【精品奧數(shù)】五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)講義—第八講分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算(一)通用版(含答案)

1、分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算(一)在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)以后，我們所遇到的計(jì)算大多數(shù)都是分?jǐn)?shù)間的計(jì)算或者是分?jǐn)?shù)和小數(shù)的混合 計(jì)算，在計(jì)算過(guò)程中，是將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)還是將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，若都是分?jǐn)?shù)，是用假分?jǐn)?shù) 還是用帶分?jǐn)?shù)，這些都會(huì)讓學(xué)生很糾結(jié)，總結(jié)了幾個(gè)小技巧：1、一般情況下，在加法和減法中，用小數(shù)計(jì)算比較方便，在乘除法中，用分?jǐn)?shù)比較方便，并 且要將除法轉(zhuǎn)化為乘法，先約分，再計(jì)算；2、在加減法中，若分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)時(shí)是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，那就將整個(gè)式子都轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)再進(jìn)行 計(jì)算；3、計(jì)算過(guò)程中，根據(jù)式子的特點(diǎn)再判斷是用假分?jǐn)?shù)還是帶分?jǐn)?shù)，要能夠隨機(jī)應(yīng)變 常規(guī)的簡(jiǎn)便計(jì)算：1、分組湊整使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十、整百、整千

2、，使得計(jì)算簡(jiǎn)便例：；1211232112+ + + 1222+ + + + + ：33：333+ + + + + + +4414444因?yàn)槭堑览}，為了便于學(xué)生理解，只截取了題目的一部分，數(shù)字較小，很多學(xué)生覺(jué)得直 接硬算就可以了，當(dāng)然了，這也是一種方法，在這里，我們就要結(jié)合之前講過(guò)的內(nèi)容思考一下， 能不能簡(jiǎn)便計(jì)算呢？仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)分母為1的數(shù)和為1,分母為2的數(shù)和為2,分母為3的數(shù)和為3,分母為 4的數(shù)和為4,能發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律這道題目就很簡(jiǎn)單了，原式= 1+2+3+4=10,這道題懂了之后 我們來(lái)看一下這道題完整版的。 1 2 1 1 2 3 2 1 - I 112 I - I 1995 I -

3、 111222333331995199519951995= 1+ 2 +3+ HF 1995=(1 + 1995) x 1995 2 =998 x 1995 二(1000 2) x 1995 =1000 X1995 2 X1995 =1995000 - 3990 =1991010 2、加補(bǔ)湊整通過(guò)“借數(shù)”、“拆數(shù)”湊整的方法。44444例： 一 -1 ' +'.50555這道計(jì)算題中既有真分?jǐn)?shù)又有帶分?jǐn)?shù)， 很多學(xué)生都會(huì)覺(jué)得第一步應(yīng)該先把帶分?jǐn)?shù)換成假分 數(shù)，然后再去考慮怎么簡(jiǎn)便計(jì)算，這是沒(méi)有必要的。我們仔細(xì)觀察這個(gè)式子的特點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)每一個(gè)數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)整數(shù)和 y的差，然后通

4、過(guò)加法交換律和加法結(jié)合律就能很容易的算出最終結(jié)果，詳細(xì)過(guò)程如下：4 ,44 2 44-F9- +99- +999- + 9999- 5 o555=(1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) - 1 X 5=Hill -1=lino3、數(shù)值原理法把能湊成整數(shù)的部分先計(jì)算，再把得到的結(jié)果和其它數(shù)進(jìn)行計(jì)算。,44444例： + 乙，丁.5oo55還是上道例題，除了上述計(jì)算方法之外，我們來(lái)研究一下如何用數(shù)值原理法解決，詳細(xì)計(jì) 算過(guò)程如下：4.4444-+9- +99- +999- -F9999-o 551 4444= 7+ 9+R+ 99+r+999+ 下+ 9999 + -5 555

5、54=9 + 99 + 999 + 9999 + - X5= 10 + 100 十 1000 + 10000 - 4 + 4=11110 4、分?jǐn)?shù)乘除約分法在分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)除法中，先把原式改寫成乘法形式，把能夠約分先約分，再計(jì)算。igg7例：. " _.iyyo在這里首先要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，除法沒(méi)有分配律，這道題錯(cuò)誤率極高，很多學(xué)生的計(jì)算如下:1997f1997、= 1997-1997 + -1Hn凸 /=1997=期？ +生甌577礪=1+1998= 1999這道題其實(shí)并不難，主要考察的就是帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化，正確計(jì)算過(guò)程如下:9199719974.旃=1997 +1997X1998 +

