復(fù)變函數(shù)傅立葉變換PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)傅立葉變換復(fù)變函數(shù)傅立葉變換. xfsxk, badxsxkxfsF,第1頁(yè)/共56頁(yè)第2頁(yè)/共56頁(yè)4 在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)知道，研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況. 并非理論上的所有周期函數(shù)都可以用傅里葉級(jí)數(shù)逼近, 而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件, 即在區(qū)間-T/2,T/2上第3頁(yè)/共56頁(yè)5因此, 任何滿足狄氏條件的周期函數(shù) , 可表示為三角級(jí)數(shù)的形式如下: 1,2,nxdxsinntfT2b1,2,nxdxcosnxfTaxdxfTaTxsinnbxncosaaxf2T2T2T2

2、T2T2TTnTnT0nnn0T）（）（）（其中(7.1)22221 xf第4頁(yè)/共56頁(yè)6 ),n(dxexfTCedefTecxfTTnnTTnnxjTnnxjjTnxjnT210112222 而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級(jí)數(shù)表示為:其中第5頁(yè)/共56頁(yè)71|01|1)(tttf如圖所示:11otf(t)1第6頁(yè)/共56頁(yè)2,2422, )4()(4nnTntftfnn8113T=4f4(t)t現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T(mén)的周期函數(shù)fT(t), 令T=4, 則第7頁(yè)/共56頁(yè)9), 2, 1, 0()sinc(21sin2141114141)(41)(11122422neejejdte

3、dtetfdtetfTcnnnjjntjntjtjtjTnnnnnnTTn第8頁(yè)/共56頁(yè)10則函數(shù)在整個(gè)實(shí)軸連續(xù)用不嚴(yán)格的形式就寫(xiě)作所以定義但是因?yàn)樘幨菬o(wú)定義的嚴(yán)格講函數(shù)在函數(shù)定義為,xxxsin,)sinc(xxsinlim,xxxsin)xsinc(sincx1010100第9頁(yè)/共56頁(yè)11sinc(x)x第10頁(yè)/共56頁(yè)12以豎線標(biāo)在頻率圖上可將nnnncnTnnnc,22), 2, 1, 0()sinc(21第11頁(yè)/共56頁(yè)134,4822, )8()(8nnTntftfnn117T=8f8(t)t第12頁(yè)/共56頁(yè)14), 2, 1, 0()sinc(41sin4181118

4、181)(81)(11144822neejejdtedtetfdtetfTcnnnjjntjntjtjtjTnnnnnnTTn第13頁(yè)/共56頁(yè)15以豎線標(biāo)在頻率圖上再將nnnncnnnnc,482), 2, 1, 0()sinc(41第14頁(yè)/共56頁(yè)16以豎線標(biāo)在頻率圖上再將nnnncnnnnc,8162), 2, 1, 0()sinc(81第15頁(yè)/共56頁(yè)17), 2, 1, 0()sinc(2sin211111)(11122nTTeeTjeTjdteTdtetfTcnnnjjntjntjtjTnnnnnTTn第16頁(yè)/共56頁(yè)18當(dāng)周期當(dāng)周期T越來(lái)越大時(shí)越來(lái)越大時(shí), 各個(gè)各個(gè)頻率的正

5、弦波的頻率間隔頻率的正弦波的頻率間隔.第17頁(yè)/共56頁(yè)19對(duì)任何一個(gè)非周期函數(shù)對(duì)任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個(gè)周期都可以看成是由某個(gè)周期lim( )( )TTftf t第18頁(yè)/共56頁(yè)20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)第19頁(yè)/共56頁(yè)21,2,d)(1lim)(d)(1)(1jjjj2222nnnnnntTTntTTTTneefTtfeefTtfnTTnnTTn 或兩個(gè)相鄰的點(diǎn)的距離為布在整個(gè)數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)便均勻分取一切整數(shù)時(shí)當(dāng)可知由公式第20頁(yè)/共56頁(yè)22 nntTntTTnTTnnnTTneefeefTtftfjj0jj2222d)(21limd)(1

