函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、11.10 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 與間斷點(diǎn)與間斷點(diǎn)函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)連續(xù)(continuity)函數(shù)的函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) (discontinuous point)第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限21. 函數(shù)的增量函數(shù)的增量)()(0 xfxfy 自變量自變量0 x稱差稱差0 xxx 為自變量在為自變量在, x0 x的增量的增量; 函數(shù)隨著從函數(shù)隨著從)(0 xf),(xf稱差稱差)()(00 xfxxf 為函數(shù)的為函數(shù)的增量增量. .如圖如圖:xxx 0一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性xyO)(xfy 0 xxx 0 x y )(0 xf 函數(shù)的連續(xù)性與間

2、斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)3連續(xù)連續(xù), ,2. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義1 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義,0lim0 yx若若則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x0處處并稱并稱x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn). . 自變量在自變量在x0點(diǎn)的增量為無窮小時(shí)點(diǎn)的增量為無窮小時(shí),函數(shù)的增量也為無窮小函數(shù)的增量也為無窮小.形象地表示了形象地表示了連續(xù)性的特征連續(xù)性的特征.采用了無窮小定義法采用了無窮小定義法4例例.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任取任取 y)2cos(2sin2xxx 1)2cos( xx ),(sin xx

3、y對(duì)對(duì)任任意意函函數(shù)數(shù)即即內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)),(cos xy)sin(xx xsin 都是連續(xù)的都是連續(xù)的.類似可證類似可證,是連續(xù)的是連續(xù)的.0lim0 yx122 x x 0 x 即即0lim0 yx 022sinxx 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)5,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy 0 x,0 xx 即為即為0 y).()(0 xfxf即為即為定義定義2 2若若),()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x0處處連續(xù)連續(xù). . 把極限與連續(xù)性聯(lián)系起來了把極限與連續(xù)性聯(lián)系起來了,且提且提供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡便方法供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡便方法

4、只需求出該點(diǎn)函數(shù)特定值只需求出該點(diǎn)函數(shù)特定值.6例例0, 0, 0, 0,1sin)( xxxxxxf在在證證 xxx1sinlim0, 0)0( f又又定義定義2.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx )(lim0 xfxx)(0 xf , 0試證函數(shù)試證函數(shù)處連續(xù)處連續(xù). 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)7連續(xù)性連續(xù)性f (x)在在0 x處有定義處有定義;(1)(lim0 xfxx(2)(lim0 xfxx(3)(0 xf 三個(gè)要素三個(gè)要素: :存在存在; 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)83. 左、右連續(xù)左、右連續(xù))()(lim000 xfx

5、fxx 若若處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱0)(xxf)()(lim000 xfxfxx 若若處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱0)(xxf ,)()0(00 xfxf ,)()0(00 xfxf 左連續(xù)左連續(xù)(continuity from the右連續(xù)右連續(xù)(continuity from theleft); ;right). .0 x左連續(xù)左連續(xù)0 x右連續(xù)右連續(xù)xyOxyO9定理定理1處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)0)(xxf處既左連續(xù)處既左連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)0)(xxf 此定理常用于此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)判定分段函數(shù)在分段點(diǎn).又又右右連連續(xù)續(xù) )()0()0(000 xfxfxf 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.

6、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)10例例 , 1, 1, 1,)(2xxxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)解解)(lim1xfx 2 ),1(f )(lim1xfx ),1(f 右不連續(xù)右不連續(xù).1)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf)1(lim1 xx1lim21 xx1)( xxf在在所以所以左連續(xù)左連續(xù),1 x在在.1處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在 xxyO1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)11例例.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxf

7、xx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)124. 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)(continous function)與連續(xù)區(qū)間與連續(xù)區(qū)間上的上的或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). . 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), 稱該區(qū)間稱該區(qū)間在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba右連續(xù)右連續(xù) )(lim(xfax )(lim(xfbx左端點(diǎn)左端點(diǎn)ax 右端點(diǎn)右端點(diǎn)bx ,)(baCxf 這時(shí)也稱該區(qū)間為這時(shí)也稱該區(qū)間為左連續(xù)左連續(xù)連續(xù)函數(shù)連

