小學奧數(shù)-幾何五大模型(等高模型)

1、三角形等高模型與鳥頭模型模型一三角形等高模型已經(jīng)知道三角形面積的計算公式：三角形面積底高 2從這個公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大 (小 )，三角形面積也就越大 (小)；如果三角形的高不變，底越大 (小 )，三角形面積也就越大 (小)；這說明當三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化但是，當三角形的底和高同時發(fā)生變化時，三角形的面積不一定變化比如當高變?yōu)樵瓉淼? 倍，底變?yōu)樵瓉淼? ，則三角形面積與原來3的一樣 這就是說： 一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化同時也告訴我們：一個三角形在面

2、積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個不同的形狀在實際問題的研究中，我們還會常常用到以下結(jié)論：等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如圖S1 : S2a : bABS1S2abCD夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖S ACDS BCD ；反之，如果 S ACDS BCD ，則可知直線AB 平行于 CD 等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比pag

3、e 1 of 32【例1】你有多少種方法將任意一個三角形分成： 3 個面積相等的三角形； 4 個面積相等的三角形；6 個面積相等的三角形?！窘馕觥?如下圖， D、 E 是 BC 的三等分點，F(xiàn)、G 分別是對應線段的中點，答案不唯一：AAAGFBDECBDCBDC 如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：【例2】如圖， BD 長 12 厘米， DC 長 4 厘米， B、 C 和 D 在同一條直線上。 求三角形ABC 的面積是三角形ABD 面積的多少倍？ 求三角形 ABD 的面積是三角形ADC 面積的多少倍？ABDC【解析】 因為三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角

4、形 ADC 在分別以 BD 、 BC 和 DC 為底時，它們的高都是從 A點向 BC 邊上所作的垂線，也就是說三個三角形的高相等。于是：三角形ABD 的面積12高26 高三角形 ABC 的面積 （124） 高2 8高三角形 ADC的面積 4 高 2 2高所以，三角形ABC 的面積是三角形ABD 面積的 4 倍；3三角形 ABD 的面積是三角形ADC 面積的 3 倍。【例3】如右圖， ABFE 和 CDEF 都是矩形， AB 的長是 4 厘米， BC 的長是 3 厘米，那么圖中陰影部分的面積是平方厘米。ABEFDC【解析】 圖中陰影部分的面積等于長方形ABCD 面積的一半，即4326 ( 平方厘

5、米 ) 。【鞏固】 ( 2009 年四中小升初入學測試題) 如圖所示，平行四邊形的面積是50 平方厘米，則陰影部分的面積是平方厘米。page 2 of 32【解析】根據(jù)面積比例模型，可知圖中空白三角形面積等于平行四邊形面積的一半，所以陰影部分的面積也等于平行四邊形面積的一半，為 50 2 25 平方厘米。【鞏固】如下圖，長方形AFEB 和長方形 FDCE 拼成了長方形ABCD ，長方形 ABCD 的長是 20，寬是 12，則它內(nèi)部陰影部分的面積是。ABFEDC【解析】 根據(jù)面積比例模型可知陰影部分面積等于長方形面積的一半，為112 120 。202【例4】如圖，長方形 ABCD 的面積是 56

6、 平方厘米， 點 E 、F 、G 分別是長方形ABCD 邊上的中點， H 為 AD邊上的任意一點，求陰影部分的面積。AHDAHDEGEGBFCBFC【解析】 本題是等底等高的兩個三角形面積相等的應用。連接 BH 、CH 。AEEB ，S AEHS BEH 同理， S BFH S CFH ， S CGH =S DGH ，S陰影11(平方厘米 )S長方形 ABCD56 2822【鞏固】圖中的E、 F 、 G分別是正方形ABCD 三條邊的三等分點，如果正方形的邊長是12 ，那么陰影部分的面積是。ADAHD6G51 GEE423BFCBFC【解析】 把另外三個三等分點標出之后，正方形的3個邊就都被分成

7、了相等的三段。把H 和這些分點以及正方形的頂點相連，把整個正方形分割成了9 個形狀各不相同的三角形。這9 個三角形的底邊分別是在正方形的 3個邊上， 它們的長度都是正方形邊長的三分之一。陰影部分被分割成了 3個三角形， 右邊三角形的面積和第1第 2 個三角形相等：中間三角形的面積和第3第 4個三角形相等；左邊三角形page 3 of 32的面積和第5 個第 6 個三角形相等。因此這 3 個陰影三角形的面積分別是ABH 、 BCH 和 CDH 的三分之一， 因此全部陰影的總面積就等于正方形面積的三分之一。正方形的面積是144，陰影部分的面積就是48?！纠?】長方形 ABCD 的面積為 36 cm

