大學(xué)物理_機械振動和機械波

1、第二篇第二篇機械振動和機械波機械振動和機械波 一一 掌握掌握描述簡諧運動的各個物理量描述簡諧運動的各個物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系. . 二二 掌握掌握描述簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量法，描述簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量法，并會用于簡諧運動規(guī)律的討論和分析并會用于簡諧運動規(guī)律的討論和分析. . 三三 掌握掌握簡諧運動的基本特征，能建立簡諧運動的基本特征，能建立一維簡諧運動的微分方程，能根據(jù)給定的初一維簡諧運動的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡諧運動的運動方程，并理始條件寫出一維簡諧運動的運動方程，并理解其物理意義解其物理意義. . 四四 理解理解同方向

2、、同頻率簡諧運動的合同方向、同頻率簡諧運動的合成規(guī)律，成規(guī)律，了解了解拍的特點拍的特點. . 五五 了解了解阻尼振動、受迫振動和共振的阻尼振動、受迫振動和共振的發(fā)生條件及規(guī)律發(fā)生條件及規(guī)律. .本章重點本章重點相位概念的理解及掌握簡諧振動的基本規(guī)律。相位概念的理解及掌握簡諧振動的基本規(guī)律。同方向同頻率簡諧振動的合成。同方向同頻率簡諧振動的合成。本章難點本章難點相位概念的理解。相位概念的理解。 任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化均稱為任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化均稱為振動振動. . 機械振動機械振動 物體圍繞一固定位置往復(fù)運動物體圍繞一固定位置往復(fù)運動. . 其運動形式有直線、平面和空間振動其

3、運動形式有直線、平面和空間振動. . 周期和非周期振動周期和非周期振動 例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動等及晶體中原子的振動等. .引引 言言 簡諧振動簡諧振動 最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動. .諧振子諧振子 作簡諧振動的物體作簡諧振動的物體. .簡諧振動簡諧振動復(fù)雜振動復(fù)雜振動合成合成分解分解kl0 xmoAA1 彈簧振子彈簧振子00Fx4-1 簡諧振動簡諧振動一一 簡諧振動的特征方程簡諧振動的特征方程平衡位置平衡位置makxF0dd222 xtxmk2令令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa積

4、分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定)cos(tAxxxFmo2 單擺單擺lmoA)cos(mtlg2令令Fmg轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動正向正向sin,5時時tmamg sin mldtdmlml220sin lg02 oC*3 復(fù)擺復(fù)擺(物理擺物理擺)lmglM22ddtImgl 0dd222 tImgl 2令令)cos(mt)5(P（ 點為質(zhì)心）點為質(zhì)心）C轉(zhuǎn)動正向轉(zhuǎn)動正向動力學(xué)判據(jù)動力學(xué)判據(jù)運動學(xué)判據(jù)運動學(xué)判據(jù)tx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa二二 諧振動的速度和加速度諧振

5、動的速度和加速度簡諧運動的描述和特征簡諧運動的描述和特征xa24 4）加速度與位移成正比而方向相反）加速度與位移成正比而方向相反0dd222 xtx2 2）簡諧運動的動力學(xué)描述）簡諧運動的動力學(xué)描述)sin(tAv)cos(tAx3 3）簡諧運動的運動學(xué)描述）簡諧運動的運動學(xué)描述mk彈簧振子彈簧振子lg單擺單擺kxF1 1）物體受線性回復(fù)力作用）物體受線性回復(fù)力作用 平衡位置平衡位置0 xImgl復(fù)擺復(fù)擺)cos(tAx1 1 振幅振幅maxxA 2 周期、頻率周期、頻率kmT2彈簧振子周期彈簧振子周期2T 周期周期21T 頻率頻率T22 圓頻率圓頻率)(cosTtA周期和頻率僅與振動系周期和

6、頻率僅與振動系統(tǒng)統(tǒng)本身本身的物理性質(zhì)有關(guān)的物理性質(zhì)有關(guān)注意注意tx圖圖AAxT2Tto三三 描述簡諧振動的物理量描述簡諧振動的物理量( (三要素三要素) )1） 存在一一對應(yīng)的關(guān)系存在一一對應(yīng)的關(guān)系;),(vxt3 相位相位 (位相位相,周相周相)ttx曲線曲線AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAx 簡諧運動中，簡諧運動中， 和和 之間不存在一一對應(yīng)的之間不存在一一對應(yīng)的關(guān)系關(guān)系.xvvvv1） 存在一一對應(yīng)的關(guān)系存在一一對應(yīng)的關(guān)系;),(vxt3 相位相位 (位相位相,周相周相)t物理意義：可據(jù)以描述物體在任一時刻的運動狀態(tài)物理意義：可據(jù)以描述物體在任一時刻的運動狀態(tài)月相月相: 新

