Extrapolation of time series by their structural properties

1、由它們的結(jié)構(gòu)性質(zhì)外推的時(shí)間序列A. Zayezdny和S. Tiunov電氣與計(jì)算機(jī)工程系，內(nèi)蓋夫本-古里安大學(xué)的貝爾謝巴，以色列收到1992年2月24日修訂后的1992年8月24日摘要。本文對(duì)于時(shí)間序列的外推的新方法。 差異相對(duì)于它的主要觀點(diǎn)其它方法是使用不僅推斷系列的值也是它們的導(dǎo)數(shù)和這些導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。 在本文中的方法和其使用的程序的基礎(chǔ)上進(jìn)行了描述和數(shù)值例子。 這些實(shí)例，其包括獲得的結(jié)果由我們的方法之間和由比較其他的方法，令人信服地說(shuō)明了該方法的效率相對(duì)于已知的方法特別是在大間隔推斷。 通過(guò)結(jié)構(gòu)特性，我們這里指的函數(shù)都透露出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間存在一

2、定的關(guān)系。關(guān)鍵詞。 外推; 函數(shù)結(jié)構(gòu)性能; 狀態(tài)函數(shù); 產(chǎn)生差分方程。1.簡(jiǎn)介首先，按照我們的方法用公式表達(dá)外推， 假定該實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)被給作為一個(gè)時(shí)間序列X（Ti），0 <Ti <To，并且T>T0，,可用值經(jīng)過(guò)初步處理（如平滑），從而產(chǎn)生平滑序列X（Ti），0 <Ti <To 。這一系列被視為一個(gè)采樣版本，確定性函數(shù)X（t），0 tt0在未來(lái)我們應(yīng)指為了簡(jiǎn)單到x（t）的，但必須記住平滑后的x（t）是隱含的。初步處理的方法是應(yīng)該被公知，故未在此討論。 因此，外推這個(gè)問(wèn)題是第2頁(yè)轉(zhuǎn)換成函數(shù)近似值的問(wèn)題，從

3、已知的值（過(guò)去）逼近“未來(lái)值”。我們使用這種近似，不僅逼近X（t），0 tt0，而且逼近導(dǎo)數(shù)和它們之間的關(guān)系。 此外推方法使我們能夠獲得更精確的結(jié)果。然而，直接使用的初始值的函數(shù)和其近似的導(dǎo)數(shù)是不可能的，因?yàn)閿?shù)學(xué)的困難。 我們通過(guò)使用的，而不是克服這些困難函數(shù)X（t）其中的一個(gè)特殊形式的圖像產(chǎn)生差分方程（GDE），其中有一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)性結(jié)構(gòu)。 所有的計(jì)算都是用GDE的。流程代表性的特征GDE形式是利用不僅是值的外推系列，但也是導(dǎo)數(shù)和它們之間的關(guān)系。 此是實(shí)現(xiàn)高的描述信息也是增加每個(gè)GDE符號(hào)的信息量。一方面使我們能夠增加外推精度特別是對(duì)于一個(gè)大的外推時(shí)間

4、間隔，而在另一方面，為了自己局限這兩個(gè)先前的最小量實(shí)驗(yàn)信息和可能的一個(gè)有關(guān)過(guò)程先驗(yàn)理論信息所需的近似和推斷。因此，一個(gè)最小量的規(guī)定所需要的時(shí)間短的以前的信息系列推斷可能是滿(mǎn)意的。過(guò)渡的從函數(shù)的問(wèn)題X（t）到GDE的問(wèn)題在一定條件下。 其中重要的是以下情況：該GDE的結(jié)構(gòu)必須比簡(jiǎn)單原有的函數(shù)的函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。這個(gè)問(wèn)題有許多解決方案，我們要選擇最合適的一個(gè)。 對(duì)于所有上述原因，我們使用一種特殊的數(shù)學(xué)設(shè)備。 下面給出該設(shè)備的簡(jiǎn)短介紹。 使用GDE的的想法外推 9，10。我們?cè)谙旅嫣峁┑囊恍┩馔频臄?shù)值例子我們要提醒大家注意，難點(diǎn)是估算外推法的有效性，與此相關(guān)的，理

5、論證明比其他方法的優(yōu)點(diǎn)。問(wèn)題的關(guān)鍵是，一個(gè)假設(shè)隨機(jī)模型是任何外推法的基礎(chǔ)。 據(jù)這種模式的確定性外推函數(shù)化（這通常被稱(chēng)為外推函數(shù)）會(huì)被發(fā)現(xiàn)。其優(yōu)點(diǎn)是從具體例子中發(fā)現(xiàn)的。 對(duì)于參考的歷史經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪怯杏玫摹＿@些模型的特征說(shuō)明：他們提出沒(méi)有任何理論和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)被接受僅在其或多或少精確的基礎(chǔ)對(duì)實(shí)際過(guò)程行為的描述。 該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)收集從只有檢查所選擇的模型的精度。 這些經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭挥薪?jīng)歷的變化和改進(jìn)所獲得的事實(shí)材料的基礎(chǔ)。 在這種連接是適當(dāng)?shù)膮⒖?2，5，6，12，也對(duì)“數(shù)學(xué)理論的爭(zhēng)論“由沃爾泰拉13創(chuàng)建。這樣的做法，由一個(gè)的假設(shè)的初始模型，隨后檢查其具體例

6、子的合理性。有必要重申一次的事實(shí)，即初步處理使平滑后的數(shù)據(jù)然后將其用于構(gòu)造外推函數(shù)（t）的預(yù)測(cè)值X（t）為T(mén)> T0。不幸的是，這是不可能得到的一般用于計(jì)算外推分析方法化誤差及其與外推關(guān)系化間隔。 因此，我們估計(jì)的效率通過(guò)比較的結(jié)果的新方法在新的執(zhí)行外推的例子和常規(guī)的方法。 特別是對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)初步處理X（Ti），0 <Ti <To是嚴(yán)格按照詹金斯法進(jìn)行。第3頁(yè)我們的創(chuàng)新關(guān)注的只有第二部分的問(wèn)題，也就是說(shuō)，以外推法來(lái)逼近。2. 函數(shù)結(jié)構(gòu)特性的基本原理和它的應(yīng)用的問(wèn)題外推文獻(xiàn)14給出函數(shù)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的理論。 在這里，我們將給出一個(gè)非常簡(jiǎn)潔該部分的理論，這是

