概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件

1、在實際問題中在實際問題中,一個隨機試驗往往用幾個隨機變量一個隨機試驗往往用幾個隨機變量整體地討論其結果整體地討論其結果. 如射擊時考慮子彈在靶標上如射擊時考慮子彈在靶標上的位置的位置, 我們我們用定義在同一個樣本空間用定義在同一個樣本空間上的兩上的兩個隨機變量個隨機變量 X 和和 Y 分別表示子彈在靶標上的橫坐分別表示子彈在靶標上的橫坐標與縱坐標標與縱坐標, 則子彈在靶標上的位置可用二維隨則子彈在靶標上的位置可用二維隨機變量或二維隨機向量（機變量或二維隨機向量（X，Y）表示）表示.定義定義1.1 設設是隨機試驗是隨機試驗E的樣本空間的樣本空間,在樣本空間在樣本空間上定義兩個隨機變量上定義兩個隨

2、機變量X和和Y, 即對任意的即對任意的e , 都都賦予實數(shù)賦予實數(shù)X(e), Y(e), 我們稱向量（我們稱向量（X，Y）為）為二維隨二維隨機變量機變量或或二維隨機向量二維隨機向量. 類似地可定義類似地可定義三維隨機變量三維隨機變量以及任意以及任意有限維隨有限維隨機變量機變量. 我們把二維及二維以上的隨機變量稱為我們把二維及二維以上的隨機變量稱為多多維隨機變量維隨機變量. 本章主要討論二維隨機變量本章主要討論二維隨機變量,其結果只其結果只要形式上加以處理要形式上加以處理, 可以推廣到三維或三維以上的可以推廣到三維或三維以上的隨機變量隨機變量.定義定義1.2 設設(X,Y)為為二維隨機變量二維隨

3、機變量, x,y為任意的實為任意的實數(shù)數(shù), 則稱二元函數(shù)則稱二元函數(shù))()(),(),(yYxXPyYxXPyxF 為為 (X,Y) 的的分布函數(shù)分布函數(shù)或或X和和Y的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù). . ,| ),( ),(),(),( ,),(概概率率內內的的矩矩形形區(qū)區(qū)域域落落在在處處的的函函數(shù)數(shù)值值就就是是隨隨機機點點在在點點布布函函數(shù)數(shù)則則聯(lián)聯(lián)合合分分坐坐標標的的看看成成平平面面上上的的隨隨機機點點如如果果把把yvxuvuGYXyxyxFYX 性質性質1 對任意的對任意的x和和y ,有有0F(x,y) 1; 性質性質2 F(x,y)關于關于x和和y都是單調不減的都是單調不減的. 證明證明

4、 對任意的對任意的 和和y,因為因為所以所以即即同理可證同理可證,對任意的對任意的x 和和有有21 xx ),(X),(X 21yYxyYx ),(X),(X 21yYxPyYxP ),(),( 21yxFyxF )()( 21x,yFx,yF 21 yy 性質性質3 對任意的對任意的x和和y ,有有 0),(),(lim yxFyFx0),(),(lim yxFxFy0),(),(lim yxFFyx1),(),(lim yxFFyx?),(),(lim yxFFyx不一定不一定,留給有興趣的同學課后思考留給有興趣的同學課后思考但但性質性質4 F(x,y)關于關于x和和y都是右連續(xù)的都是右連

5、續(xù)的. ),(), 0(),(lim0yhxFyxFyxFh ),()0,(),(lim0hyxFyxFyxFh 0),(),(),(),(),( 112112222121 yxFyxFyxFyxFyYyxXxP性質性質5 對于任意的對于任意的,有有即二元函數(shù)即二元函數(shù)F(x,y)是是矩增矩增的的2121 , yyxx ? ),()0, 0(),(lim)0,0(),(tysxFyxFyxFts 定義定義2.12.1 如果二維隨機變量如果二維隨機變量(X,Y)的可能取值是有的可能取值是有限組或可列無限組限組或可列無限組 則稱則稱(X,Y)為為二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量, ,將將(X,

6、Y)取每組值的概率取每組值的概率, 3 , 2 , 1, ),( jiyxji稱為二維離散型隨機變量稱為二維離散型隨機變量(X,Y)的的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律. ., 3 , 2 , 1, ,),( jipyYxXPijji).()(),( ,)()(),( jijijijiyYxXyYxXyYxXyYxX 即即積積事事件件的的與與表表示示事事件件記記號號二維離散型隨機向量二維離散型隨機向量(X,Y)(X,Y)的分布律表的分布律表ijiiijjjpppxpppxpppxyyyYX2122221211211121解解 (X,Y)的可能取值為的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)

7、,則則(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為例例1 袋中有袋中有2個黑球個黑球3個白球個白球,從袋中隨機取兩次從袋中隨機取兩次,每每次取一個球次取一個球,取后不放回取后不放回.令令求求(X,Y)的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律. 第二次取到白球第二次取到白球第二次取到黑球第二次取到黑球第一次取到白球第一次取到白球第一次取到黑球第一次取到黑球, 0, 1 , 0, 1YX2064353)0, 0( YXP2064253)1, 0( YXP性質性質1 證證 所以所以 性質性質2 證證 , 1),(0 jiyYxXP因為因為10 ijp10 ijp1111, ijijjiijpp1)(),(1111 PyY

