線性代數(shù) 向量空間 PPT學習教案

1、會計學112(,)Tna aa 12 naaa 維向量寫成一行，稱為維向量寫成一行，稱為行向量行向量，也就是行，也就是行矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： TTTTba,n 維向量寫成一列，稱為維向量寫成一列，稱為列向量列向量，也就是列，也就是列矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： ,ban第1頁/共126頁 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組）所組成的集合叫做向量組例如例如維維列列向向量量個個有有矩矩陣陣mnijAanm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a

2、1. , , 的列向量組的列向量組稱為矩陣稱為矩陣向量組向量組Aa1a2ana2ajana1a2ajan第2頁/共126頁維行向量維行向量個個又有又有矩陣矩陣類似地類似地nmijAanm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T1 T2 Tm第3頁/共126頁 反之，由有限個向量所組成的向量組可以反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣構(gòu)成一個矩陣.矩矩陣陣構(gòu)構(gòu)成成一一個個組組維維列列向向量量所所組組成成的的向向量量個個nmnmm

3、, 21 矩矩陣陣構(gòu)構(gòu)成成一一個個的的向向量量組組維維行行向向量量所所組組成成個個nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA 第4頁/共126頁1122 nnxxxb線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程組與增廣矩陣的列向量組之間方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應一一對應第5頁/共126頁，組實數(shù)組實數(shù)，對于任何一，對于任何一給定向量組給定向量組mmkkkA,: 2121 定義定義., 21個線性組合的系數(shù)個線性組合的系數(shù)稱為這稱為這，mkkk，稱為向量組的

4、一個稱為向量組的一個向量向量 2211mmkkk 線性組合線性組合第6頁/共126頁mmb 2211，使使，一一組組數(shù)數(shù)如如果果存存在在和和向向量量給給定定向向量量組組mmbA ,: 2121. 2211有解有解即線性方程組即線性方程組bxxxmm 的線性組合，這時稱的線性組合，這時稱是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA有解，有解，也就是方程組也就是方程組bAx .,21nA 其中，其中，第7頁/共126頁.),(),( 2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩陣陣，條條件件是是矩矩陣陣線線性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量組組向向

5、量量bBAAbmm 定理定理1 1例：例：，即可由向量組即可由向量組向量向量 01000103221 b3213032100 b線性表示，且為：線性表示，且為：第8頁/共126頁 . .,:,: 2121這這兩兩個個能能相相互互線線性性表表示示，則則稱稱量量組組與與向向若若向向量量組組稱稱線線性性表表示示，則則向向量量組組組組中中的的每每個個向向量量都都能能由由若若及及設設有有兩兩個個向向量量組組BAABBAsm 向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示線性表示向量組等價向量組等價BA定義定義).)()(BrAr 即即 010030102001,321bbAB 因為因為(第9頁/共126頁

6、矩矩陣陣：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)的的列列向向量量組組線線性性表表示示，矩矩陣陣的的列列向向量量組組能能由由，則則矩矩陣陣若若BACBACnssmnm snssnnsnbbbbbbbbbccc2122221112112121),), （：結(jié)結(jié)論論1第10頁/共126頁 TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的行行向向量量組組線線性性表表示示的的行行向向量量組組能能由由同同時時，ABC,第11頁/共126頁.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有時時則則只只有有當當線線性性無無關關若若 nnn

7、n 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組注意注意:定義定義則稱向量組則稱向量組 是線性相關的，否則稱它線性無關是線性相關的，否則稱它線性無關A第12頁/共126頁3.,.對對于于含含有有兩兩個個向向量量的的向向量量組組 它它線線性性相相關關的的充充要要條條件件是是兩兩向向量量的的分分量量對對應應成成比比例例，幾幾何何意意義義是是兩兩向向量量共共線線；三三個個向向量量相相關關的的幾幾何何意意義義是是三三向向量量共共面面., 2.性性無無關關就就是是線線性性相相關關不不是是線線對對于于任任一一向向量量組組第13頁/共1

8、26頁，到底線性相關還是無關到底線性相關還是無關，向量組向量組m 21也即齊次線性方程組也即齊次線性方程組 Ax mmxxx2121, 程程組組的的定定理理，即即有有方方而而由由上上章章關關于于齊齊次次線線性性有有無無非非零零解解的的問問題題，故故02211 mmxxx 第14頁/共126頁2定理定理線線性性相相關關的的充充要要條條件件向向量量組組m ,21是向量是向量其中其中的秩的秩是矩陣是矩陣mmArAm.)(,21 的個數(shù)。的個數(shù)。其逆否命題是：其逆否命題是：線線性性無無關關的的充充要要條條件件是是“向向量量組組m ,21”.)(mAr 第15頁/共126頁推論的逆否命題是：推論的逆否命