7、用來(lái)說(shuō)明在我們的論文。我們應(yīng)考慮的時(shí)間函數(shù) X（t），Y（t）而在之后，應(yīng)丟棄參數(shù)，只用x、y來(lái)表示。 我們使用非線(xiàn)性函數(shù)來(lái)表示x（t）和其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。 這些關(guān)系有一個(gè)清晰物理意義，因此我們將在下文使用專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)的解釋。2.1。對(duì)于 dissipant x可以看出，'dissipant'表示X的相對(duì)變化率。 該dissipant存在于x 0，并當(dāng)x> 0與對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)一致。該dissipant構(gòu)成的是一階齊次微分方程的系數(shù)現(xiàn)在，讓我們改寫(xiě)二階齊次微分方程在此方程中dissipant 顯示本身作為耗散項(xiàng)，并且確定的部

8、分與系數(shù)的a（）能量損耗：如果，就沒(méi)有耗散能量，并且該過(guò)程是一個(gè)保守的; 如果能源將增加（如果a1> 0），如果能量將減少。 只是這些只是在“dissipant'的基礎(chǔ)上。2.2。 對(duì)Y y的dissipant表示相對(duì)速度，二階微分方程所述conservant可用作這個(gè)過(guò)程中接近X保守之一：如果kx=常數(shù)<0，這個(gè)過(guò)程將是保守的。 該conservant對(duì)應(yīng)于第二階微分方程所述condiant表示相的比率，這個(gè)過(guò)程的速度相對(duì)變化的變化該過(guò)程本身。 相應(yīng)的微分方程具有形式上述非線(xiàn)性關(guān)系是時(shí)間函數(shù)，被稱(chēng)為 狀態(tài)函數(shù)。如

9、果這些狀態(tài)函數(shù)是獨(dú)立的時(shí)間，然后他們對(duì)應(yīng)于基本函數(shù)：x，y，指數(shù)函數(shù)；kx<0,三角函數(shù)；kx>0，雙曲線(xiàn)；x，功率函數(shù)。因此，狀態(tài)函數(shù)x，y，kx，x稱(chēng)為基本狀態(tài)的函數(shù)，他們的組合被稱(chēng)為非基本的。任何狀態(tài)的函數(shù)可以通過(guò)手段來(lái)表達(dá)的僅包含所述dissipantx組合和X本身的函數(shù); 因而對(duì)于實(shí)際中，對(duì)應(yīng)于任何基本或非基本的狀態(tài)函數(shù)，一是新元素（）和公知的元素（加法器，乘法器等）是必要的。如圖1該方法的主要思想基礎(chǔ)使用該狀態(tài)函數(shù)得到更多的在這一點(diǎn)上。使用狀態(tài)函數(shù)是有效的，因?yàn)椋喝齻€(gè)主要理由（一）有簡(jiǎn)化的更多的可能性的初始時(shí)間序列的函數(shù)結(jié)構(gòu)，最多一條直線(xiàn)。（二）數(shù)學(xué)描述的高信

10、息性，比權(quán)威的GDE更好（三）更多的可能性化的外推法的規(guī)則。確定性函數(shù)X（t）中，tto，結(jié)果從統(tǒng)計(jì)的初步處理數(shù)據(jù)X（Ti）tto 將由模擬分析近似開(kāi)始間隔tto和外推間隔t>to。 根據(jù)傳統(tǒng)的方法這種近似是任何函數(shù)的方式來(lái)完成一般U（T）逼近X（t）。在我們的方法中X（t）必須由GDE的手段被變換到下一個(gè)狀態(tài)函數(shù)，根據(jù)以下條件：這個(gè)狀態(tài)的函數(shù)與時(shí)間有關(guān)，其函數(shù)結(jié)構(gòu)必須比X（t）簡(jiǎn)單得多。如果GDE按照狀態(tài)函數(shù)代表寫(xiě)成直線(xiàn)方程式，推斷會(huì)更簡(jiǎn)單，更精確（見(jiàn)附錄A到本文）。從轉(zhuǎn)型X（t）對(duì)狀態(tài)函數(shù)化進(jìn)行，不僅沒(méi)有任何信息損失，而且保留了“內(nèi)部”包含了導(dǎo)數(shù)的非線(xiàn)性關(guān)系GDE的信息狀態(tài)

11、函數(shù)可以讓我們表達(dá)簡(jiǎn)單的形式，所有這些信息通過(guò)相對(duì)簡(jiǎn)單的形式，它能夠方便實(shí)現(xiàn)。3.合成產(chǎn)生微分方程如上述從過(guò)渡上述函數(shù)X（t）其GDE是根據(jù)制成條件：GDE的函數(shù)結(jié)構(gòu)必須比X（t）簡(jiǎn)單。此函數(shù)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化是通過(guò)表1的說(shuō)明。在列2中的表達(dá)式的解該GDES，這都寫(xiě)在規(guī)范形式列3.這些GDES可以在被改寫(xiě)通過(guò)使用狀態(tài)函數(shù)更簡(jiǎn)單的形式（列4）。外推由我們有GDE后返回到外插函數(shù)，這是一個(gè)解決這個(gè)GDE的。我們想再次強(qiáng)調(diào)，在我們的方法，我們使用的推斷（即，對(duì)于近似值）不僅該函數(shù)的值，而且它的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 1注：該參數(shù)都是實(shí)數(shù)。現(xiàn)在的問(wèn)題可能會(huì)被要求-為什么不使用逼近函數(shù)的獨(dú)立的值和它的導(dǎo)數(shù)呢，而無(wú)需使用

12、GDES。 應(yīng)該說(shuō)在這一點(diǎn)上，通過(guò)使用的分離式的值和它的導(dǎo)數(shù)，所述的關(guān)系它們之間的不考慮。 在樣條逼近技術(shù)的邊界衍生對(duì)應(yīng)僅用于所述相鄰的點(diǎn) 8。 然而，在函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系中包含很多信息，此外，有必要補(bǔ)充的是，我們的方法使我們能夠使自動(dòng)化的GDE的選擇和計(jì)算過(guò)程?，F(xiàn)在我們回到GDE合成的問(wèn)題。在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的問(wèn)題，合成GDE的被解決了以下方式：系數(shù)，通過(guò)它們的1,2，.，N - 1階導(dǎo)數(shù)，被代入的一般n階GDE然后微分方程表示出規(guī)范形式為： 其中，在ai（.）是包含x和t中的一個(gè)函數(shù)的最一般的形式。這樣的解決方案不是我們的目標(biāo)，因?yàn)橐?guī)范形式不允許我們實(shí)現(xiàn)函數(shù)x（t

