復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)題2012

1、2021-12-131考試安排考試安排考試時(shí)間考試時(shí)間:一一、 2008 年年 11 月月 24 日日 晚上晚上考試地點(diǎn)考試地點(diǎn): 答疑時(shí)間答疑時(shí)間:二二、 2008 年年 11 月月 21 日日 下午下午 晚上晚上 11 月月 22 日日 上午上午 下午下午 11 月月 23 日日 上午上午 下午下午答疑地點(diǎn)答疑地點(diǎn): 科技樓科技樓 805 計(jì)算數(shù)學(xué)教研室計(jì)算數(shù)學(xué)教研室2021-12-132主要內(nèi)容主要內(nèi)容一一、復(fù)數(shù)的幾種表示及、復(fù)數(shù)的幾種表示及運(yùn)算，運(yùn)算，區(qū)域，曲線；初等區(qū)域，曲線；初等復(fù)變函數(shù)。復(fù)變函數(shù)。二二、柯西、柯西- -黎曼方程：黎曼方程：(1) 判斷可導(dǎo)與解析，求導(dǎo)數(shù)；判斷可導(dǎo)與

2、解析，求導(dǎo)數(shù)；七、七、Fourier變換的概念，變換的概念，函數(shù)，函數(shù)，卷積。卷積。三三、柯西積分公式，柯西積分定理，高階導(dǎo)數(shù)公式。柯西積分公式，柯西積分定理，高階導(dǎo)數(shù)公式。四四、洛朗展式。洛朗展式。五五、留數(shù)：、留數(shù)：(1) 計(jì)算閉路積分；計(jì)算閉路積分；六六、保形映射：、保形映射：(1) 求象區(qū)域；求象區(qū)域；八、八、利用利用Laplace變換求解常微分方程變換求解常微分方程(組組)。(2) 構(gòu)造構(gòu)造解析函數(shù)。解析函數(shù)。(2) 計(jì)算定積分。計(jì)算定積分。(2) 構(gòu)造構(gòu)造保形映射。保形映射。2021-12-133一、填空題。一、填空題。(1) 的模為的模為，輻角主值為，輻角主值為32i31 .。

3、. (2) 的值為的值為的值為的值為)1Ln( i43 e ，. .。(3) 伸縮率為伸縮率為處的旋轉(zhuǎn)角為處的旋轉(zhuǎn)角為映射映射w = z3 - z在在z = i .。 ，. (4) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析的內(nèi)解析的函數(shù)函數(shù)),(i),()(yxvyxuzf .。充要條件為充要條件為2021-12-134(7) 41|213d)()(ezzzzz .。(5) 在在 z0 = 1+i處展開成泰勒級(jí)數(shù)的處展開成泰勒級(jí)數(shù)的)34(1zz .。收斂半徑為收斂半徑為(6) z = 0 是是( (何種類型的奇點(diǎn)何種類型的奇點(diǎn)) )。zezfz111)( . 的的 (8) ，已知已知)2()2()()(21)(

4、0000tttttttttf )(tf .。求求2021-12-135四四、計(jì)算下列各題：、計(jì)算下列各題： 2. 2. 211dezzzz 3. 3. 2sin1d0 4. 4. xxxxd0 9)1)(cos22zzzzzdsinei2113 1.1.二二、驗(yàn)證驗(yàn)證),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實(shí)部的解析函數(shù)，使為實(shí)部的解析函數(shù)，使是是if )2(。三三、將函數(shù)將函數(shù))2)(1(1)( zzzf在在1 z與與2 z洛朗級(jí)數(shù)。洛朗級(jí)數(shù)。處展開為處展開為2021-12-136五五、求區(qū)域求區(qū)域1Im0, 0Re:D zzz在映射在映射

5、zwi 下的像。下的像。八八、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù))(zf在在Rz 上解析，證明：上解析，證明：)|(|),(d)()(i2|222RzzfzRzfzRR 2)0(, 1)0(, yytyy七七、用拉氏變換求解方程：、用拉氏變換求解方程：六六、求把下圖陰影部分、求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。i-i3 33 3 2021-12-137二二、驗(yàn)證驗(yàn)證),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實(shí)部的解析函數(shù)，使為實(shí)部的解析函數(shù)，使是是if )2(。故故 u(x,y) 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù), 0 xxu, 0 yyu

6、, 0 yyxxuu,2yxvyu xyvxu 22cyxxv 222 )(2xydyv)(2xy )(x ,2)(2cxxx )2i()1(2)(22cyxxyxzf 1,)(,0, 2 cizfyx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))12i()1(2)(22 yxxyxzf(1)解解:(2) 方法一方法一2021-12-138二二、驗(yàn)證驗(yàn)證),(yxuyxyxu)1(2),( z 平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實(shí)部的解析函數(shù)，使為實(shí)部的解析函數(shù)，使是是if )2(。解解:故故 u(x,y) 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù), 0 xxu, 0 yyu, 0 yyxxuu,2yxvyu xyvxu 22cyx

7、xv 222)2i()1(2)(22cyxxyxzf 1,)(,0, 2 cizfyx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))12i()1(2)(22 yxxyxzf(1)(2) 方法二方法二ydydxxdv2)22( )2(22yxxd 2021-12-139三三、將函數(shù)將函數(shù))2)(1(1)( zzzf在在1 z與與2 z洛朗級(jí)數(shù)。洛朗級(jí)數(shù)。處展開為處展開為解解: (1) 在在 z=1 處處,1|1|0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z)1(1)(1(1)( zzzf 0)1()1(1nnzz 01)1(nnz,1|1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z)1(1)(1(1)( zzzf1111)1(12 zz 02)11()1(1nnzz 02)11(nnz12

