中考數(shù)學(xué)壓軸題匯編——函數(shù)與幾何綜合

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考中考壓軸題匯編（一）函數(shù)與幾何綜合的壓軸題1. （ 2004 安徽蕪湖） 如圖， 在平面直角坐標(biāo)系中， AB、CD 都垂直于 x 軸，垂足分別為 B、 D 且 AD 與 B 相交于 E 點.已知： A(-2,-6), C(1,-3)(1) 求證： E 點在 y 軸上；(2) 如果有一拋物線經(jīng)過 A， E， C 三點，求此拋物線方程 .(3) 如果 AB 位置不變， 再將 DC 水平向右移動k(k>0) 個單位，此時 AD 與 BC 相交于 E點，如圖，求 AE C 的面積 S 關(guān)于 k 的函數(shù)解析式.yyBDBDOxOxEEC（ 1， -3）C（ 1+ k，-

2、3）AA（ 2， -6）（ 2， -6）圖圖 解 （ 1）（本小題介紹二種方法，供參考）方法一：過 E 作 EO x 軸，垂足 O ABEODC EODO ,EOBOABDB CDDB又 DO+BO=DB EOEO1 AB DCAB =6， DC =3， EO=2又 DOEO ， DOEODB23 1DBABAB6DO =DO ，即 O與 O 重合， E 在 y 軸上方法二：由D （ 1， 0）， A（ -2， -6），得 DA 直線方程： y=2 x-2再由 B（ -2，0）， C（ 1， -3），得 BC 直線方程： y=-x-2x0聯(lián)立得y2E 點坐標(biāo)（ 0， -2），即 E 點在 y

3、軸上（2）設(shè)拋物線的方程y=ax2+bx+c(a 0)過 A（ -2， -6）， C（ 1，-3）學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考E（ 0， -2）三點，得方程組解得 a=-1,b=0,c=-2 拋物線方程 y=-x2-24a2bc6abc3c2（3）（本小題給出三種方法，供參考）由（ 1）當(dāng) DC 水平向右平移k 后，過 AD 與 BC 的交點 E作 EF x 軸垂足為 F。同（ 1）可得： E FE F1得： EF=2ABDCE FDF， DF1方法一：又 EF ABDBDBAB3S AEC= SADC - S EDC=11DCDF12DCDBDCDB1 DC2223=DB =DB=3

4、+ k3S=3+k 為所求函數(shù)解析式BCA=S BDA方法二： BA DC， SS AEC= S BDE 1BD EF1 3k2 3k22S=3+ k 為所求函數(shù)解析式 .證法三： S DE C SAEC=DE AE =DCAB =1 22 AB2同理： SDE C S SDEB=12,又 S DECABE =DC=1 4SAEC2 S梯形ABCD21 ABCDBD3 k992S=3+ k 為所求函數(shù)解析式 .2. （ 2004 廣東茂名）已知：如圖，在直線坐標(biāo)系中，以點M （ 1， 0）為圓心、直徑 AC為 2 2 的圓與 y 軸交于 A 、 D 兩點 .（ 1）求點 A 的坐標(biāo)；（ 2）設(shè)

5、過點 A 的直線 yx b 與 x 軸交于點 B. 探究：直線 AB 是否 M 的切線？并對你的結(jié)論加以證明；（3）連接 BC，記 ABC 的外接圓面積為S、M 面積為 S，若 S1h12，拋物線S24y ax2 bx c 經(jīng)過 B、 M 兩點，且它的頂點到x 軸的距離為 h .求這條拋物線的解析式 .解（ 1）解：由已知 AM 2 ，OM 1，在 Rt AOM 中， AO AM 2OM 21，點 A 的坐標(biāo)為 A（0， 1）（2）證：直線 y x b 過點 A （0， 1） 1 0b 即 b 1 yx 1令 y 0 則 x 1B（1，0），學(xué)習(xí)資料y ax2 bx c（ a0）學(xué)習(xí)資料收集于

6、網(wǎng)絡(luò)，僅供參考AB BO2AO212122在 ABM 中， AB 2，AM 2 ，BM 2AB2AM 2( 2)2( 2)24 BM2 ABM 是直角三角形，BAM 90°直線 AB 是 M 的切線（3）解法一：由得BAC 90°， AB 2 ，AC22 ，BC AB2AC 2( 2)2(22) 210 BAC 90° ABC 的外接圓的直徑為BC ， S1(BC)2( 10)25y222A而 S2( AC)2(2 2)22M22B·xS1h5hDC即2h 5S24 ，2,4設(shè)經(jīng)過點 B （ 1，0）、 M （1， 0）的拋物線的解析式為：ya（ 1）（