13、）通過(guò)簡(jiǎn)單的手段外推。 但如果GDE被表示在狀態(tài)函數(shù)的形式，實(shí)現(xiàn)推斷就成為可能，也可表示成自動(dòng)化。 應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，綜合的問(wèn)題并不是只有唯一的解決方法。我們?cè)谶@里使用的兩種方法中，對(duì)應(yīng)于齊次和非齊次GDE。3.1。 對(duì)應(yīng)于齊次的GDE方法理想的是有一些類(lèi)似表1的內(nèi)容以實(shí)現(xiàn)此方法，此表可憑借知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的增加擴(kuò)大和發(fā)展。 我們給出一個(gè)實(shí)際實(shí)施的簡(jiǎn)要說(shuō)明我們的方法。外推法的中心部分是基于使用的結(jié)構(gòu)性能，是函數(shù)變換處理器（FTP）。 塊圖2中的FTP例子中，對(duì)應(yīng)于表1中，此設(shè)備有一個(gè)輸入端子和多個(gè)輸出端子-基本和非基本狀態(tài)和函數(shù)他們的組合。 在

14、輸出端，我們得到了一組的輸入函數(shù)的差分表示X（t），無(wú)論是在一個(gè)新的函數(shù)的形式U（T）或在相軌跡表示的形式V（U）。如果已知獲得輸出端的函數(shù)以及輸出端是如何連接和構(gòu)造的，這將是可能推斷出究竟是什么產(chǎn)生GDE該輸出的，哪些是輸入的形式X（t）。該FTP選擇該GDE的構(gòu)造函數(shù)最接近一條直線(xiàn)。 輸出還可以讓我們估計(jì)一些輸入函數(shù)的參數(shù)值。因此，如果輸入函數(shù)X（t）對(duì)應(yīng)于在內(nèi)部的函數(shù)之一來(lái)實(shí)現(xiàn)，則函數(shù)和外推可以立刻表示出來(lái)，由于原函數(shù)被轉(zhuǎn)換成一條直線(xiàn)。FTP的端子對(duì)應(yīng)于最常見(jiàn)的函數(shù)和它們的GDEs。 當(dāng)然，輸出端可以無(wú)限擴(kuò)展。 此外，我們?cè)谑褂帽?只是任意直線(xiàn)作為參考 “簡(jiǎn)

15、單映像'，但在更一般的情況下，我們可以使用其他簡(jiǎn)單的函數(shù)和相軌跡。 該FTP包含輸入掃描塊，由變量XO提供的沿橫縱坐標(biāo)t、X上下移位，可以具有正，負(fù)或零值。 此塊允許我們形成新變量XX0，由此，可能性提出的方法可以大大擴(kuò)展。 還有提出，輸入的掃描塊可能部分地或完全地通過(guò)使用各種自動(dòng)化算法。應(yīng)提醒注意的一個(gè)事實(shí)，即FTP只包含一個(gè)新元素（處理器） -“dissipantor”是能夠執(zhí)行的倒數(shù)除法運(yùn)算的函數(shù)本身（參見(jiàn)圖1）。 其他元素，在執(zhí)行求和、微分、乘除法、取對(duì)數(shù)、倒數(shù)上都是標(biāo)準(zhǔn)的六個(gè)輸出端產(chǎn)生6個(gè)狀態(tài)函數(shù)U（T），U（v）和它們的轉(zhuǎn)換形式;&#

16、160;我們假設(shè)其中有一個(gè)或兩個(gè)近似一條直線(xiàn)。 該 “直線(xiàn)狀態(tài)函數(shù)”或“直線(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)變函數(shù) “可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值算法自動(dòng)挑選。 “直線(xiàn)狀態(tài)函數(shù)”或 “直線(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)變函數(shù)”在間隔T1期間外推，如果近似小于預(yù)定值更好。在下一個(gè)區(qū)間T2，我們開(kāi)始選擇另一種狀態(tài)的函數(shù)（這近似于一個(gè)更好的直線(xiàn)），并執(zhí)行類(lèi)似的操作。 當(dāng)然，在周期內(nèi)找出最適合的最好。3.2。 對(duì)應(yīng)于該方法的非齊次GDE在這種方法中，公式 其中Ui（t）是狀態(tài)函數(shù)f（t）是時(shí)間函數(shù)。這樣的GDE必須與X（t）一致。規(guī)范化此方法比齊次GDE更復(fù)雜，因?yàn)樵谶@種情況下，同時(shí)也選擇函數(shù)f（t）。這種方法的顯著的幫助可

17、以是從公知的手冊(cè)得到3。它可以被強(qiáng)調(diào)，在我們的經(jīng)驗(yàn)?zāi)承┣闆r下，該方法使用非齊次GDE是更方便。4.一些GDE合成的實(shí)用建議（a）我們推薦的一個(gè)給定的時(shí)間的處理系列由從其開(kāi)始到結(jié)束，它足夠可以用一部分來(lái)識(shí)別。（b）我們建議用最簡(jiǎn)單的公式平滑此系列其中，k = 1,2，.，和是一系列 X值 （Ti） 之間的時(shí)間間隔  11。（c）對(duì)于數(shù)值微分，我們建議公式7這一建議也是基于對(duì)比分析，10中進(jìn)行了各種公式。 它是非常重要的強(qiáng)調(diào)效率的標(biāo)準(zhǔn)，兩者考慮到差異化和平滑性10。（d）選擇最適當(dāng)?shù)腉DE可以實(shí)現(xiàn)上述（FTP）。5、時(shí)間序列的外推的實(shí)例在外推的例子

