06版文登復(fù)習(xí)指南答案（潘正義）

1、06版陳文登復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解 潘正義高等數(shù)學(xué)習(xí) 題 一1  填空題 設(shè) ，則常數(shù) _ 解答 由題意可得 即 _解答 且 又 由夾逼原則可得原式 已知極限 ，則 解答當(dāng) 時(shí)，由 可得 原式 同理可得 故原式 已知 則 _解答 原式 已知函數(shù) 則 _解答 又 所以 _解答 原式 設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)， ， ,若 在 處連續(xù)，則常數(shù) 解答 設(shè)當(dāng) 時(shí)， = 為 的 階無窮小，則 解答 由此可得 ， _解答 原式               &

2、#160;           已知 ，則 ， 解答 = 若極限存在 則 得 故 2選擇題 設(shè) 和 在 內(nèi)有定義， 為連續(xù)函數(shù)，且 ， 有間斷點(diǎn)，則 必有間斷點(diǎn) 必有間斷點(diǎn) 必有間斷點(diǎn) 必有間斷點(diǎn)解答若 連續(xù)，則 也連續(xù)，與題設(shè)矛盾，所以應(yīng)該選 . 設(shè)函數(shù) 則 是偶函數(shù) 無界函數(shù) 周期函數(shù) 單調(diào)函數(shù)解答因?yàn)?，所以 ，又 為無界函數(shù)，當(dāng)任意給定一正數(shù) ，都存在 時(shí)，使得 ，于是 ，故 為無界函數(shù)，所以應(yīng)該選 . 當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的極限是 等于 等于 為 不存在但不為 解答 所以應(yīng)該選 . 若函數(shù)

3、在 處連續(xù)，則 的值是 解答 ，則 ，所以應(yīng)該選 . 極限 的值是 不存在解答 原式 ，所以應(yīng)該選 . 設(shè) 則 值是 均不對解答 原式 解得 所以應(yīng)該選 . 設(shè) 則 的值為 ， ， ， 均不對解答 原式 ，由 可得 ，所以應(yīng)該選 . 設(shè) 則當(dāng) 時(shí)， 是 的等價(jià)無窮小 與是 同階但非等價(jià)無窮小 是比 較低階的無窮小 是比 較高階無窮小解答 原式 ，所以應(yīng)該選 . 設(shè) 則 的值是 解答 若原式極限存在，當(dāng) 時(shí)，由 可得 ，所以應(yīng)該選 . 設(shè) 其中 則必有 解答 原式 可得 ，所以應(yīng)該選 .3計(jì)算題 求下列極限 解答 原式 解答 原式 解答 原式 解答 原式 又 所以原極限 求下列極限 解答 原式

4、解答 原式 1 解答 原式 求下列極限 解答 原式 ( ) 解答 原式 解答 原式 解答 原式 且 又 ， 故由夾逼原則知原式 解答 當(dāng) 時(shí)，原式 當(dāng) 時(shí)，原式 當(dāng) 時(shí)，原式 其中 解答 原式 ( )4設(shè) 試討論 在 處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.解答 由             于是 在 處連續(xù). 分別求 在 處的左、右導(dǎo)數(shù) 所以 在 處連續(xù)且可導(dǎo).5求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別類型. 解答 為函數(shù) 的間斷點(diǎn) 又 所以 為函數(shù) 第一類跳躍間斷點(diǎn). 解答 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 即 ，所以 為

5、函數(shù) 第一類間斷點(diǎn). 解答 當(dāng) 時(shí)， 所以 為第一類跳躍間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 不存在，所以 為第二類間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 所以 為第一類可去間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 所以 為第二類無窮間斷點(diǎn).6試確定常數(shù) 的值，使極限 存在，并求該極限值.解答 原式 存在由 可得 ，即 則原式 同理由 可得 ，即 所以原式 7設(shè) ，且 是 的可去間斷點(diǎn)，求 的值.解答 存在，由 可得 . 原式 存在，同理由 可得 .8設(shè) 求 的值.解答 原式 ( ) 由 可得 原式 ，即 9討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性.解答 當(dāng) 時(shí)， 所以若 時(shí)， 在 連續(xù).若 時(shí)， 在 為第一類跳躍間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 是 的第二類間斷點(diǎn).10設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)

