函數(shù)與數(shù)列的極限的強(qiáng)化練習(xí)題答案(含詳細(xì)分析)名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、3x3 f x2y x第一講：函數(shù)與數(shù)列的極限的y xx f x2選 C強(qiáng)化練習(xí)題答案4下列函數(shù)在,內(nèi)無界的是（）一、單項(xiàng)選擇題1下面函數(shù)與 y x 為同一函數(shù)的是（）A.y1B.y arctan xx221A.yxB.yx2sin xcos xD.yx sin xC. yC.yeln xD.yln exxx1 有界，解 :排除法：A解 ：y ln exx ln e x ， 且 定 義 域1 x22 x 2,B arctan x有界，Csin xcosx2，選 D2f 2 x 的反函故選 D2已知是 f 的反函數(shù)，則有界是lim xn 存在的（）5數(shù)列 xnn數(shù)是（）A.y1B.y 2 xx2

2、A 必要條件B 充分條件C 充分必要條件D 無關(guān)條件C. y12xD. y22x解 ：xn 收 斂 時(shí) ， 數(shù) 列 xn 有 界 （ 即21xnM ），反之不成立，（如1n 1解 : 令 y f2x , 反解出 x ： xy , 互有界，12但不收斂，換 x ， y 位置得反函數(shù)x，選 A選 Ay2n時(shí)， sin21 與 13設(shè) fx,6當(dāng)為等價(jià)無窮小，在有定義， 則下列函數(shù)nnk為奇函數(shù)的是（）則 k = （）1B 1C 2D -2A.yfxfxA2B.yxfxfxsin2 11解：limnlim n21，k2 選 CC. y x3 f x2n1n1nknk二、填空題（每小題4 分，共24

3、分）D.yfx fx7設(shè) f x1，則 ffx的定義域1yx3 fx2,且x解 ：的定義 域?yàn)榻猓?ffx111 f x111 xx11x2x ffx定義域?yàn)?,2)(2,1)(1,)8設(shè) f ( x2)x21,則 f (x 1)解：（ 1）令 x 2 t , f tt 24t 5fxx24x5（ 2） f x1(x1)24(x1)5x26x 109函數(shù) ylog4xlog 4 2 的反函數(shù)是解：（1）log4 (2 x)xx42 y 1y，反解出：（ 2）互換 x, y 位置，得反函數(shù)y42x 110 limnn1n2n有理化3n3解：原式lim2nn 1n25kn11若 lim1e 10

4、,nn則 klim5(kn)5k10nnee故解 ： 左 式 = ek 212 lim 3n25 sin 2=n5n3n解：當(dāng) n時(shí)， sin 2 2原式nn= lim 3n252=6n 5n 3 n 5三、計(jì)算題 （每小題8 分，共 64 分）arcsin 2x113求函數(shù) y7的定義域x 112x113 x 4解：7x1 0x 1或 x 1函數(shù)的定義域?yàn)?, 1)1,414設(shè) fsin x1 cos x求 fx2解： fsin x2cos2 x2 1sin2 x222f2 12故 f x 2 1 x215 設(shè)fxln x ， g x的 反 函 數(shù)g 1 x2 x1，求 f g xx1解 :

5、 （ 1） 求 g ( x ): y2 x 2 反x 1解出 x ： xy y 2x 2 xy 2解： 已知 f ( x) g( x)1x 11即有f ( x) g ( x)x11f ( x)g(x)2x1y22 得 2 fx11互換 x, y 位置得g ( x )x2x2(2) fgxln gxlnx2x216判別 fxlnx1x2的奇偶性。解法（ 1）： fx 的定義域,，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱fxlnx1x2ln11x 2x11 x2 )lnx1x 2ln( xfxfxln( x1x2 ) 為奇函數(shù)解法（ 2）：fxfxln( x1x2 )lnx1x2ln( x1x2 )1x2xln1 0fxfx

6、故 fx為奇函數(shù)17已知 fx 為偶函數(shù)， gx為奇函數(shù)，且 f xg x1 ，求 f x 及 g xx1x1x11故f (x)x2 12 得 2gx11x1 x1x故 g( x)2 1xn18設(shè) limn2a3na8 ，求 a 的值。n3n解：limn2anlim13a 3nan annlimnan aaea8nee ,故 aln83ln 211n19求 lim11 22 3n n1n解：（1）拆項(xiàng)，1k1kk (k1)(k1)k11k1,2, nkk 11111 22 3n n1111111223nn111n1（ 2）原式 = lim1nlimn1n 1e1nn1en20設(shè) f xax a

7、 0, a 1 ,求 lim1f1f2fnn2 lnn解： 原式 = lim1lna1a2annn2lim12 ln a2ln an ln annln alim 12nnn2ln alim(n1)nnn221 ln a a0, a12四、綜合題 （每小題10 分，共 20 分）21設(shè) fx =x，求 f3 x =1 x2f f fx并討論f 3 x 的奇偶性與有界性。解：（ 1）求 f3xfxxf 2 xfxxx2f 2 x12x211f3x ff2xf2xx1f22x13x2（ 2）討論 f3x的奇偶性f3 xxxf313x2f3 x 為奇函數(shù)（ 3）討論f3 x 的有界性f3xx1x3 x

8、31 3x2f3x 有界22從一塊半徑為R 的圓鐵片上挖去一個(gè)扇形，把留下的中心角為的扇形做成一個(gè)漏斗（如圖），試將漏斗的容積V 表示成中心角的函數(shù)。解：（ 1）列出函數(shù)關(guān)系式，設(shè)漏斗高為 h ，底半徑為 r，依題意：漏斗容積V= 1 r 2 h3hR2r 2 ,2r Rr 2R22hR2R2244故 VR2R4 23422R334224（ 2）函數(shù)的定義域4220,2220故 VR3242024五、證明題 （每小題9 分，共 18 分）23設(shè) fx 為定義在,的任意函數(shù)，證明 fx 可表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和。f xfxf xfx證： (1)f x22fxfx(2) 令 g xx2fxfxgx g x 2g x 為偶函數(shù)fxfx(3) 令xx2fxfxxx 2x 為奇函數(shù)（ 4）綜上所述：fxg x 偶函數(shù) +x奇函數(shù)24設(shè) fx滿足函數(shù)方程 21f x + fx=1 ，證明 fx 為奇函數(shù)。x證：（1）2 fx11f1xx令 1t,2f1ft t函數(shù)與自變量xt2 f1x2f xx（ 2）消去 f 1 ，求出 f x x221 : fx4 f x2xx3 fxx22x2x2x, f3x（ 3）fx 的定義域,00,又 f2x2fxx3xf x 為奇函數(shù)