實(shí)際問題與二次函數(shù)—知識(shí)講解(提高)

1、實(shí)際問題與二次函數(shù)一知識(shí)講解(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 能運(yùn)用二次函數(shù)分析和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).2. 經(jīng)歷探索實(shí)際問題與二次函數(shù)的關(guān)系的過程，深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、列二次函數(shù)解應(yīng)用題列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟：(1) 審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出 等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系).(2) 設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)

2、還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確.(3) 列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù).(4) 按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。(5) 檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問題的答案.(6) 寫出答案.要點(diǎn)詮釋：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù) 關(guān)系式要點(diǎn)二、建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問題一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知

3、條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題.要點(diǎn)詮釋：(1) 利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義(2) 對(duì)于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個(gè)方面的問題： 首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)； 學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中建立二次函數(shù)的模型； 借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問題【典型例題】類型一、利用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最大(小)值1. 某水產(chǎn)品養(yǎng)殖企業(yè)為指導(dǎo)該企業(yè)某種水產(chǎn)品的養(yǎng)殖和銷售，對(duì)歷年市場(chǎng)行情和水產(chǎn)品養(yǎng)殖情況

4、進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種水產(chǎn)品的每千克售價(jià)yi（元）與銷售月份x （月）滿足關(guān)系式3yiX 36，而其每千克成本 y2（元）與銷售月份x（月）滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示.8* 了產(chǎn)春十和C十C2524 Z11 ! XXI :O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x/S（1）試確定b, c的值；（2）求出這種水產(chǎn)品每千克的利潤(rùn)y（元）與銷售月份x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求指出x的取值范圍）（3）“五一”之前，幾月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案與解析】1 2（1 ）把（3 , 25） , （4 , 24）代入 y2x2 bx C 中，得8u 15b 一

5、解方程組得1859c .2-9 3b c = 25,81 16 4b c =248 根據(jù)題意，得 y = 丫丄 _ y2 = j _ 3 x + 36 I x x + "59I 8 丿1882丿3» 1 2 1559x 36 x x -8 8 821 2 313x x8 22313x2 211所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為 討=1 x281 2 1）由（2）得，y （x -6）11，因?yàn)閍0 ,所以當(dāng)xv 6時(shí)，y隨x的增大而增大，所8 8以“五一”之前，四月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為10.5元.【點(diǎn)評(píng)】有的題目本身就隱含著對(duì)自變量的限制，常常考慮不周而在用二次

6、函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，有的同學(xué)易忽略自變量的取值范圍，有的題目結(jié)果中的值 看上去有意義，但不一定符合題意， 造成錯(cuò)解.舉一反三:50元的T恤衫，規(guī)定試銷時(shí)的銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，又不（件）與銷售單價(jià)x （元）的關(guān)系可以近似的看作一次函數(shù)（如【變式】某服裝公司試銷一種成本為每件 高于每件70元，試銷中銷售量y 圖）(1) 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 設(shè)公司獲得的總利潤(rùn)為 P元，求P與X之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；根據(jù)題意判斷：當(dāng)X取何值時(shí)，P的值最大？最大值是多少？(總利潤(rùn)總銷售額一總成本)【答案】(1 )設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kxb( kz 0),函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)

7、(60, 400)和(70, 300)R00 =60k+b”m 'k=10J解得$g00 =70k+bb =1000 y = _10x 1000(2) P =(x 50)( _10x 1000)2P = _10x1500-50000 ( 50<XW 70)75 , a=_10 V 02a -20函數(shù)P -_10x2 1500x -50000圖象開口向下，對(duì)稱軸是直線x=75.50W x W 70,此時(shí)y隨x的增大而增大，當(dāng)x=70時(shí)，P最大值=6000.類型二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題2. 某工廠大門是拋物線形水泥建筑，大門地面寬為4m，頂部距離地面的咼度為4.4m，現(xiàn)有