8、續(xù)函數(shù), ,連續(xù)區(qū)間連續(xù)區(qū)間. .),()(baCxf )(af)(bf內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù))(xf 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)13例如例如, ,有理整函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式多項(xiàng)式)內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的.因此因此有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)有理分式函數(shù)有理分式函數(shù), ),(0 xnnxaxaaxP 10)(),( )()(lim00 xPxPxx )()()(xQxPxR 只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx 因此有理整函數(shù)因此有理整函數(shù)在在都是連續(xù)的都是連續(xù)的. 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)14定義定義4 4處

9、處在在若若0)(xxf出現(xiàn)如下三種情形之一出現(xiàn)如下三種情形之一:處處在點(diǎn)在點(diǎn)0)()1(xxf)(lim)2(0 xfxx)(lim)3(0 xfxx的的為為則稱則稱)(0 xfx二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類無定義無定義;不存在不存在;).(0 xf 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn). . 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)15間斷點(diǎn)分為兩類間斷點(diǎn)分為兩類:第二類第二類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(discontinuity point of the second kind):第一類第一類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(discontinuity point of the first kind):)0(0 xf及及)0(

10、0 xf均存在均存在, ,及及中至少一個(gè)不存在中至少一個(gè)不存在.)0(0 xf)0(0 xf)0(0 xf若若, )0(0 xf稱稱 為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn). .0 x)0(0 xf若若稱稱 為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn). .0 x若其中有一個(gè)為振蕩若其中有一個(gè)為振蕩, ,若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為, 稱稱 為為無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn). .0 x稱稱 為為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn). .0 x 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn), )0 x( f016例例,1)(xxf 函數(shù)函數(shù)xxf1)( 由于函數(shù)由于函數(shù)處處在在0)( xxf無定義無定義,)(0處無定義處無定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf.)(0的間斷點(diǎn)

11、的間斷點(diǎn)為為則稱則稱xfx0 x故故為為f(x)的的 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).)(lim0 xfx )(lim0 xfx 且且皆不存在皆不存在.第二類第二類第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):),0(0 xf)0(0 xf至少有至少有之之中中有有若若)0(),0(00 xfxf.0稱稱為為無無窮窮型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)則則xx 且是無窮型間斷點(diǎn)且是無窮型間斷點(diǎn).一個(gè)不存在一個(gè)不存在., 一個(gè)為一個(gè)為, xyO 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)17例例 , 0, 0, 0,1sin)(xxxxf函數(shù)函數(shù)處處在在0)( xxf有定義有定義,xx1sinlim0不存在不存在,0 x故故為為f (x)的的 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)

12、.)(0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為則稱則稱xfx,)(lim0不存在不存在xfxx第二類第二類且是無窮次振蕩型間斷點(diǎn)且是無窮次振蕩型間斷點(diǎn).在在時(shí)時(shí)但當(dāng)?shù)?dāng)xx1sin,01 , 1 xy1sin 之間來回?zé)o窮次振蕩之間來回?zé)o窮次振蕩,xy1sin 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)18例例 , 0,1, 0,)(xxxxxf函數(shù)函數(shù)),00()00( ff處處在在0)( xxf有定義有定義,0)(lim0 xx1)1(lim0 xx.)(0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為則稱則稱xfx,)(lim0不存在不存在xfxx0 x故故為為f (x)的的 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).第一類第一類的第一類間斷點(diǎn)的第一類間斷點(diǎn).

