物理根軌跡分析PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1物理根軌跡分析物理根軌跡分析第第4章章 根軌跡根軌跡第1頁/共69頁例例1:已知如圖已知如圖 系統(tǒng)系統(tǒng).)15 . 0( ssKR(s)C(s)-第第4章章 根軌跡根軌跡)2()2(2)15 . 0()( ssKssKssKsGgk令令其中，K為開環(huán)放大系數(shù)，Kg叫根軌跡增益，Kg =2K?？梢? 開環(huán)傳遞函數(shù)的極點是：-p1= 0，-p2= 2，沒有 零點。解：系統(tǒng)開環(huán)傳函：第2頁/共69頁Kg01/41/2125 s10-0.13-0.29-1 -1+j -1+2j -1+j s2-2 -1.866-1.707 -1 -1-j-1-2j -1-j 22ggKssK 220gD ss

2、sK 1.211gsK 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念( (續(xù)續(xù)) )第第4章章 根軌跡根軌跡閉環(huán)傳函：特征方程：特征根：Kg由0 時時描點法第3頁/共69頁j0123-11p1p212002gsKs 1211gKss 1 22,1gKsj 1 2,1gKsj 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念(續(xù)續(xù))1 25,12gKsj 2-2可見：根軌跡圖全面的描可見：根軌跡圖全面的描述了述了K對對S1,2分布的影響。分布的影響。0gK 5gK 1gK 2gK 第4頁/共69頁根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念(續(xù)續(xù))這種方法雖直觀，但高階系統(tǒng)先求特征根再畫根軌跡不太現(xiàn)實，應(yīng)通過閉環(huán)特征方程找特征根。第5

3、頁/共69頁11()( )1()mgiiKnjjKszGssp 由于由于G GK K(s)(s)是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)s s的函數(shù)，故上式為一矢量方程的函數(shù)，故上式為一矢量方程二、根軌跡方程：二、根軌跡方程：第6頁/共69頁111mgiinjjKszsp 11()()(21) (0,1,2,)mnijijszspkk 相角方程：相角方程：根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念(續(xù)續(xù))相角方程是決定閉環(huán)根軌跡的充要條件。相角方程是決定閉環(huán)根軌跡的充要條件。確定根軌跡上某點對應(yīng)的Kg值確定某點是否是根軌跡上的點11njjgmiispKsz 第7頁/共69頁) 1()( ssKsGgk幅值條件和相角條件的應(yīng)用幅值條

4、件和相角條件的應(yīng)用解解: :系統(tǒng)開環(huán)極點為：-p1=0,-p2=-1無開環(huán)零點。由相角方程得：11120 ()()13590225spsp 故s1不是根軌跡上的點。第8頁/共69頁) 1()( ssKsGgk幅值條件和相角條件的應(yīng)用幅值條件和相角條件的應(yīng)用解解: :由相角方程得：21220 ()()116.663.4180spsp （）故s2是根軌跡上的點。第9頁/共69頁) 1()( ssKsGgk幅值條件和相角條件的應(yīng)用幅值條件和相角條件的應(yīng)用解解: :由幅值方程得：11112122220.500.51( 0.5)( 1)(0.5)( 1)1.25njjgmiispKspspszjj 第1

5、0頁/共69頁1 1、根軌跡的連續(xù)性、根軌跡的連續(xù)性根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線2 2、根軌跡的對稱性、根軌跡的對稱性根軌跡位于復(fù)平面實軸或?qū)ΨQ于實軸根軌跡位于復(fù)平面實軸或?qū)ΨQ于實軸3 3、根軌跡的分支數(shù)、根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)4 4、根軌跡的起點與終點、根軌跡的起點與終點起點：起點：n n個開環(huán)極點個開環(huán)極點終點：終點：m m個開環(huán)零點和個開環(huán)零點和n-mn-m個無窮大零點個無窮大零點第11頁/共69頁1）當(dāng)）當(dāng)Kg=0時，有時，有s=-pi；則根軌跡必起始于開環(huán)極點。繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù))