9、題是：，它它線線性性無無關關的的維維向向量量組組對對mm ,21充要條件是：充要條件是：0 A推推論論：，它它線線性性相相關關的的維維向向量量組組對對mm ,21充要條件是：充要條件是：0 A第16頁/共126頁維維向向量量組組n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,討討論論其其線線性性相相關關性性維維單單位位坐坐標標向向量量組組稱稱為為n解解.),( 21階階單單位位矩矩陣陣是是的的矩矩陣陣維維單單位位坐坐標標向向量量組組構(gòu)構(gòu)成成neeeInn ，由由01 I例例的推論知，的推論知，及定理及定理 2無無關關。維維單單位位坐坐標標向向量量組組線線

10、性性n或或r(I)=n，得線性無關。，得線性無關。第17頁/共126頁， 742520111321 .21321的線性相關性的線性相關性，及及，試討論向量組試討論向量組 解解.2, 21321321即即可可得得出出結(jié)結(jié)論論）的的秩秩，利利用用定定理理，及及（），可可同同時時看看出出矩矩陣陣（成成行行階階梯梯形形矩矩陣陣），施施行行初初等等行行變變換換變變，對對矩矩陣陣（ 已知已知例例分析分析第18頁/共126頁 751421201),(321 )25(23 r， 000220201., 2),(,2),(2121321321線性無關線性無關故向量組故向量組線性相關；線性相關；，故向量組，故向量

11、組可見可見 rr)1()1(1213 rr 550220201第19頁/共126頁.,;,13,145,023:3321向量組線性相關向量組線性相關取何值時取何值時向量組線性無關向量組線性無關取何值時取何值時問問設向量組設向量組例例ttt 3210142353321 tt 解：因為解：因為.,23;,23,321321線線性性相相關關向向量量組組時時線線性性無無關關向向量量組組時時當當所所以以 tt第20頁/共126頁. , , 321133322211321線線性性無無關關試試證證線線性性無無關關已已知知向向量量組組 例例4 40,332211321 xxxxxx使使設設有有, 0)()(

12、133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即全為零，即有全為零，即有線性無關，故系數(shù)必需線性無關，故系數(shù)必需，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證法證法1第21頁/共126頁02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線線性性無無關關向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解 xxx證法證法2 110011101),(),(321321aaa 即有，即有，.ACB 可對應記作可對應記作,133322211 由由第22頁/共126頁02110011101 C

13、由由).()(ArBr 知知.,321線性無關線性無關向量組向量組 進而知進而知，知，知而利用定理而利用定理, 3)(2 Ar的線性相關判定的幾的線性相關判定的幾接下來，我們給出常用接下來，我們給出常用個性質(zhì)：個性質(zhì)：第23頁/共126頁., 0, 0, 線線性性無無關關則則說說若若線線性性相相關關則則說說若若時時向向量量組組只只包包含含一一個個向向量量 . 組組是是線線性性相相關關的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量性質(zhì)性質(zhì)1 1：性質(zhì)性質(zhì)2 2：. 時一定線性相關時一定線性相關于向量個數(shù)于向量個數(shù)小小當維數(shù)當維數(shù)維向量組成的向量組，維向量組成的向量組，個個mnnm.,)(,.)()

14、,(, 212121線性相關線性相關個向量個向量故故則則若若，有，有構(gòu)成矩陣構(gòu)成矩陣維向量維向量個個mmmnmmmArmnnArAnm 性質(zhì)性質(zhì)3 3：證明證明第24頁/共126頁. ,. ,: , 1121也線性無關也線性無關向量組向量組則則線性無關線性無關量組量組若向若向反言之反言之也線性相關也線性相關向量組向量組則則線性相關線性相關：向量組向量組若若ABBAmmm 性質(zhì)性質(zhì)4 4：.2, 11)()()(2,. 1)()(),(),( 111線性相關線性相關知向量組知向量組根據(jù)定理根據(jù)定理因此因此，從而，從而，有，有則根據(jù)定理則根據(jù)定理線性相關線性相關若向量組若向量組，則有，則有記記Bm

15、ArBrmArAArBraaaBaaAmmm 證明證明第25頁/共126頁.:1 關關的的任任何何部部分分組組都都線線性性無無向向量量組組線線性性無無關關，則則它它反反之之，若若一一個個線線性性相相關關含含有有零零向向量量的的向向量量組組必必特特別別地地，量量組組線線性性相相關關相相關關的的部部分分組組，則則該該向向一一個個向向量量組組若若有有線線性性可可推推廣廣為為性性質(zhì)質(zhì)說明：說明：第26頁/共126頁設設 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj 性質(zhì)性質(zhì)5 5：.,.,.2121性性相相關關也也線線則則向向量量組組線線性性相相關關反反言言之之，若若向

