia2nan1an2aniannan1an2aniann性質6 :把行列式某一行anianiannan1an2一行（列）上，則該行列式不變.二、n階行列式的計算:例1.計算D

14、2354579611212472解:2512152215223714c1c31734r2 U021659272957B 2r1 r4 r10113461216420120D15221522r2 2r40036r2r40120r3 r400330030012000039例2.a b b ba 3b a 3b a 3b a 3bb a b brlar3 r4babbb b a bbbabb b b abbbaD111111111a 3bbabbri br10a b00a 3ba3bbbabi 2,3,400a b0bbba000a br(a3b)(ab)推廣至n階,總結一般方法例3.證明:Pqq

15、rr PPq rP1qq1 ar1P12P1qr1P2q2q2r2r2P2P2q2r2證明:第一列PqrrPqqrrP左端性質5P1q1r1r1P1q1q1r1r1P1P2q2r2r2P2q2q2r2r2P2PqrrqrrPPqrqrPP1q石r1q1r1r1P1P1qr1q1r1P1P2q2r2r2q2r2r2P2P2q2r2q2r2P2P q r2 Pi q r .P2 q r2例4.計算2n階行列式.bb(ad bc)dd（利用遞推法計算）例5. Dai1aikak1akkc11C1kb11Cn1Cnkbn10bina11a1kSbmD1det(aij),D2 det(bj)ak1akk

16、bn1bnnbnnD D1D2.證明:小結:回顧和小結對換和n階行列式的性質與計算1. 對換的定義及兩個定理；2. n階行列式的性質與計算；思考題：1.把排列54132作一次對換變?yōu)?4135,問相當于作幾次相鄰對換？把排列12345作偶數(shù)次對復習思考題或作業(yè)題換后得到的新排列是奇排列還是偶排列?2.計算： D作業(yè)題：習題一：第3,0abaa0abba0aaba04( 2, 4),5(2,4,5)實施情況及分析1. 通過學習學員掌握了 n階行列式的定義和對 換的概念；2. 對利用n階行列式的定義和對換等方面的應 用有待加強.第（3 ）次課授課時間（）教學章節(jié)第一章第六節(jié)學時2學時教材和 參考書

17、1.線性代數(shù)（第4版）同濟大學編；1. 教學目的：了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開；2. 教學重點：行列式按行（列）展開；3. 教學難點：行列式按行（列）展開.1. 教學內(nèi)容：行列式按行（列）展開；2. 時間安排：2學時；3. 教學方法：講授與討論相結合；4. 教學手段：黑板講解與多媒體演示.基本內(nèi)容備注第六節(jié) 行列式按行（列）展開定義 在n階行列式中，把元素aj所處的第i行、第j列劃去,剩下的元素按原排列構成的n 1階行列式，稱為aj的余子式，記為Mij ;而Aj（ 1）i jMj稱為aj的代數(shù)余子式.引理 如果n階行列式中的第i行除aj外其余元素均為零，即:aai J

18、Qn0aj0.aniQnjanna1100Da21a22a2nan1an2annD則：D aij Aj .證先證簡單情形:再證一般情形：定理 行列式等于它的任意一行（列）的各兀素與對應的代數(shù)余子式乘積之和，即按行：aiiAj1ai2Aj2ainAjn0i j按列：aii AIj a2i A2janiA1j0i j證：（此定理稱為行列式按行（列）展開定理）02010in0nna1ai2a1a20Ina11020In01a?an0.1an?an1Qnann0i1 Ai10i2 A2anAin(in).例2:Dn2 11 21 Hrn1 01 2012 1211 212DnDnn 1.從而解得Dn

19、n 1.例3 .證明范德蒙行列式111X1X2XnDn2X12X22XnXiXj .n i j 1n 1n 1n 1X1X2Xn其中，記號表示全體同類因子的乘積證 用歸納法因為D21 1X2X1X1X2所以，當n 2n=2時，（4）式成立.X Xj2 i j 1現(xiàn)設（4）式對n 1時成立，要證對n時也成立.為此，設法把Dn降階；從第n行開始，后行減去前行的X1倍，有1 11L10 X2 X1X3XLXnX1Dn0 X2 X2 X1X3X3X1LXnXn X10LLLLCn 20 X2X2 X1nX32X3 X1LnXn2XnX1（按第一列展開，并提出因子XiX1)111X2X1 X3X1XnX

20、1X2X3Xnn1階范德蒙行列式nX22n 2X3n 2Xn由假設x2x1x3MLXnx1XiXj= XXjn i j 2n i j 1定理的推論行列式一行（列）的各元素與另一行（列）對應各元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，即ai1 AjIai2Aj2ain Ajn0ij按列：aiiAija2iA2jani Anj。i j結合定理及推論，得nn甘 rh1,(ij)aik AjkD ij Ia kiAkjDijl ,其中 ij.k 1k 10(iJ)531 2 01725 2例4.計算行列式D 0231 0的值。041 4 00235 0回顧和小結小結：行列式按行（列）展開。1.余子式和代數(shù)余子式的

