初二數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)之幾何部分——菱形(學(xué)生版)

1、初二數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)之菱形一、知識點梳理（一）四邊形的相關(guān)概念1、四邊形在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接的圖形叫做四邊形。2、凸四邊形把四邊形的任一邊向兩方延長，如果其他個邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形。3、對角線在四邊形中，連接不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線。4、四邊形的不穩(wěn)定性三角形的三邊如果確定后， 它的形狀、大小就確定了，這是三角形的穩(wěn)定性。但是四邊形的四邊確定后， 它的形狀不能確定， 這就是四邊形所具有的不穩(wěn)定性，它在生產(chǎn)、生活方面有著廣泛的應(yīng)用。5、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°

2、;。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。推論：多邊形的內(nèi)角和定理： n 邊形的內(nèi)角和等于 (n 2)180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。6、多邊形的對角線條數(shù)的計算公式設(shè)多邊形的邊數(shù)為 n，則多邊形的對角線條數(shù)為n(n3) 。2（二）平行四邊形1、平行四邊形的概念兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“ ABCD”表示，如平行四邊形 ABCD記作“ ABCD”，讀作“平行四邊形 ABCD”。2、平行四邊形的性質(zhì)（ 1）平行四邊形的鄰角互補，對角相等。（ 2）平行四邊形的對邊平行且相等。推論：夾在兩條平行線間的

3、平行線段相等。（ 3）平行四邊形的對角線互相平分。（ 4）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積。（ 5）中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。3、平行四邊形的判定（ 1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（ 2）定理 1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（ 3）定理 2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（ 4）定理 3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（ 5）定理 4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩

4、條平行線的距離。平行線間的距離處處相等。（ 4）兩條平行線之間的距離兩條平行線中， 一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離平行線間的距離處處相等注意： (1) 距離是指垂線段的長度，是正值5、平行四邊形的面積： S 平行四邊形 =底邊長×高 =ah（三）矩形1、矩形的概念有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)（ 1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)（ 2）矩形的四個角都是直角（ 3）矩形的對角線相等（ 4）矩形是軸對稱圖形注：用矩形的性質(zhì)可以證明線段相等或倍分、直線平行、角相等等3、矩形的判定（ 1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（ 2）定理 1：

5、有三個角是直角的四邊形是矩形（ 3）定理 2：對角線相等的平行四邊形是矩形結(jié)論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。注意：用定義判定一個四邊形是矩形必須同時滿足兩個條件：一是有一個角是直角；二是平行四邊形也就是說有一角是直角的四邊形，不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個條件，它才是矩形用定理 2 證明一個四邊形是矩形， 也必須滿足兩個條件： 一是對角線相等； 二是平行四邊形 也就說明： 兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形， 必須加上平行四邊形這個條件，它才是矩形4、矩形的面積： S 矩形 =長×寬 =ab（四）菱形1、菱形的概念有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(zhì)（ 1

6、）具有平行四邊形的一切性質(zhì)（ 2）菱形的四條邊相等（ 3）菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角（ 4）菱形是軸對稱圖形3、菱形的判定（ 1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（ 2）定理 1：四邊都相等的四邊形是菱形（ 3）定理 2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形注意：對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，必須加上平行四邊形這個條件它才是菱形利用菱形的性質(zhì)及判定可以證明線段相等及倍分、角相等及倍分、 直線平行、垂直，以及證明一個四邊形是菱形和有關(guān)計算4、菱形的面積S 菱形 =底邊長×高 =兩條對角線乘積的一半菱形的計算轉(zhuǎn)化為 _三角形（五）正方形1、正方形的概念有一

7、組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關(guān)系如圖：2、正方形的性質(zhì)（ 1）具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)（ 2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等（ 3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（ 4）正方形是軸對稱圖形，有 4 條對稱軸（ 5）正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形（ 6）正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。3 、正方形的判定判定一：一組鄰邊相等的矩形是正方形；判定二：一個角是直角的菱形是正方

8、形判定三：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形；判定四：即是矩形又是菱形的四邊形是正方形。（ 1）判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。先證它是菱形，再證有一個角是直角。（ 2）判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：先證明它是平行四邊形；再證明它是菱形（或矩形） ；最后證明它是矩形（或菱形）4、正方形的面積設(shè)正方形邊長為 a，對角線長為 b22bS 正方形 =a2（六）梯形1、梯形的相關(guān)概念一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做