16、向量量組組關關也也線線性性無無：則則向向量量組組線線性性無無關關：若若向向量量組組個個分分量量后后得得向向量量一一添添上上即即ABbbbBAbmmjj 第27頁/共126頁列），列），只有只有因因但但從而有從而有，則則線性無關線性無關若向量組若向量組則有則有，記記mBmBrmBrmArABrArbbBAmmrmmr()(.)()(,).()(),(),( 1)1(1 .)(線性無關線性無關，因此向量組，因此向量組故故BmBr 即即結(jié)結(jié)論論也也成成立立量量而而言言的的，若若增增加加多多個個分分）維維數(shù)數(shù)增增加加是是對對增增加加一一個個分分量量（即即性性質(zhì)質(zhì).,12 說明：說明：證明：證明：關關。

17、”加加長長”向向量量組組必必線線性性無無“線線性性無無關關向向量量組組的的“或或關關?！苯亟囟潭獭毕蛳蛄苛拷M組必必線線性性相相“線線性性相相關關向向量量組組的的“第28頁/共126頁5例例試試判判斷斷向向量量組組,520011 ,570102 ,321003 的線性相關性。的線性相關性。解法一：解法一：，考察新向量組考察新向量組21321 ,010001 ,100002 第29頁/共126頁由由011035501272001000001000001,21321 即知即知線性無關，線性無關，21321, ，即知，即知再由性質(zhì)再由性質(zhì) 1線性無關。線性無關。，321 第30頁/共126頁解法二：解

18、法二：,520011 ,570102 ,321003 考考察察的“截短”向量組：的“截短”向量組：,0011 ,0102 ,1003 也無關。也無關。，線性無關，故線性無關，故，顯然顯然321321 第31頁/共126頁定理定理3 3 向量組向量組 （當（當 時）線性相關時）線性相關的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個向中至少有一個向量可由其余量可由其余 個向量線性表示個向量線性表示m ,212 mm ,211 m證明證明 充分性充分性 設設 中有一個向量（比如中有一個向量（比如 ）能由其余向量線性表示）能由其余向量線性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 而不是而

19、不是“每一個每一個”第32頁/共126頁故故 01112211 mmma 因因 這這 個數(shù)不全為個數(shù)不全為0， 1,121 m m故故 線性相關線性相關.m ,21必要性必要性設設 線性相關，線性相關，m ,21則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 第33頁/共126頁因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0，mkkk,21不妨設則有不妨設則有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.1 證畢證畢. ,000,531TT，對向量組對向量組 因其為因其為以該組線性相關。以該組線性相關。含零向量的向量組，

20、所含零向量的向量組，所但也只有但也只有!)(,0 而無而無第34頁/共126頁.,:,: 121且表示式是唯一的且表示式是唯一的線性表示線性表示必能由向量組必能由向量組向量向量線性相關線性相關向量組向量組線性無關線性無關向量組向量組AbbBAmm 定理定理 4 4：.)(1)(. 1)(;)().()(),(),( 2121mBrmBrmmBrBmArABrArbBAmm ，即有，即有所以所以組線性相關，有組線性相關，有因因組線性無關，有組線性無關，有因因有有記記 .),( ,)()( 21一一線線性性表表示示，且且表表示示式式唯唯組組能能由由向向量量有有唯唯一一解解，即即向向量量知知方方程程

21、組組由由AbbxmBrArm 證明：證明：第35頁/共126頁.,2,)(),()(, 關關線性相線性相向量組向量組線性無關線性無關知向量組知向量組由定理由定理則則有唯一解有唯一解即即且表示式唯一且表示式唯一示示線性表線性表能由向量組能由向量組向量向量BAmBrbArArbAxAb 證明：證明：第36頁/共126頁6例例為什么？為什么？線性表示？線性表示？，是否可由是否可由）為什么？（為什么？（線性表示，線性表示，可否由可否由）線性無關，問：（線性無關，問：（，線性相關，線性相關，已知向量組已知向量組32143214323212,1 )1(解：解： 由由432, 知知線線性性無無關關 ,32,

22、 。性性質(zhì)質(zhì)線線性性無無關關)(線性相關，即知線性相關，即知再由再由321, ；定定理理唯唯一一線線性性表表示示，可可由由)(321 不能！不能！)2(可只由可只由），即知），即知否則，由（否則，由（41 線性表示。線性表示。32, 線性無關矛盾！線性無關矛盾！，而這顯然與而這顯然與432 （定理）。（定理）。第37頁/共126頁. 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；. 線性相關與線性無關的概念；線性相關性線性相關與線性無關的概念；線性相關性在線性方程組中的應用；在線性方程

23、組中的應用；（重點重點）. 線性相關與線性無關的判定方法：定義，線性相關與線性無關的判定方法：定義，兩個定理兩個定理（難點難點）第38頁/共126頁無窮多種表示唯一表示有解mmrbrbxbmmmmm),(),(),(2121212211線性表示線性表示: :第39頁/共126頁成成立立使使如如果果存存在在不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)0,221121 mmmkkkkkk 線性相關線性相關: :00212211 mmmkkkkkk 如如果果線性無關線性無關: :有有非非零零解解0),(21 xm mrm ),(21 )0,(21 m 特特別別只只有有零零解解0),(21 xm mrm ),(21 )0

