基本不等式完整版(非常全面)

1、基本不等式專題輔導word一、知識點總結1、基本不等式原始形式（1）若a,b e R,則。之 2ab（2）若a,beR，則"心宜22、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a,b e R *,則 a + b N3、基本不等式的兩個重要變形< 1）若a,b w R6,則竺2之2(2)若 a,b w R，則 ab <總結：當兩個正數(shù)的積為定植時，它們的和有最小值； 當兩個正數(shù)的和為定植時，它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中，當且僅當。=時取“=” 4、求最值的條件：“一正，二定，三相等”5、常用結論（1）若x>。，則x（當且僅當x = l時取“二”）x（2）若xvO

2、,則工+ 1«2 （當且僅當太=一1時取“二”） x（3席加>0,則州+ 2之2 （當且僅當時取“二”） b a（4）若見bwR,則,心（土吆尸1£ 22（5）若a力eR ,則_!_«、小式也4 M+”二11 一 2 一、 2一 “ h特別說明：以上不等式中，當且僅當4 = 時取“二”6、柯西不等式二、題型分析題型一：利用基本不等式證明不等式1、設4,6均為正數(shù)，證明不等式:，記上了工了+ -a b2、已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2 + +c2 > ab + be + ca3、已知a+c = l,求證：a2+b2+c2>- 34、已知 a,b

3、,c e R* ,且 a + h + c = ,求證：（1-6/）（1-/?）（l-c）>8«bc5、已知 a,b,c e R+ ,且 a + b + c = t 求證：6、（2013年新謂標II卷數(shù)學（理）選修45：不等式選講設。力,。均為正數(shù),且。+。= 1,證明：（I ） ah + be+ ca < - ;（II） + + > 1.3b c a7、（2013年江蘇卷（數(shù)學）選修4一5：不等式選講已知:2a3-b3 >2ab2 -a2b(1)若.也c," e R ,則(/ + b2)(c2 +d2)> (ac + hd)2（2）若,2必，4

4、也也eR，則有：（“J +«22 +%2）（也2 +h22 +by2）> （q仿 +/與 十%&（3）設m"與瓦與,a是兩組實數(shù)，則有+%- + +q）（優(yōu)+4- + +：）之（.仇 + a2b? + +q"尸題型二：利用不等式求函數(shù)值域1、求下列函數(shù)的值域(1) y = 3x2 +2x2(2) y = M4-x)(3) y = x + -(x>0)(4) y = x + -(x<0)XX2、已知求函數(shù)v = 4x-2 + 的最大值;44a-5題型三：利用不等式求最值（一）（湊項）41、已知x>2,求函數(shù)y = 2x 4 + 一的最

5、小值;2 人 題型四：利用不等式求最值（二）（湊系數(shù)）1、當時，求），=武8-2工）的最大值；變式1：當時，求y = 4x（8-2x）的最大值:4變式1：已知x>2,求函數(shù)y = 2x +的最小值:2x-44變式2：已知xv2,求函數(shù)），= 2x +的最大值:2x-43變式2：設0vk<5,求函數(shù),，=4x（3 2幻的最大值。 22、若0<x<2,求y=Jx(6 3x)的最大值:練習：1、已知X>W，求函數(shù)y=42 +_的最小值:44X-5法二:變式：若0xv4，求丁 =，(8-2)的最大值;3、求函數(shù) y = J2x-l+j5 - 2;v(，一)的最大值;(提示

6、：平方，利用基本不等式)變式1：己知力0" + 2 = 2,求，=,+ 1的最小值: a b2 Q變式2：己知。,一 + = 1 ,求w的最小值:x y變式，求函數(shù)二石的最大值: 44變式3：已知x,)。，且, + ' = 9,求x + y的最小值。x )'題型五：巧用“1”的代換求最值問題1、己知4,。0, +給=1,求/ = ! + '的最小值: a b法一：1 Q變式4：已知丸y0,且一+ = 4,求x+y的最小值:I Q變式：求函數(shù)），=（x>l）的值域:X-1變式5：（1）若x,y>0且2x + y = l,求 + 的最小值： x y（2