6、二階可導(dǎo)，且 求 及 解答 由 可得所以 第二章一、填空題7設(shè) ，則 _解答 原式 所以 8已知 ，則 _解答 原式 即 令 ，則 9設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù)， ，則 _解答 原式 10設(shè)函數(shù) 由方程 所確定，則曲線 在點(diǎn) 處的法線方程為_解答 兩邊求導(dǎo) 將 代入可得 故所求的方程為 二選擇題1  設(shè) 可導(dǎo)， ，則 是 在 處可導(dǎo)的充分必要條件 充分但非必要條件必要但非充分條件 既非充分又非必要條件解答 若 在 處可導(dǎo) ，即 ，所以應(yīng)該選 .2  設(shè) 是連續(xù)函數(shù)，且 ，則 解答 ，所以應(yīng)該選 .3  已知函數(shù) 具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 ，則當(dāng) 為大于2的正整數(shù)時(shí)， 的 階導(dǎo)數(shù) 是

7、 解答 ， 由數(shù)學(xué)歸納法可得 ，所以應(yīng)該選 .4設(shè)函數(shù)對任意 均滿足 ，且 ，其中 為非零常數(shù)，則在 處不可導(dǎo) 在 處可導(dǎo)，且 在 處可導(dǎo)，且 在 處可導(dǎo)，且 解答 ，故應(yīng)選 . 二、選擇7設(shè) 在 處可導(dǎo)，則 為任意常數(shù) 為任意常數(shù)解答 由 在 連續(xù)可得 由 在 可導(dǎo)得 則 ，所以應(yīng)該選 .8設(shè) ，則 在 處可導(dǎo)的充要條件為存在 存在 存在 存在解答 當(dāng) 時(shí)， ，則 等價(jià)于 ，所以應(yīng)該選 .9設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，則當(dāng) 時(shí)，必有 當(dāng) 時(shí)，必有 當(dāng) 時(shí)，必有 當(dāng) 時(shí)，必有 解答 若設(shè) 時(shí)， 均錯(cuò)誤，若設(shè) 時(shí)， 錯(cuò)誤，故選 .10設(shè)函數(shù) 在 處可導(dǎo)，則函數(shù) 在 處不可導(dǎo)的充分條件是且 且 且 且 解

8、答 令 ，由導(dǎo)數(shù)定義可得 若 ，由 的連續(xù)性及保號性可得 ，此時(shí) 若 ，同理可得 . 故若 不存在，則 若 ，且 ，設(shè) ，由于 所以當(dāng) 時(shí)， ， 時(shí)， 則 故 不存在，所以應(yīng)該選 .三計(jì)算題1 ，求 .解答 2已知 可導(dǎo)， ，求 .解答 3已知 ，求 .解答 等式兩邊對 求導(dǎo)可得 化簡可得 4設(shè) 的函數(shù)是由方程 確定的，求 .解答 等式兩邊對 求導(dǎo)可得 化簡得 5已知 ，求 .解答 6設(shè) ，求 .解答 等式兩邊對 求導(dǎo)可得 可得 又 所以 7設(shè)函數(shù) 二階可導(dǎo)， ，且 ，求 .解答 8設(shè)曲線 由方程組 確定，求該曲線在 處的曲率 .解答 ，則 四已知 ，其中 有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 確定 的值，使

9、 在 點(diǎn)連續(xù)； 求 .解答 即當(dāng) 時(shí)， 在 處連續(xù). 當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng) 時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的定義有 五已知當(dāng) 時(shí)， 有定義且二階可導(dǎo)，問 為何值時(shí) 是二階可導(dǎo).解答 在 處連續(xù)則 即 在 處一階可導(dǎo)，則有 此時(shí)， 在 處二階可導(dǎo)，則有 六已知 ，求 .解答 又 在 處的麥克勞林級數(shù)展開式為 通過比較可得，當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 七設(shè) ，求 .解答 , , , 通過遞推公式可得 當(dāng) 時(shí)， 八證明 滿足方程 證明： 化簡可得 得證.第三章1求下列不定積分. 解答 原式 解答 原式 解答 原式 解答 原式 解答 設(shè) 原式 2求下列不定積分. 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) ， 原式 解答 設(shè) 原式  解答 原

