因式分解的教材分析

1、因式分解的教材分析塘沽十五中王守娟、知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理提公因式法兩項(xiàng)式平方差公式完全平方公式三項(xiàng)式 十字相乘法多余三項(xiàng)的多項(xiàng)式分組分解法一“提”二“套”.步驟一三“分” 四“查”二、本章在代數(shù)中的地位和作用因式分解是代數(shù)中又一種重要的恒等變形，而本章的因式分解的內(nèi)容是多項(xiàng)式因式分解中一部分最基本的知識(shí)和基本方法，它包括因式分解的概念，整式乘法與因式分解的區(qū)別和聯(lián)系；因 式分解的四種基本方法，即提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法（本書(shū)中只介紹了二次項(xiàng)系數(shù)為 1的二次三項(xiàng)式 的十字相乘法）多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)中一部分重要內(nèi)容，它是在學(xué)完有 理數(shù)和整式乘法之后給出的，它與前一章整式乘除和后一

2、章分式 聯(lián)系極為密切。這部分內(nèi)容在將分式通分和約分時(shí)有著直接應(yīng) 用，在解方程以及將三角函數(shù)進(jìn)行恒等變形等方面也經(jīng)常涉及到 它的應(yīng)用，因此本章內(nèi)容對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有重要的作用。三、教學(xué)目標(biāo)1、通過(guò)學(xué)習(xí)因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián) 系，提高對(duì)代數(shù)式的辨別能力。2、學(xué)習(xí)提公因式法，了解提公因式法分解因式是乘法對(duì)加 法的分配律的逆用；學(xué)習(xí)了公式法，進(jìn)一步明確公式法分解因式 是乘法公式的逆用。從而提高代數(shù)式的恒等變形能力。3、在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)分解質(zhì)因數(shù)是為分?jǐn)?shù)運(yùn)算打基礎(chǔ)，進(jìn) 而計(jì)算算術(shù)應(yīng)用題。同樣道理，在代數(shù)中學(xué)習(xí)因式分解是為后面 學(xué)習(xí)分式運(yùn)算打基礎(chǔ)，進(jìn)而可以列方程解應(yīng)用題，從而提高分析 問(wèn)題

3、和解決問(wèn)題的能力。4、通過(guò)分組分解法提高學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn) 題的能力。注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提高合理選擇式子變形的 方法，注意提高綜合處理因式分解的能力。5、加強(qiáng)把一個(gè)式子看作一個(gè)字母的換元思想的練習(xí)，在因 式分解時(shí)對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題能夠通過(guò)變形整理使之轉(zhuǎn)化為所熟 悉的因式分解的基本形式或把某一部分式子看作一個(gè)整體以適應(yīng) 某種基本方法，從而了解等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和方法。6、尋求因式分解的方法具有探索性，要有猜想、試探、思 辨的過(guò)程，所以要培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和探索能力，提高解題的 靈活性和創(chuàng)造性。四、教學(xué)重點(diǎn)：多項(xiàng)式的因式分解的四種方法。五、教學(xué)難點(diǎn)：多項(xiàng)式因式分解方法靈活多變，分組方

4、案的篩選技巧六、教學(xué)建議1、對(duì)因式分解這一概念本人認(rèn)為不宜要求學(xué)生一次了解徹底，可以通過(guò)舉例及后面的幾節(jié)課的因式分解過(guò)程逐步加深理 解。特別是講授四個(gè)因式分解的基本方法時(shí)，結(jié)合具體例題的分 析過(guò)程、分解結(jié)果，說(shuō)明因式分解的概念，以達(dá)到明確這個(gè)概念 的目的。2、提公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的 方 法，它的理論依據(jù)是乘法分配律。在講解時(shí)可以先復(fù)習(xí)單項(xiàng) 式乘以多項(xiàng)式，再把它逆轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)運(yùn)算就是提公因式法。用這個(gè)方 法，首先對(duì)要分解的多項(xiàng)式認(rèn)真觀察，確定公因式是至關(guān)重要 的。3、運(yùn)用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式和特點(diǎn)。對(duì)初學(xué) 者來(lái)說(shuō)，如何根據(jù)要分解的多項(xiàng)式的形式特點(diǎn)(項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指 數(shù)