8、2 ， E 、 F 、 G 為各邊中點， H 為 AD 邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？AHDEGBFC【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接BH 、 HC ，如下圖：AHDEGBFC可得：S EHB111S AHBS CHBS CHD36SAHB、SFHBS CHB、 S DHGS DHC ，而 SABCD222即 SEHBS BHFS DHG1S CHBS CHD)118 ；(S AHB362121111而SEHBS BHFS DHGS陰影BEBFBC)4.5 。SEBF， SEBF(2AB) (362228所以陰影部分的面積是：S陰影18S EBF184.5 13.5解法二：特殊點

9、法。找H 的特殊點，把 H 點與 D 點重合，那么圖形就可變成右圖：D (H)AEGBFC這樣陰影部分的面積就是DEF 的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有：S陰影 SABCD S AED S BEF S CFD111111113.5。363623623622222【例6】長方形 ABCD 的面積為36， E 、 F 、 G 為各邊中點，H 為 AD 邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？AHDEGBFCpage 4 of 32A(H)DEGAHDEGBFCBFC【解析】 （法 1）特殊點法。由于H 為 AD 邊上任意一點，找H 的特殊點，把 H 點與 A 點重合（如左上圖） ，那么陰影部分的面積就是AE

10、F 與ADG 的面積之和，而這兩個三角形的面積分別為長方形ABCD面積的1 和 1 ，所以陰影部分面積為長方形ABCD 面積的 113，為36313.5 。848488（法 2）尋找可利用的條件，連接BH 、 HC ，如右上圖?？傻茫篠 EHB111S AHBS CHBS CHD36 ，SAHB、SFHBS CHB、 S DHGS DHC ，而 SABCD222即SEHBS BHFS DHG1S CHBSCHD)136 18；(S AHB2211111而SEHBS BHFS DHGS陰影BEBC)4.5 。SEBF， SEBFBF(AB) (3622228所以陰影部分的面積是：S陰影18S E

11、BF184.513.5 ?！眷柟獭吭谶呴L為6 厘米的正方形ABCD 內(nèi)任取一點 P ，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與 P 點連接 , 求陰影部分面積。ADA (P)DADPPBCBCBC【解析】 （法 1）特殊點法。由于P 是正方形內(nèi)部任意一點，可采用特殊點法，假設(shè)P 點與 A 點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方形面積的1 和 1，所以陰影部4621115 平方厘米。分的面積為 6()46（法 2）連接 PA 、 PC 。由于 PAD 與PBC 的面積之和等于正方形ABCD 面積的一半，所以上、下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABC

12、D 面積的 1，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD 面4積的 1 ，所以陰影部分的面積為21)15 平方厘米。6 ( 1646【例7】如右圖， E 在 AD 上，AD 垂直 BC， AD12厘米， DE3 厘米求三角形 ABC 的面積是三角形 EBC面積的幾倍？page 5 of 32AEBCD【解析】 因為 AD 垂直于 BC，所以當 BC 為三角形 ABC 和三角形 EBC 的底時， AD 是三角形 ABC 的高， ED是三角形 EBC 的高，于是：三角形 ABC 的面積BC122BC6三角形 EBC 的面積BC32BC1.5所以三角形 ABC 的面積是三角形EBC

13、的面積的 4 倍【例 8】如圖，在平行四邊形 ABCD 中， EF 平行 AC，連結(jié) BE、AE、CF、BF 那么與BEC 等積的三角形一共有哪幾個三角形？AFDEBC【解析】AEC、AFC 、 ABF 【鞏固】如圖，在ABC 中， D 是 BC 中點， E 是 AD 中點，連結(jié)BE、 CE，那么與ABE 等積的三角形一共有哪幾個三角形？AEBCD【解析】 3 個，AEC 、BED 、DEC 【鞏固】如圖，在梯形ABCD 中，共有八個三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對？A DOBC【解析】ABD 與ACD，ABC 與 DBC ，ABO 與 DCO 【例9】 ( 第四屆”迎春杯”試題) 如圖