24、,(21 m 特特別別第40頁/共126頁., 0, 0, 線線性性無無關關則則說說若若線線性性相相關關則則說說若若時時向向量量組組只只包包含含一一個個向向量量 . 組組是是線線性性相相關關的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量性質(zhì)性質(zhì)1 1：性質(zhì)性質(zhì)2 2：. 時一定線性相關時一定線性相關于向量個數(shù)于向量個數(shù)小小當維數(shù)當維數(shù)維向量組成的向量組，維向量組成的向量組，個個mnnm性質(zhì)性質(zhì)3 3：. ,. ,: , 1121也線性無關也線性無關向量組向量組則則線性無關線性無關量組量組若向若向反言之反言之也線性相關也線性相關向量組向量組則則線性相關線性相關：向量組向量組若若ABBAmmm 性質(zhì)

25、性質(zhì)4 4：第41頁/共126頁設設 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj 性質(zhì)性質(zhì)5 5：.,.,21212121也也線線性性相相關關則則向向量量組組線線性性相相關關反反言言之之，若若向向量量組組也也線線性性無無關關則則向向量量組組線線性性無無關關若若向向量量組組mmmmbbbbbb 第42頁/共126頁定理定理 向量組向量組 （當（當 時）線性相關時）線性相關的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個向中至少有一個向量可由其余量可由其余 個向量線性表示個向量線性表示m ,212 mm ,211 m而不是而不是“每一個每一個”.,:,: 121且表

26、示式是唯一的且表示式是唯一的線性表示線性表示必能由向量組必能由向量組向量向量線性相關線性相關向量組向量組線性無關線性無關向量組向量組AbbBAmm 定理定理第43頁/共126頁向量空間向量空間第二節(jié)第二節(jié) 向量組的向量組的秩秩概概念念一一、最最大大無無關關向向量量組組的的關關系系二二、矩矩陣陣與與向向量量組組秩秩的的論論三三、向向量量組組秩秩的的重重要要結(jié)結(jié)四四、小小結(jié)結(jié)、思思考考題題第44頁/共126頁0. 它的秩為它的秩為有最大無關組，規(guī)定有最大無關組，規(guī)定只含零向量的向量組沒只含零向量的向量組沒，滿滿足足個個向向量量中中能能選選出出，如如果果在在設設有有向向量量組組rrAA , 21定義

27、定義線線性性無無關關；）向向量量組組（rA ,:1 210關關，個個向向量量的的話話）都都線線性性相相中中有有個個向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量組組（112 rArA. 的的稱稱為為向向量量組組數(shù)數(shù)最最大大無無關關組組所所含含向向量量個個r; 0）（簡簡稱稱的的一一個個向向量量組組是是那那末末稱稱向向量量組組AA最大線性無關向量組最大線性無關向量組最大最大無關組無關組秩秩第45頁/共126頁. 它它的的行行向向量量組組的的秩秩量量組組的的秩秩，也也等等于于矩矩陣陣的的秩秩等等于于它它的的列列向向定理定理的的秩秩也也記記作作向向量量組組maaa,21),(,2121mmaaaraaar

28、 ;1一一）最大無關組可以不唯）最大無關組可以不唯（說明說明.2關組是等價的關組是等價的）向量組與它的最大無）向量組與它的最大無（第46頁/共126頁是線性無關的，是線性無關的，向量組向量組維單位坐標向量構(gòu)成的維單位坐標向量構(gòu)成的因為因為neeeIn,: 21解解. 的的秩秩一一個個最最大大無無關關組組及及的的，求求作作維維向向量量構(gòu)構(gòu)成成的的向向量量組組記記全全體體nnnRRRn例例1 1個個向向量量都都線線性性相相關關，中中的的任任意意性性質(zhì)質(zhì)的的結(jié)結(jié)論論知知又又根根據(jù)據(jù)12 .4 nRn. nRRInn的的秩秩等等于于的的一一個個最最大大無無關關組組，且且是是因因此此向向量量組組第47頁

29、/共126頁 97963422644121121112 A設矩陣設矩陣 例2例2.用用最最大大無無關關組組線線性性表表示示屬屬最最大大無無關關組組的的列列向向量量無無關關組組，并并把把不不的的列列向向量量組組的的一一個個最最大大求求矩矩陣陣A第48頁/共126頁行階梯形矩陣行階梯形矩陣施行初等行變換變?yōu)槭┬谐醯刃凶儞Q變?yōu)閷?A解解，知知3)( ArA ， 00000310000111041211初等行變換初等行變換 .3 個向量個向量組含組含故列向量組的最大無關故列向量組的最大無關三列，三列，、元在元在而三個非零行的非零首而三個非零行的非零首421.,421無關組無關組為列向量組的一個最大為

