七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊2.2乘法公式平方差公式的運(yùn)用技巧素材(新版)湘教版

1、平方差公式的運(yùn)用技巧平方差公式(a+b)(ab)=a2b2是恒等式，是初中數(shù)學(xué)中的重要公式，公式中的字母可 以表示數(shù)字，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等代數(shù)式.在多項(xiàng)式的乘法計(jì)算過程中，只要算式 符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運(yùn)用平方差公式.在靈活運(yùn)用平方差公式解答有關(guān)問題時(shí)，應(yīng) 注意以下三種技巧： 一正用技巧1.直接運(yùn)用平方差公式例1計(jì)算：(3a+2b)(2b3a) .分析：直接套用是學(xué)習(xí)了平方差公式后最基本的模仿運(yùn)用， 通過模仿可以培養(yǎng)類比的思維能 力，從而達(dá)到熟悉掌握平方差公式的目的.2 2 2 2解： 原式= (3a)2(2b)2=9a24b2.2連續(xù)運(yùn)用平方差公式例2計(jì)算：(x+2)(x2+4

2、)(X2).分析： 此題若從左向右依次運(yùn)算計(jì)算很繁，若根據(jù)題目的特點(diǎn)，先將兩個(gè)一次式相乘，則發(fā)現(xiàn)連續(xù)兩次運(yùn)用平方差公式，就可以求到結(jié)果.224解： 原式=(x24) (x2+4)=x416.3綜合運(yùn)用乘法公式例3計(jì)算：(2a+bc+6)(2ab+c+6).分析： 此題是兩個(gè)四項(xiàng)式相乘， 按照多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算會(huì)得到十六項(xiàng)， 然后再合并同類 項(xiàng)，但是若能把(2a+6)、(bc)看作整體， 則可以先運(yùn)用平方差公式再運(yùn)用完全平方公式求 解，避免合并同類項(xiàng)的運(yùn)算.2 2 2 2解：原式=(2a+6) +(bc)(2a+6)(bc)=(2a+6)2(bc)2=4a2+24a+36b2+2bcc2.二逆

3、用技巧 靈活正確掌握好平方差公式的逆用，對于計(jì)算和化簡帶來很大的簡便性，可以起到事半功倍 的作用.1直接逆用平方差公式例4計(jì)算：(a+2)2(a2)2.分析： 此題可以直接先運(yùn)用完全平方公式，然后再進(jìn)行整式的加減，運(yùn)算比較繁，若根據(jù)題目的特點(diǎn)，直接逆用平方差公式，便可化繁為簡，迅速求解.解：原式=(a+2)+(a2) (a+2)(a2)=2ax4=8a.11112 2 2 2例5計(jì)算：(1 2)(13 )(1 4)(12008 ).可以減少運(yùn)算量20092.提公因式后逆用平方差公式例6計(jì)算：6.98X512492X6 . 98.分析：此題無法直接逆用平方差公式，觀察到題目的特點(diǎn)，可以先提取提公

4、因式 逆用平方差公式求解解：原式=6.98X(512-492)=6.98X(51+49)X(51-49)=6.98X100X2=1396;3.分組后逆用平方差公式2 2 2 2 2 2 2 2 2例7計(jì)算：12 +34 +20032004 +20052006 +2007 .分析：此題若直接先算出括號(hào)內(nèi)的結(jié)果，將會(huì)出現(xiàn)2007個(gè)分?jǐn)?shù)相乘的運(yùn)算，但如果每個(gè)括號(hào)內(nèi)都先逆用平方差公式,那么除了首尾兩數(shù)以外,其余每相鄰兩數(shù)均互為倒數(shù)，正好約分,解：解：原式=(112)(1 +12)(11 13 )(1+ 3)(11一丄1丄2008 2008200720082009(-4廠(空84 52007200720

5、09 1 20091) 20082008=2 2008 =6.98，再進(jìn)行變形，再逆用平方差公式，可以快速求解解：原式=1.2222X 321.3332X22=(1.222X3)2-(1.333X2)2=(3.666+2.666)(3.6662.666)=6.332.6.逆用平方差公式后約分例10計(jì)算：(16a29b2)-(4a3b).分析：此題根據(jù)題目的特點(diǎn)，先逆用平方差公式后發(fā)現(xiàn)可約分，則可化繁為簡，迅速得解.解：原式=(4a+3b)X(4a3b)-(4a3b)=4a+3b.三創(chuàng)造條件運(yùn)用技巧一些題目看似無法運(yùn)用平方差公式運(yùn)算，但若能認(rèn)真審題，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，把題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，便可適用

6、平方差公式進(jìn)行計(jì)算1.拆數(shù)(項(xiàng))后運(yùn)用平方差公式例11計(jì)算：(1)2008X1992,(2)(a+3)(a1).分析：此題直接計(jì)算也行，但是若能恰當(dāng)拆數(shù)(項(xiàng))后運(yùn)用平方差公式，則更計(jì)算為簡單，更能快速求得結(jié)果.2 2解：(1)原式=(2000+8 )X(20008)=20008 =3999936.分析：此題的數(shù)據(jù)較多,中間帶有省略號(hào)，直接先算乘方再求代數(shù)和運(yùn)算量太大,且不易求到結(jié)果，根據(jù)題目的特點(diǎn),將1后面的2006個(gè)數(shù)據(jù)兩兩分組，逆用平方差公式，在利用求和公式求得結(jié)果.2 2解：原式=1+(32)+(52 2 2 2 2 2 2 24 )+ (20032002 )+(20052004 )+(

7、20072006)2007 .2007=1+(3+2)+(5+4)+(2003+2002)+(2005+2004)+(2007+2006)=2=2015028.4.指數(shù)變形后逆用平方差公式例8證明3846能被17整除.分析：此題若按常理應(yīng)先算出3846的結(jié)果，再看是不是17的整倍數(shù)，但這樣做計(jì)算量較大，不如根據(jù)題目的特點(diǎn)，先逆用amnmn8 6二a把38、46進(jìn)行指數(shù)變形，再逆用平方差公式,可以快速求證.證明：3846=(34)2(43)2=(34+43)(3443)=145X17.3846能被17整除.5.結(jié)合積的乘方性質(zhì)逆用平方差公式2 2例9計(jì)算：1.222X91.333X4.分析：此題

8、無法直接逆用平方差公式，觀察到題目的特點(diǎn)，可以先逆用mm. mab=a b對原式(2)原式=(a+1)+2(a+1)2=(a+1)222=a2+2a+14= a2+2a3.2.添項(xiàng)后運(yùn)用平方差公式例12計(jì)算：(1)99 982, (2)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) (2512+1).分析：本題若直接計(jì)算很繁，但添上一個(gè)數(shù)后，便能發(fā)現(xiàn)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行巧算，不難求得結(jié)果.解：(1)原式=99982-22+22=(9998+2) (9998-2)+4=99960000+4=99960004.248512(2)原式=1X(2+1)(2+1)(2 +1)(2 +1) (2+1)=(21)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) (2512+1)=(221)(22+1)(24+1)(28+1) (2512+1)=(25121)(2512+1)=210241;3.結(jié)合積的乘方性質(zhì)運(yùn)用平方差公式例13計(jì)算：(xy)2(x+y)2(x2+/)2.分析：根據(jù)題目的特點(diǎn)，可以先逆用abm=ambm對原式進(jìn)行變形，再兩次運(yùn)用平方差公式， 就可以求到結(jié)果.2 2 222、，22 2,44、28448解：原式=(xy)(x+y)(x +y )=(xy )(x +y )=(xy ) =x2x y +y .4.結(jié)合乘法分