高中數(shù)學_圓錐曲線知識點小結(jié)

1、?圓錐曲線?知識點小結(jié)、橢圓：1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點F2的距離的和等于常數(shù)大于| F_,F2 |的點的軌跡。其中：兩個定點叫做橢圓的焦點，焦點間的距離叫做焦距。注意：2a IF1F2I表示橢圓；2a | F,F2 |表示線段F- F2 ； 2a |F1F2 |沒有軌跡;2橢圓的標準方程、圖象及幾何性質(zhì)：中心在原點，焦點在 x軸上中心在原點，焦點在 y軸上標準方程2 2異討1(a b 0)2 2yx2 21 (a b 0)ab圖形xPA v.AQ02/B1B1頂點A( a,0),A2(a,0)R(0, b),B2(0,b)A( b,0),A2(b,0)BJO, a),B2 (0,a)對稱

2、軸x軸，y軸；短軸為2b，長軸為2a隹占八、八、F1( c,0), F2(c,0)£(0, c),F2(0,c)焦距| F1F21 2c(c 0) c2 a2 b2離心率ce -0 e 1離心率越大，橢圓越扁a通徑2b22 過焦點且垂直于對稱軸的直線夾在橢圓內(nèi)的線段a2 23常用結(jié)論：1橢圓 篤 X- ia b 0的兩個焦點為 £丁2，過F,的直線交橢圓于 A,B兩 a b點，那么 ABF?的周長= 2 22設(shè)橢圓務(wù) 斗 1a b 0左、右兩個焦點為，過F1且垂直于對稱軸的直線a2 b2交橢圓于P,Q兩點，_那么P,Q的坐標分別是 | PQ |二、雙曲線:1雙曲線的定義：平

3、面內(nèi)與兩個定點 F1, F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)小于| F1F2 | 的點的軌跡。其中:兩個定點叫做雙曲線的焦點，焦點間的距離叫做焦距。注意:|PF1 | | PF2| 2a 與 | PF2 | | PF訂 2a ( 2a| F1 F2 |表示雙曲線的一支。2a| F-|F2 |表示兩條射線；2a | F1F2 |沒有軌跡;(2)雙曲線的標準方程、標準方程圖象及幾何性質(zhì)：中心在原點，焦點在 x軸上2X2a2每 1(a 0,b 0) b中心在原點，焦點在 y軸上2 2iyx1oX(3)對稱軸隹占八、八、Ai( a,0), A2(a,0)x軸，y軸；虛軸為Fi( c,0),F2(c,0)焦距

4、IF1F2I離心率C e(e漸近線yabX通徑a2c(c 0)1)雙曲線的漸近線:2y_b2求雙曲線蘭2a1的漸近線，可令其右邊的 1為0,2b，離心率越大,2 b22即得2y_2X與雙曲線-2a2厶 1共漸近線的雙曲線系方程是b22y_Fi(0,a2 b2開口越大0)c), F2(0,c)o，因式分解得到冬y4等軸雙曲線為x2y2t2，其離心率為,22 24常用結(jié)論：1雙曲線 冷 厶 1ao,b 0的兩個焦點為Fj, F2，過F1的直線交雙曲線的a2b2同一支于A, B兩點，貝U ABF2的周長= 2 22設(shè)雙曲線 與 爲 "a 0,b 0左、右兩個焦點為F1, F2，過F1且垂直

5、于對稱軸的 a2 b2直線交雙曲線于P,Q兩點，那么P,Q的坐標分別是 |PQ| 三、拋物線：1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和一條定直線的距離相等的點的軌跡。 其中：定點為拋物線的焦點，定直線叫做準線。2拋物線的標準方程、圖象及幾何性質(zhì)：p 0焦點在x軸上,開口向右焦點在x軸上,開口向左焦點在 y軸上，焦點在 y軸上,開口向下標準方程圖形頂點對稱軸隹占八、八、離心率準線通徑焦半徑開口向上2x 2 pyF*，0F弓,02e 1pF0,專F0,衛(wèi)2x衛(wèi)x -Pp yy舟222p22|PF|y0| 1|PF | |x。|焦點弦焦準距四、弦長公式：|AB| 1 k2|xiX2I1k2.(XiX

6、2)24x1X2|A|其中，A,分別是聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，消去y后所得關(guān)于x的一元二次方程2的判別式和x的系數(shù)求弦長步驟：1求出或設(shè)出直線與圓錐曲線方程；2聯(lián)立兩方程，消去y,得關(guān)于x的一元二2次方程Ax Bx C 0,設(shè)Ax1, y-j， Bx2, y2，由韋達定理求出x1 x2Cx1x2； 3代入弦長公式計算。A0,那么相應(yīng)的弦長公法二假設(shè)是聯(lián)立兩方程，消去x,得關(guān)于y的一元二次方程 Ay2 By Cy2)24y2注意1上面用到了關(guān)系式 區(qū) x2 | . x1 x2 4x1 x2和1 A|/ 2廠y1y2、(y1 y2)4y1 y2|A|注意2求與弦長有關(guān)的三角形面積，往往先求弦長

