非慣性參考系習(xí)題解答

1、第三章_非慣性參考系_習(xí)題解答_By XuJiesin（、z、I ：）sin（二-:二 /2）-sin（*，）=（sin ： cos -cos:cos:cos： sin -）3.1、一船蓬高4m，在雨中航行時，它的雨蓬庶著蓬的垂直投影后 2m的甲板；但當(dāng)停航時， 甲板上干濕兩部分的分界線卻在蓬前3m處。如果雨點的速率是 8 m/ s。求船航行的速率u解：由題意設(shè)雨的絕對速度為 V,雨的相對速度為 V',船航行的速度為 U,數(shù)據(jù)如圖所示。則有 v = v' vb在速度三角形 AABC中，正弦定理：uVv'sin（、.1：,） sin（二-：-二 /2） sin20.一 4

2、221由圖中數(shù)據(jù)知：cosa =, sin a =,=尸42 22542 225cos已知雨的絕對速率 v =8m/s 代入前面數(shù)據(jù)可得：u = （sin ： cos ： cos ： sin ：） = 8 cos 二（-125 5-.523、，-,）m/s = 8m/s、5 53.2、河的寬度為d ,水的流速與離開河岸的距離成正比。岸邊水的流速為0，河中心處水的流速為c,河中一小船內(nèi)的人，以相對于水流恒定的速率u ,垂直于水流向岸邊劃去。求小船的航行軌跡和抵達對岸的地點。解：建立如圖坐標(biāo)系o-xy，取小船的出發(fā)點為 x0。 x軸垂直于河岸，y軸平行于河岸因河流中心水流速度為c,水的流速與離開河

3、岸的距離成正比所以水流速度vt為:河的左側(cè)（0 Sx三'）水流速率為：vt =奕乂2d河的右側(cè)（d 4 x菱d ）水流速率為：vt =賣（d - x）2d由速度變換關(guān)系知：v =vt , u = xi , yj = vt jui小船位于河岸的左側(cè)內(nèi)（0 < x0 <）：2x =u2cy = vt = 一 xd河岸河岸x 2c dtxx dx =x0 ddx(0 三 x, x()£ d)2t2cxdtJ d解得 y = £ x2 - x02ud ud小船位于河岸的右側(cè)內(nèi)( < x0 M d)：2t .t積分有q ydt = o2cxdx udx =u

4、峪(d -x) dt t2cx 2c dt x 2c積分有 ydt = (d -x)dt =(d -x) dx =(d -x)dx00 dx0 ddxx0 udc22 d解礙 y = _(x0 d) (x d) , ( z 苴 x, x0d )所以小船的航行軌跡為：c 2 c 2 cdy=x 后冷 ，(x, x <-)c22 dy =扁(、0 d) -(x -d),(偵x,x° Md )若小船位于河岸的左側(cè)內(nèi)（0<乂0<9）,當(dāng)?shù)诌_河的中心時有：x = d22ud2 x0cd那么y1 :cd4u若小船位于河的中心（x0=d）,當(dāng)?shù)诌_河岸時,2所以小船位于河岸的左側(cè)內(nèi)

5、（0壬x0去d）,當(dāng)?shù)诌_河岸時，y = y+y2 =兇x0222u ud若小船位于河岸的右側(cè)內(nèi)（dx0d）,當(dāng)?shù)诌_河岸時，x=d，那么y=£（x°d）22ud cd右小船從河序的左側(cè)出發(fā)，x0 = 0 ,那么y=2u3.3、一圓盤以勻角速度 £繞過圓心并與圓盤面垂直的軸轉(zhuǎn)動。一質(zhì)點M沿圓盤上的弦，以恒定的相對速度運動，如圖所示。已知該弦離盤心的距離為b。求在以地面為參考系時，質(zhì)點M的速度和加速度（表示成質(zhì)點M離弦中點的距離 x的函數(shù)）。解：在圓盤上建立如圖所示的隨盤轉(zhuǎn)動的直角坐標(biāo)系。-xyz,地面為慣性系。則:vM =v' Vo，r'=v'

