高中數(shù)學(xué)解析幾何知識點總結(jié)(20210908144037)

1、一、直線方程.1. 直線的傾斜角：一條直線向上的方向與 廉由正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與X軸平行或重合時，其傾斜角為 0,故直線傾斜角的范 圍是 0180 (0).注：當(dāng)90或X2 X1時，直線I垂直于x軸，它的斜率不存在.每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與 x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每 一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.2. 直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式 .特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為a,b(a 0,b 0)時，直線方程是：-1.a b注：假設(shè)y 2x 2是

2、一直線的方程，那么這條直線的方程是y 亠2，但假設(shè)33y |x 2(x 0)那么不是這條線.附：直線系：對于直線的斜截式方程y kx b，當(dāng)k,b均為確定的數(shù)值時，它表示 一條確定的直線，如果k,b變化時，對應(yīng)的直線也會變化.當(dāng)b為定植，k變化 時，它們表示過定點(0, b )的直線束.當(dāng)k為定值，b變化時，它們表示一組 平行直線.3. 兩條直線平行：I1 / l2 k1 k2兩條直線平行的條件是：11和I2是兩條不重合的直線.在I1和I2 的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或無視其中任一個 前 提都會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.(一般的結(jié)論是：對于兩條直線I12，它們在y軸上的縱截距是

3、b1，b2，那么I1 / I2 k1 k2，且b1 b2或11,12的斜率均不存在，即A1B2 B1A2是平行的必要不充分條件，且C1 C2 )推論：如果兩條直線li,l 2的傾斜角為1, 2那么11 1212.兩條直線垂直：兩條直線垂直的條 件：設(shè)兩條直線11和12的斜率分別 為k1和k2，那么有11 12 kik21這里的前提是11,12的斜率都存在11 12 ki 0,且12的斜率不存在或k2 0,且11的斜率不存在.即A1B2 A2B1 0是垂直的充要條件4. 直線的交角:直線11到12的角方向角；直線11到12的角，是指直線11繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與12重合時所轉(zhuǎn)動的角，它的范圍

4、是0,，當(dāng)90 時 tank2 k11 k1 k2兩條相交直線11與12的夾角：兩條相交直線11與12的夾角，是指由11與12相交所成的四個角中最小的正角，又稱為11和12所成的角，它的取值范圍是 0匚，當(dāng)90，那么有tan |齢.5.過兩直線11：A1X B1y C1 0 的交點的直線系方程 12:A2x b 2y C 2 0A1XB"C1A2XB2yC20為參數(shù)，A2XB2yC20 不包括在內(nèi)6點到直線的距離：點到直線的距離公式：設(shè)點PX0，y°，直線1 : Ax By C 0,P到I的距離為d，那么有 d AX0 By0 C .< A2 B2注：1.兩點 P1X

5、1,y1、P2x2,y2的距離公式：|RP2| X2 X12 y2 yj2 .特例：點Px,y到原點O的距離：|OP| . x2 y22.定比分點坐標(biāo)分式。假設(shè)點Px,y分有向線段所成的比為 即 PPPP2 , 其中P1X1,y1,P2x2,y2.那么jy特例，中點坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。3. 直線的傾斜角(0°< v 180°)、斜率:k tan4. 過兩點的直線的斜率公式：k y2 y1 .(xi X2)X2 Xi當(dāng)Xi X2,yiy2 (即直線和x軸垂直)時，直線的傾斜角 =90，沒有斜率-、A2 B2兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線li：

6、Ax By Ci 0,l 2: Ax By C2 0(6 C2)，它們之間的距離為d，那么有d注；直線系方程1. 與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.( m? R, Cm m).2. 與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.( m? R)3. 過定點(xi,yi)的直線系方程是：A(x-xi)+B(y-yi)=0 (A,B不全為0)4. 過直線li、I2交點的直線系方程：(Aix+Biy+Ci) +入(A2x+B2y+C2)=0 (入? R)注：該直線系不含I2.7.關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：關(guān)于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這

7、個點到兩直線的距離相等關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)： 假設(shè)兩條直線平行，那么對稱直線也平行，且兩 直線到對稱直線距離相等.假設(shè)兩條直線不平行，那么對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角 的角平分線.點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，那么中點在對稱直線上(方程)， 過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直(方程)可解得所求對稱點.注：曲線、直線關(guān)于一直線(y x b)對稱的解法：y換x，x換y.例：曲 線f(x ,y)=0關(guān)于直線y=x2對稱曲線方程是f(y+2 ,x )=0.曲線C: f(x ,y)=0關(guān)于點(a ,b)的對稱曲線方程是f(a -x, 2b -y)=0.、圓的

8、方程.1. (1)曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的 與一個二元方程f(x,y) 0的實數(shù)建立了如下關(guān)系： 曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解 以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形)曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點M(x, y)其坐標(biāo)與方程f(x,y) 0的一種關(guān)系，曲線上任一點(x, y)是方程f (x, y) 0的解；反過來，滿足方程f (x, y) 0的解所對應(yīng)的點是曲線上的點注:如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點Po(xo ,y)線C上的充要條件是f(xo ,yo)=O2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點C(a,b)為

