全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)（初1）第17講二元一次不定方程的解法

1、.第十七講 二元一次不定方程的解法我們知道，如果未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，那么，一般來說，它的解往往是不確定的，例如方程x-2y=3，方程組等，它們的解是不確定的像這類方程或方程組就稱為不定方程或不定方程組不定方程(組)是數(shù)論中的一個古老分支，其內(nèi)容極其豐富我國對不定方程的研究已延續(xù)了數(shù)千年，“百雞問題”等一直流傳至今，“物不知其數(shù)”的解法被稱為中國剩余定理近年來，不定方程的研究又有新的進(jìn)展學(xué)習(xí)不定方程，不僅可以拓寬數(shù)學(xué)知識面，而且可以培養(yǎng)思維能力，提高數(shù)學(xué)解題的技能我們先看一個例子例 小張帶了5角錢去買橡皮和鉛筆，橡皮每塊3分，鉛筆每支1角1分，問5角錢剛好買幾塊橡皮和幾支鉛筆？解 設(shè)小張

2、買了x塊橡皮，y支鉛筆，于是根據(jù)題意得方程3x+11y=50這是一個二元一次不定方程從方程來看，任給一個x值，就可以得到一個y值，所以它的解有無數(shù)多組但是這個問題要求的是買橡皮的塊數(shù)和鉛筆的支數(shù)，而橡皮的塊數(shù)與鉛筆的支數(shù)只能是正整數(shù)或零，所以從這個問題的要求來說，我們只要求這個方程的非負(fù)整數(shù)解因?yàn)殂U筆每支1角1分，所以5角錢最多只能買到4支鉛筆，因此，小張買鉛筆的支數(shù)只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4這五個若y=3，則x=17/3，不是整數(shù)，不合題意；若y=4，則x=2，符合題意所以，這個方程有兩組正整數(shù)解，即也就是說，5角錢剛好能買2塊橡皮與4支鉛筆，或者13塊橡

3、皮與1支鉛筆像這個例子，我們把二元一次不定方程的解限制在非負(fù)整數(shù)時(shí)，那么它的解就確定了但是否只要把解限制在非負(fù)整數(shù)時(shí)，二元一次不定方程的解就一定能確定了呢？不能！現(xiàn)舉例說明例 求不定方程x-y=2的正整數(shù)解解 我們知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，所以這個方程的正整數(shù)解有無數(shù)組，它們是其中n可以取一切自然數(shù)因此，所要解的不定方程有無數(shù)組正整數(shù)解，它的解是不確定的上面關(guān)于橡皮與鉛筆的例子，我們是用逐個檢驗(yàn)的方法來求它們的非負(fù)整數(shù)解的，但是這種方法在給出的數(shù)比較大的問題或者方程有無數(shù)組解的時(shí)候就會遇到麻煩那么能不能找到一個有效而又方便的方法來求解呢？我們現(xiàn)在就來研究這個問題，先給出一個定理

4、定理 如果a，b是互質(zhì)的正整數(shù)，c是整數(shù)，且方程ax+by=c 有一組整數(shù)解x0，y0則此方程的一切整數(shù)解可以表示為其中t=0，±1，±2，±3，證 因?yàn)閤0，y0是方程的整數(shù)解，當(dāng)然滿足ax0+by0=c， 因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c這表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程的解設(shè)x，y是方程的任一整數(shù)解，則有ax+bx=c. -得a(x-x0)=b(y-y0) 由于(a，b)=1，所以ay-y0，即y=y0+at，其中t是整數(shù)將y=y0+at代入，即得x=x0-bt因此x， y可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所

5、以x=x0-bt，y=y0+at表示方程的一切整數(shù)解，命題得證有了上述定理，求解二元一次不定方程的關(guān)鍵是求它的一組特殊解例1 求11x+15y=7的整數(shù)解解法1 將方程變形得因?yàn)閤是整數(shù)，所以7-15y應(yīng)是11的倍數(shù)由觀察得x0=2，y0=-1是這個方程的一組整數(shù)解，所以方程的解為解法2 先考察11x+15y=1，通過觀察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21從而可見，二元一次不定方程在無約束條件的情況下，通常有無數(shù)組整數(shù)解，由于求出的特解不同，同一個不定方程的