18、的選擇時(shí)間序列我們不僅希望表明了該方法的可能性，但還由于需要其性能與比較。 在我們看來(lái)，box-jenkins方法1是最有效的常用方法; 比較是在此基礎(chǔ)上的計(jì)算結(jié)果之間進(jìn)行方法和我們自己。很自然地，在這一點(diǎn)上，問(wèn)題是提出：如何更好的得到的結(jié)果通過(guò)使用狀態(tài)函數(shù)逼近法（也稱(chēng)為結(jié)構(gòu)性能的方法），比那些傳統(tǒng)的近似方法，其中使用的平滑函數(shù)本身，即不考慮到它的導(dǎo)數(shù)。 我們進(jìn)行許多比較，并把結(jié)果令人信服示的結(jié)構(gòu)特性的優(yōu)點(diǎn)方法。 因?yàn)樗巧厦嫣岬降模@個(gè)事實(shí)是很容易解釋?zhuān)诮Y(jié)構(gòu)的方法性能兩者的函數(shù)價(jià)值和其導(dǎo)數(shù)和之間的關(guān)系他們都考慮在內(nèi)。對(duì)于我們的方法跟傳統(tǒng)比較，我們選擇

19、的例子。 前兩個(gè)實(shí)例符合以時(shí)間序列表示一個(gè)選擇的確定性函數(shù)和白噪聲的混合的響應(yīng)的。 這種系列中遇到在這樣的區(qū)域作為測(cè)量化學(xué)過(guò)程的溫度，飛機(jī)的軌跡和水上運(yùn)輸?shù)瓤捎糜谟?jì)算的唯一數(shù)據(jù)是的過(guò)程中的樣品，而數(shù)學(xué)該過(guò)程的描述被認(rèn)為是未知的推理。第三示例對(duì)應(yīng)于從文獻(xiàn)15采取的美國(guó)人口數(shù)量數(shù)據(jù)。 我們把數(shù)據(jù)分成兩個(gè)階段：（1），直到1971年-初始數(shù)據(jù)，作為已知的，（2）1971年后的數(shù)據(jù)，是通過(guò)外推法找到，即視為未知，然后與發(fā)表的數(shù)據(jù)相比較。第四實(shí)施例對(duì)應(yīng)于測(cè)量化學(xué)過(guò)程的溫度，其中，從噪音分離出確定性函數(shù)是不可能的。 取用于該實(shí)例中的數(shù)據(jù)是從文獻(xiàn)1中獲得的。外推的結(jié)果

20、，使用上述隨機(jī)用于第三和第四實(shí)施例的模型，分別為在給定的4和1分別。 這些結(jié)果帶來(lái)了提到的出版物以證明了隨機(jī)的優(yōu)點(diǎn)box-jenkins方法比其他方法。 我們選擇這些例子明確的目的是即使在這些情況下，所提出的方法比box-詹金斯的方法更有效。5.1。 指數(shù)過(guò)程添加白噪聲這個(gè)過(guò)程被描述為其中n（t）是用正態(tài)分布噪聲; n（t）=0.01N（t），其中 N（t）是一個(gè)隨機(jī)序列，其中N = 1，t是整數(shù)序列，a是一個(gè)正數(shù)。 對(duì)于本例a= 0.02。X（t）的值在t  = 0到t =19是確定的。 問(wèn)題是通過(guò)外推，得到t=

21、 20的值。5.1.1。 使用隨機(jī)的外推箱詹金斯法這種推斷嚴(yán)格按照 1的方法。 該X（t），即X（0）到x（19） 的20個(gè)值 ，分別用來(lái)用于獲得該過(guò)程的隨機(jī)模型。作為計(jì)算下面的結(jié)果 其中為x的外推，從t=t0 （to=1，2，）到。根據(jù)該外推式中，為了得到預(yù)測(cè)每個(gè)點(diǎn)都大于t0=19，有必要使用數(shù)據(jù)的前三個(gè)點(diǎn)。 特別是用于獲得預(yù)測(cè)的第3點(diǎn)， 原函數(shù)x（t）和外推結(jié)果，基于該箱詹金斯方法，在圖 3呈現(xiàn)。外推誤差呈現(xiàn)在圖 4。圖3外推曲線(xiàn)兩種方法的結(jié)果：箱形詹金斯方法和結(jié)構(gòu)性質(zhì)的方法。 該過(guò)程是exp（-at）+ n（

22、t），n為白噪聲，高斯（0，0.01），a= 0.02。 這里注意，該外推的曲線(xiàn)偏離基本上從在 X（t）的先前部分的趨勢(shì) ， 我們強(qiáng)調(diào)的是， 這有點(diǎn)奇怪的結(jié)果，嚴(yán)格按照獲得中所描述的方法1。得到的數(shù)學(xué)模型，在后其基礎(chǔ)上的外推進(jìn)行，該進(jìn)行該模型的測(cè)試程序。 在1給出該測(cè)試過(guò)程的方法。該測(cè)試程序的結(jié)果具有完全證實(shí)所得到的模型的適當(dāng)性。 在我們認(rèn)為，這一結(jié)果指出了用隨機(jī)方法來(lái)推斷的缺陷。5.1.2。 使用結(jié)構(gòu)性能外推的方法在這種情況下，我們使用的方法在第4部分中描述。最后X（t）的11值被用來(lái)進(jìn)行近似x(9)-x(19)。

23、0;作為利用上述外推法表明算法的一個(gè)結(jié)果，人們發(fā)現(xiàn)，在平滑函數(shù)X（t），也就是說(shuō)，x（t），由GDE 1表示：以極大的精度，這意味著，如果（t）是由函數(shù)來(lái)近似，現(xiàn)在我們尋找整合常數(shù)c。外推的先前分析表明，所有這些時(shí)間序列都有小的不規(guī)則成分，因此X（t）是足夠接近根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)，我們提出了這種情況下，找到常數(shù)c來(lái)取代的時(shí)間序列中的外推函數(shù)的一般表達(dá)，即，在此情況下，實(shí)現(xiàn)在t=t0時(shí)的零誤差。有必要再次強(qiáng)調(diào)這種方法是僅對(duì)與時(shí)間序列不規(guī)則的小部件。 計(jì)算結(jié)果C約等于1.016，因此，我們得到我們接受從點(diǎn)t = 19推斷的這種近似的計(jì)算公式外推的曲線(xiàn)和外推誤差分別示于圖3和4， 外推的比較結(jié)