5、)來(lái)選擇用什么公式，往往不是很容易，這也是運(yùn)用公式的難 點(diǎn)。因此在教學(xué)中應(yīng)注意分析實(shí)例，指明思路、交待方法，以便 克服難點(diǎn)。4、分組分解法是前兩種方法的綜合。教材中分兩類(lèi)：一類(lèi) 是分組后能直接提公因式的；一類(lèi)是分組后能運(yùn)用公式的。由于 多項(xiàng)式的形式各異，分組的方法也比較靈活，要具體問(wèn)題具體分 析，并且要預(yù)見(jiàn)到分組后是否能將整個(gè)多項(xiàng)式繼續(xù)分解，相對(duì)來(lái) 說(shuō)分組分解法比前兩種方法難，教學(xué)時(shí)要根據(jù)教材的層次，先易 后難，最后講綜合性的因式分解。5、運(yùn)用公式x2 (a b)x ab = (x a)(x b)進(jìn)行因式分解，讓學(xué)生注意觀察該二次三項(xiàng)式的特征：二次項(xiàng)系數(shù)為1； 常數(shù)項(xiàng)能分解成ab :a b恰好

6、為一次項(xiàng)系數(shù)，則一定能分 解為(x ' a)(x b)的形式，只有滿(mǎn)足這樣特征的二次三項(xiàng)式才能 用它進(jìn)行正確的因式分解。6、綜合運(yùn)用以上四種方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解安排在本 章的最后，對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)要根據(jù)不同的題目，進(jìn)行具體分 析，靈活地運(yùn)用各種方法來(lái)分解因式。通過(guò)這部分內(nèi)容可綜合地 培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。這部分內(nèi)容又 是教學(xué)的難點(diǎn)，要從教學(xué)要求學(xué)生水平出發(fā)安排這部分的例題和 練習(xí)。7、因式分解的一般步驟是總結(jié)各種分解方法后講述的，教 學(xué)時(shí)要強(qiáng)調(diào)結(jié)合題目的形式和特點(diǎn)來(lái)選擇，確定采用哪種方法分 解。四種方法是彼此聯(lián)系的，并不是一種類(lèi)型的多項(xiàng)式只能用一 種方法來(lái)分

7、解因式，教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生學(xué)會(huì)具體問(wèn)題具體分析的方 法。8、先分組分解，再最后完成整個(gè)分解的方法，既依賴(lài)于解 題能力的提高，也是解題能力的培養(yǎng)。要認(rèn)真組織學(xué)生討論，發(fā) 揮實(shí)驗(yàn)探索精神，養(yǎng)成探索習(xí)慣，以尋求分組途徑，所以這種解 法應(yīng)在學(xué)生的研討中產(chǎn)生，而不宜簡(jiǎn)單地“傳授”給學(xué)生，讓學(xué) 生不僅享受正確分組的成功，也要經(jīng)歷錯(cuò)誤分組的失敗，然后從 失敗中走向成功。七、課時(shí)安排：§8.1提公因式法（5課時(shí)）§8.2運(yùn)用公式法（8課時(shí)）§8.3分組分解法（8課時(shí)）八、具體安排：§ 8.1提公因式法（第一課時(shí)）引出因式分解這一概念的方法很多。本人在課前先讓學(xué)生完 成如下的

8、題目（課本第7頁(yè)練習(xí)） a'b'c -abc 二 abc （） m2x3 m2x2 _ m2xy = m2x （ 12a2b-3a2b2x-9a2b2 =3a2b（）234342423222 2x y z -14x y z 2x y z 2x y z（ ）更能體會(huì)整式乘法與因式分解互為逆變形，同時(shí)也為提公因 式法作準(zhǔn)備提公因式法分解因式的關(guān)鍵是確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，即 當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)為整數(shù)時(shí)，應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與各項(xiàng) 相同因式的最低次幕的積。此種方法分解的步驟是：確定公因式，把它放在括號(hào)前。 確定另一個(gè)公因式（用提出的公因式去除原多項(xiàng)式，把所得的 商作為另一個(gè)因式，并

9、把它寫(xiě)在括號(hào)里）。安排例1、6x2 3x3y （含一個(gè)字母）例2、8a3b2 -12ab3c （含兩個(gè)字母）例 3、2a2bc2 -4ab2c2 6abc3 （含三個(gè)字母）顯然例題是由易到難，這樣安排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也使學(xué)生 易于掌握。（第二課時(shí)）講解課本上的例 3、3x2 -6xy x （易出現(xiàn)漏 “ 1”的問(wèn)題，此時(shí)可用整式乘法來(lái)檢驗(yàn)）。補(bǔ)充：已知b-a-6， ab=7，求a2b -ab2的值。分析：學(xué)生先階段還不能從已知中求出 a、b的值，因此 就需要學(xué)生探索求解的方法，即先把多項(xiàng)式 a2b-ab2分解因式 得 ab（a - b），再把 b - a = -6, ab = 7 代入。（