6、 1997= 1997 4-19981997 X (1998 + 1)= 1997 +19981997x199919981998Tf妝 X199919981999分?jǐn)?shù)計(jì)算中，掌握了這些只能算是入門，還需掌握分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)便計(jì)算?？嫉娜N方法：裂項(xiàng)、 換元和通項(xiàng)歸納才行。一、裂項(xiàng)分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，其重點(diǎn)是要能夠發(fā)現(xiàn)規(guī) 律，很多情況下規(guī)律并不容易找到，需要先對(duì)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，或者先?jì)算一部分，使得 規(guī)律簡(jiǎn)單點(diǎn)。1、“裂差”型適用于分子是1,分母可以寫成兩個(gè)因數(shù)或多個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，若c =值乂匕，則1 = 與c aXb（口 V力，將比較小的數(shù)寫在前面）.（1）分

7、子是1,分母可寫成是兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù),公式:1 _1_ 12 _ 1153X35-3父(彳 5J 2 X 1513'(2)分子是1,分母可寫成是三個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，一一口 J JixS + l)xS + 2)2 Mx D W+l)x5+2)例：一一 二I _ 1 ” M _ I I _ 1方忑一荻3= 2Xl6-12j = 2Xl2 = 24;(3)分子是1,分母可寫成是四個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，公式：1_ 1 r 11n X (n + 1) X (n + 2) X (n + 3) = 3 L n X (n +1) X (n + 2) - (n + 1) X (n + 2) X (n +

8、3)1 = i _ i x= Lx(±_n = j_.注：當(dāng)分母是多個(gè)因數(shù)乘積時(shí)，要滿足相鄰兩個(gè)分母上的因數(shù)要“首尾相連” 因數(shù)的差是一個(gè)定值。2、“裂和”型j + 6 _ab1+ = x &。X &b1-1, a4上7a X & a例：” :10_ 3 + 5 _工+上=3X53X5533X5；公式一、u? + 接 _r + 1= a X6 aXba b6 + aaXb有 13例：6_ 22 + 3222 , 322X32X32=3 +3 _132x32 6,且分母上幾個(gè)練習(xí)題、常規(guī)的簡(jiǎn)便計(jì)算八JI I 11 /2222 /333 1仁+ w一彳+而)+ b

9、 + w + 5 +而彳一+而)+(2) 1993 77 1992 + 1991 彳1990 彳 + + 1 5&jTJ七 J(3)199719971998 19971111111112_6-12_20_30_42_56-72-90(5)： +111115 + 35 + 63 + 99 + 143 + 195,19 , 29 , 9701 , 9899203097029900參考答案、常規(guī)的簡(jiǎn)便計(jì)算9 -U 1 -2+ J/ 8 -O 1 -2+ 1819 f I+±20一A十3 -5一 3 -4 /H%+2-5+2-4十2 -3一tu/120+1 -4+1 -3+1 -2=

10、£ + ；父 0 + 2) + 1 M 1 + 2+M + + 1 X (1 + 2 + 3 + 19) £»c t'XWi，=1+ ：X0+2) x24-2 + ix(l+3)x3-?2 + -F X (1 + 19) X19 -?22 CJ42()12319=+ |- - +-I- 2222_ (1 + 19) X 19-2二 2=95解法一1993 J - 19921 + 19911 - 1990 ： + + 1J ； 上J£O上J1993 十1990+-1992 + 引 + 11991 + 歹.+ 1 + *111nlqHHl+弓一0一可

11、tjWJ/I 1.112 - 3 + 2 - 3 + "+ 2 - 3=1993 + J 1992 - 1 + 1991 + ； 1990 -巳J巳=(1993 - 1992 + 1991 - 1990 + + 1 0) +(1 -F HF 1)=、-+997個(gè)U X 9971 X 997=997 + 997 X997=997 + 二一=997 + 166 不=1163()19911 - 1990 TF(2)解法一19931 - 1992+ 1991 - 19905+ + 119931 - 1992 1 =11 X (1993 - 1) 4-2 + 1=L、x (1992 + 2 十1)=11 x (996 + 1)7-=-X 9976_ 6979=61()g7 1997 湍 2199719971997 +1998 19971997=1997 9 1997 + 西函 2 1997199719981199811v 199719982121To2X312 12 - 20+ 3x41 1()130 14X5425615X67216X71901+ 7X8+ 8x9+19X10