24、果這實(shí)施例表明的精度通過(guò)使用獲得的的結(jié)構(gòu)特性的方法比該箱詹金斯方法要高得多，特別是對(duì)于大間隔。 例如，對(duì)于t = 40由箱詹金斯方法的誤差是61.7，而結(jié)構(gòu)性能方法是2.6。此外，通過(guò)導(dǎo)數(shù)等的變化顯示箱詹金斯法比使用結(jié)構(gòu)性能的方法更不敏感， 5.2。 加白噪聲后更復(fù)雜的指數(shù)形式這個(gè)過(guò)程被描述為n（t）噪聲符合正態(tài)分布， n（t）=0.0025N（t），t是離散時(shí)間t=k*t，其中，t= 0.05，K =1,2,3 .在t = 0.21.15時(shí)x（t）的值是已知的。 問(wèn)題是要進(jìn)行外推起始采用t = 1.20。函數(shù)的exp（-1 /t2）的拐點(diǎn)的出現(xiàn)在t0.816，其

25、中，二次導(dǎo)數(shù)改變符號(hào)。5.2.1。 使用隨機(jī)的箱詹金斯法來(lái)外推在第一例中，外推是嚴(yán)格按照該方法進(jìn)行根據(jù)1。 最后的X（t）的20個(gè)值即x（0.2）x（1.15），用于獲得隨機(jī)模型。計(jì)算得到以下的公式：根據(jù)該公式是必要的，可以得到第一個(gè)假設(shè)：;原函數(shù)x（t）與外推的結(jié)果，基于該箱詹金斯方法，見(jiàn)圖 5。外推誤差見(jiàn)圖 6。 5.2.2。 使用結(jié)構(gòu)性能的方法外推我們用第4部分中描述的方法。最后X（t）七個(gè)值用近似值值：x(0.85)/x(1.15)。用GDE外推法得到的x的平均值結(jié)果發(fā)現(xiàn)精度很高：發(fā)現(xiàn)平均值的結(jié)果近似等于：（2）這是簡(jiǎn)單的由前及時(shí)發(fā)現(xiàn)c

26、的值替代（2）的最后一個(gè)已知值即，X（1.15），來(lái)代替mean（X）。其計(jì)算結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，C = 0.610。因此，我們獲得最后結(jié)果我們接受這種從點(diǎn)t = 1.15推斷近似的計(jì)算公式。外推的曲線(xiàn)和外推誤差示于圖 圖5和6，分別為。此外，在t = 2和t = 3的外推誤差通過(guò)使用箱詹金斯方法和結(jié)構(gòu)特性的方法計(jì)算。箱詹金斯方法的誤差：et=2 = 27.3; et = 3= 81.5。結(jié)構(gòu)特性的方法的誤差：et= 2 = 3.3; et= 3= 12.1。結(jié)果用于本比較實(shí)施例表明，該誤差由給定結(jié)構(gòu)特性的方法，從L= 8是小于該箱詹金斯方法及隨著L增加這些錯(cuò)

27、誤之間的差異大大。此外，結(jié)果獲得箱詹金斯法原來(lái)是不敏感既改變過(guò)程的導(dǎo)數(shù)的 X（t）的并且拐點(diǎn)（見(jiàn)上文）。5.3。 美國(guó)人口的數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)我們使用在15中給出的數(shù)據(jù)。美國(guó)人口數(shù)據(jù)直到1971年被認(rèn)為是已知的。 該問(wèn)題是要進(jìn)行的數(shù)學(xué)1972年開(kāi)始以下預(yù)測(cè)美國(guó)人口，并通過(guò)與實(shí)際的比較測(cè)試結(jié)果從15的數(shù)據(jù)。5. 3.1。使用箱詹金斯法隨機(jī)預(yù)測(cè)人口的預(yù)測(cè)在4中給出隨機(jī)建模。年度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)1900年至1971年被用來(lái)在這項(xiàng)工作中用于獲得時(shí)間序列的隨機(jī)模型，即，總的數(shù)據(jù)量為72的值。根據(jù)這一點(diǎn)，外插式的形式其中l(wèi) = 1,2,3 .年。初始預(yù)測(cè)：用x（t0）代替x（t0-1）的（x（

28、t）單位為：億人）。美國(guó)人口曲線(xiàn)和使用箱詹金斯預(yù)測(cè)結(jié)果示于圖7.預(yù)測(cè)誤差示于圖 8。5.3.2。使用結(jié)構(gòu)性能的方法預(yù)測(cè)第4節(jié)給出符合算法的計(jì)算，美國(guó)在1966-1971年的人口數(shù)據(jù)形成函數(shù)在預(yù)測(cè)計(jì)算結(jié)果（1971）附近和外推結(jié)果。（單位為：億人）。通過(guò)由GDE外推的精確結(jié)果為：此微分方程的解x（t）如下 帶入由原數(shù)據(jù)x（t）求出的c的值，最后公式為：在這些方程的系數(shù)符合極高的精度從1972年的真實(shí)人口。預(yù)測(cè)及誤差列于圖7和8中。結(jié)果對(duì)于這樣的比較分析例子完全印證了得出的結(jié)論：我們的方法箱詹金斯法比的優(yōu)越性。5.4。 化學(xué)過(guò)程的溫度的數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)我們使用在文獻(xiàn)1為基礎(chǔ)給出的數(shù)據(jù)這

29、個(gè)例子。他們被稱(chēng)為 “C系列”。這些數(shù)據(jù)t=t0= 20分鐘的值是已知的。 問(wèn)題是要進(jìn)行溫度的校準(zhǔn)預(yù)測(cè)過(guò)程中，在開(kāi)始用t=21分鐘，并以比較所得到的具有的實(shí)際值結(jié)果。5.4.1。使用隨機(jī)箱詹金斯法預(yù)測(cè)5.4.2。使用結(jié)構(gòu)性能的方法預(yù)測(cè)L=t-20【min】 C=40最后已知值替代X（t），為例如，X對(duì)于t = 20分鐘，而不是X（t）的。因此，我們得到最后X = - 10 + 40 EXP（-9.042 X 10-3t）度，1 =叔20 分鐘。這種近似可用于預(yù)測(cè)溫該化學(xué)過(guò)程的perature，從T =21雨。預(yù)測(cè)及誤差列于圖。圖9和10中。結(jié)果用于本比較實(shí)施例表明，該誤差由下式給出的