14、，三角形ABC 的面積為1，其中 AE3AB， BD2BC ，三角形 BDE的面積是多少？ABEABECCDD【解析】 連接 CE ， AE3AB ， BE2AB， S BCE2S ACB又 BD2BC ， S BDE2S BCE4SABC 4【例10】( 2008 年四中考題 ) 如右圖， ADDB ，AEEFFC ，已知陰影部分面積為5 平方厘米， ABC的面積是平方厘米page 6 of 32BBDDAEFCAEFC【解析】 連接 CD 根據(jù)題意可知，DEF 的面積為 DAC 面積的 1 ，DAC 的面積為 ABC 面積的 1 ，所32以DEF 的面積為ABC 面積的 111 而DEF

15、的面積為5 平方厘米，所以ABC 的面積為2365130 ( 平方厘米 )6【鞏固】 圖中三角形 ABC 的面積是180 平方厘米， D 是 BC 的中點， AD 的長是 AE 長的 3 倍， EF 的長是 BF長的 3 倍那么三角形AEF 的面積是多少平方厘米？AEFBDC【解析】 ABD ，ABC 等高，所以面積的比為底的比，有S ABDBD1S ABCBC,2所以 SABD= 1S ABC1 180 90 (平方厘米 )同理有 S ABEAES ABD190 30 ( 平方厘米 )，22AD3FES33022.5(平方厘米 )即三角形AEF 的面積是 22.5平方厘米S AFEABEBE

16、4【鞏固】如圖，在長方形ABCD 中， Y 是 BD 的中點， Z 是 DY 的中點，如果AB 24 厘米， BC 8厘米，求三角形 ZCY 的面積DCZYAB【解析】 Y 是 BD 的中點， Z 是 DY 的中點， ZY11DB，SZCY1S DCB，224111(平方厘米 )又 ABCD 是長方形， S ZCYS DCBS ABCD 24442【鞏固】如圖，三角形ABC 的面積是24， D、 E 和 F 分別是 BC、 AC 和 AD 的中點求三角形 DEF 的面積AFEBDC【解析】 三角形 ADC 的面積是三角形ABC 面積的一半 242 12，三角形 ADE 又是三角形ADC 面積的

17、一半 1226page 7 of 32三角形 FED 的面積是三角形ADE 面積的一半，所以三角形FED 的面積 6 2 3【鞏固】如圖，在三角形ABC 中， BC8 厘米，高是 6 厘米， E、 F 分別為 AB 和 AC 的中點，那么三角形EBF 的面積是多少平方厘米？AFEBC【解析】 F 是 AC 的中點S ABC 2S ABF同理 S ABF 2S BEFS BEF S ABC486246( 平方厘米 ) 【例11】如圖 ABCD 是一個長方形，點E、 F 和 G 分別是它們所在邊的中點如果長方形的面積是36個平方單位，求三角形EFG 的面積是多少個平方單位DGCGCDEFEFABA

18、B【解析】 如右圖分割后可得，S EFG S矩形 DEFC2 S矩形 ABCD 436 4 9 （平方單位） 【鞏固】 ( 97迎春杯決賽 ) 如圖， 長方形 ABCD 的面積是 1 ， M 是 AD 邊的中點， N 在 AB 邊上，且 2AN BN .那么，陰影部分的面積是多少？AMAMDDNNBCBC【解析】 連 接 BM ，因為M 是中點所以 ABM 的面積為1 又因為 2ANBN ，所以 BDC 的面積為4111 ，又因為 BDC 面積為1 ，所以陰影部分的面積為：1115 .4312212212【例12】如圖，大長方形由面積是 12平方厘米、24 平方厘米、 36 平方厘米、48 平

19、方厘米的四個小長方形組合而成求陰影部分的面積AB36cm 212cm 236cm 212cm 2MN48cm 248cm 224cm 224cm 2CD【解析】 如圖，將大長方形的長的長度設(shè)為1，則 AB12121 ，CD241 ，111 ，陰影部分面積為 (123641124483所以 MN243648)5(cm2 ) 3412212page 8 of 32【例13】 如圖，三角形 ABC 中，DC 2BD ，CE 3AE ，三角形 ADE 的面積是 20 平方厘米， 三角形 ABC 的面積是多少？AEBDC【解析】 CE 3AE ， AC 4AE ， S ADC 4S ADE；又 DC 2

