多元函數(shù)的基本概念52729PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念52729提示：1.平面點(diǎn)集 坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合 稱為平面點(diǎn)集記作 E(x y)| (x y)具有性質(zhì)P 集合R2RR(x y)|x yR表示坐標(biāo)平面 第1頁/共28頁一、平面點(diǎn)集 n維空間 1.平面點(diǎn)集 坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合 稱為平面點(diǎn)集記作 E(x y)| (x y)具有性質(zhì)P 例如 平面上以原點(diǎn)為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是 C(x y)| x2y2r2 或CP| |OP|r 其中P表示坐標(biāo)為(x y)的點(diǎn) |OP|表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離 第2頁/共28頁注： 設(shè)P0(x0 y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn) 是某

2、一正數(shù) 點(diǎn)P0的鄰域記為U(P0 ) 它是如下點(diǎn)集 v鄰域 | |),(00PPPPU 或 )()( | ) ,(),(20200yyxxyxPU 點(diǎn) P0的去心鄰域 記作) ,(0PU 即 |0 |) ,(00PPPPU 如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑 則用U(P0)表示點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域 點(diǎn)P0的某個(gè)去心鄰域記作 )(0PU第3頁/共28頁 任意一點(diǎn)PR2與任意一個(gè)點(diǎn)集ER2之間必有以下三種關(guān)系中的一種 v點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系 內(nèi)點(diǎn) 如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P) 使得U(P)E 則稱P為E的內(nèi)點(diǎn) 外點(diǎn) 如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P) 使得U(P)E 則稱P為E的外點(diǎn) 邊界點(diǎn) 如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既

3、有屬于E的點(diǎn) 也有不屬于E的點(diǎn) 則稱P點(diǎn)為E的邊點(diǎn)邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)提問 E的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)是否都必屬于E？ E的邊界點(diǎn)的全體 稱為E的邊界 記作E 第4頁/共28頁v聚點(diǎn) 如果對(duì)于任意給定的0 點(diǎn) P 的去心鄰域),(PU內(nèi)總 有E中的點(diǎn) 則稱P是E的聚點(diǎn) 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)P本身 可以屬于E 也可能不屬于E 例如 設(shè)平面點(diǎn)集 E(x y)|1x2y22 滿足1x2y22的一切點(diǎn)(x y)都是E的內(nèi)點(diǎn) 滿足x2y21的一切點(diǎn)(x y)都是E的邊界點(diǎn) 它們都不屬于E 滿足x2y22的一切點(diǎn)(x y)也是E的邊界點(diǎn) 它們都屬于E 點(diǎn)集E以及它的界邊E上的一切點(diǎn)都是E的聚點(diǎn) 第5頁/共28頁v開集 如果

4、點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn) 則稱E為開集 v閉集 如果點(diǎn)集的余集Ec為開集 則稱E為閉集 舉例 點(diǎn)集E(x y)|1x2y2連通性 第6頁/共28頁v有界集 對(duì)于平面點(diǎn)集E 如果存在某一正數(shù)r 使得EU(O r) 其中O是坐標(biāo)原點(diǎn) 則稱E為有界點(diǎn)集 v無界集 一個(gè)集合如果不是有界集 就稱這集合為無界集 點(diǎn)集(x y)| xy1是無界閉區(qū)域 點(diǎn)集(x y)| xy1是無界開區(qū)域 舉例 點(diǎn)集(x y)|1x2y24是有界閉區(qū)域 第7頁/共28頁 我們把n元有序?qū)崝?shù)組(x1 x2 xn)的全體所構(gòu)成的集合記為Rn 即 RnRR R(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n 2.n維空間 x(x1 x2 x

5、n)稱為Rn中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量 xi稱為點(diǎn)x的第i個(gè)坐標(biāo)或n維向量x的第i個(gè)分量 0(0 0 0)稱為Rn中的原點(diǎn)或n維零向量第8頁/共28頁 我們把n元有序?qū)崝?shù)組(x1 x2 xn)的全體所構(gòu)成的集合記為Rn 即 RnRR R(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n 線性運(yùn)算 設(shè)x(x1 x2 xn) y(y1 y2 yn)為Rn中任意兩個(gè)元素 R 規(guī)定 xy(x1y1 x2y2 xnyn) x(x1 x2 xn) 這樣定義了線性運(yùn)算的集合Rn稱為n維空間 2.n維空間 第9頁/共28頁注： Rn中點(diǎn)x(x1 x2 xn)和點(diǎn)y(y1 y2 yn)間的距離記作(x y) 規(guī)定兩點(diǎn)間

