中考數學 第一部分 基礎知識過關 第一章 數與式 第4講 二次根式課件 (15)

1、第第1111講講 反比例函數反比例函數泰安考情分析泰安考情分析基礎知識過關基礎知識過關泰安考點聚焦泰安考點聚焦總綱目錄總綱目錄隨堂鞏固練習隨堂鞏固練習泰安考情分析基礎知識過關知識點一知識點一 反比例函數的定義反比例函數的定義知識點二知識點二 反比例函數的圖象和性質反比例函數的圖象和性質知識點四知識點四 求反比例函數的解析式求反比例函數的解析式知識點三知識點三 反比例函數中系數反比例函數中系數k k的幾何意義的幾何意義知識點五知識點五 反比例函數的應用反比例函數的應用知識點一知識點一 反比例函數的定義反比例函數的定義一般地,形如 y= (k0)的函數叫做反比例函數,其中k為反比例函數的系數.溫馨

2、提示溫馨提示 (1)y=(k0)可變形為k=xy(k0),用此式可直接求出k的值,得到反比例函數的解析式;(2)y=(k0)可變形為y=kx-1(k0),特別值得注意的是自變量x的指數為-1;(3)對于反比例函數y=,需要滿足k0,x0,y0.kxkxkxkx知識點二知識點二 反比例函數的圖象和性質反比例函數的圖象和性質1.1.反比例函數的圖象反比例函數的圖象: :反比例函數y= (k0)的圖象是 雙曲線 ,因為x0,所以y0,所以反比例函數的圖象無限接近x軸和y軸,但不會與x軸、y軸相交.kx2.反比例函數的圖象和性質反比例函數的圖象和性質溫馨提示溫馨提示 反比例函數的圖象是雙曲線,它既是軸

3、對稱圖形,又是中心對稱圖形.其對稱軸是直線y=x和直線y=-x,對稱中心是原點.y=(k0)k0k0圖象所在象限位于第一、三象限位于第二、四象限增減性在每個象限內,y隨x的增大而 減小 在每個象限內,y隨x的增大而 增大 kx知識點三知識點三 反比例函數中系數反比例函數中系數k k的幾何意義的幾何意義1.反比例函數y=(k0)中k的幾何意義由雙曲線y=(k0)上任意一點向兩坐標軸作垂線,兩垂線與坐標軸圍成的矩形面積為 |k| .如圖(1)和圖(2),=PAPB=|y|x|=|xy|=|k|.同理可得,SOPA=SOPB=|xy|=|k|.kxkxPAOBS矩形1212 2.計算與雙曲線上的點有

4、關的圖形面積SAOP= |k|;SAPB= |k|;SAPP=2|k|.1212知識點四知識點四 求反比例函數的解析式求反比例函數的解析式1.由反比例函數y= (k0)的解析式中只有一個待定系數k可知,只需已知一組對應值或圖象上一點的坐標即可求出k的值.2.待定系數法求反比例函數解析式的步驟(1)設所求反比例函數的解析式為y= (k0);(2)把已知的一對x、y的值(或圖象上已知點的坐標)代入解析式,得到關于k的方程;(3)解出k的值,寫出反比例函數解析式.kxkx3.反比例函數的解析式,除了常見的y= 外,還可以表示為y=kx-1或xy=k(k不為0).kx知識點五知識點五 反比例函數的應用

5、反比例函數的應用解決與反比例函數有關的實際問題時,一般要先確定函數解析式,再利用圖象找出解決問題的方案,要特別注意自變量的取值范圍.具體的過程大致可以總結為建立反比例函數模型求出反比例函數表達式結合函數表達式、圖象性質作出解答,特別要注意自變量的取值范圍.泰安考點聚焦考點一考點一 反比例函數的圖象和性質反比例函數的圖象和性質考點二考點二 反比例函數中反比例函數中k k的幾何意義的幾何意義考點三考點三 反比例函數的應用反比例函數的應用考點四考點四 反比例函數與一次函數的綜合問題反比例函數與一次函數的綜合問題考點一考點一 反比例函數的圖象和性質反比例函數的圖象和性質考向考向1 1反比例函數的圖象反

6、比例函數的圖象例例1 1反比例函數y= 在每個象限內的函數值y隨x的增大而增大,則m的取值范圍是( D )A.m0C.m-1 D.m-11mx解析解析對于反比例函數y=(k是常數,k0),若其在每個象限內的函數值y隨x的增大而增大,則k0,即m+10,所以m-1.kx變式變式1-11-1 已知反比例函數y= (k0)的圖象經過點(3,-1),則當1y3時,自變量x的取值范圍是 -3-3x x-1-1 .kx解析解析反比例函數y=(k0)的圖象經過點(3,-1),k=3(-1)=-3,反比例函數的解析式為y=-,反比例函數y=-中,k=-30,該反比例函數的圖象在第二、四象限內,且在每個象限內y