7、月新月, 娥眉月娥眉月, 上弦月上弦月, 滿月滿月, 下弦月下弦月, 殘月等殘月等娥眉月娥眉月上弦月上弦月下弦月下弦月滿月滿月)cos(tAx1） 存在一一對應(yīng)的關(guān)系存在一一對應(yīng)的關(guān)系;),(vxt202）相位在相位在 內(nèi)變化，質(zhì)點內(nèi)變化，質(zhì)點無相同無相同的運動狀態(tài)；的運動狀態(tài)； 3 相位相位 (位相位相,周相周相)t3）初相位）初相位 描述質(zhì)點描述質(zhì)點初始時刻初始時刻的運動狀態(tài)的運動狀態(tài). ) 0( t) (2nn相差相差 為整數(shù)為整數(shù) 質(zhì)點運動狀態(tài)質(zhì)點運動狀態(tài)全同全同.（周期性）（周期性）20( 取取 或或 )物理意義：可據(jù)以描述物體在任一時刻的運動狀態(tài)物理意義：可據(jù)以描述物體在任一時刻的

8、運動狀態(tài).)cos(tAx22020vxA00tanxv四四 常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定A000vv xxt初始條件初始條件cos0Ax sin0Av 對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定決定，振幅和初相由初始條件決定.)sin(tAv)cos(tAxcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求討論討論xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto例例4-1 一輕彈簧一輕彈簧,下掛質(zhì)量為下掛質(zhì)量為10g 的重物時的重物時,伸伸長長4.9cm.用它和質(zhì)量用它和質(zhì)量80g小球構(gòu)成彈簧振子小球構(gòu)成彈簧振子.

9、將小球由平衡位置向下拉將小球由平衡位置向下拉1.0cm 后后,給向上初給向上初速度速度v=5.0cm/s.求振動周期及振動表達(dá)式求振動周期及振動表達(dá)式.解解: 取向下為取向下為x軸正向軸正向.15 s振動方程為振動方程為 x=0.0141cos(5t+ /4)(SI)例例4-2 如圖所示，一邊長為如圖所示，一邊長為L的立方體木塊浮于靜的立方體木塊浮于靜水中，浸入水中部分的高度為水中，浸入水中部分的高度為b。今用手將木塊壓。今用手將木塊壓下去，放手讓其開始運動。若忽略水對木塊的黏下去，放手讓其開始運動。若忽略水對木塊的黏性阻力，并且水面開闊，不因木塊運動而使水面性阻力，并且水面開闊，不因木塊運動

10、而使水面高度變化，證明木塊作諧振動。高度變化，證明木塊作諧振動。bXmg證明：證明：浮F以水面為原點建立坐標(biāo)以水面為原點建立坐標(biāo)OXx022xbgdtxd0222xdtxd解決簡諧運動方程問題的一般步驟解決簡諧運動方程問題的一般步驟:1) 找到找到振動平衡位置振動平衡位置,此時合力為零此時合力為零,選平衡位選平衡位置為原點置為原點,建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系2) 設(shè)振子離開原點設(shè)振子離開原點x處處,分析受力情況分析受力情況.3) 應(yīng)用牛頓定律應(yīng)用牛頓定律.4) 根據(jù)初始條件確定根據(jù)初始條件確定A和和 .5) 寫出振動表達(dá)式寫出振動表達(dá)式.另外一個方法另外一個方法: 能量法能量法)(sin212122

11、22ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE線性回復(fù)力是線性回復(fù)力是保守力保守力，作，作簡諧簡諧運動的系統(tǒng)運動的系統(tǒng)機械能守恒機械能守恒 以彈簧振子為例以彈簧振子為例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的動力學(xué)意義）（振幅的動力學(xué)意義）4-2 諧振動的能量諧振動的能量簡簡 諧諧 運運 動動 能能 量量 圖圖txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21能量守恒能量守恒簡諧振動方程簡諧振動方程推導(dǎo)推導(dǎo)常量222121kxmEv0)2121(dd22k