30、事實(shí)的結(jié)構(gòu)特性的方法，從升10.5分鐘，小于該箱詹金斯方法和這些誤差之間的差大大增加而增加升。它印證了在前述的實(shí)施例中得出的結(jié)論本節(jié)對(duì)結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)物業(yè)法在箱詹金斯的方法，特別是大型外推時(shí)間間隔。這個(gè)微分方程的解x（t）的親duces函數(shù)X（t）= - 10 + C EXP（-9.042 X 10-3t）度。結(jié)論意見(jiàn)1.在本文中對(duì)于一個(gè)基本上新方法的時(shí)間序列的外推的建議。 其第一卷。 32，第3期，1993年6月第14頁(yè)298A. Zayezdny，時(shí)間序列S. Tiunov /外推差相對(duì)于其他要點(diǎn)方法是利用不僅預(yù)算外的值的polated時(shí)間序列而且，值的導(dǎo)數(shù)和它們之間的關(guān)系導(dǎo)

31、數(shù)。計(jì)算結(jié)果的比較分析針對(duì)上述考慮例子可以讓我們得出以下結(jié)論。2.時(shí)間序列的基礎(chǔ)上的外推親在許多情況下，它們的結(jié)構(gòu)性質(zhì)提供比可通過(guò)以下步驟獲得更好的精度傳統(tǒng)的方法。它的相對(duì)精度提高特別是對(duì)于大的時(shí)間間隔。這有兩個(gè)主要的原因：（一）的基礎(chǔ)上構(gòu)造ProperTies（屬性）的方法的時(shí)間序列（關(guān)系在對(duì)比的隨機(jī)方法，例如）使用大量的信息，即他們使用的相關(guān)信息的函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)和它們的關(guān)系。（二）隨機(jī)方法反映要少得多，例如該系列的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)例如，趨勢(shì)的急劇變化，其衍生表3-6等，在與該方法相比結(jié)構(gòu)特性。3.外推的結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上時(shí)間序列的性質(zhì)要求其實(shí)現(xiàn)在該區(qū)域中的數(shù)據(jù)量相對(duì)較小的從該外推法的情況下的點(diǎn)。而不

32、是如此，外推的基礎(chǔ)上建設(shè)隨機(jī)模型，需要一個(gè)COMparaTively大量的數(shù)據(jù)，以獲得可靠的估計(jì)。4.外推的結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上時(shí)間序列的性質(zhì)是比較簡(jiǎn)單統(tǒng)一和自動(dòng)化。因此能夠顯著簡(jiǎn)化計(jì)算親的框圖塞斯施工的基礎(chǔ)元素 - 一個(gè)dissipant計(jì)算器 - 如通過(guò)dissipants其他手段狀態(tài)的函數(shù)可被表達(dá)。隨機(jī)的，而不是如此，該方法外推是笨重和復(fù)雜計(jì)算1，并為不良反應(yīng)的統(tǒng)一和自動(dòng)化。不幸的是，有限的空間不允許我們闡述的材料說(shuō)明有條不紊所提出的結(jié)構(gòu)特性的背景方法完全。誠(chéng)然，這部分研究的是一個(gè)獨(dú)立的1，因此，該紙是自遏制。但是，我們給了一些額外方法論的解釋在附錄中。總之，我們可以強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：在這篇文章中新

33、的外推法是親構(gòu)成，其實(shí)際效率顯示和對(duì)獲得改進(jìn)使用一個(gè)新的方法元素 - dissipantor - 描述。附錄A的方法學(xué)基礎(chǔ)比較的時(shí)間序列的各種方法外推的問(wèn)題1.聲明當(dāng)然，出現(xiàn)的棘手問(wèn)題如何估算的定量的效率每個(gè)方法通過(guò)比較的各種方法時(shí)間序列外推。在本附錄中，我們將考慮這個(gè)問(wèn)題僅相對(duì)于該基于變換函數(shù)的方法X（t），它表示一個(gè)給定的時(shí)間序列，其改造U（T）。所選擇的類(lèi)反 -地層必須滿(mǎn)足明顯的要求：（1）給定的函數(shù)，可以通過(guò)它的反式還原形成; 轉(zhuǎn)化的（2）的外推給出比外推更好最終結(jié)果的函數(shù)。第一個(gè)要求并不需要的解釋系統(tǒng)蒸發(fā)散; 因此，我們應(yīng)注意第二個(gè)要求。很顯然，如果的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)

34、化是更加簡(jiǎn)單，外推化效果會(huì)更好。后者是指最簡(jiǎn)單的變換為直線(xiàn)，其定義由至多兩個(gè)參數(shù)，也是最好的。從這得出首先它是必要的，用于估計(jì)特定方法的有效性包括在給定的類(lèi)，以確保由意味著轉(zhuǎn)型的選擇形式變換的近似的直線(xiàn)或以更簡(jiǎn)單的曲線(xiàn)1是可能的。 該聲明的證明用N-每個(gè)函數(shù)信號(hào)處理第15頁(yè)A. Zayezdny，S. Tiunov連續(xù)導(dǎo)數(shù)可以由下式表示其在一條直線(xiàn)上的形式變換，是在一個(gè)定理的形式在附錄B給出本文。從這一部分的溶液的結(jié)論這個(gè)問(wèn)題必須遵循的，當(dāng)然，由什么是由簡(jiǎn)化的意思解釋數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。有必要再引入量化的“簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)struc-措施TURE“。一種方法可稱(chēng)為“最好的一個(gè)”，如果它簡(jiǎn)化了math

35、e-更大的權(quán)力maTical結(jié)構(gòu)“為同一信息內(nèi)容。 它是可能的，例如研發(fā)到后結(jié)合其它比較的具體方法，與符合荷蘭國(guó)際集團(tuán)的預(yù)算外效率的選擇標(biāo)準(zhǔn)插補(bǔ)。這種比較是不可訪(fǎng)問(wèn)的一般的分析形式作為一項(xiàng)規(guī)則，必須CAR-僅通過(guò)使用例子RIED出來(lái)。因此，核心問(wèn)題是制定quan-簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)的TitaTive措施職能結(jié)構(gòu)。這是足以讓我們陳建構(gòu)成，以證明所提出的基礎(chǔ)上外推的方法，實(shí)現(xiàn)了simplifica-的外推時(shí)間的函數(shù)結(jié)構(gòu)的灰系列是可能的。2.準(zhǔn)則用于估計(jì)'簡(jiǎn)化的函數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的'從一個(gè)給定的函數(shù)的過(guò)渡X（t）其改造U（T）通過(guò)一個(gè)結(jié)構(gòu)狀況簡(jiǎn)化在近似的感轉(zhuǎn)變到結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)直線(xiàn)，或提一次，