30、列向量組的一個最大故故aaa),;,;,;,(541531431521大無關組大無關組也為列向量組的一個最也為列向量組的一個最aaaaaaaaaaaa第49頁/共126頁 00000310003011040101 初等行變換初等行變換A 4215213334,aaaaaaa 即得即得行最簡形矩陣行最簡形矩陣化為化為 第50頁/共126頁. 的的秩秩的的秩秩不不大大于于向向量量組組量量組組線線性性表表示示，則則向向能能由由向向量量組組設設向向量量組組ABAB定理定理例例如如但但反反之之未未必必等等價價的的向向量量組組的的秩秩相相等等. ,推論推論1 1).()(),()( BrCrArCrBAC

31、nssmnm ，則，則設設推論推論2 2).()(,10,01 rr 不不等等價價但但顯顯然然第51頁/共126頁性質(zhì)性質(zhì)).()()(,)2();()()(,)1(ABrnBrArBABArBrArnmBAsnnm 則則為矩陣為矩陣設設則則階矩陣階矩陣為為設設.)()(,:2成成立立試試證證設設例例nIArIArIA ,)()()(;)(,2nIAIArnIArIArOIAIAIA 由性質(zhì)知由性質(zhì)知證證.)()2()()()()()(nIrIrIAAIrIArAIrIArIAr 及及.)()(成立成立故故nIArIAr 第52頁/共126頁,59354645),( ,13112032),(

32、2121 bbaa已知已知例4例4.),(),(2121等價等價與與證明向量組證明向量組bbaa第53頁/共126頁.),(),( ,),(),( ,2 21212121YbbaaXaabbYX 使使階方陣階方陣要證存在要證存在證明證明.X先求先求 5913351146204532),(2121bbaa最最簡簡形形矩矩陣陣：施施行行初初等等行行變變換換變變?yōu)闉樾行嘘囮噷υ鲈鰪V廣矩矩的的方方法法類類似似于于線線性性方方程程組組求求解解),(, 2121bbaa第54頁/共126頁 5913453246203511 5913351146204532),(2121bbaa13r 462010155

33、046203511)2(13r)3(14r第55頁/共126頁)21()1()5(22423 rrr 0000000023103511 462010155046203511)2(13r)3(14r.0000000023101201 )1(21 r 11 r第56頁/共126頁 X.,., 01 21211等價等價與與此向量組此向量組因因即為所求即為所求取取可逆可逆知知因因bbaaXYXX 0000000023101201),(2121初等行變換初等行變換bbaa 即得即得 2312即即: ( ,)( )( ).r A Br Ar B注注即即可可第57頁/共126頁最大線性無關向量組的概念：最大

34、線性無關向量組的概念：最大性最大性、線性無關性線性無關性 矩陣的秩與向量組的秩的關系：矩陣的秩與向量組的秩的關系：矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩矩陣行向量組的秩 關于向量組秩的一些結(jié)論：關于向量組秩的一些結(jié)論：一個定理一個定理、兩個推論兩個推論兩個性質(zhì)兩個性質(zhì) 求向量組的秩以及最大無關組的方法：求向量組的秩以及最大無關組的方法：將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個矩將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個矩陣，然后進行初等行變換陣，然后進行初等行變換第58頁/共126頁 8421,1211,5311,3201,54114321aa 設設.,4321并并寫寫出出表表示示

35、式式線線性性組組合合的的可可唯唯一一地地表表示示成成取取何何值值時時問問 a問題轉(zhuǎn)化為問題轉(zhuǎn)化為.),(4321解的討論解的討論 x3214321111212,1 aaaaa的的線線性性組組合合可可唯唯一一地地表表示示成成時時當當因為因為4),(),(43214321 rr所以所以第59頁/共126頁向量空間向量空間第三節(jié)第三節(jié) 向量空間向量空間一、向量空間的概念一、向量空間的概念二、子空間二、子空間數(shù)數(shù)三、向量空間的基和維三、向量空間的基和維四四、小小結(jié)結(jié)、思思考考題題第60頁/共126頁說明說明.,VRV 則則若若2 維向量的集合是一個向量空間維向量的集合是一個向量空間,記作記作 .nnR

36、;,VVV 則則若若定義定義1 1設設 為為 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合 非空非空, ,且集合且集合 對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合稱集合 為向量空間為向量空間nVVVV1集合集合 對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉指對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉指V第61頁/共126頁., 3 3是是一一個個向向量量空空間間維維向向量量的的全全體體R: :例例1 1.33,33 3R維維向向量量，它它們們都都屬屬于于維維向向量量仍仍然然是是乘乘數(shù)數(shù)維維向向量量維維向向量量之之和和仍仍然然是是因因為為任任意意兩兩個個 . ，也也是是一一個個向向量量空空間間維維

37、向向量量的的全全體體類類似似地地，nRn第62頁/共126頁例例2 2 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間. RxxxxxVnTn , 0221解解.V 是向量空間是向量空間1的任意兩個元素的任意兩個元素因為對于因為對于1V TnTnbbaa, 0, 022 ,V1 122, 0VbabaTnn 有有 ., 012VaaTn 第63頁/共126頁例例3 3 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間. RxxxxxVnTn , 1222解解 .2 ,2 , 2222VaaTn 則則.V 不是向量空間不是向量空間2 , 122VaaTn 因為若因為若第64頁/共126

