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文檔簡介
1、專題15 半倍角模型【導入】如圖,已知ABC中,BAC90°,ABAC,D、E是BC邊上的點,將ABD繞點A旋轉(zhuǎn),得到ACD(1)求DAD的度數(shù)(2)當DAE45°時,求證:DEDE;【解答】解:(1)將ABD繞點A旋轉(zhuǎn),得到ACDDADBAC,BAC90°,DAD90°;(2)證明:ABD繞點A旋轉(zhuǎn),得到ACD,ADAD,DADBAC90°,DAE45°EADDADDAE90°45°45°,EADDAE,在AED與AED中,AE=AE,EAD=EAD',AD=AD',AEDAED(SAS
2、),DEDE【方法點睛】圖形分析(關鍵點):共頂點的兩邊相等(旋轉(zhuǎn)必備條件),夾角的一半(旋轉(zhuǎn)角的一半,旋轉(zhuǎn)后形成角平分線)OA=OB,2=1+3把OBF旋轉(zhuǎn)至OBF此時OE平分FOF.即2=1+4【例1】如圖,E是正方形ABCD中CD邊上一點,以點A為中心把ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°(1)在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;(2)若旋轉(zhuǎn)后E點的對應點記為M,點F在BC上,且EAF45°,連接EF求證:AMFAEF;若正方形的邊長為6,AE35,則EF(1)解:如圖,ABM為所作;(2)證明:ABCD 是正方形,BAD90°,ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABM,AM
3、AE,MAE90°,又EAF45°,MAF45°,MAFEAF,在AMF和AEF中,AM=AE,MAF=EAF,AF=AF,AMFAEF.解:AMFAEF,EFMF,即MEBF+MB,而BMDE,EFBF+DE,在RtADE中,DE(35)2623,CE633,設EFx,則BFx3,CF6(x3)9x,在RtCEF中,CF2+CE2EF2,(9x)2+32x2,解得x5,解EF5【例2】如圖,在ABC中,ACBC,ACB,點D、E在AB邊上(點D在點E的右側(cè)),且ACB2DCE將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)角得到線段CF,連結(jié)AF、EF【感知】如圖,當60°
4、時,則CBDCAF,CDECFE(不需要證明)【探究】如圖,當90°時,(1)EAF的度數(shù)為(2)線段AE、ED、DB之間什么數(shù)量關系?請說明理由【應用】(3)如圖,當120°,BCD15°時,請直接寫出BCD、DCE、ACE這三個三角形的面積比【解答】解:(1)在ABC中,ACBC,ACB,90°,ACB2DCE,ABC是等腰直角三角形,ACB90°,ACBC,BACB45°,由旋轉(zhuǎn)知,CDCF,DCF90°,ACFBCD,在ACF和BCD中,AC=BC,ACF=BCD,CF=CD,ACFBCD(SAS),CAFB45
5、176;,AFDB,EAFBAC+CAF90°;故答案為:90°;(2)AE2+DB2DE2,理由如下:90°,ACB2DCE,DCF90°,DCE45°,F(xiàn)CE90°45°45°,DCEFCE,在DCE和FCE中,CD=CF,DCE=FCE,CE=CE,DCEFCE(SAS),DEEF,在RtAEF中,AE2+AF2EF2,又AFDB,AE2+DB2DE2(3)如圖3,將BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°,連接AF,EF,ABC是等腰三角形,ACB120°,ACBC,BACB30°,由旋
6、轉(zhuǎn)知,CDCF,DCF120°,ACFBCD,在ACF和BCD中,AC=BC,ACF=BCD,CF=CD,ACFBCD(SAS),CAFB30°,AFDB,AFCBDC180°BBCD135°,EAFBAC+CAF60°,DCF120°,DCE60°,F(xiàn)CE120°60°60°,DCEFCE,在DCE和FCE中,CD=CF,DCE=FCE,CE=CE,DCEFCE(SAS),DEEF,CFEADEB+BCD45°,AFE90°,在RtAEF中,EAF60°,AEF3
7、0°,EF3AF,AE2AF,DEEF3AF,BDAFSBCD:SCDE:SACEBD:DE:AEAF:3AF:2AF1:3:2【例3】已知四邊形ABCD中,ABAD,BCCD,ABBC,ABC120°,MBN60°,MBN繞B點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AD,DC(或它們的延長線)于E,F(xiàn)(1)當MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AECF時(如圖1),試猜想線段AE、CF、EF之間存在的數(shù)量關系為(不需要證明);(2)當MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AECF時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關系?請寫出你的猜想,不需證
8、明【解答】解:(1)AE+CFEF,理由如下:延長DC至點K,使CKAE,連接BK,在BAE與BCK中,BA=BC,BAE=BCK,AE=CK,BAEBCK(SAS),BEBK,ABEKBC,F(xiàn)BE60°,ABC120°,F(xiàn)BC+ABE60°,F(xiàn)BC+KBC60°,KBFFBE60°,在KBF與EBF中,BK=BE,KBF=EBF,BF=BF,KBFEBF(SAS),KFEF,AE+CFKC+CFKFEF;(2)解:AECFEF,理由如下:延長DC至G,使CGAE,由(1)可知,BAEBCG(SAS),BEBG,ABEGBC,GBFGBCFBC