9、圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2 2 2(x a) (y b) r .特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r的圓的方程是：x2 y2 r2.注：特殊圓的方程：與x軸相切的圓方程(x a)2 (y b)2 b2r b,圓心(a,b)或(a, b)r a,圓心(a,b)或(a, b)r a,圓心(a, a)與y軸相切的圓方程(x a)2 (y b)2 a2與x軸y軸都相切的圓方程(x a)2 (y a)2 a23.圓的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0當(dāng)D2 E2 4F 0時，方程表示一個圓，其中圓心C牙詩，半徑rE2 4F當(dāng)D2 E2 4F 0時，方程表示一個點號，| .當(dāng)D2 E2 4F 0時，

10、方程無圖形(稱虛圓).注：圓的參數(shù)方程：x acos (為參數(shù))y b r si n方程Ax2 Bxy Cy2Dx Ey F 0表示圓的充要條件是:2 2D E 4AF 0.圓的直徑或方程： A(xi,yi)B(X2 $2)(x xi)(x X2) (y yi)(y y2)0 (用向量4.點和圓的位置關(guān)系：給定點M(X0,y°)及圓C:(x a)2 (y b)2r2M在圓C內(nèi)(X0a)2(y°b)2M在圓C上(X0a)2(yob)2r2M在圓C外(X0a)2(y°b)2r25.直線和圓的位置關(guān)系:設(shè)圓圓C : (x a)2 (yb)2r2(r 0)；直線 I :

11、Ax By C2 20(A B 0)；圓心C(a,b)到直線I的距離Aa Bb Cb2d r時，I與C相切;2附：假設(shè)兩圓相切，那么 X2X2 y2 yD1 xD2xEiyE?yFiF20相減為公切線方程.0d r時，I與C相交；2 2附：公共弦方程：設(shè)yC2：x2 y2D 1xD 2xEiyE2y有兩個交點，那么其公共弦方程為(Di D2)x(EiE2)y (Fi F2) 0.d r時，I與C相離.附：假設(shè)兩圓相離，那么2 X2 X2 y2 yDix Eiy F i 0D 2x E2y F 2 0相減為圓心OiO2的連線的中與線方程.由代數(shù)特征判斷：方程組(X a)2 (yAx Bx Cb)

12、2 r20用代入法，得關(guān)于X (或y)的一元二次方程，其判別式為，那么:I與C相切;I與C相交;I與C相離.注：假設(shè)兩圓為同心圓那么x22fLDix EiyFi 0，x2 y2 D2X E?y F 2 0 相減，不表示直線.6.圓的切線方程：圓x2 y2 r2的斜率為k的切線方程是 y kx 1 k2 r過圓2 2x2 y2 Dx Ey F 0上一點P(xo,yo)的切線方程為：x0x yoy D寧E寧F 0.一般方程假設(shè)點(xo ,yo)在圓上，貝U (x -a)(xo a)+(y -b)(yo -b)=£ 特別地，過圓x2 y2 r2上一點P(Xo，yo)的切線方程為x°

13、;x y°y r2.yi yo 心 Xo)假設(shè)點(xo ,yo)不在圓上，圓心為(a,b)Ub yi k(a xi)，聯(lián)立求出kVr2 i程.7.求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖，那么切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓. O的方程x2 y2 Dx Ey F o 又以ABCD為圓為方 程為(x xa)(x a) (y yA)(x b) k2 2 2R2 (xA a) (yA b)，所以BC的方程即代，相切即為所求.三、曲線和方程1曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線 C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如 下的關(guān)系：1) 曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解(純

14、粹性)；2) 方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線 C上(完備性)。那么稱方程f(x,y)=0 為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。2. 求曲線方程的方法：.1)直接法：建系設(shè)點，列式表標(biāo),簡化檢驗；2)參數(shù)法；3)定義法，4)待定系數(shù)法-圓錐曲線方程考試內(nèi)容：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的參數(shù)方程.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的簡單幾何性質(zhì).拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的簡單幾何性質(zhì).考試要求：(1) 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程.(2) 掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).(3) 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線

15、的簡單幾何性質(zhì).(4) 了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.§)8.圓錐曲線方程知識要點、橢圓方程.1.橢圓方程的第一定義：ff2方程為橢圓，F(xiàn)F2無軌跡,F1F2以F"F2為端點的線段PF1 PF2PF1| |PF2PF1PF22a2a2a橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:i.中心在原點，焦點在x軸上:x22y 1(a b 0). ii.中心在原點, b2焦點在y軸上:y2x2歸10).一般方程:Ax2 By2 1(A0,B 0).橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程:2 x -2 a2芯1的參數(shù)方b2x a cos 程為y bsi n(一象限應(yīng)是屬于0-).頂點：(a,0)(0, b)或(0, a)( b,0)軸：對