38、頁維向量，集合維向量，集合為兩個已知的為兩個已知的設設nba, 例4例4 RbaxV ,試判斷集合是否為向量空間試判斷集合是否為向量空間.baxV111. 因為若因為若是一個向量空間是一個向量空間解解，bax222 則有則有,)()(212121Vbaxx .)()(111Vbkakkx ., 間間所生成的向量空所生成的向量空量量這個向量空間稱為由向這個向量空間稱為由向ba第65頁/共126頁 RaaaxVmmm ,212211間間所生成的向量空所生成的向量空由向量組由向量組maaa, 21一般地，一般地，為為 ., , , 212122112212211111VVRbbbxVRaaaxVbb

39、aasssmmmsm 試試證證：記記等等價價，與與向向量量組組設設向向量量組組 例例5 5一一般般記記作作),(21maaaspan第66頁/共126頁., 11線性表示線性表示可由可由，則，則設設maaxVx 證證,:12VxVx 則則若若類似地可證類似地可證.211221VVVVVV ，所以，所以，因為因為線線性性表表示示，可可由由線線性性表表示示，故故可可由由因因ssmbbxbbaa,111.2Vx 所以所以，則，則這就是說，若這就是說，若21VxVx .21VV 因此因此.12VV 因此因此第67頁/共126頁定義定義2 2 設有向量空間設有向量空間 及及 ，若向量集合，若向量集合，就

40、說就說 是是 的子空間的子空間21VV 1V2V1V2V實例實例,RVn 顯然顯然.的子空間的子空間總是總是所以所以RVn設設 是由是由 維向量所組成的向量空間，維向量所組成的向量空間，Vn第68頁/共126頁;,)1(21線線性性無無關關r .,2)(21線線性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由rV 那末向量組那末向量組 就稱為向量空間的一個就稱為向量空間的一個r, 21V基基， 稱為向量空間稱為向量空間 的維數(shù)的維數(shù)，并稱并稱 為為 維向量維向量空間空間VrVr定義定義3 3 設設 是向量空間，如果是向量空間，如果 個向量個向量 ，且滿足，且滿足r,21 VVr ,dimV=r第6

41、9頁/共126頁向量空間的概念：向量空間的概念：向量的集合向量的集合對加法及數(shù)乘兩種運算封閉對加法及數(shù)乘兩種運算封閉；由向量組生成的向量空間由向量組生成的向量空間子空間的概念子空間的概念第70頁/共126頁向量空間向量空間第四節(jié)第四節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)的的性性質(zhì)質(zhì)一一、齊齊次次線線性性方方程程組組解解二、基礎解系及其求法二、基礎解系及其求法解解的的性性質(zhì)質(zhì)三三、非非齊齊次次線線性性方方程程組組四四、小小結(jié)結(jié)、思思考考題題第71頁/共126頁解向量的概念解向量的概念為齊次線性方程組為齊次線性方程組0 Ax nxxxx21的解的解稱為方程組稱為方程組 的的解向量。解向量。第72

42、頁/共126頁齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì)（1 1）若）若 為為 的解，則的解，則 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .證明證明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 第73頁/共126頁（2 2）若）若 為為 的解，的解， 為實數(shù)，則為實數(shù)，則 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax證明證明 .kkAkA0011 由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為

43、齊次線因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組性方程組 的的解空間解空間一般記作一般記作0 Ax注：齊次解的線性組合仍為齊次解注：齊次解的線性組合仍為齊次解. )(AN第74頁/共126頁如果如果解系解系的基礎的基礎稱為齊次線性方程組稱為齊次線性方程組,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一組組線線性性無無關關是是 Axt .,0)2( 21出出線線性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 基礎解系基礎解系的定義的定義第75頁/共126頁的的通通解解可可表表示示為為那那么么的的一一組組基基礎礎解解系系為為齊齊次次線線性性方方程程組組如如果果0 AxAxt,0,21

44、 ttkkkx 2211.,21是任意常數(shù)是任意常數(shù)其中其中rnkkk 第76頁/共126頁線性方程組基礎解系的求法線性方程組基礎解系的求法 00001001,1, 111rnrrrnbbbbA設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為設齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為 ，并不妨，并不妨設設 的前的前 個列向量線性無關個列向量線性無關r于是于是 可化為可化為AAA第77頁/共126頁00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax第78頁/共126頁現(xiàn)對現(xiàn)對 取下列取下列 組數(shù)：組數(shù)：nrx,x1 rn nrrxxx21

45、nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分別代入分別代入., 100, 010, 001第79頁/共126頁依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 從而求得原方程組的從而求得原方程組的 個解：個解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,第80頁/共126頁說明說明解空間的基不是唯一的解空間的基不是唯一的解空間的基又稱為方程組的解空間的基又稱為方程組的基礎解系基礎解系.kkkxrnrn 2211若若 是是 的基礎解系，的基礎解系，則則其其通解通解為為 rn, 210 Ax.,