7、，再求這邊上的高點到直線的距離，但假設(shè)三角形被過頂點的一條線段分成兩個三角形，且線段的長度為定值，求面積一般用分割法五、弦的中點坐標的求法法一：1求出或設(shè)出直線與圓錐曲線方程；2聯(lián)立兩方程，消去y,得關(guān)于x的一元二次2B方程Ax Bx C 0,設(shè)Ax1, y1， Bx2, y2，由韋達定理求出x1 x2； 3設(shè)中A點MX。，y°，由中點坐標公式得 x0 ' x2 ；再把x xo代入直線方程求出y y2法二：用點差法，設(shè) Ax1, y1，Bx2, y2，中點M x0, y0，由點在曲線上，線段的中點坐標公式，過 A B兩點斜率公式，列出5個方程，通過相減，代入等變形，求出x0,

8、 y0。六、求離心率的常用方法：法一，分別求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c滿足的關(guān)系，消去b,再化為關(guān)于e的方程，最后解方程求e 求e時，要注意橢圓離心率取值范圍是 0< e< 1,而雙曲線 離心率取值范圍是e> 1例1：設(shè)點P是圓x2 y2 4上的任一點，定點 D的坐標為8, 0，假設(shè)點M滿足uuur uuunPM解2MD 當點P在圓上運動時，求點 M的軌跡方程.umu，由PMUULU 2MD ,設(shè)點M的坐標為x, y，點P的坐標為x°,y°得x X0,y y° 28 x, y，即 X0 3x16,y02y 因為點P X0,y

9、6;在圓2 2x y4 上,所以X! 2y。4 .即2x2 2162y4,216y2 4，這就是動點 M的軌跡方程.29例3.健匱撫4話=【上有一點卩它到砸I帆左焦點兀的巨舉為&求AP空 的面軌.賂 由橢圓的定天T得|P£|亠|円；= 所以|昭|=12.| PR f 亠| PF： F 此耳 F _ 爐亠 I亍-2x|x|PF；|2乂的 127'*=22 那么t2Vr?.例2 :橢圓的兩個焦點為5-2，0, 2,0且過點一2|，求橢圓的標準方程解法1因為橢圓的焦點在X軸上，所以設(shè)它的標準方程為2 2篤占1a ba b0，由橢圓的定義可知:2a22 2 20 -.'

10、;；222。22 10a .10 又 c2,b26所以所求的標準方程為2 X10解法2 Q c 2,b24，所以可設(shè)所求的方程為2 X 2 a2y_a24點I，3代人解得:、10X2所以所求的標準方程為扁2 y6-4Wr 比 2*例4.過權(quán)圓£22=1<1. U 引厲弦討從 求強刖的屮點盯曲軌逝方捏94設(shè)(jrj) , St.習彷)*肋的111點M(旳y)*-Y =罰，町r y ="；乃T且4彳+=箔 4x? +9>?.-得 4(r -r;|jr +rj+ 9y+ v2)-0w所求的軌跡方程為 - $十g長卻習題：1.橢圓長半軸與短半軸之比是 標準方程是()2

11、2(A) - + 匚=1535:3，焦距是8,焦點在x軸上，那么此橢圓的2 2乞+厶925)2X+25匚=192.以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點,(B)2 2x y 丿+ = 135那么橢圓的離心率是(C)(D)(A)(B)3(C)2(D)_333.橢圓x2+ 2y2=(A)焦點坐標m,(B)m無關(guān)的是()(C)焦距4.橢圓 mX+ y2 = 1那么以下與準線方程的離心率是 ，那么它的長半軸的長是(2(D)離心率(A) 1(B) 1 或 2(C) 25橢圓的中心為O,右準線的距離與長半軸的長之比是(左焦點為Fi,P是橢圓上一點，)(D) 1 或 1PF1O為正三角形，貝U P點到(A)3

12、 1(B) 33(D) 1x26.假設(shè)橢圓3m 122=1的準線平行于y軸，那么m的取值范圍是m7橢圓的長半軸是短半軸的3倍，過左焦點傾斜角為30°的弦長為2那么此橢圓的標準方程是。8.橢圓的中心在原點， 焦點在x軸上，假設(shè)橢圓的一個焦點將長軸分成的兩段的比例中項等于橢圓的焦距，又直線2x y 4=0被此橢圓所截得的弦長為，求此橢圓的方程。2e=2，長軸長為6,那么橢圓的方程是()。332 211曲線務(wù)+ L1與曲線x225 k2+ 丄 =1 (k<9)，具有的等量關(guān)系是9 k(A)有相等的長、短軸(B)有相等的焦距(C)有相等的離心率(D) 相同的準線12.橢圓4x2 + 1