10、式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) ，則 原式 解答 設(shè) ， 原式 3求下列不定積分. 解答 原式 解答 設(shè) ，則 原式 4求下列不定積分. 解答 設(shè) ， 原式 解答 設(shè) ，    原式 5求下列不定積分. 解答 原式 解答 所以 解答 原式 解答 原式 移項(xiàng)得 解答 原式 6求下列不定積分. 解答 原式 再求 設(shè) ，則 原式 = = 所以原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 7設(shè) ，求 解答 當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 因?yàn)?在 處連續(xù)，可得 ，所以 8設(shè) ，( 為不同時(shí)為零的常數(shù))，求 .解答 設(shè) ， ，則 又 所以 即 9求下列不定積分. 解答 原式 解答 原式 解答 原式

11、解答 原式 10設(shè)當(dāng) 時(shí)， 連續(xù)，求 解答 原式 11設(shè) ，求 . 解答 設(shè) ，則 所以 12求下列不定積分. 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 13下列不定積分. 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) ，則原式 解答 設(shè) ， 原式 14求下列不定積分. 解答 原式 解答 原式 解答 原式 15求下列不定積分. 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 解答 設(shè) 原式 習(xí) 題 四（1）1    若 在 上連續(xù)，證明：對于任意選定的連續(xù)函數(shù) ，均有 則在 上， 證明：假設(shè)在 上存在 使得 ，令 ，由于 在 上連續(xù)，故存在 在 上，使得 .又令

12、 則 結(jié)論與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立.2    設(shè) 為任意實(shí)數(shù)，證明： 證明：設(shè) ，則 所以 即 ，得證.3    已知 在 連續(xù)，對任意 都有 證明： 證明： 在 連續(xù),則 ，又 所以 1    設(shè) 為大于 的正整數(shù)，證明： .證明： = 即 若 ，則 于是 這與推論矛盾，所以 若 ，則 于是 這與推論矛盾，所以 綜上所述，有 .1    設(shè) 在 上連續(xù)，且單調(diào)減少， ，證明：對于滿足 的任何 ， ，有 證明：由積分中值定律有 又 ，且單調(diào)遞減，故當(dāng) 時(shí)， 所以 即 2

13、60;   設(shè) 在 上二階可導(dǎo)，且 證明： 證明：由泰勒公式有 又 ，則 兩邊積分可得 7設(shè) 在 上連續(xù)，且單調(diào)不增，證明：任給 ，有 證明： ， 所以 又 ， ， 單調(diào)不增，當(dāng) 時(shí)， 所以 8設(shè) 在 上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且 ，證明：在 內(nèi)存在 一點(diǎn) ，使證明：由泰勒公式有， 其中 具有二階導(dǎo)數(shù)，設(shè) 最大值為 ，最小值為 ，即 則 即 ， 由介值定理可得，至少存在一點(diǎn) ，使得 即 ，得證.9設(shè) 連續(xù)，證明： 證明：設(shè) ，則 10設(shè) 在 上連續(xù)， 在 內(nèi)存在且可積， ，證明： 證明: 由 ，可得 ， 其中 即 12設(shè) 在 上連續(xù)，且 ，則 證明： 令 ， 則 兩邊積分得 令

14、 ，消除 后得 即 13設(shè)函數(shù) 在 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ，證明：證明：由柯西不等式有 14設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，且 ， ，證明：，使 證明：因?yàn)?在 上連續(xù)，則必存在一點(diǎn) ，使得 ，即 ， 即  習(xí) 題 五1.       設(shè)函數(shù)在 在閉區(qū)間 上可微，對于 每一個(gè) ，函數(shù) 的值都在開區(qū)間 內(nèi)，且 ，證明：在 內(nèi)有且僅有一個(gè) ，使 .證明： 設(shè) ，則 在 上連續(xù)，又 ，所以 ， ，由零值定理可知，在 內(nèi)至少存在一個(gè) ，使 ，即 . 利用反證法證明 在 內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).設(shè) 且 使得 ， ，則由拉格朗日中值定理可得，至少存在一