6、lim)()( 又可寫(xiě)為T(mén)2O 1 2 3 n-1nT2T2T2第21頁(yè)/共56頁(yè)23tnnnTnnnnTnntTtTnTnnnnTTnnnTTneefTeeftfeefjj0jj0jjd)(21)()()(, 0)(limd)(21lim)(d)(21)(2222 即當(dāng)令第22頁(yè)/共56頁(yè)jj0jj1()( )d2( )lim()()d( )d1( )( )dd2nnntnTnnnnntfeef tf tfee 由最后得24此公式稱為函數(shù)f(t)的傅里葉積分公式, 簡(jiǎn)稱傅氏積分公式,而等號(hào)右端的積分式稱為 的傅里葉積分(簡(jiǎn)稱傅氏積分).( )f t第23頁(yè)/共56頁(yè) 若函數(shù) 在任何有限區(qū)間上

7、滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2) 至多有有限個(gè)極值點(diǎn)）,并且在 上絕對(duì)可積，則有： ( )f t, dedeftjj)(21( )(0)(0)2f ttf tf tt 為連續(xù)點(diǎn) 為間斷點(diǎn)收斂絕對(duì)可積是指的在td| )t (f|),(第24頁(yè)/共56頁(yè)dd)t (cos)(f)t (f,d)t (sin)(fdd)t (sin)(fjd)t (cos)(fdde )(fdede )(f)t (f)t(jtjj21212121的奇函數(shù)是因26第25頁(yè)/共56頁(yè)270( )cos(),1( )( )cos()dd(1.5)21( )( )cos()

8、dd(1.6)ftdf tftf tft是 的偶函數(shù)從得最后這個(gè)式子就是傅里葉積分的三角形式第26頁(yè)/共56頁(yè)也叫做 的傅氏積分表達(dá)式 如果函數(shù) 滿足傅里葉積分定理,由傅里葉積分公式,設(shè)( )( )j tFf t edt1( )( ) 2jtf tFed ( )f t叫做( )f t的傅氏變換,象函數(shù),可記做 = ( )F叫做( )F的傅氏逆變換,象原函數(shù),( )f t( )ft=1( )F( )F( )f t1( )( ) 2jtf tFed zf第27頁(yè)/共56頁(yè)( )( )j tFf t edt1( )00tcf tctc解022 sin0 20ccjtjtcedtedtcc 第28頁(yè)/

9、共56頁(yè)()0()022( )( )101j tjttj tj tFf t edtedteedtejjj 0t0( ) (0)t0tf te 這個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)是工程技術(shù)中常遇到的一個(gè)函數(shù) tf(t)第29頁(yè)/共56頁(yè)2222222222011( )( )221(cossin)21cossinsincos21cossinj tj tjf tFededjtjt dttttdjdttd (00)(00)10, 22fft 若 上式右端為22000cossin020ttttdtet于是第30頁(yè)/共56頁(yè) 在物理和工程技術(shù)中,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)樵谠S多物理現(xiàn)象中,除了有

10、連續(xù)分布的物理量外,還會(huì)有集中在一點(diǎn)的量（點(diǎn)源）,或者具有脈沖性質(zhì)的量.例如瞬間作用的沖擊力,電脈沖等.在電學(xué)中,我們要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后所產(chǎn)生的電流；在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等.研究這類問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的脈沖函數(shù).有了這種函數(shù),對(duì)于許多集中在一點(diǎn)或一瞬間的量,例如點(diǎn)電荷、點(diǎn)熱源、集中于一點(diǎn)的質(zhì)量以及脈沖技術(shù)中的非常狹窄的脈沖等,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣,用統(tǒng)一的方式來(lái)加以解決. 第31頁(yè)/共56頁(yè)( )0 (0)tt ( )1t dt 第32頁(yè)/共56頁(yè)1函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段來(lái)表示,如下圖 ot( ) t0()tt 定義為滿足下