10、第三課時(shí)）添括號(hào)法則及例5 （將多項(xiàng)式的后兩項(xiàng)添括 號(hào)）例6、將多項(xiàng)式-4m3，16m2-26m分解因式（在這里又一 次應(yīng)用了添括號(hào)法則，即多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，在分解之 前應(yīng)先提出“一”號(hào)，再對(duì)對(duì)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，這樣比 較簡(jiǎn)單）補(bǔ)充：按要求對(duì)多項(xiàng)式5a'b2ab 3ab2b2添括號(hào) 將多項(xiàng)式的中間兩項(xiàng)放到前面帶有“一”的括號(hào) 里； 將多項(xiàng)式的四次項(xiàng)放到前面帶有“ +”的括號(hào)里,二次項(xiàng)放到前面帶有“”的括號(hào)里。（例5之后練習(xí)）（第四課時(shí)）公因式是多項(xiàng)式（這里滲透換元思想）例7、把2a（b c） -3（b c）分解因式例&把18b（a-b）2 -12（a-b）3分解因

11、式（課本例9）（兩個(gè)例題中括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式是相同的）（第五課時(shí)）公因式仍是多項(xiàng)式，但需在分解前變形，這也是 學(xué)生容易錯(cuò)的地方?；谶@樣在講例題之前讓學(xué)生先完成P12的練習(xí)第1題，并通過(guò)此題的練習(xí)讓學(xué)生歸納出（x-y）n與（y-x）n 的關(guān)系： 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)（x - y）n =（y-x）n 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)（x - y）n = - （y - x）n從而為例9、把6（2） x（3 -x）分解因式例10、把5（x-y）3，10（y-x）2分解因式作了鋪墊。（在這里盡量讓學(xué)生用不同的方法來(lái)分解）§8.2運(yùn)用公式法（這種方法的關(guān)鍵是弄清公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式）平方差公式的特點(diǎn)：左邊：多項(xiàng)式

12、為二項(xiàng)式；兩項(xiàng)的符號(hào)相反；每項(xiàng)都可 化為某數(shù)（或某式）的平方形式。右邊：這兩個(gè)數(shù)（或式）的和與這兩個(gè)數(shù)（或式）的差的積。即：（） 2（口）2= （+）（ ）（第一課時(shí)）應(yīng)充分重視引例x2 -16與9m2 -4n2的因式分 解過(guò)程的分析。在講解例題之前先完成課后練習(xí)1、練習(xí)4 （判斷能否用平 方差公式分解，從而加深對(duì)公式的理解，同時(shí)也有助于學(xué)生邏輯 思維能力的培養(yǎng)）。例1、把下列各多項(xiàng)式分解因式：（1） 1 -25b2（2） x2y2-丄（3） 4m2-0.01 n649通過(guò)例題的講解歸納步驟先判斷能否用此公式，并確定a、b ;再套用公式分解；化簡(jiǎn)。（第二課時(shí)）相當(dāng)于公式中的a、b是多項(xiàng)式，又一

13、次體現(xiàn) 了換元的思想，分析時(shí)就可以采用換元法。例2、把下列多項(xiàng)式分解因式： （x - p）2 -（X q）2 16（a-b）2-9（a b）2 （分解時(shí)讓學(xué)生注意系數(shù)、指數(shù)的變化）。（第三課時(shí)）綜合運(yùn)用提公因式法和公式法分解多項(xiàng)式（有 助于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題能力）初次讓學(xué)生體會(huì)到因式分解方法的 考慮順序是一“提”二“套”。例3、分解下列多項(xiàng)式：x5 -x3x4 -y4 （兩次運(yùn)用公式，強(qiáng)調(diào)分解要徹底。這里又一次體現(xiàn)換元的思想）（第四課時(shí)）完全平方公式：公式特點(diǎn)：（左邊）a、多項(xiàng)式為三項(xiàng)式；b、有兩個(gè)平方 項(xiàng)且同號(hào)，又能寫(xiě)成兩數(shù)（或式）的平方形式； c、另一項(xiàng)是這 兩數(shù)（或式）的積的二倍，符號(hào)可正

14、可負(fù)。（右邊）這兩數(shù)（或式）的和或差的平方形式。運(yùn)用此公式的關(guān)鍵是會(huì)判斷一個(gè)三項(xiàng)式是否為完全平方式即：（） 2±2*+ （）2補(bǔ)充下面的練習(xí)：1、下列各式是否為完全平方式： x2 - 2xy - y2-4a2 4ab 2b2 x2 -2xy y2 x2 -4x 42、填空： mi? （ ）+4 n? =（ f a2-2a+（ ）=（ 丫 （f -xy +y2 =（ 2完成以上練習(xí)后再講例1把多項(xiàng)式25x410x21分解因式及引例x2 6x 9和4x2 -20x 25的分解因式。（第五課時(shí)）例5、（首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，先提出“一”，使字母的平方項(xiàng)系 數(shù)為正）（-X2 -4y2 4xy ）例6