20、BD ， BC 1.5DC ， S ABC 1.5SADC6S ADE 120 ( 平方厘米 ) 【例14】( 2009 年第七屆” 希望杯”二試六年級 ) 如圖，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE 、三角形 BCD 的面積分別是 89， 28， 26那么三角形DBE 的面積是BDAEC【解析】 根據(jù)題意可知，S ADCS ADES DCE所以 BD:AD SBDC:SADC26 :117那么 SDBE:SADEBD:AD2:9，2(9022故SDBE 891)209998928117 ，2:9 ，1979【例15】( 第四屆小數(shù)報數(shù)學競賽) 如圖，梯形 ABCD 被它

21、的一條對角線BD 分成了兩部分三角形BDC 的面積比三角形ABD 的面積大 10 平方分米已知梯形的上底與下底的長度之和是15 分米，它們的差是5 分米求梯形 ABCD 的面積ADADBBhCCE【解析】 如右圖， 作 AB 的平行線 DE三角形 BDE 的面積與三角形ABD 的面積相等， 三角形 DEC 的面積就是三角形BDC 與三角形ABD 的面積差 ( 10 平方分米 ) 從而，可求出梯形高( 三角形 DEC 的高 ) 是：2 10 5 4 (分米 )，梯形面積是： 15 4 2 30( 平方分米 ) 【例16】圖中AOB 的面積為 15cm 2 ，線段 OB 的長度為OD 的 3 倍，

22、求梯形ABCD 的面積A DOBC【解析】 在ABD 中，因為 S AOB15cm 2 ，且 OB3OD ，所以有 S AODS AOB35cm 2 因為ABD 和ACD 等底等高，所以有S ABDS ACD page 9 of 32從而2BCD22中， S BOC 3S OCD 45cm ，所以梯形面積：S OCD 15cm ，在155154580（ cm ）【例17】如圖，把四邊形 ABCD 改成一個等積的三角形DDAABCABC【解析】 本題有兩點要求，一是把四邊形改成一個三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相等我們可以利用三角形等積變形的方法，如右上圖把頂點 A 移到 CB 的延長線

23、上的A處， ABD 與ABD 面積相等， 從而ADC 面積與原四邊形 ABCD 面積也相等 這樣就把四邊形ABCD 等積地改成了三角形 ADC 問題是 A位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則過A 作一條和 DB 平行的直線與 CB的延長線交于A點具體做法：連接 BD； 過 A 作 BD 的平行線，與 CB 的延長線交于 A 連接 AD，則ACD 與四邊形 ABCD 等積【例18】（第三屆“華杯賽”初賽試題）一個長方形分成4 個不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的 15% ，黃色三角形面積是21cm2 問：長方形的面積是多少平方厘米？黃紅紅綠【解析】 黃色三角形與綠色三角形的底相等都等于長方

24、形的長，高相加為長方形的寬，所以黃色三角形與綠色三角形的面積和為長方形面積的50% ，而綠色三角形面積占長方形面積的15% ，所以黃色三角形面積占長方形面積的50% 15%35% 已知黃色三角形面積是21cm2 ，所以長方形面積等于2135%60 （ cm2 ）【例19】O 是長方形 ABCD 內(nèi)一點，已知OBC 的面積是 5cm2 ，OAB 的面積是 2cm2 ，求OBD 的面積是多少？ADOPBC11【解析】 由 于 ABCD 是長方形，所以S AODS BOCSABD，SABCD ，而 S ABDSABCD ，所以 S AOD S BOC22則SBOCSOABS OBD ，所以 S OB

25、DS BOCS OAB 5 2 3cm2 【例20】如右圖，過平行四邊形ABCD內(nèi)的一點 P 作邊的平行線EF、GH，若PBD 的面積為8 平方page 10 of 32分米，求平行四邊形PHCF 的面積比平行四邊形PGAE的面積大多少平方分米？AGDAGDEPEPFFBHCBHC【解析】 根據(jù)差不變原理，要求平行四邊形PHCF 的面積與平行四邊形PGAE 的面積差，相當于求平行四邊形 BCFE 的面積與平行四邊形ABHG 的面積差如右上圖，連接CP、 AP由于 S BCPS ADP S ABPS BDPS ADP1，所以 S BCP S ABP S BDP SABCD2而1SBCFE ， S