7、 x1），（ a0）即 y ax2 a， a±5， a ±5 拋物線的解析式為 y 5x2 5 或 y 5x2 5解法二：（接上）求得 h5由已知所求拋物線經(jīng)過點B （ 1， 0）、 M （1、 0），則拋物線的對稱軸是 y 軸，由題意得拋物線的頂點坐標(biāo)為（0， ±5）拋物線的解析式為y a（ x 0） 2±5又 B （ 1,0）、 M（ 1,0）在拋物線上，a±50， a ±5拋物線的解析式為y 5x2 5 或 y 5x2 5解法三：（接上）求得h 5因為拋物線的方程為abc0a 5a5由已知得 abc0解得 b0或b04acb2c

8、5c54a5拋物線的解析式為y 5x2 5 或 y 5x2 5.學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考3.(2004湖北荊門)如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點P（1， 1）為圓心，2 為半徑作圓，交x 軸于A 、B 兩點，拋物線 yax2bxc(a0) 過點 A、B，且頂點 C 在 P 上.(1)求 P 上劣弧 AB 的長；(2)求拋物線的解析式；(3)在拋物線上是否存在一點D，使線段 OC 與 PD 互相平分？若存在，求出點 D 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 .y 解（ 1）如圖，連結(jié)PB ，過 P 作 PM x 軸，垂足為 M.AB在 Rt PMB 中， PB=2,PM=1,O·x MP

9、B 60°， APB 120 °P（1， 1）12024AB 的長3C180（2）在 RtPMB 中， PB=2,PM=1, 則 MB MA 3 .y又 OM=1 ， A（13 ，0）， B（ 13 ，0），由拋物線及圓的對稱性得知點C 在直線 PM 上，AOMB則 C(1， 3).·x點 A 、B、 C 在拋物線上，則P（1， 1）0a(13) 2b(13)ca1C0a(13)2b(13)c解之得 b23ab cc2拋物線解析式為yx22x2（3）假設(shè)存在點D，使 OC 與 PD 互相平分，則四邊形OPCD 為平行四邊形，且PC OD.又 PCy 軸，點 D 在

10、 y 軸上， OD 2，即 D（ 0， 2） .又點 D （0， 2）在拋物線 yx 22x2 上，故存在點D（ 0， 2），使線段 OC 與 PD 互相平分 .42004湖北襄樊） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，RtABC的直角頂點C0）在y 軸. （ ， 3的正半軸上， A、B 是 x 軸上是兩點，且OA OB 31，以 OA、OB 為直徑的圓分別交AC于點 E，交 BC 于點 F.直線 EF 交 OC 于點 Q.（1）求過 A、 B、C 三點的拋物線的解析式；（2）請猜想：直線EF 與兩圓有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的猜想.（3）在 AOC 中，設(shè)點 M 是 AC 邊上的一個動點，過 M 作

11、MN AB 交 OC 于點 N.試問：在 x 軸上是否存在點 P，使得 PMN 是一個以 MN 為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出 P 點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 .yEC學(xué)習(xí)資料QxAFO1O O2B學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考 解 (1) 在 Rt ABC 中， OC AB， AOC COB .2OC OA·OB .OA OB 3 1,C(0,3 ), ( 3) 2 3OB OB.OB 1. OA 3. A(-3,0), B(1,0).設(shè)拋物線的解析式為y ax2bxc.E3Na,M9a3bc 0,33122則 ab c0,b3,4解之，得AO1 POc3.3c3.經(jīng)過

12、A、B、C 三點的拋物線的解析式為 y3 x223x3.(2)EF 與 O1、 O2 都相切 .33證明：連結(jié) O1E、OE、 OF . ECF AEO BFO 90°,四邊形 EOFC 為矩形 .QE QO. 12. 34, 2+ 4 90°， EF 與O1相切.同理： EF 理 O2 相切 .(3) 作 MP OA 于 P，設(shè) MN a,由題意可得 MP MN a. MN OA, CMN CAO. MN CN.AO CO a3 a .33yCQFO2Bx解之，得 a33 3 .2此時，四邊形OPMN 是正方形 . MNOP3 33 .2P( 333 ,0).2PMNO