6、 )11njjgmiispKsz 由由幅幅值值件件得得：第12頁/共69頁 11limlimnjn mjmssiispsnmsz 繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù)) )11 njjgimiispKszssz 令令得得或或第13頁/共69頁繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù)) )第14頁/共69頁 21knm 漸近線與實軸正方向夾角：漸近線與實軸正方向夾角：( (k k=0, 1, 2,=0, 1, 2, ,n n- -m m ) )漸近線與實軸交點的坐標(biāo)：漸近線與實軸交點的坐標(biāo)：繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù)) )a 第15頁/共69頁 g

7、21,422kKsGs sss 123414,0,0,1,1,4,1nmppjpjpz 解解：11()()0( 1)( 1)( 4) ( 1)54 13nnjijiapzjjnm 212160 180 300 0,1,241kkknm ，（）例例 1：已知：已知 求漸近線求漸近線.繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù)) )漸近線方位角：漸近線截距：第16頁/共69頁繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù)) ) 若根軌跡位于實軸上兩相鄰開環(huán)極點間則至少有一個分離點（包括無窮遠(yuǎn)的極點）；若根軌跡位于實軸上兩相鄰開環(huán)零點間則至少有一個匯合點（包括無窮遠(yuǎn)的點）；由于根軌跡的對

8、稱性，分離點多位于實軸上，也可能是一些共軛點（此情況少）。第17頁/共69頁1、重重根根法法( )( ),( )( )( )0( )KggN sGsKf sD sK N sD s令令特特征征方方程程：繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù)) )1( )sf s原原理理：若若 是是= 0的= 0的重重根根，則11()()f sfs = 0且= 0且= 0。= 0。( )( )( )0( )( )( )( )0( )( )( )0ggf sD sK N sD s NsN s D sfsD sK Ns ( )( )( )( )0D s N sN s D ss 即即由由解解出出的的 就就是

9、是分分離離點第18頁/共69頁( )( )10( )( )ggK N sD sKD sN s ， 2( )( )( )( )0( )gdKD s NsN s D sdsN s ( )( )( )( )0D s NsN s D s 即即可見：與重根法結(jié)果相同。可見：與重根法結(jié)果相同。繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù)) )第19頁/共69頁繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù)) )( )( )( )( )( );P sD s N sN s D s 1 1、求求出出表表式式2 2、分析根軌跡，找出一個試探點、分析根軌跡，找出一個試探點s s1 1；11( -)( ),

10、( );s sP sQ sR3、3、用用去去除除得得商商及及余余12( -)( ),;s sQ sR4、4、用用去去除除得得第第二二余余112/.ssRR5、5、分分離離的的值值近近似似等等于于)(18040相分離的根軌跡數(shù)目相分離的根軌跡數(shù)目、分離角的計算：、分離角的計算： kkd 第20頁/共69頁( )( )( )KgN sGsKD s解解：2( )1,( )(1)(2)( )0,( )362N sD ss ssNsD sss2( )( )( )( )03620D s NsN s D sss由由繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù)) )2( )(1)(2)gKKGss ss

11、 例例 ：已已知知，求求其其分分離離點點。12 0.423,1.577ss 解解得得重根法或極值法第21頁/共69頁( )( )( )KgN sGsKD s解解：2( )( )( )( )362;( )D s NsN s D sssP s , 21 0 和和，繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則( (續(xù)續(xù)) )111121120.5;( ) / ()34.50.25()( 34.5) / ()33()0.25/0.50.423sP ssssRsssRssRR 令令牛頓余數(shù)定理法判斷是否為分離點的兩方法：（1）作圖，舍棄不在根軌跡上的點；（2）帶入特征方程，舍棄令Kg=2時，閉環(huán)極點之和=開

12、環(huán)極點之和=常數(shù)。 且與Kg無關(guān)。閉環(huán)極點的和與積（續(xù)）第31頁/共69頁因此，Kg時（或Kg時），若一部分閉環(huán)極點在 s平面上向右移，則另一部分閉環(huán)極點必向左移； 對于任一Kg，閉環(huán)極點之和保持不變。（用以判斷 根軌跡在s平面上的走向）。應(yīng)用：在n-m2時（1）根之和可以確定根軌跡走向，且在已知部分閉環(huán)極點時，用來求其余的閉環(huán)極點。（2）根之積用來求對應(yīng)的Kg值。閉環(huán)極點的和與積（續(xù)）第32頁/共69頁 。和和求求?，F(xiàn)用根之和及根之積?，F(xiàn)用根之和及根之積，已求得，已求得中，中，：例：例例例gg.gkKsKjssssKG3212,16,2,21247 321233203gD ssssKsss-

