多元函數(shù)微分習(xí)題課PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)微分習(xí)題課多元函數(shù)微分習(xí)題課第1頁(yè)/共31頁(yè)1. 多元函數(shù)概念3.多元函數(shù)的連續(xù)性2. 多元函數(shù)的極限 判斷二重極限不存在的方法1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù) 求極限的方法第2頁(yè)/共31頁(yè)1. 偏導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義及計(jì)算3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t（分析復(fù)合結(jié)構(gòu)）2. 全微分的定義與計(jì)算， 函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系（鏈接）4.隱函數(shù)求導(dǎo)方法（方程和方程組確定的隱函數(shù)求導(dǎo)）方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;方法2. 利用全微分形式不變

2、性 ;方法3. 代公式高階偏導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)第3頁(yè)/共31頁(yè)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系（鏈接）函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)第4頁(yè)/共31頁(yè)1.在幾何中的應(yīng)用求曲線在切線及法平面(關(guān)鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵: 抓住法向量) 3. 極值與最值問題 非條件極值的求法條件極值的求法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 2. 方向?qū)?shù)coscoscosfffflxyz梯度grad,ffffxyz第5頁(yè)/共31頁(yè)求出 的表達(dá)式. ),(yxf解 令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf, )(),(22yxyxyxy

3、xf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,則xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu例1. 已知第6頁(yè)/共31頁(yè)222202011(1) lim(2) lim(3)limxxxyxxxyyyxyxyxxyxy 1 1 （1+1+）（）例2 求下列二重極限：22(1) limxxyxyx 1 1 （1 1+ +）解：2limxxyxxyx 1 1（1 1+ +）e 1e 222(2) limxxyxyxy （）22221002xxxyxy （）（ ）0 000011(3)limlim()(11)xxyyxyxyxyxyxy 00limxyxyxy 第7頁(yè)/共31頁(yè)如下解法是

4、否正確？如下解法是否正確？思考：求極限思考：求極限, ,0 00 0yxxyyx lim);)11(lim(0111limlim000000 xyxyyxxyyxyxyx法法一一：; 00lim00limlimlimlim000000 xxxyxxyyxxyxxyxyx法法三三：法二: 令, xky 01lim0kkxx原式222000()limlim1xxyxxxyxxxxyxxx 極限不存在第8頁(yè)/共31頁(yè)00000000( , )41( , )(,)2( , )(,)3( , )(,)4( , )(,)f x yf x yxyf x yxyf x yxyf x yxy例例3 3 考考慮慮

5、二二元元函函數(shù)數(shù)的的下下面面 條條性性質(zhì)質(zhì)：（ ）在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)；（ ）在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)；（ ）在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可微微；（ ）在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在. .).4()1()3)();1()4()3)();1()2()3)();1()3()2)(,DCBAQPQP則則有有（）推推出出性性質(zhì)質(zhì)表表示示可可由由性性質(zhì)質(zhì)若若用用).( ; A答答案案第9頁(yè)/共31頁(yè)解2222( , )(0,0)limsin()x yxyxyxy 0 ),0 , 0(f (1)2222( , )(0,0)sin()limx yxyxyxy )0 , 0(xfxfxfx

6、 )0 , 0()0 ,(lim0000lim0 xx (0,0)0yf (2)2222sin(), ( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyxyx yxyf x yx y 例4 判斷函數(shù)(0,0)在在點(diǎn)點(diǎn)是是否否連連續(xù)續(xù)，可可導(dǎo)導(dǎo)，可可微微？第10頁(yè)/共31頁(yè)(3)222222( , )(0,0)sin()() )()()lim()()x yx yxyxyxy 0(0,0)(0,0)limxyzfxfy 222222( , )(0,0)sin()() )lim()()()()x yx yxyxyxy 2222001limlim2()()()()xxyxx yxxyxx 由(

7、0,0)(0,0)( )xyzfxfy 所以不可微第11頁(yè)/共31頁(yè)2( , , ),(, )0,sin,(,)0,.yuf x y zxezyxdufzdx 設(shè)設(shè)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) ， 且且求求例5解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cos xdxdy 顯然顯然,dxdz求求得得求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩兩邊邊對(duì)對(duì)的的情情形形視視為為方方程程組組及及對(duì)對(duì),sin0),(2xxyzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故第12頁(yè)/共31頁(yè)(1,1)(

8、1,1)3( ,)(1,1)(1,1)1,2,3, ( )( ,( ,),( )1.zf x yfffxf x f x xxydxxdx 例例6 6 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可微微，求求 .51)()(3)()(3)(, 1) 1 , 1 ()1 , 1 (, 1 () 1 (1321223 xyxxdxdffffxxxxdxdfff 答案第13頁(yè)/共31頁(yè)( , , )( , ).xyzuf x y zzz x yxeyezedu 例例6 6 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且由由方方程程所所確確定定，求求dzfdyfdxfduzyx 解解法法一一：,1111dyezydxez

