連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性72783PPT學習教案

1、會計學1連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性連續(xù)函數的運算與初等函數的連續(xù)性72783一、連續(xù)函數的運算法則一、連續(xù)函數的運算法則1.1.連續(xù)函數的四則運算連續(xù)函數的四則運算定理定理1 函數函數(x)與與g(x)在在x0 處連續(xù)處連續(xù),則則0( )(3) ( ()0)( )f xg xg x (1)( )( )f xg x (2)( )* ( ) f xg x都在都在x0 處連續(xù)處連續(xù).0lim ( )( )xxf xg x 00lim( )lim( )xxxxf xg x 00()().f xg x ( (利用極限的四則運算法則證明利用極限的四則運算法則證明) )xx cot,tan在其定義域內

2、連在其定義域內連續(xù)續(xù)連續(xù)連續(xù)xx cos,sin例如例如,第1頁/共14頁2. 反函數與復合函數的連續(xù)性反函數與復合函數的連續(xù)性定理定理2 設函數設函數 y = (x)在某個區(qū)間上在某個區(qū)間上單調且連續(xù)單調且連續(xù), 則則其反函數其反函數y= f -1(x)在相應區(qū)間上亦在相應區(qū)間上亦單調且連續(xù)單調且連續(xù).例如例如,xysin 在在,22 上連續(xù)單調遞增，上連續(xù)單調遞增，其反函數其反函數xyarcsin 在在 1 , 1 上也連續(xù)單調遞增上也連續(xù)單調遞增.xey 在在),( 上連續(xù)上連續(xù) 單調單調 遞增遞增,其反函數其反函數xyln 在在),0( 上也連續(xù)單調遞增上也連續(xù)單調遞增.又如又如, ,

3、:對稱對稱像關于直線像關于直線直接函數與反函數的圖直接函數與反函數的圖說明說明xy .,可反映出來可反映出來單調和連續(xù)性從圖像上單調和連續(xù)性從圖像上單值單值)(證明從略證明從略第2頁/共14頁,)(,)(lim點連續(xù)點連續(xù)在在設設auufaxg :則下面的公式成立則下面的公式成立.)(lim)(limxgfxgf.lim可交換可交換與與即即f. )48(P可參考可參考證明略證明略,)()(lim:00axgxgxx 設設推論推論, )()(limafufau )(lim0 xgfxx則則f)(limxgxx0)(0 xgf:推論表明推論表明.連續(xù)的連續(xù)的連續(xù)函數的復合函數是連續(xù)函數的復合函數是

4、*)(0點連續(xù)點連續(xù)在在xg)(點連續(xù)點連續(xù)在在af定理定理3第3頁/共14頁,)(,)(lim0點連續(xù)點連續(xù)在在設設auufaxgxx .)(lim:0fxgfxx 證明證明)(limxgxx0.證證 .)(,0 afxgf欲證欲證,)(點連續(xù)點連續(xù)在在auuf , 對于正數對于正數,0時時當當 au .成立成立 afuf,)(limaxgxx0, 對于正數對于正數,0,00時時當當 xx,)(成立成立 axg .)(成立成立 afxgf)()(limafxgfxx0.f)(limxgxx0第4頁/共14頁例如例如,xy1sin 是由連續(xù)函數鏈是由連續(xù)函數鏈),(,sin uuy,1xu *

5、R x因此因此xy1sin 在在*R x上連續(xù)上連續(xù) .復合而成復合而成 ,xyoxy1sin .),0(內連續(xù)內連續(xù)在其定義域在其定義域冪函數冪函數 xy,. xy 證證,lnlnxy ,ln xey ,ln的復合函數的復合函數與與為兩個連續(xù)函數為兩個連續(xù)函數xueyu .),0(內連續(xù)內連續(xù)在在所以所以 xy.1例例第5頁/共14頁二、初等函數的連續(xù)性二、初等函數的連續(xù)性基本初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)基本初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)連續(xù)函數經四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數經四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數經復合后仍連續(xù)連續(xù)函數經復合后仍連續(xù)定理定理: 一切初一切初等函數在等函數在定義定義區(qū)間區(qū)間內內連續(xù)連續(xù)例如例

6、如,21xy的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點為單側連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為Znnx,2因此它無連續(xù)點而第6頁/共14頁:定定理理是是我我們們原原先先未未曾曾證證明明的的重重要要定定理理的的直直接接結結果果就就則則有有定定義義是是初初等等函函數數設設,)(,)(0 xfxf)()(lim00 xfxfxx xxxsinlnlim0) .ln0(是是連連續(xù)續(xù)的的時時當當uu xxxsinlimln01ln.0例例2 2第7頁/共14頁例例3. 求求.)1(loglim0 xxax 解解: 原式原式xxax1)1(loglim0 ealog al

7、n1 例例4. 求求.1lim0 xaxx 解解: 令令,1 xat則則, )1(logtxa 原式原式)1(loglim0ttat aln 說明說明: 當當, ea 時時, 有有0 x)1ln(x 1 xexx)1(lim(log10 xxxa 1)1ln(lim:0 xxx特別地特別地11lim:0 xexx特別地特別地第8頁/共14頁例例5. 求求.)21(limsin30 xxx 解解:原式原式ex0lim )21ln(sin3xx exx30lim6e 說明說明: 若若,0)(lim0 xfxx則有則有 )()(1lim0 xgxxxf,)(lim0 xgxxe )(1ln)(lim

8、0 xfxgxx e)()(lim0 xgxfxxx2xxxesin)21ln(3lim0 aealn: 轉換轉換ababeeablnln 經經驗驗公公式式推推導導 )01(第9頁/共14頁11313lim xxxx )01(11321lim xxx.32ee )()(limxgxfx e 13)1(2lim xxx例例6第10頁/共14頁.7例例,)(lim,0)(lim00gxGfxFxxxx 設設.)(lim)(lim)(lim)(000 xGxxxGxxxxxFxF 則則,0)(,)(.0 xFxU內內在在證證.0,)()( yxFyxG且且有意義有意義)(ln)(lim)(00)(l

9、imxFxGxGxxxxexF 則則)(lnlim)(lim00 xFxGxxxxe 乘法原則乘法原則fgeln gfeln gf .)(lim)(lim00 xGxxxxxF 第11頁/共14頁)(lim)()(lim)(limxGxxxGxxxxxFxF000同時同時的極限可在底和指數上的極限可在底和指數上求冪指函數求冪指函數)()(xGxFy .)( ,存存在在如如果果底底和和指指數數的的極極限限都都取取極極限限.中可以應用中可以應用此結論在解題此結論在解題 xxxcot20tan31lim xxxxxcottantantanlim223312031)(01xxxxxxcottanlimtantanlim2023312031xyyxytanlim)(lim310010e.1例例8第12頁/共14頁.)0(, )(,.1仍連續(xù)仍連續(xù)除式除式商商乘方乘方積積差差連續(xù)函數的和連續(xù)函數的和 .2調連續(xù)的反函數調連續(xù)的反函數單調的連續(xù)函數存在單單調的連續(xù)函數存在單:lim,.3可交換可交換與與連續(xù)時連