13、 解解：31233sss 即即31 23( 1)(2)(2)( 3)6gKs s sjj 閉環(huán)極點的和與積（續(xù)）333|1|2|32 16gKsss 或第33頁/共69頁123.40,3,1pppj 11a()()0( 3)( 1)( 1)1.25-40nmjijipzjjn m 4 3 控制系統(tǒng)根軌跡的繪制控制系統(tǒng)根軌跡的繪制例4-15 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制Kg由0+變化時的根軌跡草圖2(3)(22)gkKGs sss 解（1）系統(tǒng)有4個開環(huán)極點：無開環(huán)零點,即n=4，m=0, 有4條根軌跡分支。（2）實軸上的根軌跡區(qū)域為-3 0（3）n-m=4，故有4條漸近線，其截距和夾角分別為：(2

14、1)(21) 18045 ,135 ,225 ,315-40kkn m 第34頁/共69頁3212,3( )( )( )( )( )( )( )41516602.28;0.730.37()kgN sGsKD sN s D sD s N ssssssj 令令舍舍去去4324235860(8)( 56 )0sjggssssKKj 特特征征方方程程：00000003421 1800(13526.690 )71.6 ,71.6ppk （）4 3 控制系統(tǒng)根軌跡的繪制控制系統(tǒng)根軌跡的繪制2(3)(22)gkKGs sss （4）根軌跡在實軸上的分離點（5）根軌跡在開環(huán)極點-p3,4處的岀射角為：（6）根

15、軌跡與虛軸之交點令實部虛部等于0得：1 21.1, 8.16gpK ，第35頁/共69頁12| |pzpz結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)僅有兩個開環(huán)極點-p1、-p2和一個開環(huán)零點-z時，其根軌跡要么是直線要么是圓??；且圓弧的圓心 (-z,0)，半徑控制系統(tǒng)根軌跡的繪制（續(xù)）控制系統(tǒng)根軌跡的繪制（續(xù)）例例4-16：已知：已知 4,2gkKsGs s 畫根軌跡。畫根軌跡。解解 （1）系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點0，-2，一個開環(huán)零點，一個開環(huán)零點-4； （2）實軸上的根軌跡區(qū)：實軸上的根軌跡區(qū)：-2,0，(-,-4;第36頁/共69頁控制系統(tǒng)根軌跡的繪制（續(xù)）控制系統(tǒng)根軌跡的繪制（續(xù)）例例4-16：已知：

16、已知 4,2gkKsGs s 畫根軌跡。畫根軌跡。 （3）平面上的軌跡是圓，圓心為平面上的軌跡是圓，圓心為(-4,0),半半徑為徑為 0( 4)2( 4)4 22.83R 1242.831.17 42.836.83ddss 故故 根軌跡如右圖所示，可知它與實軸的兩根軌跡如右圖所示，可知它與實軸的兩分離點為：分離點為：第37頁/共69頁l繪制步驟：(1)列出原系統(tǒng)的特征方程。(2)以特征方程中不含參量的項去除特征方程，得到等效系統(tǒng)的根軌跡方程，該方程中原系統(tǒng)的參量為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。(3)繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參量根軌跡。第38頁/共69頁405(1)( )(51)KsGsss

17、解 系統(tǒng)開環(huán)傳函為：系統(tǒng)特征方程為：221( )05(1)(51)05(55)501055KGssssssssss 得等效開環(huán)傳函為：25( )55KsGsss 第39頁/共69頁411,210.10.995 ; 0pjz 等效開環(huán)傳函有兩個極點、一個零點：實軸上的根軌跡區(qū)域為: (-，0)22( 0.1)(0.995)1R 得等效開環(huán)傳函為：225( )550.21KssGsssss 平面上的根軌跡為圓弧，圓心 (0,0)，半徑為則的參量根軌跡如圖所示。第40頁/共69頁42參量根軌跡可用來分析參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。（1）當(dāng)=0時，系統(tǒng)為欠阻尼情況，阻尼系數(shù)小，振蕩劇烈；（2）當(dāng)0=1.8時