12、xmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx 例例4-3 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡諧運動，其最大加速度為作簡諧運動，其最大加速度為 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振動的周期；振動的周期； （2）通過平衡位置的動能；通過平衡位置的動能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？物體在何處其動能和勢能相等？解解 （1）s314. 0T（2）（3）max,kEE J100 . 23（4）J100 . 23max,kEcm707. 0 x 解：設(shè)棒長為解：設(shè)棒長為2R, 質(zhì)量為質(zhì)量為m，在，在棒扭動時棒扭動時, 其質(zhì)心沿其

13、質(zhì)心沿 上下運動。上下運動。因扭動角度因扭動角度 很小，可近似認(rèn)為很小，可近似認(rèn)為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。扭動角度細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。扭動角度為為 時時, 細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動角度細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動角度為為 ，OORl OO 例例4-4 一勻質(zhì)細(xì)桿一勻質(zhì)細(xì)桿AB的兩端的兩端, 用長度都為用長度都為l 且不計質(zhì)且不計質(zhì)量的細(xì)繩懸掛起來量的細(xì)繩懸掛起來, 當(dāng)棒以微小角度繞中心軸當(dāng)棒以微小角度繞中心軸 扭扭動時，求證其運動周期為：動時，求證其運動周期為： 。glT3/2 O OABlcpmghE 2)(21dtdIEk 0322 lgdtd)cos1( lhc思考思考: :如何利用轉(zhuǎn)動定律求解如何利用轉(zhuǎn)動

14、定律求解? ? 例例4-5 勁度系數(shù)為勁度系數(shù)為k、原長為、原長為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M 的物體，的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運動。求解其運動。在光滑水平面內(nèi)作直線運動。求解其運動。lxMXsdsO 解：平衡時解：平衡時O 點為點為坐標(biāo)原點。物體運動坐標(biāo)原點。物體運動到到x 處時，彈簧固定端處時，彈簧固定端位移為零，位于位移為零，位于M 一一端位移為端位移為x。當(dāng)物體。當(dāng)物體于于x 處時處時,彈簧元彈簧元 ds 的質(zhì)量的質(zhì)量 , 位移為位移為 速度為速度為 lmdsdm/ lsx/dtdxls0322 xmMkdtxd

15、xoAcos0Ax 當(dāng)當(dāng) 時時0t0 x4-3 諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量投影表示法諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量投影表示法xoAtt t)cos(tAx時時 以以 為為原點的旋轉(zhuǎn)原點的旋轉(zhuǎn)矢量矢量 在在 軸上的投影軸上的投影點的運動為點的運動為簡諧運動簡諧運動. .xAo)cos(tAx 以以 為為原點的旋轉(zhuǎn)原點的旋轉(zhuǎn)矢量矢量 在在 軸上的投影軸上的投影點的運動為點的運動為簡諧運動簡諧運動. .xAoAmv)2 cos(tAv)cos(2tAa2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa （旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時間）（旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時間）2T用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的 圖圖

16、txAAx2AtoabxAA0討論討論 相位差：表示兩個相位之差相位差：表示兩個相位之差 . . 1 1）對對同一同一簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間態(tài)間變化所需的時間. .)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt0 xto同步同步 2 2）對于兩個對于兩個同同頻率頻率的簡諧運動，相位差表示它的簡諧運動，相位差表示它們間們間步調(diào)步調(diào)上的上的差異差異. .（解決振動合成問題）（解決振動合成問題）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto為其它為其它超前超前落后落后t

17、xo反相反相3) 關(guān)于旋轉(zhuǎn)矢量法的理解關(guān)于旋轉(zhuǎn)矢量法的理解:旋轉(zhuǎn)矢量本身并不做簡諧運動旋轉(zhuǎn)矢量本身并不做簡諧運動,只是用其投影只是用其投影點的運動來表示諧振動點的運動來表示諧振動, 各物理量直觀各物理量直觀.在旋轉(zhuǎn)矢量法中在旋轉(zhuǎn)矢量法中,相位表現(xiàn)為角度相位表現(xiàn)為角度,處理方便處理方便,但不是角度但不是角度.相位的物理含義在于可據(jù)以描述相位的物理含義在于可據(jù)以描述物體在任一時刻的運動狀態(tài)物體在任一時刻的運動狀態(tài). 例例4-6 如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)簧的勁度系數(shù) ，物體的質(zhì)量，物體的質(zhì)量 . . （1 1）把物體從平衡位置向右拉到把