15、個(gè) ，使得 這與題設(shè)矛盾，綜上所述，命題得證.2設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)， 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，證明：在 內(nèi) 一個(gè) ，使 .證明： 由積分中值定理，可知在 上存在一點(diǎn) ，使 ， ，從而有 . 于是由洛爾定理可知，在 內(nèi)存在一個(gè) ，使 ， 3設(shè)函數(shù) 在 上有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，又 ，證明：在 內(nèi)至少 一個(gè) ，使 .證明：由題意可得 ，根據(jù)洛爾定理可得至少存在 ，使得 .又 當(dāng) 時(shí)， .再對 在 上應(yīng)用洛爾定理，可得至少存在一個(gè) ，使得 ，命題得證.4設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，證明：在 內(nèi) 一個(gè) ，使 .證明：設(shè) ， 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，則 在 滿足柯西定理，于是有 ，使 即 所以 5設(shè)函數(shù)

16、 在 上可導(dǎo)，且 ，證明： 一個(gè) ，使 證明：設(shè) ，則 在 上滿足拉格朗日中值定理，于是有 使 即 所以 6設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明： 一個(gè) ，使證明：設(shè) 則 在 上滿足洛爾定理，于是存在 ，使 ，即 7設(shè)函數(shù) 在 上有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，證明：至少 一個(gè) 使 證明：設(shè) ，則 ，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,又 則 在 上，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,即8設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，且 ，證明：在 內(nèi)至少 一個(gè) ，使 證明：設(shè) ，則在 內(nèi)，由柯西中值定理可得，至少存在一個(gè) ，使得 即 所以 9若 ，證明： 一個(gè) 或 ，使證明：設(shè) ，則在 上，由柯西中值定理可得，存在一個(gè) ，使得 即 化簡

17、可得 10函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ， ，證明：至少 一個(gè) ，使 .證明：設(shè) ，由 ，可得 由洛爾定理可得，至少存在一個(gè) ，使得 即 11設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少 一個(gè) 使 證明：設(shè) ，則 ，由洛爾定理可得，至少存在一個(gè) ，使得 ，即      12設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，證明：至少 一個(gè) 使 證明： 在 處的泰勒展開式為 兩式相加得 又 在 內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，所以存在 ，使得 ，所以.13設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù) ，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明：在 ,使證明：設(shè) ，由柯西中值定理，在 內(nèi)至少存在 ，使得 即 對

18、于 ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 從而 14設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，證明： 使得 證明：設(shè) ，由柯西中值定理可得，至少存在 ，使得，即 設(shè) ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 從而 ，即 15設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，證明： ，使得證明：設(shè) ，由柯西中值定理可得，對于 ，存在 ，使對于 ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 由兩式可得       習(xí) 題 六一求解下列微分方程. 解答 令 ，則原微分方程可變化為 解其對應(yīng)的齊次方程 ，可得 令 為原方程的解，代入方程有 ，解得 ，所以 故原方程

19、的解為 解答 原方程可變換為 解得 ，即 ，又 ，則 ，故 二求解下列微分方程. 解答 令 ，則 ，原方程可變換為 即 ，解得 ，將 代入可得 解答 設(shè) ，將方程右端同除 后可變換為 解得 即 由 可得 ，故所求方程為 三求解下列微分方程. 解答 令 ，又 ，則原方程式可變換為 解其對應(yīng)的齊次方程，可得 令 為原方程的解，代入方程有 解得 所以 解答 方程可變換為 其對應(yīng)其次方程 可解為，積分可得 ，即 ，齊次方程的通解為 令 ，代入原式中有 ，積分可解得 故原方程的通解為 解答 設(shè) ，則 ， 所以原式可變換為 由貝努利方程，設(shè) ，則方程變換為 其對應(yīng)的齊次方程的解為 ， 令 ，代入原方程中可