36、到一個(gè)struc-的簡(jiǎn)單的函數(shù)之一的TURE是基礎(chǔ)所考慮的方法。在我們的方法中，generat-荷蘭國(guó)際集團(tuán)微分方程（GDES）被接受作為轉(zhuǎn)換。該GDES由表示裝置的狀態(tài)的函數(shù)，根據(jù)該的“結(jié)構(gòu)性ProperTies（屬性）數(shù)學(xué)工具聯(lián)系方法“14。讓我們考慮的定量測(cè)量簡(jiǎn)化作為參這樣，數(shù)ETERS所必需的重建時(shí)間序列/外推299函數(shù)X（t）在其存在的整個(gè)間隔。簡(jiǎn)化/系數(shù)由過(guò)渡.T從X（t）到U（T）可以寫(xiě)成如下形式PN“其中，N，怒江表示參數(shù)號(hào)碼函數(shù)X（t）和U（T）分別。我們應(yīng)該注意到，在這一點(diǎn)上，該數(shù)據(jù)REP-怨恨的GDE的初始條件沒(méi)有包括在的函數(shù)的參數(shù)數(shù)量U（T）因?yàn)樗鼈儽徽J(rèn)為是已知的，并且

37、不重要的是，外插過(guò)程本身。現(xiàn)在，讓我們解釋?zhuān)ㄟ^(guò)從過(guò)渡X（t）到U（T）參數(shù)的數(shù)目被減少而不丟失信息。相對(duì)函數(shù)的觀念，的變化，改變的相對(duì)速度等，在使用結(jié)構(gòu)特性的方法14。這些概念，用數(shù)字或變量來(lái)表示，含有較多比初始的概念“每符號(hào)信息”函數(shù)及其變化。例如，該函數(shù)U（T）= 6 = YC（T）/ X（t）=DX / X / DT包含有關(guān)的函數(shù)信息X（t）本身，其相對(duì)變化（DX / X）（t）的也這些相對(duì)變化率（DX / X）/ DT）（噸）。因此，該函數(shù)的信息內(nèi)容U（T）比函數(shù)的較高X（t）盡管事實(shí)U（T）從獲得X（t）。該函數(shù)化U（T）=（t）是的一簡(jiǎn)要的表示微分方程（GDE）：YC - （T）

38、×= O.我們總是有可能通過(guò)求解GDE從返回U（T）到X（t），考慮到初始條件。很顯然，現(xiàn)在的結(jié)構(gòu)是簡(jiǎn)化是通過(guò)使用之間的關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)。也許這是有利的注意，估計(jì)時(shí)間序列數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)也能夠使用熵的概念17。第一卷。 32，第3期，1993年6月第16頁(yè)300A. Zayezdny，時(shí)間序列S. Tiunov /外推我們通過(guò)給一個(gè)完成這樣的考慮例如簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的的函數(shù)。3.示例問(wèn)題是外推時(shí)間序列其中經(jīng)初步處理，可以表象由函數(shù)sentedS（T）= 0.4Ë-at COS嬰兒床。（A.1）當(dāng)然，外推器并不知道這依賴(lài)性，因此可以認(rèn)為這個(gè)未知的函數(shù)是由一個(gè)大決定

39、參數(shù)的數(shù)量。函數(shù)（A. 1）可被表示，通過(guò)使用的狀態(tài)的函數(shù)，如下的溶液GDE：SC = - 2a3s- TO0 2，（A.2）其中的CO 2 = CO 2 + 2。表達(dá)式（A.2）表示的直線(xiàn)僅由兩個(gè)參數(shù)上的相位確定飛機(jī)6，CS，即是簡(jiǎn)單的推斷。這是很容易從函數(shù)CS（6S）返回函數(shù) S（t）的，因此，完成該溶液的問(wèn)題。我們可以給出這樣的例子在一個(gè)偉大的數(shù)字。附錄B的線(xiàn)性化定理函數(shù)每個(gè)函數(shù) X（t），其具有N個(gè)連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，可以表示為一條直線(xiàn)V = A + BU，其中u，v為狀態(tài)函數(shù)，阻止-僅由給定函數(shù)開(kāi)采 ×（噸）。證明。函數(shù)X（t）的可寫(xiě)在多項(xiàng)式形式

40、41;X（T，A）= A，T'。N = 0此函數(shù)的一般形式的GDE是F XT，X <NL） .，英鎊，; 一_， = 0。（B.1）ñ該GDE包含N + 1的參數(shù)一， = 0。一般GDE（B.1）可以被轉(zhuǎn)化成局部和合奏GDES。部分GDE可以通過(guò)保留獲得在一般的GDE的一個(gè)或兩個(gè)參數(shù)和消除休息。這些操作使POS-sible來(lái)表示的直線(xiàn)形式的GDE線(xiàn)V = BU，或V = A + BU。樂(lè)團(tuán)GDE可以通過(guò)消除得到荷蘭國(guó)際集團(tuán)的所有參數(shù); 在這種情況下，a = 0時(shí)，B = 1，即，該直線(xiàn)是平分V =的訴妳，表示妳的坐標(biāo)系統(tǒng)。因此能夠

41、概括上述的一GDE，它包含獨(dú)立的變量t中明確表F X錫，X（NI）.。，X; 一，  噸 = 0。時(shí)間t可以消除作為一個(gè)參數(shù); 的當(dāng)然，時(shí)間t被包含在狀態(tài)的函數(shù)，也就是說(shuō)，在表達(dá)式X <“），N = 1，2 . N，在隱形式。對(duì)于GDES的合成過(guò)程是illus-通過(guò)下面的例子trated。例子B.1和B.2對(duì)應(yīng)于同質(zhì)GDES和B.3 corre-sponds到非均質(zhì)的GDE。示例1 B.函數(shù) X = A E - '給定; 有兩種參數(shù)，A和。用于局部和合奏GDES的合成，即，對(duì)于不包括一個(gè)和兩個(gè)參數(shù)，我們有找到兩個(gè)導(dǎo)數(shù)：Y