18、，系統(tǒng)為過阻尼情況，無振蕩，但調(diào)節(jié)時間變長。第41頁/共69頁第42頁/共69頁4(1)(0.51)(1)(4)(1)(4)gkKKKGs sss sss ss一、求閉環(huán)極點的方法：（以實例說明之）一、求閉環(huán)極點的方法：（以實例說明之）) 15 . 0)(1( sssKGk例例1 1：單位反饋系統(tǒng)的：單位反饋系統(tǒng)的試用根軌跡法求取試用根軌跡法求取=0.5=0.5時的共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點和其他閉環(huán)極點，并估算此時系統(tǒng)的性能指標(biāo)。時的共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點和其他閉環(huán)極點，并估算此時系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 解：系統(tǒng)開環(huán)傳函第43頁/共69頁求取閉環(huán)極點的方法（續(xù)）求取閉環(huán)極點的方法（續(xù)）當(dāng)Kg由0變化時的根軌跡如右

19、圖所示。由圖可知，系統(tǒng)穩(wěn)定時，Kg的取值范圍為：0Kg20即0K5第44頁/共69頁求取閉環(huán)極點的方法（續(xù)）求取閉環(huán)極點的方法（續(xù)）畫出=0.5的等阻尼線，它與負(fù)實軸的夾角為=60。設(shè)它與根軌跡的交點為-s1,-s2,-s3,讀圖知1,20.400.69sj 第45頁/共69頁求取閉環(huán)極點的方法（續(xù)）求取閉環(huán)極點的方法（續(xù)）因n-m=3,故閉環(huán)極點之和=開環(huán)極點之和，即12330( 1)( 4)4.20ssss 由根軌跡方程的幅值條件得對應(yīng)于-s3點的Kg為：313233| | | | 4.200| | 4.201| | 4.204|2.7gKspspsp 三個閉環(huán)極點中，實數(shù)極點與復(fù)數(shù)極點的

20、實部之比和模值之比分別為：12224.204.204.2010.5,5.25,0.400.800.400.69 故-s1,-s2滿足主導(dǎo)極點的條件，-s3對系統(tǒng)性能的影響可忽略。第46頁/共69頁求取閉環(huán)極點的方法（續(xù)）求取閉環(huán)極點的方法（續(xù)）該二階系統(tǒng)的特征參數(shù)：220.5,0.400.690.80n 此時，開環(huán)放大系數(shù)為：故靜態(tài)誤差系數(shù)為：故動態(tài)性能指標(biāo)：3%16.3%,7.5snt 2.70.67544gKK 0020lim(1( )lim( )0.675lim( )0pKsvKsaKsKGsKsGsKKs Gs 該系統(tǒng)為型系統(tǒng)，在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為1/1.481sseK第47頁

21、/共69頁求取閉環(huán)極點的方法（續(xù)）求取閉環(huán)極點的方法（續(xù)）求閉環(huán)極點的方法：求閉環(huán)極點的方法：(1)畫出系統(tǒng)根軌跡；畫出系統(tǒng)根軌跡；(2)根據(jù)根據(jù)；在根軌跡圖中畫出等阻尼線；在根軌跡圖中畫出等阻尼線；(3)讀圖求出交點處的極點；讀圖求出交點處的極點；(4)利用根之和及根之積公式求其它極點，及對應(yīng)的開環(huán)放大系數(shù)；利用根之和及根之積公式求其它極點，及對應(yīng)的開環(huán)放大系數(shù)；(5)利用降階的方法求出系統(tǒng)動靜態(tài)性能指標(biāo)。利用降階的方法求出系統(tǒng)動靜態(tài)性能指標(biāo)。注意：高階系統(tǒng)降階時，要保證其靜態(tài)性能保持不變。第48頁/共69頁50例例1：若：若 ，2220402 ssss則則s1=-20， 故故s1可忽略?？?/p>

22、忽略。，js 132 2222sss第49頁/共69頁51例例2： 若要求階躍響應(yīng)下的若要求階躍響應(yīng)下的 46gkKGss ss ，問開環(huán)放大倍數(shù)問開環(huán)放大倍數(shù)K=？，%18% 解：解：1）繪制根軌跡：）繪制根軌跡： 分離點：分離點：0242032 ss 舍舍求得求得1 . 557. 121ddss與虛軸交點：與虛軸交點： 32106240gD ssssK 32106240gjjjK 第50頁/共69頁52- 4- 6CDs3ABs1s20jsd1312.322400.4.910024010ggKKK 0060180a 3 . 3310 a ，因因為為：%18% ，所以求得所以求得03 .61