20、解得 所以 ，即 五求解下列微分方程 解答 原式可變換為 ，即 設(shè) ，則原方程可變換為 其對應(yīng)的齊次方程的通解為 令 為原方程的解，代入原式中有，可解得 故 解答 原式可變換為 由貝努利方程，設(shè) ，則原式可變換為 其對應(yīng)的齊次方程的通解為 令 為原方程的解，代入可得 解得 所以 六函數(shù) 在實(shí)軸上連續(xù)， 存在，且具有性質(zhì) ，試求出 .解答 在實(shí)軸上連續(xù)，設(shè) ，則 可得 又 存在，則對任意 ，有 即 處處可微且滿足 解得 又 故 八求解下列方程 解答 原式可變換為 ，即 令 ，則又變換為 ，即 解此方程可得 又 ，則 ，所以 解答 令 ，則 ， 則原式可變換為 解此方程可得 ，即 又 ，則 ，所以

21、 九求解下列方程 解答 令 ，則原方程可變換為 即 ，積分可得 即 解得 解答 令 ，則原方程可變換為 解得 ，又 ，可得 所以 ，則 ，又 ，可得 故 解答 令 ，則原方程可變換為 令 ，則原方程又可變換為 解此方程可得 ，當(dāng) 時(shí)， ，可得 則 ，又 ，可得 所以 十二求解下列微分方程. 解答 令 ，即 ，則原方程可變化為 即 相應(yīng)特征方程為 齊次方程通解 特解 所以原式的通解為 解答 令 ，即 ，則原方程可變化為 即 相應(yīng)特征方程為     齊次方程通解 特解 所以原式通解為 五一質(zhì)量為 的物體，在粘性液體中由靜止自由下落，假如液體阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，試求物

22、體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律. 解答 物體受到的重力為 ，阻力為 ，則 ，其中 ， ，則方程式變?yōu)?令 ，則方程式變化為 解其對應(yīng)的齊次方程，可得 令 為原方程的解，代入方程有 ，解得 ，所以 ，又 ，則 ，又 ，則 所以 十六有一盛滿水的圓錐形漏斗，高 ，頂角 ，漏斗尖處有面積為 的小孔，求水流出時(shí)漏斗內(nèi)水深的變化規(guī)律，并求出全部流出所需要的時(shí)間.解答 從時(shí)刻 到 小孔流出的水量為在此時(shí)間內(nèi)，液面由 降至 ，水量減少為 由題意可知 ，則 ，且當(dāng) 時(shí)， .所以方程為 當(dāng)水全部流出時(shí)， ， .十七設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的曲線族上任一點(diǎn) 處的切線交 軸于點(diǎn) ，從 點(diǎn)向 軸作垂線，其垂足為 ，已知 與 軸所圍成的三角形的面積與

23、曲邊三角形 的面積之比等于常數(shù) ， 試求該曲線族.解答 為曲線上一點(diǎn)，則切線 的方程為 ， 坐標(biāo)為 ,由題意可知 三角形 的面積為 曲邊三角形 的面積為 又 ，則 ，對方程兩邊求導(dǎo)可得 化簡可得 令 ，代入方程可得 解得 ，即 又 ，則解得 ，即 .十八有一房間容積為 ，開始時(shí)房間空氣中含有二氧化碳 ，為了改善房間的空氣質(zhì)量，用一臺風(fēng)量為 /分的排風(fēng)扇通入含 的二氧化碳的新鮮空氣，同時(shí)以相同的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出，求排出 分鐘后，房間中二氧化碳含量的百分比？解答 設(shè)在 時(shí)刻， 的含量為 ，則在 時(shí)間內(nèi)進(jìn)入房間的 的含量為 ，排出房間的 的含量為 所以在 內(nèi) 的改變量為 化簡得 解得 又 則

24、 ，即 所以當(dāng) 時(shí)， ，即 的含量為 . 習(xí)  題 七2填空題 函數(shù) 的單調(diào)減少區(qū)間_解答 ，令 ，可得 當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減. 所以 的單調(diào)遞減區(qū)間是 或 . 曲線 與其在 處的切線所圍成的部分被 軸分成兩部分，這兩部分面積之比是_ 解答 直線方程為 ，即 ，兩直線的交點(diǎn)可求得 ，即求解 方法一：已知其一根為 ，設(shè)方程為 通過比較可得 ，可解得另外一根為 方法二：分解方程有 即 所以 則 設(shè) 在 上連續(xù)，當(dāng) 時(shí)， 取最小值.解答 令 ，則 即 所以 繞 旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積_解答 令 ，則 當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，所以 求心臟線 和直線 及 圍成的圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積_解答 將極坐