9、梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形2、梯形的判定（ 1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。（ 2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。3、等腰梯形的性質(zhì)（ 1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（ 3）等腰梯形的對角線相等。（ 4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。4、等腰梯形的判定（ 1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（ 2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形（ 3）對角線相等的梯形是等腰梯形。5、梯形的面積（ 1）（

10、上底 +下底） 高 2（ 2） 梯形中位線 高（3）一腰中點到對腰的距離乘以此對腰的長S梯 ABCD= BCEF （如圖）ABFEDC( S1S2 )2s梯ABCD（4）如右圖（現(xiàn)記住結(jié)論就行了）S 1S0SOS 2（ 5）梯形中有關(guān)圖形的面積：S ABDS BAC； S AODS BOC； S ADCS BCD6、梯形中位線定理梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。7、解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：梯形的常見輔助線的添加方法：作高、平移腰、延腰、平移對角線、等積變化（當(dāng)然不要忘了根據(jù)條件靈活添加輔助線）。通過添加輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形“作高”：使兩腰在兩個直角三

11、角形中“移對角線” ：使兩條對角線在同一個三角形中“廷腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個三角形“等積變形” ：連接梯形上底一端點和另一腰中點，并延長交下底的延長線于一點，構(gòu)成三角形轉(zhuǎn)化綜上，解決梯形問題的基本思路：梯形問題 三角形或平行四分割、拼接邊形問題，這種思路常通過平移或旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)（七）各個四邊形之間的關(guān)系（1）知識框架8（ 2）幾種特殊四邊形的性質(zhì)邊角對角線平行對邊平行且相等對角相等兩條對角線互相平分四邊形矩形對邊平行且相等四個角都是直角兩條對角線互相平分且相等菱形對邊平行對角相等兩條對角線互相垂直平分，每條對四邊相等角線平分一組對角正方形對邊平行四個角都是直角兩條對角線互相垂直平分且相等，四

12、邊相等每條對角線平分一組對角（ 3）幾種特殊四邊形的常用判定方法平行（ 1）兩組對邊分別平行；（2）兩組對邊分別相等；（3）一組對邊平行且相四邊形等；（ 4）兩條對角線互相平分；（5）兩組對角分別相等。（ 1）有三個是直角；（2）是平行四邊形且有一個角是直角；矩形（ 3）是平行四邊形且兩條對角線相等。（ 1）四條邊都相等；（ 2）是平行四邊形且有一組鄰邊相等；菱形（ 3）是平行四邊形且兩條對角線互相垂直。正方形（ 1）是矩形，且有一組鄰邊相等；（2）是菱形，且有一個角是直角。（八）中心對稱圖形(1 ）把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn) 180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形

13、關(guān)于這個點對稱（中心對稱）；(2) 把一個圖形繞它的某一個點旋轉(zhuǎn) 180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。性質(zhì)： (1) 關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形；(2) 關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分；(3) 如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。注： (1) 以下圖形是中心對稱圖形：直線、線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等。(2) 以下圖形不是中心對稱圖形：射線、角、三角形、等邊三角形、等腰三角形等。(3) 特別注意：平行四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形。

14、對比軸對稱圖形與中心對稱圖形：軸對稱圖形有一條對稱軸直線中心對稱圖形有一個對稱中心點沿對稱軸對折對折后與原圖形重合繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180O旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合（九）主要思想方法小結(jié)1、轉(zhuǎn)化思想（又叫化歸思想）轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，或?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來處理的一種思想，本章應(yīng)用化歸思想的內(nèi)容主要有兩個方面：（1） 四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理（2） 梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形來處理2、代數(shù)法（計算法）代數(shù)法是用代數(shù)知識來解決幾何問題的方法，也就是說運用幾何定理、法則，通過列方程、方程組或不等式及解方程、方程組、恒等變形等代數(shù)方法，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來解決