6、， r'=ui 、k (xi bj)=(u _ b)i xj* dv d m""一aM-vM = uj k (u7b)i xjdt dtf "2xi(2 u- 2b)j或利用aM =a'+ao+缶x r'+缶x (切x r')+2膽x v'可直接求出。3.4、一飛機在赤道上空以速率1000km/h水平飛行，考慮到地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，分別在下列情形下求出飛機相對于慣性坐標(biāo)系，不隨地球轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系)的速率：(i) 向北飛行(ii) 向西飛行(iii) 向東飛行。已知地球半徑為 6370km解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 0 - xyz

7、 ,使飛機位于則 =k ： 7.29 10%ad /s(k)飛機位于赤道上空以速率1000 km / h水平飛行，則 v' = 1000km/h ： 2.78 1 02m/sr' = r'i =6.37 106m(i)v =v'也 f、r' =v'f r'(i)向北飛行，那么 v'=v'kv=v'r'=2.78 102m/s(k) 7.29 10%ad/s(k) 6.37 106m(i )_2_:2.78 10 m/s(k) 464.37m/s(j)所以 v = .,(2.78 102)2 (464.37)

8、2m/s ： 541m/s(ii) 向西飛行，那么v' = v'jv =v' ，r' = -2.78 102m/s(j) 7.29 10*ad/s(k) 6.37 106m(i)_2：-2.78 102m/s(j) 464.37m/s(j) ： 186m/s(j)(iii) 向東飛行，那么v'=v'j'S.v=v' r'=2.78 1 02m/s(j) 7.29 10%ad/s(k) 6.37 106m(i) 2:2.78 10 m/s(j) 464.37m/s(j) : 742m/s(j)a'及質(zhì)點對楔子斜面的壓

9、力F3.5、一契子，頂角為 口，以勻加速度 &0沿水平方向加速運動。質(zhì)量為 m的質(zhì)點沿楔子的光滑斜面滑下，如圖所示。求質(zhì)點相對于楔子的加速度 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系附著在楔子上。在0 -xyz中的受力分析如圖所示。則有：FN j mgcos： j mA sin ： j =0(1)mgsin ： i -ma3 cos i = ma' (2)由(1)式可求得：FNj =m(gcos +aosina)j所以質(zhì)點對楔子斜面的壓力F - -FN - -m(gcos：£，a0 sin ：) j由(2)式可求得：a'= (gsina-a0cosa)i3.6、一纜車，以

10、大小為 a°,與地平線成«角的勻加速度上升，纜車中一物體自離纜車地板高度h處自由下落。求此物體落至地板處的位置。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 0 xyz附著在纜車上取物體開始落的位置為原點。質(zhì)點運動的平面為0-xy受力分析如圖示。設(shè)質(zhì)點自由下落到地板的時間為 t,則有:x方向:y方向:12(g a°sin 一 )t 21. 2a。cos _：、t2_ha0 cos 二 ,一一，聯(lián)立求得y = 一一0，即物體落到初始位置在地板的投影點后面ga0 sin 氣ha0 cos： 小處。g a0 sin 氣3.7、一單擺擺長為l，懸掛點0'在水平線上作簡諧振動：x

11、= asin pt。這里x是懸掛點離開水平線上的固定點 0的距離，如圖，開始時擺錘鉛直下垂，相對于0'的速度為零。證明2單擺此后的微小振動規(guī)律為0 =羿 (sin pt -sinkt)，式中k2 =g解：以0'點為極點，豎直向下為極軸，受力分析如圖所示。因 x = asin pt ,所以 x = ap cos pt , x = -ap2 sin pt 2當(dāng) 9 角度很小時，有 sin8 &6 , cos =1 2sin 2 &1 一一22由牛頓第二定律，在橫向有：mxcos。mgsin =ml6代入 x , sinB , cos0 可得：呂+ge"si