25、標(biāo)化為直角坐標(biāo)形式為 ， 則 所以 4計(jì)算題 在直線 與拋物線 的交點(diǎn)上引拋物線的法線，求由兩法線及連接兩交點(diǎn)的弦所圍成的三角形的面積.解答 由題意可計(jì)算兩法線的方程為，即 ，即 兩直線的交點(diǎn)為 ，則 過拋物線 上的一點(diǎn) 作切線，問 為何值時(shí)所作的切線與拋物線 所圍成的面積最小.解答 直線的斜率 ，則直線方程為 ，與拋物線相交， 即 ，設(shè)方程的兩根為 且 ，則 ， 從而 又 ，所以 求通過點(diǎn) 的直線 中使得 為最小的直線方程.解答 設(shè) ，則 則 由 可得 即 可得 又 則當(dāng) 時(shí) 為最小，此時(shí) 方程為 求函數(shù) 的最大值與最小值.解答 令 ，可得 當(dāng) 時(shí)， ，即 在 取最小值，此時(shí) 當(dāng) 時(shí)， ，即

26、 在 取最大值 此時(shí) . 求曲線 與 所圍陰影部分面積 ，并將此面積繞 軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體體積，如圖所示.解答 已知圓 ，其中 ，求此圓繞 軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體體積和表面積.解答 令 ，如圖所示，則 設(shè)有一薄板其邊緣為一拋物線，如圖所示，鉛直沉入水中， 若頂點(diǎn)恰好在水平面上，試求薄板所受的靜壓力，將薄板下沉多深，壓力加倍？ 解答 拋物線方程為 ，則在水下 到 這一小塊所受的靜壓力為 所以整塊薄板所受的靜壓力為 若下沉 ，此時(shí)受到的靜壓力為 要使 ，解得 . 若將薄板倒置使弦恰好在水平面在上，試求薄板所受的靜壓力，將薄板下沉多深，壓力加倍？解答 建立如圖坐標(biāo)系，則拋物線方程為 ，則在水下 到

27、這一小塊所受的靜壓力為 所以整塊薄板所受的靜壓力為 若下沉 ，此時(shí)受到的靜壓力為 要使 ，解得 .    第八章、第九章沒有答案！習(xí) 題 十1設(shè) 為連續(xù)的可微函數(shù)， 求 .解答 令 ，則， 則 2設(shè) ，其中 為可微函數(shù)，求 .解答 直接對 求導(dǎo)可得 化簡可得 3設(shè) ，又 ，求 .解答 直接對 求導(dǎo)可得 4求下列方程確定函數(shù)的全微分. ，求 .解答 直接微分可得 即 化簡可得 ，求 .解答 化簡可得 5設(shè) ，其中 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 .解答 6已知 ，求 .解答 7已知 ，求 .解答 8設(shè) ，由 確定，求 .解答 對方程組求導(dǎo)可得 求解可得  

28、;    9設(shè) ，求 .解答 所以 10設(shè) ，其中 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 二階可導(dǎo)，求 .解答 11已知 ，且 ，其中 可微， 連續(xù)，且 ， 連續(xù) ，試求 .解答 ，又 即 ，又 即 12設(shè) ，其中出現(xiàn)的函數(shù)是連續(xù)可微的，試計(jì)算 .解答       13設(shè) ，試確定常數(shù) ，使 .解答 由 ，可得      14若 滿足 ，其中有 連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求 .解答 令 ， 則 同理 則 化簡得 即 解得 即 ( 為任意常數(shù))    &#