7、）若a,"x,y £且3+2 = 1，求x + y 的最小值:x + 22、求函數(shù)y 的最大值：（提示：換元法）2x + 5變式6：已知正項等比數(shù)列%滿足：%=4+2%，若存在兩項4用,4，使得=4。,求一+ 的最小值： m n變式：求函數(shù)產(chǎn)充器的最大值,題型六：分離換元法求最值（了解）+ 7jv +101、求函數(shù),，= ：（XW1）的值域:X + 1題型七：基本不等式的綜合應用1、已知log2 + log2Nl，求30+9'的最小值2、（2009天津）已知求_!_ + ；+24石的最小值;變式1：已知滿足。/? =。+ + 3 ,求/?范圍:變式1： （2010四

8、川）如果。>。>0,求關于“涉的表達)1式-+ab a(a-b)的最小值:變式2： （2010山東）已知x,y>0,-j=-2+x 2+y 3求個最大值；（提示：通分或三角換元）變式2： （2012湖北武漢診斷）已知，當>0,。工1時,函數(shù)）'=log.（x 1） +1的圖像恒過定點A ,若點A在直線祖x-y + = O上，求”+2的最小值: 變式3： （20H浙江）已知x,y>0,犬+ ）理+冷，=1, 求孫最大值；3、己知 x,y>0, x + 2y + 2Ay = 8,求 x + 2y 最小值;4、（2013年山東（理）設正實數(shù)x,y,z滿足

9、/一39 + 4），2-2 = 0 ,則當？取得最大值 Z212時，二+ _L *的最大值為（）xyz9A. 0 B. 1 C. - D. 34（提示：代入換元,利用基本不等式以及函數(shù)求最值）2、已知x），zo且一!一十!之一恒成立, x-y y - z x-z如果 eN+,求的最大值：（參考：4）（提示：分離參數(shù)，換元法）變式：設是正數(shù)，滿足x 2y + 3z = 0,求二的 xz最小值：1 4變式：己知滿則一+ = 2 ,若a +恒成立,a b求c的取值范圍：題型八：利用基本不等式求參數(shù)范圍1、（2012沈陽檢測）已知x,y。，且（x + y）（4+色）29 x y恒成立，求正實數(shù)的最小值

10、：題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式（a, b, c, d e R,當且僅當即= 時等號成年c d若a,b,c,d e R ,貝ij(/ +/廠)(c? + J2) > (ac + bd)22、二維形式的柯西不等式的變式（1）>la2 +b2 - lc2 +d2 之麻 + 刎（a, b, c, d e R,當且僅當色=烏：即ad = Z?c時等號成立）c d +義 -+（廣 > |r/c| + IM（a, b, c, d e R,當且僅當3=2；即ad = Z?c時等號成立）c d（3）（a + b）（c + d） > （yjac + >fbd）2（a

11、,bcdNO,當且僅當2 =烏；即4 =收,時等號成力c a3、二維形式的柯西不等式的向量形式萬卜同同（當且僅當5=6,或存在實數(shù)口使三時，等號成立）4、三維柯西不等式若，仁，句年也也£尺,則有：（“J+/2）（區(qū)2+32）>（6/1Z?1 +a2b2+aM2也e R,當且僅當=詈時等號成立）5、一般維柯西不等式設修4與b也，也是兩組實數(shù)，則有：（a； +。； + + qj）（42 + +）2 （他 + a向 + + 尸a、b«R,當且僅當3 = 2 =*時等號成立）題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設x,y,ztR，若 + y? + z2=4,則x-2

12、y + 2z的最小值為 時，（x,y,z）= 析：(x-2y + 2z)2 <(x2 + y2 + 2)12 + (-2)2 + 22= 4x9 = 36，x2y + 2z最小值為一 6-2 x =34-4,y = 一, z =. 33_ z _6"2"12+(-2)2 + 222、設x,y,z£R, 2x-y-2z = 6,求父 + 丁+#的最小值m ,并求此時x, y,z之值。Ans：3、設x,y,zwR，2x-3y + z = 3,求x? +(y-l)2 + z2 之最小值為,此時y=(析：2x-3y + z = 3 0 2x-3(y-l) + z = 0)4、(2013 年湖南卷(理)已知a,c w,a + 2 +3c = 6,則/+4 +9c2的最小值是(A7i5