21、概念；2行列式按行（列）展開；復習思考題或作業(yè)題123n1200思考題：設：Dn1O30,100n求第行各元素的代數(shù)余子式之和作業(yè)題：習題一：第 7（2，3，5, 6）實施情況及分析1. 通過學習學員理解了余子式和代數(shù)余子式 的概念，掌握行列式按行（列）展開；2. 對利用行列式按行（列）展開的方法計算行 列式等方面的應用有待加強.第（4 ）次課授課時間（）教學章節(jié)第一章第七節(jié)學時2學時教材和 參考書線性代數(shù)（第4版）同濟大學編1. 教學目的：了解克拉默法則的內(nèi)容，了解克拉默法則的證明，會利用克拉默法 則求解含有個未知數(shù)個方程的線性方程組的解；2. 教學重點：克拉默法則的應用；3. 教學難點：克

22、拉默法則的應用.1. 教學內(nèi)容：克拉默法則；2. 時間安排：2學時；3. 教學方法：講授與討論相結合；4. 教學手段：黑板講解與多媒體演示.基本內(nèi)容備注第七節(jié)克拉默法則含有n個未知數(shù)X,X2,.,Xn的n個方程的線性方程組a11 Xia12X2a1 n nba21 Xia22 X2a2nX2b2(1)anlXian2X2ann Xnbn與二、三元線性方程組相類似，它的解可以用n階行列式表示.定理1 （Cramer法則）如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式不等于零，即a11ai nD0 ,an1ann則方程組（1）有且僅有一組解：Xi ：,X2D2 .D ，JDnXnD(2)其中Djj 1,2,.,

23、n是把系數(shù)行列式D中的第j列的兀素用方程組右端的常數(shù)列代替，而其余列不變所得到的n階行列式aia,j 1b a1,j 1anDj為a2,j 1b2 C2,j 1爲.Oian,j 1bnSn,j 1°n（證明在第二章）當b1,b2,bn全為零時，即ai Xia 12 X2ainXn0a 21 Xia 22 X2a2nX20a ni x1an22annXn °稱之為齊次線性方程組顯然，齊次線性方程組必定有解(X1O,X2°,Xn 0 ).根據(jù)克拉默法則，有1齊次線性方程組的系數(shù)行列式 D0時，則它只有零解（沒有非零解）2 .反之,齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列

24、式D 0.例1 .求解線性方程組2x1X25X3X48X3x26x492x2X32x45X14冷7X36x40解：系數(shù)行列式21025011162027 0同樣可以計算81512851930681,D219065212051204761076108D1所以218 1215 81396130927D4025 20215140 6147 0D1D2D3dX13, X24X31DDDD327,X4D41.D注意:1.克萊姆法則的條件:n個未知數(shù),n個方程，且D 02.用克萊姆法則求解方程組運算量大一般不采用它求解方程組。3. 克萊姆法則具有重要的理論意義。4. 克來姆法則說明線性方程組的解與它的系數(shù)

25、、常數(shù)項之間的依存關系.例2.用克拉默法則解方程組3x 5x2 23 X4 3,3x2 4x4 4,Xi X2 X3 X411/6,X x2 3x3 2x45.6例3.已知齊次線性方程組(5)x2y2z02x(6)y02x(4)z0有非零解，問應取何值？解系數(shù)行列式D (5)(2)(8)由：D 0,得2、5、8.回顧和小結小結：克拉默法則.1. 內(nèi)容；2. 應用.復習思考題或作業(yè)題思考題：當線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解 為何？作業(yè)題：習題一第 8（ 2）、9（ 2,4）實施情況及分析1. 通過學習學員理解了解克拉默法則的內(nèi)容，了解克拉默法則的證

26、明 ，會利用克拉默法 則求解含有n個未知數(shù)n個方程的線性方程組的 解；2. 對利用克拉默法則等方面的應用有待加強.第（5）次課 授課時間（）教學章節(jié)第二章第一、二節(jié)學時 2學時教材和參考書1.線性代數(shù)（第四版）同濟大學編；2.同濟大學 胡一鳴編線 性代數(shù)輔導及習題精解3孫建東等編線性代數(shù)知識點與典型 例題解析。1. 教學目的：了解矩陣的概念；掌握矩陣的運算；2. 教學重點：矩陣的概念和矩陣的運算；3. 教學難點：矩陣的概念和矩陣的運算。1. 教學內(nèi)容：矩陣；矩陣的運算；2. 時間安排：2學時；3. 教學方法：講授與討論相結合；4. 教學手段：黑板講解與多媒體演示?；緝?nèi)容備注第一節(jié)矩陣、矩陣的