26、 ABP1SABHG ，所以 SBCFESABHG 2 S BCPS ABP2S BDP16( 平方分米 ) S BCP22【例21】如右圖，正方形ABCD 的面積是 20，正三角形BPC 的面積是 15，求陰影BPD 的面積APDADPOBCBC【解析】 連接 AC 交 BD 于 O 點，并連接PO 如下圖所示，可得 PO /DC，所以DPO 與CPO 面積相等 ( 同底等高 ) ，所以有：S BPOS CPOS BPOS PDOS BPD，因為 S BOC1 SABCD1205 ，所以 S BPD 15510 44【鞏固】如右圖，正方形ABCD 的面積是 12，正三角形BPC 的面積是5

27、，求陰影BPD 的面積APDADPOBCBC【解析】 連接AC 交 BD 于 O 點，并連接PO 如右上圖所示，可得PO /DC，所以DPO 與CPO 面積相等 ( 同底等高 ) ，所以有 :S BPOS CPOS BPOSPDOS BPD，因為 S BOC1 SABCD3，所以 SBPD 5 3 24【例22】在長方形 ABCD 內(nèi)部有一點 O ，形成等腰AOB 的面積為 16，等腰DOC 的面積占長方形面積的 18% ，那么陰影AOC 的面積是多少？page 11 of 32DCOAB【解析】 先算出長方形面積，再用其一半減去DOC 的面積 ( 長方形面積的 18% ) ，再減去AOD 的

28、面積，即可求出 AOC 的面積根據(jù)模型可知S COD S AOB1 SABCD ，所以 SABCD16 （118%） 50，22又AOD 與BOC 的面積相等，它們的面積和等于長方形面積的一半，所以AOD 的面積等于長方形面積的 1，4所以 S AOCS ACD S AODS COD1 SABCD25%SABCD 18%SABCD 2512.59 3.52【例23】（ 2008 年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學邀請賽六年級）如右圖所示，在梯形ABCD中， E、 F分別是其兩腰AB 、 CD 的中點， G 是 EF 上的任意一點， 已知 ADG的面積為 15cm 2 ，而 BCG 的面積恰好是梯形

29、ABCD 面積的 7，則梯形 ABCD 的面積是cm2 20ADADEFEGFGBCBC【解析】 如果可以求出ABG 與 CDG 的面積之和與梯形ABCD 面積的比，那么就可以知道ADG 的面積占梯形 ABCD 面積的多少，從而可以求出梯形ABCD 的面積如圖，連接 CE 、 DE 則 S AEGSDEG，S BEGS CEG ，于是 S ABGS CDGS CDE要求 CDE 與梯形 ABCD 的面積之比， 可以把梯形 ABCD 繞 F 點旋轉(zhuǎn) 180 ，變成一個平行四邊形 如下圖所示：從中容易看出CDE 的面積為梯形ABCD的面積的一半(也可以根據(jù)1SBECSABC ，AFD1AED1AB

30、C1ADC12SAEDSSADC ，SBECSSSSABCD 得來 )2222那么，根據(jù)題意可知ADG 的面積占梯形ABCD 面積的 11 73 ，所以梯形ABCD 的面積是32202015100cm2 20小結(jié)：梯形一條腰的兩個端點與另一條腰的中點連接而成的三角形，其面積等于梯形面積的一半，這是一個很有用的結(jié)論本題中，如果知道這一結(jié)論， 直接采用特殊點法， 假設(shè) G 與 E 重合，則CDEpage 12 of 32的面積占梯形面積的一半，那么ADG 與BCG 合起來占一半【例24】如圖所示，四邊形ABCD與 AEGF 都是平行四邊形，請你證明它們的面積相等FFABABGGDECDEC【解析】

31、本題主要是讓學生了解并會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等和三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接BE ( 我們通過 ABE 把這兩個看似無關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起)在平行四邊形ABCD 中， S ABE1AB AB 邊上的高，21S ABES ABCD 2同理， S ABE1S AEGF ，平行四邊形 ABCD 與 AEGF 面積相等2【鞏固】 如圖所示，正方形 ABCD 的邊長為 8厘米，長方形 EBGF 的長 BG 為 10 厘米，那么長方形的寬為幾厘米？EEABABFFDGCDGC【解析】 本題主要是讓學生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等( 長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形 ) 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接 AG ( 我們通過 ABG 把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在一起) 在正方形 ABCD 中， S ABG1AB 邊上的高，AB2S ABG1 S ABCD ( 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半)2同理，S ABG1SEFGB 2正方形 ABCD 與長方形 EFGB 面積相等長方形的寬88106