46、21是任意常數(shù)是任意常數(shù)其中其中rnkkk 第81頁/共126頁.)(,)()(0 rnANrArANxAnnmnm 的維數(shù)為的維數(shù)為解空間解空間時時秩秩數(shù)矩陣的數(shù)矩陣的是一個向量空間，當系是一個向量空間，當系構(gòu)成的集合構(gòu)成的集合的全體解所的全體解所元齊次線性方程組元齊次線性方程組定理定理1 1);0,(,)( 維維向向量量空空間間為為向向量量此此時時解解空空間間只只含含一一個個零零系系故故沒沒有有基基礎礎解解方方程程組組只只有有零零解解時時當當nAr 第82頁/共126頁 ).,(,(A) , ,)( 211111221121rnrnrnrnrnrnrnrnspanRxNxrnnrArkkk

47、kkkkkk 解空間可表示為解空間可表示為為任意實數(shù)為任意實數(shù)其中其中方程組的解可表示為方程組的解可表示為此時此時基礎解系基礎解系個向量的個向量的方程組必有含方程組必有含時時當當?shù)?3頁/共126頁例例1 1 求齊次線性方程組求齊次線性方程組 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎解系與通解的基礎解系與通解.解解,0000747510737201137723521111 A對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚刈鞒醯刃凶儞Q，變?yōu)樾凶詈喚仃?，有陣，有A第84頁/共126頁 .7475,7372 432431xxxxxx便得便得,100143

48、及及令令xx,7473757221 及及對應有對應有xx,107473,01757221 即得基礎解系即得基礎解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解第85頁/共126頁.0,1)( 2121的解的解為對應的齊次方程為對應的齊次方程則則的解的解都是都是及及設設 AxxbAxxx 證明證明 . 021 bbA . 021 Axx滿滿足足方方程程即即 bAbA 21, 非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì).221的解的解為為bAx 第86頁/共126頁證明證明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 證畢

49、證畢.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程則則的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程設設bAxxAxxbAxx 解的線性組合解的線性組合一般非齊次線性方程組一般非齊次線性方程組bAx nnccc 2211.0,0;,12121的解的解為為時時系數(shù)和系數(shù)和的解的解為為時時當系數(shù)和當系數(shù)和 AxcccbAxcccnn第87頁/共126頁.11 rnrnkkx其中其中 為對應齊次線性方程為對應齊次線性方程組的組的通解通解， 為非齊次線性方程組的任意一個為非齊次線性方程組的任意一個特特解解.rnrnkk 11 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通

50、解為的通解為第88頁/共126頁與方程組與方程組 有解等價的命題有解等價的命題bAx ;, 21線線性性表表示示能能由由向向量量組組向向量量nb ;,2121等價等價與向量組與向量組向量組向量組bnn .,2121的秩相等的秩相等與矩陣與矩陣矩陣矩陣bBAnn 線性方程組線性方程組 有解有解bAx 第89頁/共126頁線性方程組的解法線性方程組的解法（1 1）應用克萊姆法則）應用克萊姆法則（2 2）利用初等變換）利用初等變換特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可用來證明

51、很多命題用來證明很多命題特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算方法的計算方法第90頁/共126頁例例4 4 求解方程組求解方程組 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施行初等行變換施行初等行變換對增廣矩陣對增廣矩陣A 2132111311101111A,00000212100211011 )1(12 r)1(13 r 2121001420001

52、1111x3x第91頁/共126頁并有并有故方程組有解故方程組有解可見可見, 2)()( ArAr .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx則則即得方程組的一個特解即得方程組的一個特解 021021 取取中中組組在對應的齊次線性方程在對應的齊次線性方程,2 43421 xxxxx第92頁/共126頁,100142 及及xx,210131 及及則則xx程組的基礎解系程組的基礎解系即得對應的齊次線性方即得對應的齊次線性方,1201,001121 第93頁/共126頁于于是是所所求求通通解解為為).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx

53、 非齊次方程的通解非齊次方程的通解=齊次方程的通解齊次方程的通解 + 非齊次方程的特解非齊次方程的特解第94頁/共126頁齊次線性方程組基礎解系的求法齊次線性方程組基礎解系的求法對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 進行初等變換，將其化進行初等變換，將其化為為行最簡形討論行最簡形討論A有解有解0 Ax 個解向量個解向量此時基礎解系中含有此時基礎解系中含有Arn .有無窮多解有無窮多解bAx ArAr .無解無解bAx .有唯一解有唯一解bAx 線性方程組解的情況線性方程組解的情況 nrAr A nrAr A nAr 第95頁/共126頁 滿滿足足的的三三個個解解向向量量方方程程組組如如果果非非齊齊次次線線性性