12、n pt = 0l l=0的通解為:3 =Acos(. |Rt +8),式中A ,中為積分待定常數(shù)2-sin pt =0的特解為 = Beipt的虛部，代入有:222Bp曾+g b" 一丑武=0 ,解得：B =二，故特解為缶=二sin ptiig - p ig - p i2所以g.-3 sin pt = 0的通解為：l l- *= Acos( gt ) ap 2 sin pt i g - p2i-A. ：sin(. 'gcospt代入初始條件，t=0時，0 =0, " = 0可得：平=蘭，A= 叩2 U2 g - p i ' g所以有：0 = ap 2 (s

13、in pt p Bsin*應(yīng)t)g - p ig i3.8、一豎直放置的鋼絲圓圈，半徑為r ,其上套有一質(zhì)量為m的光滑小環(huán)。今若鋼絲圈以中=。0 ,小環(huán)的相對速率對變形：m(g +a)sin辟=du mu = m一 dt勻加速度a豎直向上運動，求小環(huán)相對于鋼絲圈的速率 u和鋼絲圈對小環(huán)的作用力大小 fn已知初始時刻鋼絲圈圓心與小環(huán)的連線跟鉛直線之間的夾角u =u°解：以O(shè)點為極點，豎直向下為極軸，建立平面極坐標(biāo)系。受力分析如圖，則有：徑向：m(g a)cos ' -FN，= mu2 /r (1)橫向：m(g a)sin = mu(2)初始條件：t=0時，中=甲0 , u =

14、u0(3)u du=m= m= mdt d- dt d- r d :分離變量： (g a)rsin :d = uduu2 +(g +a)rcos中 +C =0，代入有：C = 一1 u02 -(g +a)r cos%22所以 u =Mu。2 +2r(g +a)(cos% cos平)(負根舍去)2代入有 FN，= m(g +a)(3cos 平 一 2cos 平0) 0-r3.9、一平放于光滑水平桌面上的圓盤，以恒定角速度 O繞固定的圓盤中心轉(zhuǎn)動。有一質(zhì)量 為m的人沿圓盤上確定的半徑以恒定的相對速率u向圓盤的邊緣走動。試分別利用：(a)地面慣性系 (b)圓盤非慣性系，討論圓盤對人的作用力。解：受力

15、分析如圖示，左圖為地面慣性系中人受力情況，右圖為圓盤非慣性系中人受力情況r)mg地面慣性系中建立極坐標(biāo)系，取圓心為原點，初始時刻人走的半徑為極軸，方向er,eb那么相對速度：v' = u = uer，相對位移為：r' = r = rer ,角速度為：. = . 4(a)地面慣性系中，由受力圖示分析可知：圓盤對人的作用力為：N fv = v，f，r，= u f，r = uq f 0 rer = uer f *dv dd ,a(uerre、(uerre? 0 (uer於)dt dt- dt,-22 -= re ue 廠rer = 2 ue" rer由牛頓第二定律知：N +

16、mg = 0 ,即 N =mge)22N f mg = f = ma = m(2，ue rer) = -m，rer 2m，ue_,所以圓盤對人的作用力為：N-m 2rer 2m ue mge,由于m,u,向，g都為常數(shù)，所以圓盤對人的作用力只跟r有關(guān)。(b)圓盤非慣性系中，受力分析如圖所示，人勻速行走。所以有：N +mg = 0 ,即 N = mgqf-m，u - m (，r)=0即 f = 2m u m， (， r) = 2m e, uer m e, ( rer) = -m -2rer 2m ue所以圓盤對人的作用力為：N , f - -m 2rer 2m ue mge,由于m,u,饑g都為