42、C = -AA Ë-a'= -斧頭，X（O）= A.2 = a2Ae-A'=嘧菌酯， X（0）= A，（0）= - ？AA。我們得到的部分GDE（帶有一個(gè)參數(shù)一）通過(guò)組合X和克，）+ AX = O;直線(xiàn) V（U）是V = -au;V = :,U = X。信號(hào)處理第17頁(yè)A. Zayezdny，時(shí)間序列S. Tiunov /外推合奏GDE（不帶參數(shù)）是K2- = 0X和直線(xiàn)（二等分線(xiàn)）V = U; V = X2，U = 0.2。等式V = u是等同于所述圖像給定函數(shù)。該GDES也可以通過(guò)編寫(xiě)使用狀態(tài)函數(shù)的概念; 在這個(gè)例

43、子中，我們有局部GDE，fx- -a;對(duì)于樂(lè)團(tuán)GDE，F(xiàn) =修復(fù)或f（FX）= 0。因此，該線(xiàn)性方程V = U在這種情況下，是相當(dāng)于函數(shù)x =圖像罪（00噸+ 9）。通過(guò)使用狀態(tài)函數(shù)的概念上面GDES可以寫(xiě)為如下：對(duì)于局部GDE，：X = _00z，對(duì)于樂(lè)團(tuán)GDE，肯塔基州=K“X。例如B.2函數(shù)x = A罪（00噸+ TP）給出; 有三個(gè)參數(shù)，A，CO和9。對(duì)于部分和合奏GDES合成我們必須找三導(dǎo)數(shù)：= A09 COS（00噸+ O），X（0）= A罪頁(yè)。英鎊=-A00 2罪（00噸+ P）= -002x，YC（O）= A類(lèi)COS TP。=-A00 3COS（OT + P）= -C

44、O2，5（0）= -ato 2罪9。301有一個(gè)參數(shù)合作的部分GDE可能得到的相結(jié)合的x和5：五- = - 00 2'5 + 002x - 0;X直線(xiàn)是不帶參數(shù)的合奏GDE可能獲得通過(guò)組合衍生產(chǎn)品：X- = 0;直線(xiàn)是V = U; V = X）; U =）2。例如B.3函數(shù)X = A +吃飯要-t（B.2）具有四個(gè)參數(shù)A，B，a和英尺該函數(shù)具有非均勻的GDE：T + FLX = A（A + F）電子時(shí)，與條件是a + FL0 B是常數(shù)整合。用于局部和合奏GDES的合成，即，排除三個(gè)和四個(gè)參數(shù)中，我們要找到四導(dǎo)數(shù)：YC =機(jī)管局eat- BFLê-Or，X（

45、O）= A + B.5 =機(jī)管局2等+ BFL 2 E- ,X（O）= A + B，YC（O）= AA-BFL。= AA三EC“-Bfl 3 E-T，X（O）= A + B，YC（O）= AA-BFL，5（0）=法2 + 2 BFL。$ C“= AA四E”T + 4 BFLê-at，X（O）= A + B，YC（O）= AA-BFL，2（0）=機(jī)管局2 + 2 BFL，英鎊（0）=AA 3- BFL 3。第一卷。 32，第3期，1993年6月第18頁(yè)302A. Zayezdny，時(shí)間序列S. Tiunov /外推我們得到的局部GDE（與一個(gè)參ETER）結(jié)合X，2個(gè)，2個(gè)和英

46、鎊?，F(xiàn)在，我們添加了表情 船尾 éAT- 船尾EA = 0到2式的右手側(cè)。因此，我們應(yīng)當(dāng)取得需要添加到的右手側(cè)公式中的表達(dá)Aflct 2 E AT-BFL 3 C - T-AFLA 2 E AT-BF 3Ë-fit =O.因此，我們得到：C = -fx + A（A + J6）一，即EA，_ 2 +修復(fù)A（A + /）（B.3）3 =（AA 3 + 2 AFLA）電子AT-F12。的（B.3）置換成最后一個(gè)表達(dá)式可以讓我們獲得我們添加表情AAFeat-的Bf 2E-T- Aafl EA'+ 2的Bf EF / = 0到

47、2式的右手側(cè)。因此，我們獲得2 = -f2 +（HA2 + Aafl）Ë的。的（B.3）置換成最后式可以讓我們獲得2+（FL-一）2- FLX = 0。（B.4）因此，我們得到一種自然的結(jié)果，該函數(shù)（B.2）具有二階線(xiàn)性齊GDE。有利的是重寫(xiě)了最后表達(dá)表單+（FA）×-'- AF = O。XX- -（B.5）英鎊=A2（：C +修復(fù)） - F2，F(xiàn) = 2 - A2X“我們代替（B.5）為（B.4）A2 （）2 - 2倍 +一個(gè)（ZX- 2）+（2）2 - ：Z = O，一, 2 =（22 - X）+ X /（）× - 22）2 - 4（2）2

48、- 2倍 （2）2 - 9X2 （2）2-2倍 - '，（2：C-：ZX）.4-，J（ZX- 2：C）2-4 （F- 2倍 （2）2- Z= 1,22一（）2 - 2倍。我們表示V =（2 - ZX）4- X / 0X - 22）z的 - 4 - （2）z - 2×（2）2 - ）2U = 2 （2）2-2倍。因此，我們最終得到直線(xiàn) V（U）是升）=人，2U。（B.6）22V = AF +（A-FL）U;- = V; - = U。XX這GDE也可以通過(guò)編寫(xiě)使用狀態(tài)函數(shù)概念：X = AF +（AF）。參數(shù)a和FL可以簡(jiǎn)單地找到通過(guò)GDE的合成與應(yīng)用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。我們也試圖獲得（B.3）一個(gè)簡(jiǎn)單的形式該GDE的，即v = BU。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)是不帶參數(shù)的合奏GDE可能通過(guò)組合衍生獲得的。有必要為此目的添加到“公式中的表達(dá)Aa3fl eat- BFL 4 E-T- Aa3f吃-F BF 4電子商務(wù)英尺= 0。因此，我們得到“= AA三EA”（A + FL） - F12。