13、此時為正方形，考慮到四邊形點 P 在原點時仍可滿足 PNN 是以 MN 為一直角邊的等腰直角三角形 .故 x 軸 上 存 在 點 P使 得 PMN是一個以 MN為一直角邊的等腰直角三角形且P(333或 P(0,0).2,0)學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考5.（ 2004 湖北宜昌）如圖，已知點A(0 ， 1)、C(4，3)、E( 15 ， 23 )， P 是以 AC 為對角線的48矩形 ABCD 內(nèi)部 (不在各邊上 )的 個動點，點D 在 y 軸，拋物線y ax2+bx+1 以 P 為頂點(1) 說明點 A 、C、E 在一條條直線上；(2) 能否判斷拋物線 y ax2+bx+1 的開口方

14、向 ?請說明理由；(3) 設(shè)拋物線 yax2 +bx+1 與 x 軸有交點 F、G(F 在 G 的左側(cè) )， GAO 與 FAO 的面積差為3，且這條拋物線與線段AE 有兩個不同的交點 這時能確定a、b 的值嗎 ?若能，請求出 a、b 的值；若不能，請確定a、 b 的取值范圍Y(本題圖形僅供分析參考用)DCP 解（ 1）由題意， A(0 ，1)、C(4，3)確定的解析式為： y= 1AB2 x+1.將點 E 的坐標(biāo) E( 15， 23)代入 y=1x+1 中，左邊 =23 ，右OX4828邊= 1 ×15 +1= 23 ，248左邊 =右邊，點 E 在直線 y= 1x+1上，即點 A

15、 、C、 E 在一條直線上 .2（2）解法一： 由于動點 P 在矩形 ABCD 內(nèi)部， 點 P 的縱坐標(biāo)大于點 A 的縱坐標(biāo)， 而點 A與點 P 都在拋物線上，且P 為頂點，這條拋物線有最高點，拋物線的開口向下2P 的縱坐標(biāo)為 4ab2解法二：拋物線 y=ax +b x+c 的頂點4a，且 P 在矩形 ABCD 內(nèi)部，1 4ab22得 b20， a 0，拋物線的開口向下 .4a 3，由 1 1 b4a4a（3）連接GA 、FA， SGAO S FAO=3 1GO·AO 1FO· AO=3 OA=1 ，22GO FO=6. 設(shè) F（ x1,0）、 G（ x2,0），則 x1、

16、x2 為方程 ax2 +bx+c=0 的兩個根，且x1x2，又 a 0， x1·x2= 1 0， x1 0 x2，aYGO= x2， FO= x1， x2（ x1） =6 ，DC即 x2 +x1=6， x2+x1= b b =6 ，PAEaab= 6a,拋物線解析式為：y=ax2 6ax+1, 其頂點 P 的坐標(biāo)為（ 3，1 9a） , 頂點 P 在矩形 ABCD 內(nèi)部，1 1 9aBFOGX3, 2 a 0.9y=ax2 6ax+1得： ax2（ 6a+ 1 ） x=0由方程組1x+1y=226a121x=0 或 x=6+.a 2a當(dāng) x=0 時，即拋物線與線段 AE 交于點 A

17、，而這條拋物線與線段 AE 有兩個不同的交點，則學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考有： 06+ 1 15 ，解得： 2 a 12a4912綜合得： 2a 1 b= 6a，1 b 4912236. （2004 湖南長沙） 已知兩點O(0 ，0)、B(0 ，2)，A 過點 B 且與 x 軸分別相交于點O、C， A 被 y 軸分成段兩圓弧，其弧長之比為 3 1，直線 l 與 A 切于點 O，拋物線的頂點在直線 l 上運動 .（ 1）求 A 的半徑；（ 2）若拋物線經(jīng)過 O、 C 兩點，求拋物線的解析式；（ 3）過 l 上一點 P 的直線與 A 交于 C、 E 兩點，且 PCCE，求點 E 的坐標(biāo)；

18、（ 4）若拋物線與 x 軸分別相交于 C、 F 兩點，其頂點P 的橫坐標(biāo)為m，求 PEC 的面積關(guān)于 m 的函數(shù)解析式 .y 解 (1) 由弧長之比為3 1，可得 BAO 90o再由 AB AO r ，且 OB 2，得 r 2(2) A 的切線 l 過原點，可設(shè) l 為 y kx0x任取 l 上一點 (b， kb)，由 l 與 y 軸夾角為45o 可得：b kb 或 b kb，得 k 1 或 k1，直線 l 的解析式為 y x 或 y x又由 r 2 ，易得 C(2， 0)或 C( 2， 0)由此可設(shè)拋物線解析式為y ax(x2) 或 y ax(x 2)再把頂點坐標(biāo)代入 l 的解析式中得 a