15、、（含公因式的）3ax2 6axy 3ay2 （又一次體現(xiàn)一 “提”二“套”的步驟）（第六課時(shí)）例7、把2（a b）220（a b） 50分解因式（此題中既含有公因式2,又把a(bǔ) b看作整體，進(jìn)一步滲透換 元思想）補(bǔ)充：分解 （x2 y2）2-4x2y2 xn1 -x3（第七課時(shí)）補(bǔ)充因式分解的一些應(yīng)用（如簡(jiǎn)便計(jì)算：1962 -16證明數(shù)的整除：n為整數(shù)，則（2n 1）2-（2n-1）2） 能被8整除等問(wèn)題）（第八課時(shí)）公式法的小結(jié)課，綜合運(yùn)用兩個(gè)公式和提公因 式法。從而培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。§8.3分組分解法（關(guān)鍵是分組后能繼續(xù)分解）一）分組后直接提公因式（等項(xiàng)分組） 分

16、組的原則是：可按相同的系數(shù)或相同的系數(shù)比進(jìn)行分組女口：多項(xiàng)式3ax ' 4by 4ay 3bx可有兩種分組方法，（方法一）（3ax 3bx） （4ay 4by）（也可說(shuō)是按x、y分組）（方法二）（3ax 4ay） （3bx 4by）（也可說(shuō)是按a、b分組） 可根據(jù)字母的次數(shù)來(lái)分組（如 x2 y2 -2xy 3x-3y 2 可把二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別分組即（x2 -2xy y2）（33y） 2，當(dāng)然它還有其它的分組方法這里就不介紹了）（第一課時(shí)）例 1、a?-ab ac-bc例 2、2ax - 10ay 5by - bx（第二課時(shí)）例 3、3ax 4by 4ay ' 3bx2

17、例 4、m5nmn5m（例1例4由同學(xué)們互相討論尋求）二）分組后直接運(yùn)用公式（第三課時(shí)） 例5、xy2 ax ay （還是分組后提公因 式，只是前兩項(xiàng)為一組需用平方差公式）（第四課時(shí)）例7、x3 x2y - xy2 - y3 （啟發(fā)學(xué)生用多種方法分解）（第五課時(shí)）分組分解法的小結(jié)課補(bǔ)充打散原有組合重新分組例如 4a2 3b -a（3b 4），要 想對(duì)它分解須先去掉括號(hào)得4a2 3b-3ab-4a，再按前面的例1 那樣類(lèi)似地分組。（x2 -2x）（x2 -2X-2） -3 （書(shū)中這樣的題目 還有如P37 B組的第3題、P43的第6題）三）十字相乘法形女口 x2 px q形式，若q=ab且p=a&

18、#39;b貝U x2 px q = （ x a）（ x b）（第六課時(shí)）常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)例8把下列各式分解因式：（1） x2 3x 2（2） x2 -7x 6（第七課時(shí)）常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)例9、把下列各式分解因式：2 2 2 2（1） x x-2 （2） x -2x-15 （3 ） m x -2mxT5由此總結(jié)x2 px q分解因式的規(guī)律即a、b與常數(shù)項(xiàng)q、 一次項(xiàng)系數(shù)p的關(guān)系（盡量由學(xué)生說(shuō)出）： p > 0， q > 0時(shí)，a、b同為正； p V 0， q > 0時(shí)，a、b同為負(fù)； p > 0, q v 0時(shí)，a、b異號(hào)且絕對(duì)值較大的數(shù)為正; p v 0, q v0時(shí)，a、b異號(hào)且絕對(duì)值較大的數(shù)為負(fù)。（第八課時(shí)）通過(guò)例題x2y2 -5x2y - 6x281x5y5 -16xy 綜合運(yùn)用前面幾種方法及前幾節(jié)的學(xué)習(xí)總結(jié)步驟如下（P34黑體 字），本人把它總結(jié)成如下“順口溜”：首先要提公因式，然后 考慮用公式；十字相乘試一試，分組分得要合適；四種方法反復(fù) 試，結(jié)果應(yīng)是連乘式。補(bǔ)充說(shuō)明：1 .對(duì)形如ax2 bx - c型的多項(xiàng)式分解因式的方法（十字相 乘法應(yīng)給學(xué)生介紹）其原理：a二aia2,c = GO2且a?® a©二b貝U ax2 bx c = （a1x c1 ）（a2x c2）通