23、 ，取取0601 . 22 . 12,1jS 作直線量得作直線量得02.43.55.2544gaacadK 此此的的第51頁/共69頁53為為主主導(dǎo)導(dǎo)極極點點。故故1.22.12,1jS %18%3 .16%5 . 060 此此時時，若按性能指標(biāo)找不出合適的閉環(huán)極點與若按性能指標(biāo)找不出合適的閉環(huán)極點與K K值，就要值，就要 改造根軌跡，附加校正環(huán)節(jié)。改造根軌跡，附加校正環(huán)節(jié)。，所所以以83. 12444 K6 . 72 . 12 . 1103 s此時此時533. 62 . 16 . 7 又因為又因為可見滿足題目要求可見滿足題目要求第52頁/共69頁1 1、單位反饋系統(tǒng)：、單位反饋系統(tǒng)： 11(

24、 )mgiiKnjjKszGssp 111( )1( )mgiiKnmKjgijiKszGsGsspKsz 即單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點等于開環(huán)零點。即單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點等于開環(huán)零點。二、求取閉環(huán)零點的方法二、求取閉環(huán)零點的方法1 1、非單位反饋系統(tǒng)：、非單位反饋系統(tǒng)： 2211( )mHkknllKszH ssp 1111( )mgiinjjKszG ssp 設(shè)第53頁/共69頁 121212111111( )( )1( )( )mngililnnmmjlgHikjlikKszspG ssG s H sspspK Kszsz 即非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點組成。即

25、非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點組成。求取閉環(huán)零點的方法（續(xù)）求取閉環(huán)零點的方法（續(xù)）第54頁/共69頁求取閉環(huán)零點的方法（續(xù)）求取閉環(huán)零點的方法（續(xù)）對于開環(huán)傳函對于開環(huán)傳函 中有零極點相消的情況中有零極點相消的情況( )( )( )KGsG s H s 可將原結(jié)構(gòu)圖等效為目的：補齊閉環(huán)極點目的：補齊閉環(huán)極點例：例：圖圖4-33具有速度反饋的控制系統(tǒng)具有速度反饋的控制系統(tǒng)( )(2)gKKGss s 1( )(2)0KgGss sK利用開環(huán)傳函求特征方程：利用開環(huán)傳函求特征方程：由反饋通由反饋通道的零點道的零點補回丟失補回丟失的閉環(huán)極的閉環(huán)極點。點。第55頁/共69頁

26、求取閉環(huán)零點的方法（續(xù)）求取閉環(huán)零點的方法（續(xù)）例：例：圖圖4-33具有速度反饋的控制系統(tǒng)具有速度反饋的控制系統(tǒng)( )( )1( )( )(1)(2)(1)ggKG ssG s H ss ssKs (1)(2)(1)0(1) (2)0ggs ssKsss sK利用閉環(huán)傳函求特征方程：利用閉環(huán)傳函求特征方程：( )(2)gKKGss s 1( )(2)0KgGss sK利用開環(huán)傳函求特征方程：利用開環(huán)傳函求特征方程：此時利用根軌跡求出的特征根是不全的。由反饋通由反饋通道的零點道的零點補回丟失補回丟失的閉環(huán)極的閉環(huán)極點。點。第56頁/共69頁58第57頁/共69頁45 增加開環(huán)零極點對根軌跡的影響增加開環(huán)零極點對根軌跡的影響第58頁/共69頁45 增加開環(huán)零極點對根軌跡的影響增加開環(huán)零極點對根軌跡的影響第59頁/共69頁45 增加開環(huán)零極點對根軌跡的影響增加開環(huán)零極點對根軌跡的影響增加開環(huán)偶極子的目的：（1）抵消對系統(tǒng)性能有損的閉環(huán)極點；（2）增加開環(huán)放大系數(shù)，減小穩(wěn)態(tài)誤差。第60頁/共69頁62 22gkKGss 例例：系統(tǒng)不穩(wěn)系統(tǒng)不穩(wěn)。-20j-20j-41) 1) 附加零點附加零點-4-42412a 24)2(gksKGss 第61頁/共69頁632) 2) 附加零點附加零點-2-23) 3