19、1拋物線為 y x2 2x 或 y x22x6分(3) 當(dāng) l 的解析式為 y x 時，由 P 在 l 上，可設(shè) P(m， m)(m 0)過 P 作 PP x 軸于 P， OP |m|， PP | m|， OP 2m2，又由切割線定理可得： OP2 PC·PE,且 PC CE，得 PCPEm PP7分 C 與 P為同一點，即 PE x 軸于 C， m 2， E(2， 2) 8分同理，當(dāng) l 的解析式為 y x 時， m 2， E(2， 2)(4) 若 C(2， 0)，此時 l 為 y x， P 與點 O、點 C 不重合， m0且 m2，當(dāng) m 0 時， FC 2(2m)，高為 |yp

20、|即為 m，S 2(2 m)( m)m22m2同理當(dāng) 0 m2 時， S m2 2m；當(dāng) m 2 時， S m2 2m；S m22m( m或m 2)又若 C( 2， 0)，0m22m(0m2)此時 l 為 y x，同理可得； S m22m(m或m 0)2m22m( 2m0)學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考ylyBlAAEPP（ 2,0）FC( 2,0)COC (2,0)xFCOxFPPP7.（2006 江蘇連云港）如圖，直線ykx4 與函數(shù) ym ( x0, m0) 的圖像交于 A、B 兩點，且與 x、y 軸分別交于 C、 D 兩點x（ 1）若COD 的面積是AOB 的面積的2倍，求 k

21、與 m 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）在（ 1）的條件下， 是否存在 k 和 m ，使得以 AB 為直徑的圓經(jīng)過點P(2,0) 若存在，求出 k 和 m 的值；若不存在，請說明理由y 解 （ 1）設(shè) A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) (其中 x1x2 , y1y2 )，CA由SCOD2S AOB ，得 S COD2( S AODS BOD) 1 ·OC ·OD2 ( 1 ·OD ·y11 ·OD ·y2 )， OC2 ( y1y 2 ) ，222B又 OC4 ， ( y1y2 )28 ，即 ( y1y 2 ) 24y

22、1 y28 ，OPDx由 ym 可得 xm ，代入 ykx4 可得 y24 ykm 0xyy y1y24 ， y1 y 2km ， 164km8 ，即 k2CAm又方程的判別式164km80 ，所求的函數(shù)關(guān)系式為k2 (m0) BmOMPN Dx（2）假設(shè)存在 k , m ，使得以 AB 為直徑的圓經(jīng)過點P(2,0) 則 APBP，過 A、 B 分別作 x 軸的垂線，垂足分別為M 、NMAP 與BPN 都與APM 互余，MAPBPN RtMAP RtNPB ， AMMP y12x1PNNBmm， ( x12)( x22)y1 y22) y1 y20 ，x2 2y20， (2)(y1y 2即m2

23、2(y2)4y1 y 2(y1 y2) 20m y1由（ 1）知 y1y 24， y1y22 ，代入得 m28m 120 ， m 2或 6 ，又 k2m2或m6，k1k1 ，m3存在 k , m ，使得以 AB 為直徑的圓經(jīng)過點P(2,0)m2m6，且或k1 k13學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考8. （ 2004 江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線ymx2(m5) x5(m0) 與 x 軸交于兩點A( x1 ,0) 、B(x2 ,0) ( x1x2 ) ，與 y 軸交于點 C，且 AB=6.（ 1）求拋物線和直線 BC 的解析式 .（ 2）在給定的直角坐標(biāo)系中，畫拋物線和直線BC.（ 3）若P 過 A

24、、B、C 三點，求P的半徑 .（ 4）拋物線上是否存在點M，過點 M 作 MNx 軸于點 N，使MBN 被直線 BC 分成面積比為1 3的兩部分？若存在，請求出點M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 解 （ 1）由題意得： x1x2m5 , x1 x25 , x2 x1 6.ymm36, m2( xx)24x x252036,121mm解得 m 1,m5 .Ox127經(jīng)檢驗 m=1，拋物線的解析式為：yx24x5.或：由 mx2( m5) x 50 得， x1 或 x5mm > 0,151.6, mm拋物線的解析式為yx24x5.由 x24x 5 0 得 x15, x21.A（ 5， 0）