29、160;         15求曲面 的平行于平面 的切平面方程.解答 曲面方程在 處切平面的法向量為 則曲面在 處切平面方程為 由題意可知 ，即 則 解得 即 所以切平面的方程為 或 16求圓周 在 處的切線與法平面方程.解答 由題意，對 求導(dǎo)得： ， 可解得 所以，圓周在 的切向量 圓周在 處的切線方程為 法平面方程為 17試求函數(shù) 在閉區(qū)域上 與 的最大值 解答 先求函數(shù)在 內(nèi)的駐點(diǎn) 由 可得 ，即函數(shù)在 內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn) ， 再求在邊界上的最值在邊界 ， ，此時(shí) 在邊界 ， ，此時(shí) 在 上，將 代

30、入 中化簡可得 ，可得 ，此時(shí) 18在橢球面 內(nèi)作內(nèi)接直角平行六面體，求其最大體積.解答 設(shè) 位于第一掛限內(nèi)橢球面上，則 ，由題意有 則 解得唯一解 所以 19求原點(diǎn)到曲面 的最短距離.解答 設(shè) 位于球面 上，則 令 ，由題意可得，即求 在約束條件 下的最小值. ，則 當(dāng) 時(shí)，無解當(dāng) 時(shí)，由 ，可得 20當(dāng)時(shí) ，求函數(shù) 在球面 上的最大值，并證明對任意的正實(shí)數(shù) 成立不等式解答 由題意可得，則 解得 ，   即 在 處值最大，此時(shí) 對于任意正數(shù) ，設(shè) ，即求 在條件： 下的最大值，則 解得唯一解 又 在平面 位于第一掛限部分的邊界上為零，故 在點(diǎn) 處取最大值，即有

31、21過平面 和平面 的交線，作球面 的切平面，求切平面方程.解答 由平面束方程可知，所求平面方程為 化簡可得 由題意可得點(diǎn)到平面距離為化簡可得 即 解得 或 當(dāng) 時(shí)，代入方程可得切平面方程為 當(dāng) 時(shí)，代入方程可得切平面方程為 22求直線 與直線 之間的垂直距離.解答 過 作平行于 的平面，設(shè)平面的法向量為 ，則 同時(shí)垂直于 和 的方向向量，故 所求得的平面方程為 化簡可得 設(shè) 是 上的一點(diǎn)，則 到平面的距離為 故所求直線的距離為 .      習(xí) 題 十 一4求解下列二重積分： 解答 原式 解答 原式 ：由 與 所圍的區(qū)域解答 積分區(qū)

32、域 關(guān)于 對稱，同時(shí)被積函數(shù)是關(guān)于 的奇函數(shù)，所以原式 . ：由 的上凸弧段部分與 軸所形成的曲邊梯形解答 對 求二次導(dǎo)數(shù)，由題意可得 時(shí)在此區(qū)間上為上凸區(qū)間，即 所以，原式 ： 解答 原式 5計(jì)算下列二重積分： ： 解答 由廣義極坐標(biāo)： ，則 ，由區(qū)域與函數(shù)的對稱性可得：原式 ： ，并求上序二重積分當(dāng) 的極限解答 原式 ， 原式 解答 原式 ： 及 解答 原式               8設(shè) 是半徑為 的周長，證明： 證明：將積分化為極坐標(biāo)形式為9設(shè)

33、是 上非負(fù)連續(xù)函數(shù)， 在 上連續(xù)且單調(diào)遞增，證明： 證明：左邊 右邊 可得 可得 由于 都是連續(xù)且單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即 ，從而 ，則 10設(shè) 均為正整數(shù)，且其中至少有一個(gè)是奇數(shù)，證明：證明：當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，將積分化為先對 后對 的二重積分因?yàn)?為奇數(shù)，于是 關(guān)于 是奇函數(shù)從而 ，所以 .當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，同理可證 .11設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，令 ，證明： 證明： 12計(jì)算 解答 原式 13 ， ：由 及 所圍之區(qū)域.解答 設(shè) ，則 14計(jì)算下列三重積分： ， ：由 及 所圍形體解答 原式   ， ： 及 所圍形體解答 原式 ， ：由 面上的區(qū)域 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的空間區(qū)域，其中： 解答