54、且且矩矩陣陣是是設設321,. 1,3 bAxArmA ,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx 第96頁/共126頁, 1)(,3 ArmA矩陣矩陣是是解解 .2130 無無關關的的解解向向量量個個線線性性的的基基礎礎解解系系中中含含有有 Ax ,211)()(323121 231)()(322131 .0的基礎解系中的解向量的基礎解系中的解向量為為 Ax第97頁/共126頁的通解為的通解為故故bAx ,2312123121121321 kkxxx.,21為任意實數(shù)為任意實數(shù)其中其中kk.221 為為非非齊齊次次方方程程的的一一個個特特解解)()(312211 kk齊

55、齊次次方方程程的的通通解解為為第98頁/共126頁第五節(jié)第五節(jié) 向量的內(nèi)向量的內(nèi)積積向量空間向量空間一、內(nèi)積的定義與性質(zhì)一、內(nèi)積的定義與性質(zhì)二、向量的長度與性質(zhì)二、向量的長度與性質(zhì)及求法及求法三、正交向量組的概念三、正交向量組的概念換換四四、正正交交矩矩陣陣與與正正交交變變五五、小小結(jié)結(jié)、思思考考題題第99頁/共126頁定義定義1 1維向量維向量設有設有n,2121 nnyyyyxxxxnnyxyxyxyx 2211,定義定義的內(nèi)積。的內(nèi)積。與與為向量為向量稱稱yxyx ,說說明明yxyxyxT , :, 為為內(nèi)積可用矩陣記號表示內(nèi)積可用矩陣記號表示向量向量都是列都是列如果如果內(nèi)積是向量的一種

56、運算內(nèi)積是向量的一種運算第100頁/共126頁內(nèi)積的運算性質(zhì)內(nèi)積的運算性質(zhì) :,為實數(shù)為實數(shù)維向量維向量為為其中其中 nzyx;,)1(xyxyyxT ;,)2( yxyx ;,)3( zyzxzyx. 0,0, 0,)4( xxxxx時有時有當且僅當當且僅當?shù)?01頁/共126頁非負性非負性. 1齊次性齊次性. 2三角不等式三角不等式. 3定義定義2 2 ,22221nxxxxxx 令令 . 或或的的維向量維向量為為稱稱xnx長度長度范數(shù)范數(shù)向量的長度具有下述性質(zhì)：向量的長度具有下述性質(zhì)：; 0,0; 0,0 xxxx時時當當時時當當;xx .yxyx 第102頁/共126頁維向量間的夾角維

57、向量間的夾角單位向量及單位向量及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的夾角的夾角與與求向量求向量 例例解解 cos2262318 .4 .,11 為為稱稱時時當當xx 單位向量單位向量 yxyxyx ,arccos,0, 02 稱稱時時當當. 的的與與維向量維向量為為yxn夾角夾角第103頁/共126頁 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念 ,0,yxyx與與稱向量稱向量時時當當 正交正交（或（或垂直垂直）., 0,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若由定義知由定義知 xx 若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱

58、該向量組為量組為正交向量組正交向量組則必有則必有是正交向量組，是正交向量組，即若向量組即若向量組m 21)(0jijTi 第104頁/共126頁, 0021111 T由由.01 從而有從而有. 02 r 同理可得同理可得.,21線性無關線性無關故故r 使使設有設有r ,21證明證明02211 rr 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1 T001111 TT 正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì)線線性性無無關關. ., , , ,則則非非零零向向量量, ,是是一一組組兩兩兩兩正正交交的的, , , ,維維向向量量若若rrn 2121 定理定理1 1第105頁/共126頁例例1 1 已知三維向量空間中

59、兩個向量已知三維向量空間中兩個向量 121,11121 正交，試求正交，試求 使使 構(gòu)成三維空間的一個正交構(gòu)成三維空間的一個正交基基.3 321 , 向量空間的向量空間的正交基正交基., 212121的正交基的正交基向量空間向量空間是是則稱則稱組組是兩兩正交的非零向量是兩兩正交的非零向量且且的一個基的一個基是向量空間是向量空間若若VVrrr 第106頁/共126頁即即 02,0,32132323213131xxxxxxTT 解之得解之得. 0,231 xxx則有則有若令若令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 構(gòu)成三維空間的一個正交基構(gòu)成三維空間的一個正交基.321 ,則有則有

60、0,3231 解解 ., 0, 213213正正交交且且分分別別與與設設 Txxx第107頁/共126頁 規(guī)范正交基規(guī)范正交基. ,)( , 3212121 的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基是是則則稱稱向向量量兩兩兩兩正正交交且且都都是是單單位位如如果果的的一一個個基基是是向向量量空空間間維維向向量量設設定定義義VeeeeeeRVVeeenrrnr 第108頁/共126頁.212100,212100,002121,0021214321 eeee . 4 , 3 , 2 , 1, 1,. 4 , 3 , 2 , 1, 0,jijieejijieejiji且且且且由于由于.,44321的的一一個個