17、常數(shù)，所以圓盤對人的作用力只跟r有關(guān)。3.10、半徑為r豎直放置的光滑圓環(huán)，繞通過其圓心的鉛直軸以恒定的角速度由轉(zhuǎn)動。在此圓環(huán)上套有一質(zhì)量為 m的小環(huán)，自=二/4處相對于圓環(huán)無初速地沿環(huán)下滑。問小環(huán)的 位置8為何值時，它的滑動將開始反向？這里 B是圓心與小環(huán)的連線跟轉(zhuǎn)軸之間的夾角。解：以圓環(huán)為參考系。受力分析如圖所示。小環(huán)受到重力，大圓環(huán)的支持力，科里奧利力昆=2mv久=2m,r cose和慣性離心力F m x （切x r'） = m【2r sine 。在整個運動過程中只有重力mg和慣性離心力 R做功。對小環(huán)由動能定理有:2mgr（頂-C"）ds =】mv22即 mgr（；c

18、os ），i. m 2r2 sin cos du = §mv2開始反向時，v =0圣一上02 4g2即一-cos2cos 2g2解得：cos8 =g1±（1+寫）=<2'r_2g 2g 2一 2r 一 2顯然取cos。= -2，即6 =arccos（-2* -一2）時，小環(huán)開始反向運動。 r 2 r 23.11、一內(nèi)壁光滑的管子，在水平面內(nèi)繞通過其端點 。的的鉛直軸，以恒定的角速度 與轉(zhuǎn)動。 管內(nèi)有一質(zhì)量為 m的質(zhì)點，用一自然長度為l,勁度系數(shù)為k的彈簧和管子的端點 。相連,設(shè)初始時質(zhì)點到 O的距離為x =l且x = 0 。求質(zhì)點在管中的運動方程及它對管壁的壓

19、力Fn解：取。點為原點，建立附著在管子上的直角坐標(biāo)系O-xyz。質(zhì)點受到重力 mg ,管壁的壓力FN，彈簧的張力Ft=-k（x-l）i,科里奧利力Fc = 2mC'e = -2m xj和慣性離心力= -m x何乂戶）=m 2xi受力分析如圖示，由牛頓第二定律知:若假定質(zhì)點偏離平衡位置向 x軸正向移動,Fc mg N = 0Ft K = mxiH*即 N - -mg _ Fc = mgk 2m xj2二-k（x T）i m xi = mxi k 2 kl化間：x ,(- )x . .= 0mmk 2 一 k 2x+（o ）x= 0的通解為：Xi=Acos必切t+中），A,為積分待定常數(shù)。

20、 k 2 kl_設(shè)x+（-。）x -=0的特解為x2 = B，其中B為常數(shù)mmkl代入可得：x2=B=Jkm，所以 x +(2 _E)x +也=0 的通解為： x = x +x2 = Acos。 一缶21 + 中)+-2 m m. mk-mx = Ai k - - ,2 sin(, k - - .2<:) , mi m代入初始條件，t=0時，x=l, x" = 0可得：2.klm - l甲=2kn k=0,1,2., A=l =k _ m， k _ m，所以有x = 2l3N = mgk 2m l因彈簧振子的圓頻率,所以上式又可寫成:, m-cos、, r.)2 -，2t)N

21、= mgk 2mlsin、.12tj3.12、質(zhì)量為m的小環(huán)套在半徑為r的光滑圓圈上，若圓圈在水平面內(nèi)以勻角速度 切繞其圓 周上的一點轉(zhuǎn)動。試分別寫出小環(huán)沿圓圈切線方向和法線方向的運動微分方程（以小環(huán)相對于圓圈繞圓心轉(zhuǎn)過的角度 e為參量寫出）。設(shè)圓圈對小環(huán)的作用力大/J：用FN表示，并可略去小環(huán)的重力。解：由于略去了小環(huán)的重力，所以在選取圓圈為參考系中，小環(huán)的受力如圖所示，小環(huán)受到圓圈的作用力FN斜，科里奧利力 Fc = 2mv' - -2m，- -2m，rg小環(huán)相對O點的慣性離心力 E = m x (切k r') = -m 2renO相對A點有向心加速度，小環(huán)的慣性力：FO