16、稱軸:x軸，y軸；長軸長2a ,短軸長 2b.焦點：(c,0)(c,0)或(0, c)(0,c).焦距：F1F22c, c a2 b2 .準(zhǔn)線:x2或y旦.離心率：e -(0 e 1).焦點半徑: ca22i. 設(shè) P(x0,y°)為橢圓1(a ba2 b2由橢圓方程的第二定義可以推出.2 2ii. 設(shè)P(x°,y0)為橢圓 筈每1(a bb a由橢圓方程的第二定義可以推出.0)上的一點,0)上的一點,Fi,F2為左、右焦1點a那么0，PF2F1,F2 為上、下焦點 , ey0,pF2a ex0a ey0由橢圓第二定義可知：pF1e(x02)a0), pF2 e(cc2X。

17、)ex0 a(x0 0)歸結(jié)起 c來為左加右減.注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得 N(acos ,bsin )方程的軌跡為橢圓通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo):2b22"a2共離心率的橢圓系的方程：橢圓篤a1(ab 0的離心率是22e cc , a2 b2，方程篤 篤tt是大于0的參數(shù)，a aa2 b2我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.2 2假設(shè)P是橢圓：篤每1上的點.F1,F2為焦點，假設(shè)F1PF2a b0的離心率也是e -a，那么PF1F2的面積為b2tan?用余弦定理與PF 1 |PF 2 2a可得.二、雙曲線方程.假設(shè)是雙曲線，那么面積為b2叫.1.雙曲線的第一定義:

18、PFi PF2PFi PF2PFi PF22a2a2aF1F2方程為雙曲線F 1F 2無軌跡F 1F 2以F1,F2的一個端點的一條射線)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：1(a, b20),爲(wèi) a2篤1(a,b 0). 一般方程:b22 2Ax Cy 1( AC 0).i.焦點在x軸上:頂點：(a,0), ( a,0) 焦點：(c,0), ( c,0)準(zhǔn)線方程x漸近線方程:2 x2 aii.焦點在y軸上：頂點：0, a,0,a.焦點：0,c,0,c).準(zhǔn)線方程：y2-.漸c近線方程：y b0或與務(wù)0，參數(shù)方程:2 b2x a secy b tanx b tany a sec軸x, y為對稱軸，實軸長為2a,虛

19、軸長為2b,焦距2c.離心率準(zhǔn)線距愛c兩準(zhǔn)線的距離；通徑2b2a參數(shù)關(guān)系c2a2 b2,e -.焦點a半徑公式：對于雙曲線方程2 x2 a2 y b2Fi,F2分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點“長加短減原那么:MF 1 ex。MF 2 ex。a構(gòu)成滿足mf1 |MF2a2aM FiM F2exo a與橢圓焦半徑不同，橢圓exo a焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號MF i ey° aMF 2 eyo aM F 1eyo aM Feyo a等軸雙曲線：雙曲線x2 y2 a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為 y x，離心率e .2 .共軛雙曲線:以雙曲線的虛軸為實軸,2曲

20、線的共軛雙曲線冷 a22近線：與與0.a b2yb7實軸為虛軸的雙曲線，叫做雙互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸共漸近線的雙曲線系方程:曲線的漸近線為-y 0時,a b例如：假設(shè)雙曲線一條漸近線為22222條;2 解：令雙曲線的方程為：4直線與雙曲線的位置關(guān)系： 區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計 區(qū)域：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條;區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；區(qū)域：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合 計2條；區(qū)域：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線 小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點， 可以作

21、出的直線數(shù)目可能有0、 2、3、4 條.2假設(shè)直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入“ 法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.2 2假設(shè)P在雙曲線 爸 七1,那么常用結(jié)論1： P到焦點的距離為m = n,那么P到兩a b準(zhǔn)線的距離比為m : n.簡證：_e_ = m.d2 |PF2|ne常用結(jié)論2:從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程3. 設(shè)p 0,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):2y 2px2y2 2px2cx2 py2x2 2py圖形|/x-U3dn焦占八、八、F#，0pF (上,0)2F0，*pF(0, p準(zhǔn)線x舟x上2y專y上2范圍x

22、 0, y Rx 0, yRxR, y 0x R, y 0對稱軸x軸y軸頂點(0, 0)離心率e 1焦占八、八、|pf| 2 xiIPF子lx1|pf| 號 yi|PF £ |yil注：ay2 by c x頂點窖瓠y2 2pxp 0那么焦點半徑|PF x -P ； x2 2pyp 0那么焦點半徑為| PF y通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的y 2px (或 x2 2py )的參數(shù)方程為 2pt (或x 2pt2 )( t為參數(shù)).y 2 pty 2 pt四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義.4. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點 F和定直線I的距離之比為常數(shù)e的點的 軌跡當(dāng)0 e 1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e 1時，軌跡為拋物線；當(dāng)e 1時，軌跡為雙曲線；當(dāng)e 0時，軌跡為圓(e C，當(dāng)c 0, a b時).a5. 圓錐曲線方程具有對稱性例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對原點的一條直線與雙曲線 的交點是關(guān)于原點對稱的因為具有對稱性，所以欲證 A