9、ABEFBC120°+FBC60°FBC60°,GBFEBF,BGBE,GBFEBF,BFBF,GBFEBF,EFGF,AECFCGCFGFEF【專題過關】1. 已知在ABC,ABAC,D、E是BC邊上的點,將ABD繞點A旋轉(zhuǎn),得到ACD,連結(jié)DE若DEDE,BAC90°,DE2BD,判斷DEC形狀,并加以證明【解答】解:DEC是等腰直角三角形;證明:BAC90°,ABAC,BACBACD45°,DCE45°+45°90°,由(2)知,DEDE,DE2BD,D'E2BD,ABD繞點A旋轉(zhuǎn)得到ACD
10、,BDCD',D'E2CD',在RtD'EC中,cosCED'CD'D'E22,CED'45°,CD'E90°CED'45°CED',DEC是等腰直角三角形2.如圖,在ABC中,BAC140°,ABAC,D,E在BC上,DAE70°,ADE45°,試仿照(1)的方法,利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換,探究BD,DE,CE之間的等量關系,并證明你的結(jié)論【解答】可證,AECAFB,BFCE,AFDAED(SAS),F(xiàn)DDE,ADE45°,ADF45
11、6;,故BDF90°,在RtBDF中,由勾股定理,得BF2BD2+DF2,CE2BD2+DE23. 在平面直角坐標系中,已知點A(0,4),B(4,4),點M,N是射線OC上兩動點(OMON),且運動過程中始終保持MAN45°,小明用幾何畫板探究其中的線段關系(1)探究發(fā)現(xiàn):當點M,N均在線段OB上時(如圖1),有OM2+BN2MN2他的證明思路如下:第一步:將ANB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得APO,連結(jié)PM,則有BNOP第二步:證明APMANM,得MPMM第一步:證明POM90°,得OM2+OP2MP2最后得到OM2+BN2MN2請你完成第二步三角形全等
12、的證明(2)繼續(xù)探究:除(1)外的其他情況,OM2+BN2MN2的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由【解答】解:(1)如圖1中,將ANB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得APO,連結(jié)PM,則有BNOP點A(0,4),B(4,4),OAAB,OAB90°,NAPOAB90°,MAN45°,MANMAP,MAMA,ANAP,MANMAP(SAS)(2)如圖2中,結(jié)論仍然成立理由:如圖2中,將ANB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得APO,連結(jié)PM,則有BNOPNAPOAB90°,MAN45°,MANMAP,MAMA,ANAP,M
13、ANMAP(SAS),MNPM,ABNAOP135°,AOB45°,MOP90°,PM2OM2+OP2,OM2+BN2MN24.如圖,在梯形ABCD中,ADBC(BCAD),D90°,BCCD12,ABE45°,若AE10求CE的長度【解答】解:過B作DA的垂線交DA的延長線于M,M為垂足,延長DM到G,使MGCE,連接BG,易知四邊形BCDM是正方形,則BEC與BGM中,BC=BM,C=BMG=90°,EC=GM,BECBMG(SAS),MBGCBE,BEBG,ABE45°,CBE+ABMMBG+ABM45°,即
14、ABEABG45°,在ABE與ABG中,BE=BG,ABE=ABG,AB=AB,ABEABG(SAS),AGAE10,設CEx,則AM10x,AD12(10x)2+x,DE12x,在RtADE中,AE2AD2+DE2,100(x+2)2+(12x)2,即x210x+240;解得:x14,x26故CE的長為4或65. 如圖,在正方形ABCD中,E、F是對角線BD上兩點,且EAF45°,將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后,得到ABQ,連接EQ(1)求證:EA是QED的平分線;(2)已知BE1,DF3,求EF的長【解答】證明:(1)將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°
15、后,得到ABQ,QBDF,AQAF,BAQDAF,EAF45°,DAF+BAE45°,QAE45°,QAEFAE,在AQE和AFE中,AQ=AF,QAE=FAE,AE=AE,AQEAFE(SAS),AEQAEF,EA是QED的平分線;(2)由(1)得AQEAFE,QEEF,ADFABQ,四邊形ABCD是正方形,ADBABD45°,ABQ45°,QBEABQ+ABD90°,在RtQBE中,QB2+BE2QE2,又QBDF,EF2BE2+DF21+910,EF10【專題提高】6. 如圖,AEF中,EAF45°,AGEF于G,且G
16、F2,GE3,則SAEF【答案】15【解析】證明:如圖,將AEG沿AE折疊得到AEB,將AFG沿AF折疊得到AFD,延長BE和DF相交于點CADAGAB,DAGF90°,BAGE90°,DAFGAF,BAEGAE,EAF45°FAG+GAE,DAF+BAE45°,DAB45°+45°90°,即BDDAB90°,ADAB,四邊形ABCD是正方形由折疊知,RtABERtAGE,RtADFRtAGF,BEEG3,DFFG2,EF5,設AGx,則ABBCCDAGx,CECBBEx3,CFx2CE2+CF2EF2,(x3)2+(x2)252解得x16,x21(舍去)AG6AEF的面積12EFAG12×5×6157. 如圖,在ABC中,CAB120°,ABAC,EAD60°,BC3+3,若以BD、DE、EC為邊的三角形是直角三角形時,求BE的長【解析】如圖,將AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°,得到AFB,AECAFB,AFAE,ABFACB,ECBF,EAF120°CAB120°,ABAC,ABCACBABF30°FBD60°,EAF120°,EAD60°,DAEDAF60
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