6、的距離 2222211)( )()(),(nnyxyxyx yx Rn中元素x(x1 x2 xn)與零元0之間的距離(x 0)記作|x| 即 在R1、R2、R3中 通常將|x|記作|x|22221 |nxxx x ),()( )()(|2222211yxyx nnyxyxyx 顯然第10頁/共28頁 設(shè)x(x1 x2 xn) a(a1 a2 an)Rn 如果|xa|0 則稱變?cè)獂在Rn中趨于固定元a 記作xa 顯然 xa x1a1 x2a2 xnan vRn中變?cè)臉O限 v平面點(diǎn)集中各種概念的推廣 平面點(diǎn)集的一系列概念 可以方便地引入到n(n3)維空間中來 例如 設(shè)aRn 是某一正數(shù) 則n維空

7、間內(nèi)的點(diǎn)集 U(a )x| x Rn (x a)就定義為Rn中點(diǎn)a的鄰域 第11頁/共28頁注：v二元函數(shù)的定義 設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集 稱映射f DR為定義在D上的二元函數(shù) 通常記為zf(x y) (x y)D (或zf(P) PD)其中D稱為該函數(shù)的定義域 x y稱為自變量 z稱為因變量 函數(shù)值 與自變量x、y的一對(duì)值(x y)相對(duì)應(yīng)的因變量z的值稱為 f 在點(diǎn)(x y)處的函數(shù)值 記作f(x y) 即zf(x y) 值域 f(D)z| zf(x y) (x y)D 函數(shù)也可以用其它符號(hào) 如zz(x y) zg(x y)等 第12頁/共28頁 把上述定義中的平面點(diǎn)集D換成n維空間Rn內(nèi)的

8、點(diǎn)集D 映射f DR就稱為定義在D上的n元函數(shù) 通常記為 uf(x1 x2 xn) (x1 x2 xn)D 或uf(x) x(x1 x2 xn)D 或uf(P) P(x1 x2 xn)D 二、多元函數(shù)概念v二元函數(shù)的定義 設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集 稱映射f DR為定義在D上的二元函數(shù) 通常記為zf(x y) (x y)D (或zf(P) PD)其中D稱為該函數(shù)的定義域 x y稱為自變量 z稱為因變量 vn元函數(shù) 第13頁/共28頁 在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)uf(x)時(shí) 以使這個(gè)算式有意義的變?cè)獂的值所組成的點(diǎn)集為這個(gè)多元函數(shù)的自然定義域 對(duì)這類函數(shù) 它的定義域不再特別標(biāo)出 v多元函數(shù)的

9、定義域 函數(shù)zln(xy)的定義域?yàn)?(x y)|xy0 函數(shù)zarcsin(x2y2)的定義域?yàn)?(x y)|x2y21 舉例 第14頁/共28頁222222yxazyxaz和 zaxbycv二元函數(shù)的圖形 點(diǎn)集(x y z)|zf(x y) (x y)D稱為二元函數(shù)zf(x y)的圖形 二元函數(shù)的圖形是一張曲面 zaxbyc表示一張平面 舉例 方程x2y2z2a2確定兩個(gè)二元函數(shù)分別表示上半球面和下半球面 其定義域均為D(x y)|x2y2a2第15頁/共28頁v二重極限的定義 設(shè)二元函數(shù)f(P)f(x y)的定義域?yàn)镈 P0(x0 y0)是D的聚點(diǎn) 如果存在常數(shù)A 對(duì)于任意給定的正數(shù)e總

10、存在正數(shù) 使得當(dāng)),(),(0PUDyxP時(shí) 都有 |f(P)A|f(x y)A|e成立 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x y)當(dāng)(x y)(x0 y0)時(shí)的極限 記為Ayxfyxyx),(lim),(),(00 或 f(x y)A (x y)(x0 y0) APfPP)(lim0或 f(P)A(PP0) 也記作 注 上述定義的極限也稱為二重極限 第16頁/共28頁 二重極限概念可以推廣到多元函數(shù)的極限 三、多元函數(shù)的極限v二重極限的定義 設(shè)二元函數(shù)f(P)f(x y)的定義域?yàn)镈 P0(x0 y0)是D的聚點(diǎn) 如果存在常數(shù)A 對(duì)于任意給定的正數(shù)e總存在正數(shù) 使得當(dāng)),(),(0PUDyxP時(shí) 都有 |