7、隨x的增大而增大,當y=1時,x=-3;當y=3時,x=-1,當1y3時,自變量x的取值范圍是-3x0圖象在第一、三象限在每個象限內y隨x的增大而減小;k0圖象在第二、四象限在每個象限內y隨x的增大而增大.kx考向考向2 2函數值的大小比較函數值的大小比較例例2 2 (2017天津)若點A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函數y=- 的圖象上,則y1,y2,y3的大小關系是( B )A.y1y2y3 B.y2y3y1C.y3y2y1 D.y2y1y3 3x解析解析-30,函數圖象在第二、四象限,且在每個象限內,y隨 x的增大而增大,易知點B,C同在第四象限,且13,y2y3

8、0,y2y30,函數圖象在第一、三象限,且在每個象限內,y隨x的增大而減小,點A在第三象限,函數值為負數,點B和點C在第一象限,y2y30,y1y3y2.變式變式2-22-2已知A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函數y= (k0)圖象上的兩個點,當x1x2y2,那么一次函數y=kx-k的圖象不經過( B )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限kx解析解析由當x1x2y2,可知當x0,所以-k0)的圖象上任意一點,ABx軸交反比例函數y=- (x0)刻畫(如圖所示).(1)根據上述數學模型計算:喝酒后幾小時血液中的酒精含量達到最大值?最大值為多少?當x=5時,y=45,

9、求k的值;(2)按照國家規(guī)定,車輛駕駛人員血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”,不能駕車上路.參照上述數學模型,假設某駕駛員晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早晨7:kx(2)按照國家規(guī)定,車輛駕駛人員血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”,不能駕車上路.參照上述數學模型,假設某駕駛員晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早晨7:00能否駕車去上班?請說明理由.解析解析(1)y=-200 x2+400 x=-200(x-1)2+200,圖象的頂點坐標為(1,200).-20020,第二天早上7:00不能駕車去上班.225x22511變式變式

10、4-14-1某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥,經多年動物試驗,首次用于臨床人體試驗,測得成人服藥后血液中藥物濃度y(微克/毫升)與服藥時間x(小時)之間的函數關系如圖所示(當4x10時,y與x成反比例).(1)根據圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數關系式;(2)求血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為多少小時.解析解析(1)當0 x4時,設直線的解析式為y=kx(k0),將(4,8)代入得8=4k,解得k=2,故直線的解析式為y=2x(0 x4);當4x10時,設反比例函數的解析式為y= (a0),將(4,8)代入得8= ,解得a=32,故反比例函數的解析式為y= (4

11、x10).因此血液中藥物濃度上升階段的函數關系式為y=2x(0 xy2時,x的取值范圍是( D )A.x2 B.x-2或0 x2C.-2x0或0 x2 D.-2x22kx解析解析反比例函數與正比例函數的圖象均關于原點對稱,A、B兩點關于原點對稱,點A的橫坐標為2,點B的橫坐標為-2,結合函數圖象可知,當-2x2時,正比例函數y1=k1x的圖象在反比例函數y2= 的圖象的上方,當y1y2時,x的取值范圍是-2x2,故選D.2kx變式變式5-2 5-2 (2017煙臺)如圖,直線y =x +2與反比例函數y = 的圖象在第一象限交于點P,若OP=,則k的值為 3 .kx10解析解析點P為兩函數圖象

12、的交點,設點P(x,x+2),過點P向x軸作垂線,與x軸相交于點M,在RtOMP中,OP=,根據勾股定理,得x=1,P(1,3),代入反比例函數關系式中,得k=3.10考向考向2 2反比例函數與一次函數的相關計算反比例函數與一次函數的相關計算例例6 6 (2017泰安)如圖,在平面直角坐標系中,RtAOB的斜邊OA在x軸的正半軸上,OBA=90,且tanAOB=,OB=2,反比例函數y= 的圖象經過點B.(1)求反比例函數的表達式;(2)若AMB與AOB關于直線AB對稱,一次函數y=mx+n的圖象過點M、A,求一次函數的表達式.125kx解析解析(1)過點B作BDOA于點D,設BD=a,tan

13、AOB = =,OD =2BD.ODB=90,OB=2,a2+(2a)2=(2)2,解得a=2(舍去-2),OD=4,BDOD1255B(4,2),k=42=8,反比例函數的表達式為y= .(2)tanAOB= ,OB=2,AB= OB = ,OA=5,A(5,0).又AMB與AOB關于直線AB對稱,B(4,2),ABO=90,ABM=ABO=90,O、B、M三點共線,OM=2OB,M(8,4).8x12512522OBAB22(2 5)( 5)把點M、A的坐標分別代入y=mx+n,得解得故一次函數的表達式為y=x-.50,84,mnmn4,320,3mn 43203變式變式6-16-1 (2

14、017菏澤)如圖,一次函數y=kx+b與反比例函數y= 的圖象在第一象限交于A,B兩點,B點的坐標為(3,2),連接OA,OB,過點B作BDy軸,垂足為D,交OA于點C,若OC=CA.(1)求一次函數和反比例函數的表達式;(2)求AOB的面積.ax解析解析(1)如圖,過點A作AFx軸交BD于點E,交OB于點G.點B(3,2)在反比例函數y=的圖象上,a=32=6,反比例函數的表達式為y= .B(3,2),EF=2.BDy軸,OC=CA,AE=EF=AF,AF=4,點A的縱坐標為4.點A在反比例函數y= 的圖象上,A.將(3,2),代入y=kx+b得 ax6x126x3,423,4232,34,