13、),0()0(00 xfxf但但則點(diǎn)則點(diǎn)x0為函數(shù)為函數(shù) f(x) 的的且是跳躍間斷點(diǎn)且是跳躍間斷點(diǎn).跳躍型間斷點(diǎn)跳躍型間斷點(diǎn)(Jump discontinuity).)0(0 xf及及)0(0 xf均存在均存在, 則點(diǎn)則點(diǎn)x0為為)(xfxyO 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)119 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)例例.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在 xxxxxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)解解, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 1 x),()(lim00 xfxfxx .)(0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為則稱則稱xfx為函數(shù)

14、的為函數(shù)的 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).第一類第一類 且是可去間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn)(removable discontinuity).2)1( f , 1,1, 10,2)(xxxxxf則則連續(xù)連續(xù).1)1( f,)(0處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xxf)()(lim00 xfxfxx 但但0)(xxf在點(diǎn)在點(diǎn)或或的的為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn))(0 xfx處無定義處無定義,可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).xyO112xy2 xy 1處處在在1 x20則可使則可使x0變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).注注對(duì)可去間斷點(diǎn)對(duì)可去間斷點(diǎn)x0,如果如果,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè)于于A, (這就是為什么將這種間斷點(diǎn)稱為這就是為

15、什么將這種間斷點(diǎn)稱為使之等使之等可去間斷點(diǎn)的理由可去間斷點(diǎn)的理由.)補(bǔ)充補(bǔ)充 x0的函數(shù)值的函數(shù)值,或或改變改變 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)21,1112處沒有定義處沒有定義在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù) xxxy11lim21 xxx如如補(bǔ)充補(bǔ)充定義定義:, 2)1( f令令.1處處連連續(xù)續(xù)所所給給函函數(shù)數(shù)在在則則 x.1稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所以以 x.1,不連續(xù)不連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)所以所以 x如如 21lim1 xx但但xyO112 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)22可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)跳躍型跳躍型無窮型無窮型無窮次振蕩型無窮次振蕩型第二類

16、間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)xyO0 x0 xxyOxyOxyO0 x 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)23總結(jié)兩類間斷點(diǎn)總結(jié)兩類間斷點(diǎn):第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn): 跳躍型跳躍型,第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn): 無窮型無窮型,可去型可去型無窮次振蕩型無窮次振蕩型極限與連續(xù)之間的關(guān)系極限與連續(xù)之間的關(guān)系: f(x)在在x0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù) f(x)在在x0點(diǎn)存在極限點(diǎn)存在極限 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)24設(shè)設(shè) 01sin00sin)(xxxbxaxxxxf, 為何值時(shí)為何值時(shí)問問ba;)(lim)1(0存在存在xfx.0)()2(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf解解 因?yàn)橐驗(yàn)?(lim0 xfx

17、)(lim0 xfx 所以所以)1(,)(lim0存在存在要要xfx必需且只需必需且只需 )(lim0 xfx),(lim0 xfx 即即1 b).( 可任取可任取a)2(,0)(處連續(xù)處連續(xù)在在要要 xxf必需且只需必需且只需 )(lim0 xfx)(lim0 xfx ),0(f 即即. 1 ba, 1 , b 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)25備用題 確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型. .xxexf111)(解解: : 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn); ;,1 時(shí)當(dāng)x xx1,0)(xf,1 時(shí)當(dāng)x xx1,1)(xf故故1x為跳躍間

18、斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn). . ,1,0處在x.)(連續(xù)xf 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)26(見下圖見下圖)無窮型無窮型, 無窮次振蕩型無窮次振蕩型三、小結(jié)三、小結(jié)1. 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三個(gè)定義、必須滿足的函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三個(gè)定義、必須滿足的2. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);3. 函數(shù)間斷點(diǎn)的分類函數(shù)間斷點(diǎn)的分類:間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn): :跳躍型跳躍型,可去型可去型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn): : 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 三個(gè)條件三個(gè)條件;27思考題思考題,)(0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在若若xxf,| )(|0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在若若xxf?| )(|0點(diǎn)也連續(xù)點(diǎn)也連續(xù)是否在是否在xxf?)(0點(diǎn)是否也連續(xù)點(diǎn)是否也連續(xù)在在xxf(是非題是非題)非非