25、， B（ 1， 0）， C（0， 5）.設(shè)直線 BC 的解析式為ykxb,b5,b5,則kb0.k5.直線 BC 的解析式為y5x5.(2) 圖象略 .（3）法一：在RtD AOC 中，OA OC 5,OAC 45 .BPC90.又 BCOB2OC 226, P的半徑 PB26213.2學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考法二：由題意， 圓心 P 在 AB 的中垂線上， 即在拋物線 yx24x 5 的對稱軸直線 x2上，設(shè)P（ 2， h）（ h 0），連結(jié) PB、 PC，則 PB 2(12)2h2 , PC 2(5h)222 ，由 PB2PC 2，即 (12) 2h2(5h)222，解得 h=

26、2.P( 2,2),P 的半徑 PB(12)22213 .法三：延長 CP交P于點 F.CF 為P 的直徑，CAFCOB90 .又 ABCAFC , D ACF D OCB.CFAC,CFAC BCBCOCOC.又 AC525252, CO5, BC521226,CF522652 13.P 的半徑為13.（4）設(shè) MN 交直線 BC 于點 E，點 M 的坐標(biāo)為 (t, t 24t 5), 則點 E 的坐標(biāo)為 (t,5 t 5).若 S: S1:3,則ME:EN1: 3.D MEBD ENBEN:MN3 : 4, t 24t54 (5t5).3解得 t11（不合題意舍去） ， t25,M5,40

27、 .339若 SD MEB : SD ENB3:1,則 ME : EN 3:1.EN :MN1: 4, t 24t54(5t5).解得 t31 （不合題意舍去） ， t415,M15,280 .存在點 M ，點 M 的坐標(biāo)為5 , 40 或（ 15， 280） .39學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考9.如圖， M 與 x 軸交于 A、B 兩點，其坐標(biāo)分別為A ( 3，0) 、 B (1，0) ，直徑 CD x 軸于N，直線 CE 切 M 于點 C，直線 FG 切 M 于點 F ，交 CE 于 G，已知點G 的橫坐標(biāo)為3.(1) 若拋物線yx 22 xm 經(jīng)過 A、B、 D 三點，求m 的值

28、及點D 的坐標(biāo) .(2) 求直線 DF 的解析式 .(3) 是否存在過點G 的直線，使它與（1）中拋物線的兩個交點的橫坐標(biāo)之和等于4？若存在，請求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請說明理由.解 (1) 拋物線過 A、 B 兩點，m (3)1， m=3.yDF拋物線為 yx 22 x 3 .又拋物線過點D，由圓的對稱性知點D為拋物線的頂點 .D 點坐標(biāo)為 (1，4) .A(2) 由題意知： AB=4. CDx 軸， NA=NB=2. ON=1.由相交弦定理得：NA· NB=ND · NC， NC×4=2× 2. NC=1. C點坐標(biāo)為 ( 1， 1).

29、設(shè)直線 DF 交 CE 于 P，連結(jié) CF ，則 CFP=90 ° . 2+ 3= 1+ 4=90°. GC、GF 是切線， GC=GF . 3= 4. 1= 2. GF=GP. GC=GP.可得 CP=8. P 點坐標(biāo)為 ( 7， 1)設(shè)直線 DF 的解析式為 ykx b5Akbk84則b解得277 k1b8直線 DF 的解析式為： y5 x2788MNOBxECG（第 27 題圖）yDFM32xNO4B1ECGP(3) 假設(shè)存在過點 G 的直線為 yk1 xb1 ，則 3k1 b11， b13k 11.yk1 x3k112( 2k1 ) x 4 3 k1 0由方程組x 22 x得 xy3學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考由題意得2 k14 ， k 16 .當(dāng) k16 時，40 0，方程無實數(shù)根，方程組無實數(shù)解.滿足條件的直線不存在.10. （ 2004 山西）已知二次函數(shù)y1 x2 bx c 的圖象經(jīng)過點 A（ 3， 6），并與 x 軸交于2點 B （ 1， 0）和點 C，頂點為 P.（ 1）求這個二次函數(shù)的解析式，并在下面的坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；（ 2）設(shè) D 為線段 OC 上的一點，滿足 DPC BAC ，求點 D 的坐標(biāo)；（ 3）在 x 軸上是否存在一點M ，使以 M 為圓心的圓與 AC 、 PC 所在的直線及y