22、= -m = m2reAO那么小環(huán)的運動學(xué)方程為：切向：FO sin(n 6) = mre，即 e _缶2 sin e = 0法向 Fn - Fc E - FO cos(n -8) = mrH2，即 Fn 2mor8 mo 2r+mo 2r cosH =m2dv F .一事頭上，也可通過 v = Vo +v =(oxrAo+8x r°m , a = 求侍。 dt m3.13、 一質(zhì)量為m的質(zhì)點，位于光滑的水平平臺上，此平臺以勻角速度占繞通過平臺上一定點O的鉛直軸轉(zhuǎn)動。若質(zhì)點受到O點的吸引力F = -m 2r作用，這里r是質(zhì)點相對于 O點的徑矢。試證明：質(zhì)點在任何起始條件下，將繞 O點

23、以角速度£作圓周軌道運動。證明：水平臺以勻角速度S繞通過平臺上一定點 O的鉛直軸轉(zhuǎn)動。取水平平臺為參考系。水平平臺光滑，質(zhì)點受到重力mg、平臺的支持力 Fn和O點的吸引力F = -m2r以及慣性離心力F ' = m，2r。 質(zhì)點在豎直方向上沒有離開水平平臺，有：m& + Fn = 0，在水平方向F + F ' = 0所以質(zhì)點相對水平平臺靜止，故小球繞O點以角速度 £作圓周軌道運動?；蛘呃胿 * F =0證明。3.14、 一拋物線形金屬絲豎直放置，頂點向下，以勻角速率切繞豎直軸轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為m的光滑小環(huán)套在金屬絲上。寫出小環(huán)在金屬絲上滑動時的運動微分

24、方程。已知金屬絲構(gòu)成的拋物線方程為x2 =4ay,這里a為常數(shù)。解：如圖，取頂點為原點，建立直角坐標(biāo)系O-xyz附著在多屬絲上。在 O -xyz中，小環(huán)受到重力 mg = -mgj ,科里奧利力 Fc =2mv' - -2m v'k ,慣性離心力Fo = m,，(, xi) = m,，2xi ,金屬絲的作用力Fn FnJ . FNyj FNzk由牛頓第二定律可得：x方向:-FNxi +Fo=mxi,即 FNx=m(切2xx)(1)y方向：FNyj 一mgj =myj，即 FNy=m(g+y) (2)z方向：Fk+Fc =mZk =0 ,即 Fnz =2mcov，=2m仁q

25、9;X + y (3)又金屬絲構(gòu)成的拋物線方程為x2 =4ay，求一階導(dǎo)化簡得：我=蘭=tg0 =丞dx 2a ”FNy二階導(dǎo)為：y'= 1 (x2 XX)2a聯(lián)立(1)、(2)、(4)可求得：FNx ，2xx 2x xxfNvg y1/2、 2aNyg (xxx)2a化簡求得小環(huán)在金屬絲上滑動時的運動微分方程：12、12.2、 一(12 x )x 2 xx (g -，)x = 04a4a3.15、在北緯九處，一質(zhì)點以初速率 V。豎直上拋，到達高度 h時又落回地面?？紤]地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，不計空氣的阻力，求質(zhì)點落地位置與上拋點之間的距離；是偏東還是偏西？為什么解：取拋點為原點，建立直角坐標(biāo)系O-xyz附著在地面上。其中 Ox軸指向正南，Oy軸指向正東，Oz軸豎直向上。質(zhì)點只受到重力，故質(zhì)點的運動學(xué)方程為:mx = 2m ysi(1)my = 2m，(xsin， zcos )(2)mz = -mg 2m，ycos，(3)質(zhì)點初始時刻的運動狀態(tài)為：t=0時，x=y = z = 0, x=y = 0 , z = v0對(1)、(2)、(3)積分并代入初始條件得：x = 2，ysin，(4)y = -2 (xsin， zcos