13、6y2=l的長軸長為 ，短軸長為 ，離心率為 ，焦點坐標13.兩點 A( 3, 0)與 B(3, 0)，假設(shè) |PA|+ |PB|=10,那么14.橢圓的長、短軸都在坐標軸上，兩準線間的距離為P點的軌跡方程是°4 O5，焦距為2 - 5，那么橢圓的5方程為15.橢圓的長、短軸都在坐標軸上，和橢圓1共焦點，并經(jīng)過點 P(3, 2)，那么橢圓的方程為2 xy216. 在橢圓 +=1內(nèi)有一點M(4, 1),使過點M的弦AB的中點正好為點 M，求弦AB4010所在的直線的方程。217. 橢圓+k 8y21=1的離心率e=,那么k的值是9-18.平面內(nèi)有兩個定點F1( 5, 0)和的軌跡方程是

14、(x2(A)162x(C)16)°2 紅=1 (xw 4)9=1 (x> > 4)92F2(5, 0)，動點2(B) 92(D)P滿足條件|PF1| |PF2|= 6，那么動點 P2J = 1(xw 3)16仝=1 (x> 3)916(A)2 2xy+ =1(B)2x +2y2=1或X2+L=13620362020362 22222(C)xy+ =1(D)x+y=1或X+ y=195955910.橢圓25x2 + 16y2=1的焦點坐標是()°133(A)(± 3, 0)(B) (±, 0)(C)(±,0)(D) (0,

15、77; 一320209.橢圓的對稱軸是坐標軸，離心率2 219雙曲線-L36491的漸近線方程是3649(B)丄±仝=0364920.雙曲線X2 ay2= 1的焦點坐標是(C) X ± 2 = o (d)2X ± 丄=o6776)(B) ( 1 a , 0), ( ,1 a , 0)(A)( .1 a, 0) , ( 一 1 a, 0)2(D)0)21.設(shè)雙曲線與 1b>a>0的半焦距為c,直線I過a, 0、0, b兩點，原點到 b直線l的距離是c，那么雙曲線的離心率是4(A) 2(B).3(C)2(D)2、332222.雙曲線xy =1的離心率是。9

16、7x2+ y223,方程x=1表示雙曲線，那么k的取值范圍是3 k2k24. 雙曲線4x2 =1的漸近線方程是。92 13(A) y= ± x ( B) y= ± x (C) y= ± x ( D) y= ± 6x3 6225. 假設(shè)雙曲線與橢圓x2+ 4y2=64共焦點，它的一條漸近線方程是 x+，3 y=0 ,那么此雙曲線的標準方程只能是(2122x +252(A)3626.和橢圓(B)O2y362 2計(C) x62J=± 112(D)2y362x , =± 1122-=1有共同焦點，且離心率為92的雙曲線方程是。2 2 2 2

17、(A)寧-I (B)- £=14 14412(C)2紅=11227.雙曲線的兩準線間的距離是它的焦距的那么它的離心率為28. 雙曲線的兩個頂點三等分兩個焦點間的線段，那么離心率e=。29. 中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過 1, 3的等軸雙曲線的方程是 30. 漸近線是x ± *=0,且經(jīng)過P(6 2 8)的雙曲線方程是 22<531. 和橢圓 + =1有公共的焦點，離心率 e=H 的雙曲線方程是。94232. 59.實系數(shù)一元二次方程ax2+ bx+ c=0的系數(shù)a、b、c恰為一雙曲線的半實軸、半虛軸、半焦距，且此二次方程無實根，求雙曲線離心率e的范圍。2 233

18、. 過雙曲線 =1的左焦點Fi,作傾斜角為a=的直線與雙曲線交于兩點A、B,9164求|AB|的長。34. 拋物線y2=8x的準線方程是()。(D) y= 一 2A, B兩點的橫坐標分別是X1 和 X2 ,且 X1 + X2(A) x= 2( B) x=2( C) x= 435. AB是過拋物線y2= 4x焦點F的弦， =6那么|AB|等于()(A) 10( B) 8 ( C) 7( D) 636. 經(jīng)過(1, 2)點的拋物線的標準方程是()(D) y2= 4x 或 x2= 4y11(A) y2= 4x(B) x2=y(C) y2= 4x 或 x2=y2237. 頂點在原點，焦點是 F(6, 0)的拋物線的方程是 38. 拋物線x2= 4y的焦點為F, A是拋物線上一點，|AF|= 4 + 2 2，貝V AF所在直線方程是。2x39, 拋物線y=的準線方程是()。811(A) y=-( B) y=2(C) y=-(D) y=432440. 點(一2, 3)與拋物線y2=2px (p>0)的焦點的距離是5 ,那么拋物