最新版-二面角求法及經(jīng)典題型歸納(共9頁(yè))

1、立體幾何二面角求法一：知識(shí)準(zhǔn)備1、二面角的概念：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角。3、二面角的大小范圍：0°，180°4、三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直5、平面的法向量：直線L垂直平面，取直線L的方向向量，則這個(gè)方向向量叫做平面的法向量。（顯然，一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們是共線向量）6、二面角做法：做

2、二面角的平面角主要有3種方法： （1）、定義法：在棱上取一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的2 條射線，這2條所夾 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一個(gè)平面，這個(gè)平面與2個(gè)半平面分別有一條交線，這2條交線所成的角； （3）、三垂線法：過(guò)一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)（記為A）做另一個(gè)半平面的一條垂線，過(guò)這個(gè)垂足（記為B）再做棱的垂線，記垂足為C，連接AC，則ACB即為該二面角的平面角。7、兩個(gè)平面的法向量的夾角與這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角有怎樣的關(guān)系？二：二面角的基本求法及練習(xí)1、定義法：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)

3、，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角SAMB中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過(guò)該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1在正方體ABCDA1B1C1D1中，求 （1）二面角的大?。唬?）平面與平面所成角的正切值。例2:如圖1，設(shè)正方形ABCD-A1B1C1D！中，E為CC1中點(diǎn)，求截面A1BD和EBD所成二面角的度數(shù)。練

4、習(xí)：過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作，設(shè)PA=AB=，求二面角的大小。2、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過(guò)二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知點(diǎn)B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過(guò)該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點(diǎn)與終點(diǎn)得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。例1是正方形，ABEF是矩形且AF=AD=，G是EF的中點(diǎn)，（1）求證：；（2

5、）求GB與平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角的大小。例2點(diǎn)P在平面ABC外，是等腰直角三角形，是正三角形，。（1）求證：；（2）求二面角的大小。例3.如圖3，設(shè)三棱錐V-ABC中，VA底面ABC，ABBC，DE垂直平分VC，且分別交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度數(shù)。練習(xí)：正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P是AD的中點(diǎn)，求二面角的大小。3無(wú)棱二面角的處理方法（1）補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒(méi)有明

6、確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決例1過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作，設(shè)PA=AB=， （1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的大小。 例2如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.例3如圖10，設(shè)正三棱柱ABC-A'B'C'各棱長(zhǎng)均為，D為CC1中點(diǎn)，求平面A'BD與平面ABC所成二面角的度數(shù)。例4、正三角形ABC的邊長(zhǎng)為10，A平面，B、C在平面的同側(cè)，且與的距離分別是4和2，求平面ABC與所成的

7、角的正弦值。（2）射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。例1：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn)，求平面EB1C和平面ABCD所成的二面角。例2正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P是棱的中點(diǎn)，求平面與平面ABCD所成二面角的大小。例3如圖12，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AA1上點(diǎn)，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M與底面ABCD所成二面角。例4如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大??；4、垂面法:由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂

8、直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角。例如：過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB于B，作AC于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則BOC就是二面角的平面角。例1， （1）求證：； （2）求二面角的大??； （3）求異面直線SC與AB所成角的余弦值。例2、如圖6，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點(diǎn)。（1）求證：A1、E、C、F四點(diǎn)共面；（2）求二面角A1-EC-D的大小。例3、如圖，已知PA與正方形ABCD所在平面垂直，且ABPA，求平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小。 5、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說(shuō)所有的立體幾何題都

9、可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫(xiě)成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題對(duì)于空間向量、，有cos，=利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中二面角的問(wèn)題例1.在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值證明： 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，依題意ABCVDxyz得= (0，1，0)，是面VAD的法向量，設(shè)= (1，y，z)是面VDB的法向量，則= (1，1，)。cos，=

10、，又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角為銳角，所以其余弦值是BBCACADM例2.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB =，AC=1，CB=，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M求證CD平面BDM；求面B1BD與面CBD所成二面角的余弦值例3如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F求二面角CPBD的大小三、幾點(diǎn)說(shuō)明：1、定義法是選擇一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計(jì)算，不是我們首選的方法。2、三垂線法是從一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向另一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這個(gè)點(diǎn)和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，