18、物體從平衡位置向右拉到 處停處停下后再釋放，求簡諧運動方程；下后再釋放，求簡諧運動方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物體在如果物體在 處時速度不等于零，處時速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其運動方程，求其運動方程. .2A （2 2）求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過 處時的處時的速度；速度；m/ xo0.05 （1 1） 時，物體所處的位置和所受的力；時，物體所處的位置和所受的力； s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xvx處，向處，向 軸負(fù)方向運

19、動（如圖）軸負(fù)方向運動（如圖）. .試求試求 例例4-7 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 的物體作簡諧運動，其振的物體作簡諧運動，其振幅為幅為 ，周期為，周期為 ，起始時刻物體在，起始時刻物體在kg01. 0m08. 0s4m04. 0Ox （2 2）由起始位置運動到由起始位置運動到 處所需要處所需要的最短時間的最短時間. .m04. 0 x 例例4-8 一質(zhì)點在一質(zhì)點在X軸上作簡諧運動軸上作簡諧運動, 選取該質(zhì)點選取該質(zhì)點向右運動通過向右運動通過A點時作為計時起點點時作為計時起點,經(jīng)經(jīng)2s后質(zhì)點后質(zhì)點第一次經(jīng)過第一次經(jīng)過B點點, 再經(jīng)過再經(jīng)過4s后第二次經(jīng)過后第二次經(jīng)過B點點, A和和B處的速率相同處的速

20、率相同,且且AB=12cm, 求振動方程求振動方程. 法二法二: 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法 法一法一: 解析法解析法 11A1xx0一一 兩個同方向同頻率簡諧運動的合成兩個同方向同頻率簡諧運動的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2兩個兩個同同方向方向同同頻頻率簡諧運動率簡諧運動合成合成后仍為后仍為簡諧簡諧運動運動4-4 諧振動的合成諧振動的合成xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k), 2 1 0(

21、，k)cos(212212221AAAAA 討論討論xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx3 3）一般情況一般情況2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加強相互加強相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k三三 兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成 )cos(1111 tAx)cos(2222 tAx兩個同方向的諧振動兩個同方向的諧振動,

22、角頻率分別為角頻率分別為 和和 ,且且 略大于略大于 , 1212t時刻兩分振動的旋轉(zhuǎn)矢量之間的夾角為時刻兩分振動的旋轉(zhuǎn)矢量之間的夾角為:)()(1212 t與時間有關(guān)與時間有關(guān) 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個的兩個同方向同方向簡諧運動的簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍拍. .單位時間內(nèi)合振動振幅大小變化的次數(shù)單位時間內(nèi)合振動振幅大小變化的次數(shù),稱為稱為拍頻拍頻121221 T拍頻等于兩個分振動的頻率之差拍頻等于兩個分振動的頻率之差角頻率角頻率振幅振幅maCkxv0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2

23、022xtxtx一一 阻尼振動阻尼振動)cos(tAext22022022TvCFr阻尼力阻尼力mk0mC 2固有角頻率固有角頻率阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)阻力系數(shù)阻力系數(shù)4-5 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振otx三種阻尼的比較三種阻尼的比較阻尼振動位移阻尼振動位移-時間曲線時間曲線AAtOx)0(220)cos(tAext0dddd22kxtxCtxm220 b b）過阻尼）過阻尼220 a a）欠阻尼）欠阻尼220 c c）臨界阻尼）臨界阻尼t(yī)AeTabctAetcos驅(qū)動力驅(qū)動力tFkxtxCtxmp22cosdddd二二 受迫振動受迫振動( (周期性外力持續(xù)作用周期性外力持續(xù)作用) )mk0mC2mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd)cos()cos(p0tAteAxt2p22p204)(fA2p20p2tg驅(qū)動力的角頻率驅(qū)動力的角頻率瞬態(tài)解瞬態(tài)解穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解PAo共振頻率共振頻率)cos(ptAx2p22p204)(fA0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼220r2共振共振頻率頻率220r2fA共振共振振幅振幅0ddpA阻尼阻尼0三三