15、的方法3、變換思想即運用平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換等方法來構(gòu)造圖形解決幾何問題（十）應(yīng)注意的幾個問題1、不能把判定方法與性質(zhì)混淆，應(yīng)加深對判定方法中條件的理解，重視判定方法中的基本圖形， 不要用性質(zhì)代替了判別 解題時不能想當(dāng)然， 更不要忽視重要步驟2、在判別一個四邊形是正方形時，容易忽視某個條件，致使判斷失誤，要避免這種錯誤的產(chǎn)生就必須認(rèn)真熟記正方形的定義、 特征和識別方法， 認(rèn)真區(qū)別各個特征、識別方法的條件，不要忽略隱含條件，避免錯誤的產(chǎn)生3、判別一個四邊形是等腰梯形時，不要忽略了先判別四邊形是梯形，對梯形的概念、性質(zhì)、判定認(rèn)識要清4、縱橫對比，分清各種四邊形的從屬關(guān)系，抓住其概念的內(nèi)涵5

16、、復(fù)習(xí)時，依然從邊、角、對角線、對稱性等角度來理解和應(yīng)用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定方法，注意對問題的觀察、分析與總結(jié)（十一）幾何證明思路。（十三）做輔助線法則二、考點及題型考點 1 與菱形有關(guān)的計算問題1、如圖，菱形 ABCD 的對角線 AC， BD 相交于 O 點， E，F(xiàn) 分別是 AB，BC 邊上的中點，連結(jié) EF.若 EF3，BD4，則菱形 ABCD 的周長為 ()A 4B4 6C4 7D282如圖，四邊形 ABCD 是菱形， AC=8，DB=6 ，DH AB 于 H，則 DH=（）ABC12D243、如圖，矩形 ABCD 中， AB 8，BC4.點 E 在邊 AB 上，

17、點 F 在邊點 G，H 在對角線 AC 上若四邊形 EGFH 是菱形，則 AE 的長是（A25B35C5D6CD）上，4、如圖，矩形 ABCD 中，AB8，點 E 是 AD 上的一點，有 AE4， BE 的垂直平分線交 BC 的延長線于點 F，連結(jié) EF 交 CD 于點 G，若 G 是 CD 的中點，則 BC 的長是 _訓(xùn)練 1 訓(xùn)練 2 如圖，在菱形 ABCD 中，過點 B 作 BEAD ， BFCD，垂足分別為 E，F(xiàn)，延長 BD 至 G，使得 DG=BD ，連接 EG，F(xiàn)G，若 AE=DE ，則 EG =_AB訓(xùn)練 2 如圖，四邊形 ABCD 與四邊形 AEFG 都是菱形，其中點 C 在

18、 AF 上，點 E，ABG 分別在 BC，CD 上，若 BAD 135°，EAG75°，則AE_（訓(xùn)練 2 圖）（5 題圖）、如圖，菱形 ABCD和菱形 ECGF的邊長分別為2和 ，A°，則陰影部分53=120的面積是（）A 3B2C3D2考點 2線段的最值問題1、如圖，菱形 ABCD中， AB=2， A=120°，點 P，Q，K 分別為線段 BC， CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為 ()A1B3C2D31（1 題圖）（訓(xùn)練 1 圖）訓(xùn)練 1 如圖，邊長為 4 的正方形 ABCD ，點 P 是對角線 BD 上一動點，點 E 在邊 CD 上，

19、 EC 1，則 PCPE 的最小值是訓(xùn)練 2 在菱形 ABCD 中， AB=2， ADC= 120°，M 是 AB 的中點， P 為對角線BD 上的一動點，在運動過程中，記 AP+MP 的最大值為S,最小值為T，則DCS2T 2的值為PBAM訓(xùn)練 3 如圖，在邊長為2 的菱形 ABCD 中， A =60°， M 是 AD 邊的中點， N 是 AB 邊上一動點，將AMN 沿 MN 所在的直線翻折得到A' MN ，連接 A' C , 則 A' C 長度的最小值是 _.2、如圖，在Rt ABC中， C 90°， AC 6，BC 8點E 是BC邊上