11、f(P)A|f(x y)A|e成立 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x y)當(dāng)(x y)(x0 y0)時(shí)的極限 記為Ayxfyxyx),(lim),(),(00 或 f(x y)A (x y)(x0 y0) APfPP)(lim0或 f(P)A(PP0) 也記作 第17頁/共28頁 證明 因?yàn)?例1 例 4 設(shè)22221sin)(),(yxyxyxf 求證0),(lim)0 , 0(),(yxfyx 222222 | 01sin)( | 0),(|yxyxyxyxf 可見e 0 取e 則當(dāng) 22) 0() 0(0yx 即),(),(OUDyxP時(shí) 總有 |f(x y)0|e 所以0),(lim)0 , 0

12、(),(yxfyx 第18頁/共28頁v必須注意 (1)二重極限存在 是指P以任何方式趨于P0時(shí) 函數(shù)都無限接近于A (2)如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時(shí) 函數(shù)趨于不同的值 則函數(shù)的極限不存在 討論 函數(shù)0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf在點(diǎn)(0 0)有無極限？ 第19頁/共28頁v多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則 與一元函數(shù)的情況類似 解 例2 例 5 求xxyyx)sin(lim)2 , 0(),( yxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),(221lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),(yxyxyyxyxy

13、xyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),( 221lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),(yxyxyyxyx 第20頁/共28頁),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx v二元函數(shù)連續(xù)性定義 二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去 設(shè)二元函數(shù)f(P)f (x y)的定義域?yàn)镈 P0(x0 y0)為D的聚點(diǎn) 且P0D 如果則稱函數(shù)f (x y)在點(diǎn)P0(x0 y0)連續(xù) 如果函數(shù)f (x y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù) 那么就稱函數(shù)f (x y)在D上連續(xù) 或者稱f (x y)是D上的連續(xù)函數(shù) 不

14、連續(xù)的情形：不連續(xù)的情形： 無定義 不存在 存在，但不為)()(0Mf)()(lim0MfMM)()(lim0MfMM)(0Mf第21頁/共28頁所以f(x y)sin x在點(diǎn)P0(x0 y0)連續(xù) 由P0的任意性知 sin x作為x y的二元函數(shù)在R2上連續(xù) 例3 設(shè)f(x,y)sin x 證明f(x y)是R2上的連續(xù)函數(shù) 證 對(duì)于任意的P0(x0 y0)R2 因?yàn)?類似的討論可知 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時(shí) 它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)都是連續(xù)的 ),(sinsinlim),(lim000),(),(),(),(0000yxfxxyxfyxyxyxyx 第22頁/共28頁

15、有洞曲面有縫曲面 設(shè)函數(shù)f(x y)的定義域?yàn)镈 P0(x0 y0)是D的聚點(diǎn) 如果函數(shù)f(x y)在點(diǎn)P0不連續(xù) 則稱P0為函數(shù)f(x y)的間斷點(diǎn) v函數(shù)的間斷點(diǎn) 間斷點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)也可能是曲線上的點(diǎn) 函數(shù)0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf的間斷點(diǎn)為 O(0 0) 函數(shù)11sin22yxz的間斷點(diǎn)為曲線 x2y21 上的點(diǎn) 間斷點(diǎn)舉例 第23頁/共28頁提示 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù) 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù) 多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù) 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的v多元初等函數(shù)的連續(xù)性 多元初等函數(shù)是指可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù) 這

16、個(gè)式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而得到的 提示 定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域 第24頁/共28頁v根據(jù)連續(xù)性求極限 如果f(P)是初等函數(shù) 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn) 則 )()(lim00PfPfPP 例 7 求xyyxyx)2 , 1 (),(lim 例4 解 函數(shù)xyyxyxf),(是初等函數(shù) 它的定義域?yàn)?解 因?yàn)镻0(1 2)為D的內(nèi)點(diǎn) 所以 D(x y)|x0 y0 23)2 , 1 (),(lim)2 , 1 (),(fyxfyx23) 2 , 1 (),(lim)2 , 1 (),(fyxfyx 第25頁/共28頁v根據(jù)連續(xù)性求極限 如果f(P)是初等函數(shù) 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn) 則 )()(lim00PfPfPP 例 8 求xyxyyx11lim)0 , 0(),( 例5 解 ) 11() 11)(11(lim11lim)0 , 0(),()0 , 0(),(xyxyxyxyxyxyyxyx21111lim)0 , 0(),(xyyx ) 11() 11)(11(lim11l