15、2kbkb4,36,kb 一次函數的表達式為y=- x+6.(2)B(3,2),直線OB的表達式為y= x,G ,又A ,AG=4-1=3,SAOB=SAOG+SABG= .43233,123,4292一、選擇題一、選擇題1.已知甲、乙兩地相距20千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,則汽車行駛時間t(單位:時)關于行駛速度v(單位:千米/時)的函數關系式是( B )A.t=20v B.t= C.t= D.t= 20v20v10v隨堂鞏固訓練A.m-5 B.0m5C.-5m0 D.m-52.下圖中的曲線是反比例函數y= 的圖象的一支,則m的取值范圍是( A )5mx3.(2017威海)如圖,正方形A

16、BCD的邊長為5,點A的坐標為(-4,0),點B在y軸上,若反比例函數y=(k0)的圖象過點C,則該反比例函數kx的表達式為( A )A.y= B.y= C.y= D.y= 3x4x5x6x4.反比例函數y= 的圖象與直線y=-x+2有兩個交點,且兩交點橫坐標的積為負數,則t的取值范圍是( B )A.t C.t D.t1 6tx16161616二、填空題二、填空題5.(2018威海)如圖,直線AB與雙曲線y=(kS2時,點P的橫坐標x的取值范圍為 -6xS2時,點P在線段AB上,點P的橫坐標x的取值范圍為-6x-2.kx6x6.(2018濱州)若點A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(1,y

17、3)都在反比例函數y=(k為常數)的圖象上,則y1、y2、y3的大小關系為 y2y10,t0.點A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(1,y3)都在反比例函數y=(k為常數)的圖象上,y1=- ,y2=-t,y3=t,-t- t,y2y1y3.223kkx2t2t7.(2018德州)如圖,反比例函數y= 的圖象與一次函數y=x-2的圖象在第三象限交于點A.點B的坐標為(-3,0),點P是y軸左側的一點.若以A、O、B、P為頂點的四邊形為平行四邊形.則點P的坐標為 (-4,-3)或(-2,3) .3x解析解析由題意得 解得 或 反比例函數y= 的圖象與一次函數y=x-2的圖象在第三象限交于點A

18、,A(-1,-3). 當以AB為對角線時,AB的中點M的坐標為(-2,-1.5).平行四邊形的對角線互相平分,M為OP中點,設P點坐標為(x,y),則 =-2,=-1.5,解得x=-4,y=-3,P(-4,-3);當OB為對角線時,由O、B坐標可求得OB的中點M的坐標為,設P點坐標為(x,y),由平行四邊形的性質可知M為AP的中2,3,yxyx3,1xy1,3.xy 3x02x02y3,02點,結合中點坐標公式可得 =- , =0,解得x=-2,y=3,P(-2,3);當以OA為對角線時,由O、A坐標可求得OA的中點M的坐標為,設P點坐標為(x,y),由平行四邊形的性質可知M為BP中點,結合中

19、點坐標公式可得 =- , =- ,解得x=2,y=-3,P(2,-3)(不合題意,舍去).綜上所述,P點的坐標為(-4,-3)或(-2,3).12x3232y 13,2232x1202y328.如圖,函數y=和y=-的圖象分別是l1和l2.設點P在l1上,PCx軸,垂足為點C,交l2于點A,PDy軸,垂足為點D,交l2于點B,則PAB的面積為 8 .1x3x點P在y=的圖象上,|xP|yP|=|k|=1,設P的坐標是 (a為正數),點A ,點B ,PA= ,PB=4a,SPAB= PAPB= 4a=8.1x1, aa3, aa13 , aa4a12124a9.如圖,點A是反比例函數圖象上一點,

20、過點A作ABy軸于點B,點C、D在x軸上,且BCAD,四邊形ABCD的面積為3,則這個反比例函數的解析式為 y=- .3x解析解析根據反比例函數中k的幾何意義及四邊形ABCD的面積為3,可得|k|=3,該反比例函數的圖象在第二、四象限,k=-3,即函數的解析式為y=- .3x三、解答題三、解答題10.(2018濱州)如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,菱形OABC的頂點A在x軸的正半軸上,頂點C的坐標為(1,).(1)求圖象過點B的反比例函數的解析式;(2)求圖象過點A,B的一次函數的解析式;(3)在第一象限內,當以上所求一次函數的圖象在所求反比例函數的圖象下方時,請直接寫出自變量x的取值范圍.3解析解析(1)由C的坐標為(1,),得到OC=2,菱形OABC,BC=OC=OA=2,BCx軸,B(3,),設反比例函數解析式為y= ,把B的坐標代入得k=3,則反比例函數解析式為y=.(2)設直線AB的解析式為y=mx+n,把A(2,0),B(3,)代入得33kx33 3x320,33,mnm