11、列條件的函數(shù)00(1) ()0 (0)ttt 0(2)()1tt dt 如下圖1t0()tto0t第33頁(yè)/共56頁(yè)（1）對(duì)任意的連續(xù)函數(shù)( )f t,都有 ( ) ( )=0 t f t dt f ( ) t( )f t( ) t 0f 00() ( )ttf t dtf t 0()tt( )f t 0()tt 0f t（2）函數(shù)為偶函數(shù),即( ) t()( )tt 第34頁(yè)/共56頁(yè)（3）( )tt dt u t其中, 0001)(tttu稱為單位階躍函數(shù).反之,有 )(tudtd t.Otu(t)第35頁(yè)/共56頁(yè)由于 ( )F= t( )j tt edt10jtet可見(jiàn), t=1, -

12、11= t. 與常數(shù)1構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì),即 t與 也構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì),即0tt0tje0tt0j te 1t 第36頁(yè)/共56頁(yè)例例4 4 可以證明單位階躍函數(shù) 0001)(tttu的傅氏變換為 ( )F1( )j 01 1sin()2tutd u t的積分表達(dá)式為 u t1( )j O|F()|第37頁(yè)/共56頁(yè)例5 證明( )1f t 的傅氏變換為( )2( )F 證明( )f t=1( )F11( )2( )2210j tj tjtFedede 所以2( )1 第38頁(yè)/共56頁(yè)例例6 6 求正弦函數(shù)0( )sinf tt的傅氏變換 可以證明000sin()()tj = 000c

13、os()()t = 00O|F()|tsint第39頁(yè)/共56頁(yè)1212( )( )( )( )f tf tFF11212( )( )( )( )FFf tf t1 1 線性性質(zhì)線性性質(zhì) =2( )F2( )f t, 設(shè)為常數(shù)則=1( )F1( )f t 這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì), 為了敘述方便起見(jiàn), 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質(zhì)時(shí), 不再重述這些條件.第40頁(yè)/共56頁(yè)若=( )F( )f t則以t為自變量的函數(shù) ( )F t的象函數(shù)為2 f 即 ( )2F tf11( )2fF t3 相似性質(zhì) ( )F=( )f t若0a

14、 則()f ataFa11()()Fa f ata第41頁(yè)/共56頁(yè)若=( )F( )f t0t為實(shí)常數(shù),則 00()( )j tf t teF 010( )()j teFf t t（1）象原函數(shù)的平移性質(zhì)第42頁(yè)/共56頁(yè)例例7 求 0()u tt1( )( )( )u tFj 解 因?yàn)?所以0()u tt000001( )( )1( )1( )jtjtjtjtjteFejeejej 第43頁(yè)/共56頁(yè)若=( )F( )f t0為實(shí)常數(shù),則 00()()j tef tF 010()()j tFf t e 第44頁(yè)/共56頁(yè)例8 已知12( )1 求1(1) 解101( )( )12f t 0

15、11(1)( )2jtjtf t ee 顯然2(1)jte 一般地002()jte 002()jte 第45頁(yè)/共56頁(yè)且 則若=( )F( )f tlim( )0tf t( )( )f tj F一般地,若( )lim( )0ktft( )( )( )nnftjF 0,1,2,1kn則( )( )f tj F（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)第46頁(yè)/共56頁(yè)例9 證明( )1t證明 因?yàn)樗? ) tj( ) tj( ) tj一般地( )( )nntj 第47頁(yè)/共56頁(yè)若=( )F( )f t( )dFjd 則( )tf t或( )( )dtf tjFd例10 已知1( )( )u tj 求( )tu t解221( )( )( )11( )( )ddtu tjFjddjjjj 第48頁(yè)/共56頁(yè)( )f t若=( )F1( )( )tfdFj則在這里 必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個(gè)廣義積分應(yīng)改為 ( )tfd1( )( )(0) ( )tfdFFj 第49頁(yè)/共56頁(yè)第50頁(yè)/共56頁(yè)( )F( )f t( )()FF( )f t可以證明,頻譜為偶函數(shù),即( )F第51頁(yè)/共56頁(yè)532sinc| )(