27、定義稱m行、n列的數(shù)表a11a21a12a 22aina2nam1am2a mn為m n矩陣，或簡稱為矩陣；表示為或簡記為A (aj)mn,或Aa11a21ai2a22aIna2nam1am2amn(a"或 Am；其中aj表示A中第i行，第j列的元素。其中行列式Da11a21ai2a22ai na2n為按行列式的運算規(guī)則所得到am1am2amn的一個數(shù)；而m n矩陣是mn個數(shù)的整體，不對這些數(shù)作運算。例如，公司的統(tǒng)計報表，學生成績登記表等，都可寫出相應的矩陣。設 A (aij)mn, B (bj)mn 都是 m n 矩陣，當則稱矩陣A與B相等,記成A B O二、特殊形式n階方陣：n

28、n矩陣行矩陣：1 n矩陣（以后又可叫做行向量），記為A （a1,a2, ,an）列矩陣：m 1矩陣（以后又可叫做列向量），記為biB b2bm零矩陣：所有元素為O的矩陣,記為O對角陣：對角線元素為1, 2,., n,其余元素為D的方陣，記為單位陣：對角線元素為1,其余元素為O的方陣，記為11E1三、線性變換的系數(shù)矩陣線性變換的定義：設變量y1,y2,.,ym能用變量X1,X2,Xn線性表示，即y2a1 X1a?1 X1a2 X2a?2 X2a1n Xna2n Xnymam1 X1am2X2amn Xn這里aij i1,2, ,m; j1,2, ,n為常數(shù)。這種從變量X1,x2,xn到變量y,y

29、2, ym的變換稱為線性變換。線性變換由m個n元函數(shù)組成，每個函數(shù)都是變量的一次幕，故而稱之為線性變換。上式的系數(shù)可構成一個m n矩陣a11a21ai2a22a1na2na”j majam1am2amnanA a21ai2a22aina2n稱之為線性變換的系數(shù)矩陣。am1am2amn線性變換和系數(shù)矩陣是對應的。如,直角坐標系的旋轉變換(變量(,y)到變量(,y )的變換)的系數(shù)矩陣為ACOSSin恒等變換x' COS Xy' Sin XSinCOSSin yCOS yyy2 2ym Xm的系數(shù)矩陣為1例.E11a11 Xia12 X2ain Xn0a?i Xia?2 X2a?n

30、 Xn0同樣，齊次線性方程組am1 X1am2 X2amnXn0ai1ai2ain與系數(shù)矩陣A a21a22a2n,也是一一對應的.am1am2amnai1X1ai2X2ai nXnb1a21 X1a22 X2a2nXnb2非齊次線性方程組am1 X1am2 X2amnXnbmaiia12ain bi與增廣矩陣Aa2ia22a2nb2也是一一對應的。am1am2amn bm第二節(jié)矩陣的運算一、加法設A (3j)mn，B(bj)mn,都是m n矩陣，則加法定義為a11bna12b12a1nb1nABa21b21a22b22a2nb2n顯然，am1bm1am2bm2amnbmnA BBA，(AB)

31、 CA (BA)、數(shù)乘設是數(shù),A (aj)mn是m n矩陣,則數(shù)乘定義為aa21Aam1顯然 A A ,三、乘法812a( n82282na m2amnAAA , A B A B乘法運算比較復雜，首先看一個例子 設變量t,t2到變量Xl,X2,X3的線性變換為Xib11t1b12t2X2b21t1b22t2X3b31t1b32t2變量X1, X2, X3到變量y11 y的線性變換為y 2a11 X1a12 X2813X3a?1 Xa?2 X2823 X3那么，變量t1,t2到變量仆的線性變換應為y1a1 b1111 b1212 a21 b11 b1212a12 b2111b2212a22 b2

32、111b22 t2a13b31t1b32t2a23 b31t1b32tyya11b11a21b11a12b21a13b31 ta22b2ia23b31 t1a11b12a12b22a21 b2a22 b22a13b32 ta23b322t2定義矩陣a11a21a12a22a13和a23b11b21b31b12b22b32的乘積為a11 a12a21 a22a13a23bb21b31b12b22b32a11b11a21 b11a12b21a22b21a13b31a11b12a23 b31a21b12a12b22a22b22a13b32a23b32按以上方式定義的乘法具有實際意義.由此推廣得到一般

33、定義設A ©)ms, B (bij)sn,則乘法定義為AB Ci 1,2, ,m j 1,2, ,n其中 C (Cij ) m nSCij Si1 b1 j ai2b2jis bsjik bkjk 1注：兩個矩陣相乘要求前一個矩陣的列數(shù)等于后一個矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前一個矩陣的行數(shù)，列數(shù)為后一個矩陣的列數(shù)； 乘積矩陣的第i行，第j列元素為前一個矩陣的第i行元素與后一個矩 陣的第j行元素對應相乘再相加。410例：設A10 31B113 ,則2 1 02201，1344101031113AB21 0 22011343 013 101 0 0 2 320 3 3 1140 13 0