20、的點，連結(jié)AE，過點 E作AE的垂線交AB 邊于點 F，求 AF 的最小值方法小結(jié)：兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關(guān)鍵是指出一條對稱軸“河流” （如圖 1）三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關(guān)鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面” （如圖 2）兩條線段差的最大值問題， 一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊， 當(dāng)三點共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長如圖 3，PA 與 PB 的差的最大值就是 AB，此時點 P 在 AB 的延長線上，即 P圖 1圖 2圖 3注：解決線段和差的最值問題，有時候求函數(shù)的最值更方便考點 3 菱形的證

21、明、已知：如圖，在正方形ABCD中，點 E、F 分別在 BC和 CD上， AE=AF1（ 1）求證： BE = DF；（ 2）連接 AC交 EF于點 O，延長 OC至點 M，使 OM= OA，連接 EM、FM判斷四邊形 AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論訓(xùn)練已知：如圖，在矩形 ABCD中，點 E 在邊 AD上，點 F 在邊 BC上，且 AE=CF，作 EGFH，分別與對角線BD交于點 G、 H，連接 EH， FG（ 1）求證： BFH DEG；（ 2）連接 DF，若 BF=DF，則四邊形 EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論考點 4 圖形的平移和旋轉(zhuǎn)（與三角形的綜合）1、如圖，在菱形A

22、BCD中，DAB =60 °，點E 為AB邊上一動點（與點A，B 不重合），連接CE，將ACE的兩邊所在射線CE， CA以點C 為中心，順時針旋轉(zhuǎn)120°，分別交射線AD于點F， G.（ 1）依題意補全圖形；（ 2）若ACE= ，求 AFC的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?3）用等式表示線段AE、AF 與 CG 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明訓(xùn)練 如圖 1，在菱形 ABCD中， AC=2，BD=3，AC， BD相交于點 O（ 1）求邊 AB的長；（ 2）如圖 2，將一個足夠大的直角三角板 60°角的頂點放在菱形 ABCD的頂點 A處，繞點 A 左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板 60

23、76;角的兩邊分別與邊 BC，CD相交于點 E，F(xiàn)，連接 EF 與 AC相交于點 G判斷 AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點E 為邊 BC的四等分點時（ BE CE），求 CG的長考點 5 與平行四邊形的綜合1、 在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點 O，過點 O作直線 EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H 四點，連結(jié) EG、GF、FH、 HE.（ 1）如圖，試判斷四邊形 EGFH的形狀，并說明理由；（ 2）如圖，當(dāng) EFGH時，四邊形 EGFH的形狀是；（ 3）如圖，在（ 2）的條件下，若AC BD，四邊形 EGFH的形狀是=（ 4）如圖，在（ 3）的

24、條件下，若 ACBD，試判斷四邊形 EGFH的形狀，并說明理由 .AEDAEDAEAEDGDGHGHGOOOHOHF CF CBBBFCBFC圖圖圖圖2、已知 , 矩形ABCD中,AC的垂直平分線 EF 分別交 AD 、于BC點E、F ,垂足為O.(1) 如圖 10-1, 連接 AF 、 CE . 求證四邊形 AFCE 為菱形 , 并求 AF 的長；(2) 如圖 10-2, 動點 P 、Q 分別從 A 、C 兩點同時出發(fā) , 沿 AFB 和 CDE 各邊勻速運動一周 .即點 P自 AF BA停止,點Q自CDEC 停止.在運動過程中 ,已知點 P 的速度為每秒 5 cm , 點 Q 的速度為每秒

25、4 cm , 運動時間為 t 秒, 當(dāng)A 、 C 、 P 、 Q 四點為頂點的四邊形是平行四邊形時, 求 t 的值 .若點 P 、Q 的運動路程分別為a 、b ( 單位 : cm , ab0 ), 已知 A 、C 、P 、Q 四點為頂點的四邊形是平行四邊形, 求 a 與 b 滿足的數(shù)量關(guān)系式 .AEDAEDAEDPQPQOBFCBFCBFC圖10-1備用圖圖 10-2三、鞏固訓(xùn)練1、如圖，在ABC 中，DE 分別是 AB ，AC 的中點， BE=2DE ，延長 DE 到點 F，使得 EF=BE ，連 CF（1）求證：四邊形BCFE 是菱形；（2）若 CE=6，BEF=120 °，求菱形BCFE 的面積2 如圖，在 Rt ABC 中， B=90 °，點 E 是 AC 的中點， AC=2AB ， BAC