8、2021-12-1310三三、將函數(shù)將函數(shù))2)(1(1)( zzzf在在1 z與與2 z洛朗級(jí)數(shù)。洛朗級(jí)數(shù)。處展開為處展開為解解: (2) 在在 z=2 處處,1|2|0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z 01)2()1()(nnnzzf,1|2|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z 02)21()1()(nnnzzf122021-12-1311四四、zzzzzdsinei2113 1. 1.解解: 方法一方法一: 利用留數(shù)求解利用留數(shù)求解 z=0 為二級(jí)極點(diǎn)為二級(jí)極點(diǎn),)sin(lim221320 zzeziizz原式原式1 0)sin(! 21 zzze原原式式方法二方法二: 利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解1 2021-1

9、2-1312四四、 2. 2. 211dezzzz解解: z=1 為本性奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn),)1( ! 31)1( ! 21111)(1)1(3211 zzzzzez 11)121(z232 i 原原式式i3 2021-12-1313四四、 3. 3. 2sin1d0解解: 原原式式)1(21122)3(zzii 原原式式 cos2d(203) 2cosd03 1|2213zizzzdz 1|2162zzzdzi, 223)2(1 z有有兩兩個(gè)個(gè)一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn))(, 2232舍舍去去 z cos2-11d022 2021-12-1314四四、 4. 4. xxxxd0 9)1)(cos22解解:

10、)4816(2Re2131ieiei 原原式式9)1)(22 zzezfiz)(令令izizzzezzfs 9)1)(22),(Re1,3,)(21izizzf 極極點(diǎn)點(diǎn)在在上上半半平平面面有有兩兩個(gè)個(gè)一一級(jí)級(jí)ie161 iezzfs48),(Re32 48)3(31 ee2021-12-1315五五、求區(qū)域求區(qū)域1Im0, 0Re:D zzz在映射在映射zwi 下的像。下的像。解解: 010i 0212ii 1)1(1021iii(z)(w)010ii/21+i(1+i)/2i212021-12-1316六六、求把下圖陰影部分、求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。映射到單位圓內(nèi)部的保

11、形映射。i-i3 33 3 (z)(w)(z2)(z1)312zz ii22 zzwi33i3333 zzzzw3z3zz 12021-12-1317,(0)1,(0)2yytyy 七七、用拉氏變換求解方程：、用拉氏變換求解方程：(1) 對(duì)方程兩邊取拉氏變換得：對(duì)方程兩邊取拉氏變換得：221)()0()0()(ssYysysYs 221)(2)(ssYssYs )1(112)(222 sssssY解：解：)1(122223 ssss2021-12-1318)1(112)(222 sssssY111121)(2222 ssssssY(2) 求拉氏逆變換求拉氏逆變換ttttysin3cos)( 方

12、法一：方法一：利用部分分式求解利用部分分式求解2021-12-1319)1(112)(222 sssssY(2) 求拉氏逆變換求拉氏逆變換)1(122223 ssss方法二：方法二：利用留數(shù)求解利用留數(shù)求解一階極點(diǎn)一階極點(diǎn),3, 2is 二階極點(diǎn)，二階極點(diǎn)，,01 s0,)(RessY 222322) 1()e ) 12(e )43)(1(ssstsssstststet 02223)1(e )12(2 sstssss )1(e )12(ddlim2230sssssts2021-12-1320ttttysin3cos)( isstissssisY )(e )12(,)(Res223;e2321i

13、ti ittyitititit2ee32ee)(;0,)(RestsY stesteisstissssisY )(e )12(,)(Res223,e2321iti ste2021-12-1321)(zf八八、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù)在在Rz 上解析，證明：上解析，證明：)|(|),(d)()(i2|222RzzfzRzfzRR 證明：證明：zRz221, (1) 奇點(diǎn)奇點(diǎn)由于由于外外在在故故RRz |,|2(2) 左邊左邊=d)()(1i2|222 zRfzzRRzzRfzR 222)(i2i2|)(zf 2021-12-1322 (7) 0;310(8) 2coscos00tt )2222(3ie ,

14、)12(Zkik 一一、(1) 1,; (2) (5) ; (4) u,v 在在D內(nèi)可微，且滿足內(nèi)可微，且滿足CR方程方程 (3) ,4; (6) 可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)2021-12-1323(1) (1) 預(yù)處理：使邊界至多由兩段圓弧預(yù)處理：使邊界至多由兩段圓弧( (或直線段或直線段) )構(gòu)成。構(gòu)成。一般步驟：一般步驟：(2) (2) 將邊界的一個(gè)交點(diǎn)將邊界的一個(gè)交點(diǎn)z1 1映射為映射為，(3) (3) 將角形域或者帶形域映射為上半平面。將角形域或者帶形域映射為上半平面。(4) (4) 將上半平面映射為單位圓。將上半平面映射為單位圓。工具：工具：幾種簡(jiǎn)單的分式映射、冪函數(shù)等。幾種簡(jiǎn)單的分式映射、冪函數(shù)等。 另一個(gè)另一個(gè)( (交交) )點(diǎn)點(diǎn)z2 2映射為映射為0 0 從而將區(qū)域映射為角形域或者帶形域。從而將區(qū)域映射為角形域或者帶形域。工具：工具： 21zzwkzz 工具：工具： ,nwz ,nwz e ,zw ( (對(duì)于角形域?qū)τ诮切斡? )( (對(duì)于帶形域?qū)τ趲斡? )工具：工具： ,ziwzi ( (無附加條件無附加條件) )( (由附加條件確定由附加條件確定 0 0 , ,z0 0) )000e,izzwzz 2021-12-1324 先通過先通過Laplace變換將微分