34、 12 492199112-34-6,求AB及BA解：AB1683216 ，2BA3由此發(fā)現(xiàn)：（1）AB BA，（不滿足交換律）(2)O ,但卻有BA O一個必須注意的問題：1.若 AmS, Bsn,則 AmSBS成立,當m n時,BS nAm S不成立;2 .即使Amn , Bnm,則AmnBnm是m階方陣，而B是n階方陣;23.如果A, B都是n階方陣,例如A1AB 1632 ,而 BA 0 08 16 0 0綜上所述,一般AB BA （即矩陣乘法不滿足交換率）F列性質顯然成立: AB C A BC , AB A B A B ， ABC AB AC , B C A BACA幾個運算結果:b

35、ib21 .ai , a2, ana1b1a2b2anbn ；bnbia1b1a1b2a1bnb2a2b1a2b2a2bn2.ai, a2 , an.bnandanb2anbn3 .若A為m n矩陣，E是m階單位陣，則EA A；若E是n階單位陣, 則 AE A ;4.線性變換的矩陣表示：y1a1 Xa2 X2a1n Xny2a?1 Xja?2 X2a2 n Xn設ymam1 Xiam2X2amn Xia11a12a1 nX1Y1a21a22a2nX2Y2AX,yam1am2amnXnYm則y AX5 .線性方程組的矩陣表示：a11 X1a2 X2a1n Xnbia?1 Xa?2 X2a2n X

36、nb2am1X1am2X2a X mn yvnbma11 a12a1 nX1b1a21 a22a2nX2,bb2,Xam1am2amnXnbm則 AX矩陣的幕：A2AA, A3AA2,An AAr1 1- rk I-T 口COSnSincos nSin n例.證明SinCOSSin nCoSn證明用歸納法:n 1時，顯然成立，假疋n k時成立,則nk 1kCOSSinCOSSinCOSSinSinCOSSinCOSSinCOSCOSSinCOskSi nkSinCOSSin kcoskCOSCOSkSin Sin kCOSSin kSin coskSinCOSkcos Sin kSinSin

37、kcos coskCOS(k1)sin(k 1)Sin (k1)COS(k 1)k 1時從而結論成立.由于COSSinSin是直角坐標旋轉 角度變換的系數(shù)矩陣,故而COScosSinSincosn是旋轉了n角度變換的系數(shù)矩陣.則稱AT是A的轉置矩陣四、轉置a11a12a1na11a21an1a21a22a2n，記 ATa12a22an2an1an2anna1na2nann設AO顯然, AT T A , A BAT BT ,AT AT AB TBTAT O對稱矩陣的定義：若矩陣A滿足ATA (即 aijaji),則稱A是對稱陣例.設A是m n矩陣，證明ATA是n階對稱陣，AAT是m階對稱陣.例.

38、設 XX1, X2, ,xn t ,且 XTX 1 , E 為 n 階單位陣，H E 2XXT ,證明：H是對稱陣, H2 E.證明 HT E 2XXT TET 2 XXT T2XXTH ，故H是對稱陣。2T 2H 2 E 2XXTE 4XXT 4 XXTXXTE 4 xxt 4x XT X XT4 XXT4 XXT E五、方陣的行列式A為n階方陣,其元素構成的n階行列式稱為方陣的行列式，記為A 或 det A。顯然,ATATN，11a121nAa21a22a2nn1n2annA11A21An1*A12A22An2AA1nA2nAnnABIlAIBl O其中Aj是aj的代數(shù)余子式，A*稱為A的

39、伴隨陣.證明：AA* A*AAE.證明 設AA* C (Cij)cj a Aji a2 Aj2an bjnak Ajk1A j設 A* A D*AA CAijijAE(dj)djAa1j A2a2jAn bnjAk akjk 1k 1akj Ak A*A A Ddj IA jIA jiAE例.設A為n(n2)階實方陣，且A0,ajAj,求I A'.解:注意到A1A21An1ana21an1*AA12A22An2a12a 22an 2ATAI nA2nAnna1na2nannnnAAjAT由AA*AE ,得 AATAEA2AnA2An由于Anak Ajkk 12aIkk 1IA 1六、共軛矩陣IjA (aj)為復矩陣，aj為aj的共軛復數(shù)，則稱A (aj)為A的共軛矩陣.顯然, A B A B , A A, AB AB回顧和小結小結：矩陣的概念和矩陣的運算：1. 矩陣的概念；2.矩陣的運算；思考題：1.矩陣與行列式的有何區(qū)別？2.設A與B為n階方陣，問等式復習