8、一輛滿載貨物的汽車欲通大門，其裝貨寬度為2.4m，該車要想過此門，裝貨后的最大高度應(yīng)是多少 m ?【思路點(diǎn)撥】因?yàn)樾ｉT是拋物線形，不妨將這一問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行研究，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將 已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式求高.【答案與解析】解：建立如圖平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2,由題意得：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,- 4.4), 4.4=4a,解得：a= 1.1,拋物線的解析式為y= 1.1x2,當(dāng)x=1.2時(shí)，y= 1.1 X1.44= 1.584 ,線段OB的長(zhǎng)為1.584米,BC=4.4 1.584=2.816 米，裝貨后的最大高度為2.816米

9、,(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn) 代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；【點(diǎn)評(píng)】利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題一般步驟：化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式;(5)利用關(guān)系式求解問題.類型三、利用二次函數(shù)求跳水、投籃等實(shí)際問題6如圖所示，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5 m時(shí)，達(dá)到最大高度 3.5 m，然后準(zhǔn)確落入籃筐，已知籃筐中心到地面的距離為3.05 m，若該運(yùn)動(dòng)員身高1.8 m,在這次跳投中，球在頭頂上方0.25 m處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少？【答案與解析】如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1.5

10、, 3.05)表示籃筐，點(diǎn)B(0 , 3.5)表示球運(yùn)行的最大咼度，點(diǎn)C表示球員籃球出手處，其橫坐標(biāo)為-2.5 ,設(shè)C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n,過點(diǎn)C B、A所在的拋物線的解析式為y二a(x - h)2 k，由于拋物線開口向下，則點(diǎn)B(0，3.5)為頂點(diǎn)坐標(biāo)， y=ax當(dāng)AD= 4米時(shí)，求隧道截面上部半圓O的面積； 已知矩形ABCD相鄰兩邊之和為 8米，半圓O的半徑為r米. 求隧道截面的面積 S(m)2關(guān)于半徑r(m)的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出r的取值范圍); 若2米W CDC 3米，利用函數(shù)圖象求隧道截面的面積S的最大值.(n取3.14，結(jié)果精確到0.1米)【思路點(diǎn)撥】3.5 .2拋物線 y=ax 3.

11、5 經(jīng)過點(diǎn) A(1.5 , 3.05),3.05 = a 1.5 2+3.5 ,51 2 拋物線解析式為y = - x 3.5 .51 2n(-2.5)3.5,5n = 2.25 . 球出手時(shí)，球員跳離地面的高度為2.25-(1.8+0.25)= 0.20(米).【點(diǎn)評(píng)】 首先要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，構(gòu)造函數(shù)模型，將已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待 定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再利用解析式求出拋物線上已知橫坐標(biāo)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，結(jié)合已知條 件，得到實(shí)際問題的解.類型四、利用二次函數(shù)求圖形的邊長(zhǎng)、面積等問題04.-條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個(gè)以AD為直徑的半圓O下部是一個(gè)矩形ABCD 根據(jù)

12、幾何圖形的面積公式可求關(guān)于面積的函數(shù)解析式； 利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，在自變量的取值范圍內(nèi)確定面積的最大值. 【答案與解析】S半圓二2 （米2）;CD = 8-AD= 8-2r ,(2) T AD = 2r, AD+CD= 8, /S 丄:r2 AD LCD2二1 二 r22r(82r)二2米W CDC3米,由知，CD= 8-2r，又T 1.22W8-2r W 3,.2. 5< r W 3.f 64+丿 2.43(1 2 2 (由知，S4 r2 16r -2.43r2 16 -2.431412 丿V 2.43 -2.43 V 0,.函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，函數(shù)圖象對(duì)稱軸r二 D 3.3 ,2.43又2. 5W r W3,由函數(shù)圖象知，在對(duì)稱軸左側(cè)S隨r的增大而增大，故當(dāng)r = 3時(shí)，S有最大值.D) 2(12S最大=1 兀-4 儀32 +16X3 一X3.14 4 儀9 + 48 26.1 (米 2).12丿 12丿【點(diǎn)評(píng)】 解此類問題，一般先應(yīng)用幾何圖形的面積公式，寫出圖形的面積與邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，再用配方 法或公式法求頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)與自變量的取值范圍確定最大面積.舉一反三：【變式】如圖，矩形紙片 ABCD , AD=8 , AB=10，點(diǎn)F在AB上，分別以AF、