8、xXppijjiijij證證 性質性質3 聯(lián)合分布律完全反映了聯(lián)合分布律完全反映了(X,Y)的概率性質的概率性質:設設G是一平面區(qū)域是一平面區(qū)域, 則則即隨機點即隨機點(X,Y)落在區(qū)域落在區(qū)域G上的概率是上的概率是(X,Y)在在G上取上取值所對應的概率之和值所對應的概率之和. GyxijjipGYXP),( ),() ),( (),(),(GyxjijiyYxXPGYXP GyxijGyxjijijipyYxXP),(),( ),( 性質性質4 4 二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函的聯(lián)合分布函數(shù)為數(shù)為 其中和式是對一切滿足其中和式是對一切滿足xix, ,yjy的來求

9、和的來求和. . yyxxijjipyYxXPyxF, ),(),(例例2 令隨機變量令隨機變量X表示在表示在1,2,3,4中中等可能地等可能地取一個取一個值值, 令隨機變量令隨機變量Y表示表示在在1至至 X中等可能地取一個值中等可能地取一個值. 求求(X,Y) 的聯(lián)合分布律和的聯(lián)合分布律和F(2,2),F(3,3),F(4,4)之值之值.解解)|()(),(iXjYPiXPjYiXPpij ijiji, 0),/1)(4/1(故故 (X,Y) 的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為Y X 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12

10、1/16 4 0 0 0 1/16 )2, 2()2 , 2( YXPF)3, 3()3 , 3( YXPF)4, 4()4 , 4( YXPF31121121811218141000 218181410 1000000161161121161121811611218141 則稱則稱(X,Y)為為二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量, f(x,y)稱為稱為(X,Y)的的概率密度概率密度或稱為或稱為X和和Y的的聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度或或聯(lián)合密聯(lián)合密度函數(shù)度函數(shù). yxdudvvufyxF),(),(定義定義2.2 設設(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y).如果存在如果存在非負

11、可積非負可積函數(shù)函數(shù)f(x,y),對任意實數(shù)對任意實數(shù)x,y, 有有(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)具有性質具有性質 性質性質1 非負性非負性: f(x,y) 0性質性質2 歸范性歸范性: 1),(),( dudvvufF GdudvvufGYXP),(),(yxyxFyxf ),(),(2性質性質3 f(x,y)完全反映了二維連續(xù)型隨機變量完全反映了二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率性質的概率性質: 設設G為平面上的任意區(qū)域為平面上的任意區(qū)域, 則則性質性質4 二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)與密度的分布函數(shù)與密度函數(shù)的關系函數(shù)的關系: 在在f(x,

12、y)的連續(xù)點處的連續(xù)點處，有，有解解 (1)由由 得得所以所以 k=6(2) 例例3 設二維隨機變量設二維隨機變量(X,Y)的概率密度的概率密度求求:(1)常數(shù)常數(shù)k; (2) 其他其他010),(yxkxyxf).1( YXP1),( dudvvuf61110kkxdydxx 416),()1(12/101 xxyxdyxdxdxdyyxfYXP例例4 4 設二維隨機向量設二維隨機向量( (X,Y) )具有概率密度具有概率密度(1)(1)求求F( (x, ,y) )和和P( (YX).).解解 (1)(1) 其其他他00, 02),(2(yxeyxfyx yxdudvvufyxF),(),(

13、 其其他他00, 0,20)2(0yxdudveyvux 其他其他00, 0),1)(1(2yxeeyx(2) (2) 將將( (X,Y) )看著平面上隨機點的坐標看著平面上隨機點的坐標. .G是是xoy平平面上直線面上直線y=x下方的部分下方的部分. .),()(GYXPXYP vuvduedve202 Gdudvvuf),(vvedve20 3103 dvev 關于二維隨機向量的討論關于二維隨機向量的討論, ,可以推廣到可以推廣到n( (n2)2)維隨機向量的情況維隨機向量的情況. . 設設( (X1, X2, Xn) )為為n維隨機向量維隨機向量, , 對于任意對于任意n個實數(shù)個實數(shù)x1, x2, xn, n元函數(shù)元函數(shù) F( (x1, x2, xn)=)=P( (X1x1,X2 x2, Xn xn) )稱為稱為n維隨機向量維隨機向量( (X1, X2, Xn) )的分布函數(shù)或隨機的分布函數(shù)或隨機變量變量X1, X2, Xn的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù). .它具有類似于二它具有類似于二維隨機向量的分布函數(shù)的性質維隨機向量的分布函數(shù)的性質. .(1) 設設G為平面上的有限區(qū)域為平面上的有限區(qū)域, 如果如果(X,Y)的概率密度的概率密度其中其中A(G)是區(qū)域是區(qū)域G的面積的面積,稱稱