6、解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的將解中的參數(shù)t做適當(dāng)代換，就可化為同一形式例2 求方程6x+22y=90的非負(fù)整數(shù)解解 因?yàn)?6，22)=2，所以方程兩邊同除以2得3x+11y=45 由觀察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 的一組整數(shù)解，從而方程的一組整數(shù)解為由定理，可得方程的一切整數(shù)解為因?yàn)橐蟮氖窃匠痰姆秦?fù)整數(shù)解，所以必有由于t是整數(shù)，由，得15t16，所以只有t=15，t=16兩種可能當(dāng)t=15時(shí)，x=15，y=0；當(dāng)t=16時(shí)，x=4，y=3所以原方程的非負(fù)整數(shù)解是例3 求方程7x+19y=213的所有正整數(shù)解分析 這個方程的系數(shù)較大，用觀察法去求其特殊解

7、比較困難，碰到這種情況我們可用逐步縮小系數(shù)的方法使系數(shù)變小，最后再用觀察法求得其解解 用方程7x+19y=213 的最小系數(shù)7除方程的各項(xiàng)，并移項(xiàng)得因?yàn)閤，y是整數(shù)，故3-5y/7=u也是整數(shù)，于是5y+7u=3儆*5除此式的兩邊得2u+5v=3 由觀察知u=-1，v=1是方程的一組解將u=-1，v=1代入得y=2y=2代入得x=25于是方程有一組解x0=25，y0=2，所以它的一切解為由于要求方程的正整數(shù)解，所以解不等式，得t只能取0，1因此得原方程的正整數(shù)解為當(dāng)方程的系數(shù)較大時(shí)，我們還可以用輾轉(zhuǎn)相除法求其特解，其解法結(jié)合例題說明例4 求方程37x+107y=25的整數(shù)解解 107=2

8、15;37+33，37=1×33+4，33=8×4+1為用37和107表示1，我們把上述輾轉(zhuǎn)相除過程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4 =37-9×(37-33)=9×33-8×37 9×(107-2×37)8×379×107-26×37 =37×(-26)+107×9由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一組整數(shù)解于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37

9、x+107y=25的一組整數(shù)解所以原方程的一切整數(shù)解為例5 某國硬幣有5分和7分兩種，問用這兩種硬幣支付142分貨款，有多少種不同的方法？解 設(shè)需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. 所以由于7x142，所以x20，并且由上式知52(x-1)因?yàn)?5，2)=1，所以5x-1，從而x=1，6，11，16，的非負(fù)整數(shù)解為所以，共有4種不同的支付方式說明 當(dāng)方程的系數(shù)較小時(shí)，而且是求非負(fù)整數(shù)解或者是實(shí)際問題時(shí)，這時(shí)候的解的組數(shù)往往較少，可以用整除的性質(zhì)加上枚舉，也能較容易地解出方程多元一次不定方程可以化為二元一次不定方程例6 求方程9x+24y-5z=1000的整數(shù)解解 設(shè)9

10、x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000于是原方程可化為用前面的方法可以求得的解為的解為消去t，得大約1500年以前，我國古代數(shù)學(xué)家張丘建在他編寫的張丘建算經(jīng)里，曾經(jīng)提出并解決了“百錢買百雞”這個有名的數(shù)學(xué)問題，通俗地講就是下例例7 今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只用100個錢買100只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？解 設(shè)公雞、母雞、小雞各買x，y，z只，由題意列方程組化簡得 15x+9y+z=300 -得 14x+8y=200，即 7x+4y=100解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一個特解為由定理知7x+4y=100的所有整數(shù)解為由題意知，0x，y，z100，所以 由于t是整數(shù)，故t只能取26，27，28，而且x，y，z還應(yīng)滿足x+y+z=100t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三種情況：4只公雞，18只母雞，78只小雞；或8只公雞，11只母雞，81只小雞；或12只公雞，4只母雞，84只小雞練習(xí)十七1求下列不定方程的整數(shù)解：