9、xdzzyzx 則則dyezyffdxezxffdzfdyfdxfduzyzyzxzxzyx)11()11( ,11,11,),(zyzyzxzxzyxezyFFyzezxFFxzzeyexezyxF 則則設(shè)設(shè)dyyzdxxzdz 而而第14頁(yè)/共31頁(yè)0, 0 dzzedzedyyedyedxxedxezeyexedzfdyfdxfduzzyyxxzyxzyx兩兩邊邊微微分分得得由由解解法法二二：zyxezdyeydxexdz)1()1()1( dyezyffdxezxffdzfdyfdxfduzyzyzxzxzyx)11()11( 第15頁(yè)/共31頁(yè)),(zyxfu 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且

10、,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx 1cos tyx 1yx 1例7第16頁(yè)/共31頁(yè)2()().A=xay iyjxya 為為某某具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的二二元元函函數(shù)數(shù)的的梯梯例例8 8度度 求求知知？ 已已 解:2()A=( , )()xay iyjzx yxy 設(shè)設(shè)為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的梯梯度度22,()()zxa

11、yzyxxyyxy2233(2)2,()()zaxayzyx yxyy xxy ( , )zx y 由由二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)，2a 22zzx yy x 第17頁(yè)/共31頁(yè)(0,0)( ,)0 0(0,0)3,(0,0)1,3;()( ,)(0,0,(0,0)3 1 1( ,)()(0,0,(0,0)1 0 30( ,)()(0,0,(0,0)3 00 xyf x yffAdzdxdyBzf x yfzf x yCfyzf x yDfy 例例9 9 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在（ ，）附附近近有有定定義義，且且則則（）（ ）曲曲面面在在點(diǎn)點(diǎn)的的法法向向量量為為， ，；曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)的的切切向向量

12、量為為 ， ；曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)的的切切向向量量為為，1.，).(C答答案案：第18頁(yè)/共31頁(yè)例例 1 11 1 在第一卦限內(nèi)作橢球面在第一卦限內(nèi)作橢球面 1222222 czbyax的切的切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)小，求切點(diǎn)坐標(biāo)及最小體積及最小體積. 解設(shè)設(shè)),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn),令令1),(222222 czbyaxzyxF,則則202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 過過),(000zyxP的切平面方程為的切平面方程為 )(020 xxax )(020y

13、yby0)(020 zzcz,第19頁(yè)/共31頁(yè)該該切切平平面面在在三三個(gè)個(gè)軸軸上上的的截截距距各各為為 02xax ，02yby ，02zcz ,所圍四面體的體積所圍四面體的體積 000222661zyxcbaxyzV , 在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 的最小值的最小值,0002226zyxcbaV 第20頁(yè)/共31頁(yè)2222221.xyzuxyzabc等等價(jià)價(jià)于于在在下下求求的的最最大大值值222222( , , , )1xyzL x y zxyzabc構(gòu)構(gòu)造造拉拉格格朗朗日日函函22222222220; (1) 20; (2) 20; (3) 10, (4) x

14、LyzxayLxzybzLxyzbxyzLabc 第21頁(yè)/共31頁(yè)當(dāng)當(dāng)切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(3a，3b，3c)時(shí)時(shí),四面體的體積最小四面體的體積最小abcV23min .可得30ax 30by ，30cz 第22頁(yè)/共31頁(yè) 22( , )22,(1,1)2.( , )( , )14zf x yzxdxydyfzf x yyDx y x 例例10 10 已已知知函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分d d且且求求在在橢橢圓圓域域上上的的最最大大值值和和最最小小值值. .解：.先先求求函函數(shù)數(shù)22,zxdxydyd d2 ,2zzxyxy 從從而而( , )f x y 2dxxx xzd 2( )xy zy

15、 2()()xyy ( )y 2y 所所以以2( )yyC 22( , )f x yxyC第23頁(yè)/共31頁(yè)由由(1,1)2f 2C 22( , )2zf x yxyD( (2 2) ) 先先求求 內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn). .解解方方程程組組( , )20( , )20 xyfx yxfx yy (0,0)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)(0,0)2f 22( , )1114yDx y xx 在在 的的邊邊界界( () )上上利用拉格朗日乘數(shù)法可知(0,2)(0, 2)2,(1,0)( 1,0)3ffff 比較得maxmin(0,2)(0, 2)2,(1,0)( 1,0)3ffffff 第24頁(yè)/共31頁(yè)已知平面上

16、兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC 面積 S最大.解答提示:CBAoyxED設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y), 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx則 ACABS2110321yx例11第25頁(yè)/共31頁(yè)設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大面積而比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時(shí), 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS（唯一駐點(diǎn)）第26頁(yè)/共31頁(yè)1. 設(shè)函數(shù) f 二階連續(xù)可微, 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz第27頁(yè)/共31頁(yè): )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(222