34、利用“先二后一”法將區(qū)間分為兩部分 ： ， ： ， 則原式 , ：由 及 所圍形體解答 原式 , ：由 與 所圍的空間區(qū)域解答 原式 ， 為底面為單位正方形，高為 的正四棱錐體，而 為錐體中任一點(diǎn)到頂點(diǎn) 的距離解答 以底面正方形中心為 ，建立坐標(biāo)系，其中 ， ， ， ，則 ，此函數(shù)關(guān)于 對稱，故只需計(jì)算第一象限上的部分，由于 的方程分別為 和 ，所以原式 15求下列曲線所圍圖形的面積. 解答 兩曲線的交點(diǎn)為 所以 解答 將原式化為極坐標(biāo)形式為 ，令 ，可得 或 所以      解答 設(shè) ，原式化為極坐標(biāo)形式為 原式 16求曲面 夾在兩曲面 之間的部分的面

35、積.解答 由題意可得 則 17求用平面 與曲面 相截所得的截?cái)嗝嬷娣e.解答 方法一：由 ，可得 ， 則所得的截?cái)嗝嬷娣e 即求 之面積，其中 ： 令 ， ，則 其中 ： ，即 故 又橢圓 的面積為 所以 方法二：由兩方程可得 ， 設(shè)所截圓面的半徑為 ， 又原心到平面 的距離 ，則圓面半徑 所以 18求下列曲面所圍形體的體積. 解答 解答 解答 21設(shè)質(zhì)量為 ，半徑為 的非均勻球體，球上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到球心的距離成正比，求球關(guān)于切線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解答 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系 令 ，則 設(shè)切線過點(diǎn) ，方向向量為 ，則切線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 習(xí) 題 十 二1  設(shè) 在 內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)函

36、數(shù)，求 ，其中 是從點(diǎn) 到點(diǎn) 的直線段. 解答 令 ， 則 ，故在單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān) 方法一：選取積分路徑：從 到 ，再從 到 的折線段，于是 方法二：可取曲線 : ，從 到 則 2  計(jì)算 ，其中 為過 ， ， 三點(diǎn)的圓周.解答 連接 ，使 與 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 ， 由格林公式可得    所以 1  計(jì)算 ， 是上半圓周， , 的坐標(biāo)分別為 ， .解答 連接 ，使 與 圍成區(qū)域 ，令 ， 由格林公式可得 則 2  計(jì)算 ，其中 為常數(shù)， ， ， ， 為 上的一段弧， 為 上的一段弧.解答 連接 ，使 與 圍成區(qū)域 ，令， 則

37、 ， 由格林公式可得 則    5 . 計(jì)算 ，其中 為連接 與 的曲線弧段.解答 令 ， , ，故在單連通區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)，因此取曲線 ： ，從 到 則 6  計(jì)算 ，其中 是沿橢圓 的正向從 到 的一段弧. 解答 連接 ， 使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式可得 則 7  計(jì)算 ，其中 是依次連接 ， ， ， 的有向折線. 解答 連接 ，使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式可得 所以 則 8  設(shè)平面 與橢圓柱面 相截，求其在 及平面 之間的橢圓柱面的側(cè)面積.解答 設(shè) 則 根據(jù)弧長的曲面積分 令 ，當(dāng) 從 時(shí)， 從 ， 從 原

38、式   9  計(jì)算 ，其中 和 為連續(xù)函數(shù)， 為連接 和點(diǎn) 的任何路徑，但與線段 圍成圖形 有定面積 . 解答 10計(jì)算 其中 是通過點(diǎn) ， ， 的半圓周 . 解答 連接 ，使 圍成區(qū)域 ，令 ， 則 由格林公式有 所以 11 ,其中 是圓周 ， ,若從 軸正向看去，這個(gè)圓周取逆時(shí)針方向. 解答 設(shè) 為 上側(cè)，則 12計(jì)算 ，其中 是 被平面 所割下的部分.解答 由對稱性，只要計(jì)算第一掛限的部分，則 ( ) ( ) 13計(jì)算 ， :錐面 及平面 所圍立體的外側(cè).解答 由 可得 則 14求 在 處沿曲線： ，在 處的切線方向的方向?qū)?shù). 解答     &#