5河南專升本高數(shù)真題及答案

1、2005年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)試卷題號(hào)一二三四五六總分核分人分?jǐn)?shù)得 分評(píng)卷人一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共計(jì)60分）在每小題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案， 并將其代碼 寫在題干后面的括號(hào)內(nèi)。不選、錯(cuò)選或多選者，該題無(wú)分 .1.函數(shù)y =華工2的定義域?yàn)闉?5 xA. x 1 B.x -1x 二 5C.1 x 二 50=1 : x 二 5 二D.5 -x >02. 下列函數(shù)C.形關(guān)于 y 軸對(duì)稱的是A. y = xcosx x c -xC. y / _22B.D.3y = x x 12x 2y-r偶函數(shù)，應(yīng)選D.3.當(dāng)xt 0時(shí)，與e*A. xB

2、. x2 C. 2x D.解：ex -1 x =x2 e-1等價(jià)的無(wú)窮小量是2x2-1x2,應(yīng)選 B.n 124. lim |1 一nA.nB.5.解:li nn 12+ i n4 e.2(n 1) lim n - ： n=e2,應(yīng)選B.設(shè) f (x)-x = 0處連續(xù)，A. 1B.-1 C.- D. -22解：lim f (x) = lim 1 - t'1 - x = umx = lim1= 1 ,應(yīng)選 C.x )0x 0 x x ：0 x(1 、1 - x) x,0(1 、1-x) 2f (1)=dxdy6.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處可導(dǎo)，且lim f(1-2h)-f,則 h 0

3、h2A. 1 B. -1 C. 1 D. -1 244f (1)f(1 -2h) -f(1)f(1-2h)-f(1)1用牛：lim = -2 lim 二 一2 f (1)=-h0 h受 w _2h2應(yīng)選D.7 .由方程xy=ex+確定的隱函數(shù)x(y)的導(dǎo)數(shù) )A. x(y -1)B. y(x -1) C. y(1+x) D. x(y+1)y(1 -x)x(1 - y)x(y -1)y(x -1)解：對(duì)方程xy =ex*兩邊微分得xdy+ydx = ex”(dx+dy),即(y - ex y)dx = (ex y - x)dy ,(y -xy)dx = (xy -x)dy ,所以義=x(y 7)

4、,應(yīng)選A.dy y(1 -x)8 .設(shè)函數(shù)f (x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f<x) = f (x)數(shù)f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)減少，且曲線y= f(x)為凹的，應(yīng)選B. ,則f(x)=()A. nf(x)n1 B. n!f(x)n1C. (n 1)f(x)n1D. (n 1)!f(x)n 1解：f (x) =2f(x)f (x) =2f(x)3= f (x) = 2 3f2(x)f (x) =3f(x)4, =f(n)(x) =n!f(x)嚴(yán)，應(yīng)選 B.9 .下列函數(shù)在給定的區(qū)間上滿足羅爾定理的條件是()A. f(x) =1 - x2,-1,1B. f(x) = xe",-1,11C

5、. f (x)=-r,1,1D . f(x) =|x|,1,11 -x解：由羅爾中值定理?xiàng)l件：連續(xù)、可導(dǎo)及端點(diǎn)的函數(shù)值相等來(lái)確定，只有f(x)=1-x2,-1,1滿足，應(yīng)選 A.10.設(shè) f (x) =(x-1)(2x+1),x w (-,收)，則在(1,1)內(nèi)，f (x)單調(diào) () 2A.增加，曲線y = f (x)為凹的B.減少，曲線y = f (x)為凹的C.增加，曲線y = f (x)為凸的D.減少，曲線y = f (x)為凸的5- 1.解：在(3，1)內(nèi)，顯然有 f (x) = (x -1)(2x +1) < 0 ,而 f (x) = 4x-1 a 0 ,故函11.A,只有垂直

6、漸近線B.C.既有垂直漸近線，又有水平漸近線,解:只有水平漸近線D.無(wú)水平、垂直漸近線 應(yīng)選C.12.設(shè)參數(shù)x = ac解:y = bsd2y dx2A asin2t。.B.D.一2 一. 3,a sin tba2 sin tcos21dy _ 弘 _ bcost _dx 為 asintd2y 二 dx2bcost ) 'i< asintjxb 1xbcost '， dt-I 父、asint 人 bdx. 2 .a sin t-asin t. 3 .sin tB.1113.若 Jf (x)exdx =exf(x)A. -1B.C.解:兩邊對(duì)x求導(dǎo) f (x)ex = ex

7、黑()=f(x)D.14.,f (x)dx = F(x) C，應(yīng)選B.cosxf (sin x)dx =A.C.F (sin x) CF (cosx) CB.D.-F (sin x) C 一 F (cosx) C解：Jcosxf (sin x)dx =J f (sin x)d (sin x) = F (sin x) +C ,應(yīng)選 A.15.下列廣義積分發(fā)散的是八 二 111ln xxA. 7- dx B. dx C. dx D. e dx0 1 x20 .1 - x2e x 0解:* 1,4=0 Hdx = arctan x n =1+x2021 narcsin x 0 =一。16.二ln x

8、12dx = (ln x)x2eI e«dx = -e 0 = 1,應(yīng)選 C.11x|x|dx =A.0 B. 2C.4D.-333解：被積函數(shù)x|x|在積分區(qū)間-1,1上是奇函數(shù)，應(yīng)選A.17. 設(shè) f (x) 在w,a上連續(xù)、. a則止積分 f (-x)dx = - _aaaaA.0 B. 2 0f(x)dx C. - f(x)dx D. f(x)dxat =_u _aaa、解：f f (-x)dxf f(u)d(u)=f f (u)du = f f(x)dx,應(yīng)選 D. _aa_a _a18.設(shè) f (x)的一個(gè)原函數(shù)是 sinx，則 J f '(x)sin xdx =

9、11 .x sin 2x C24sin x ' C 2f (x) = -sin x.11 .A. x -sin 2x CB.22c 12C. sin xD.2角單：(sin x) = f(x)= f (x) =cosx =(f '(x)sin xdx = 一 sin2 xdx = - 1-cos2x dx = 一1x +1 sin 2x + C ,應(yīng)選 B. 22419.設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，則不正確的是xf(t)dt是f(x)的一個(gè)原函數(shù)bA. a f(x)dx是f(x)的一個(gè)原函數(shù)B.aC. f (t)dt是-f (x)的一個(gè)原函數(shù) D. f (x)在a,

10、b上可積解：f f (x)dx是常數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)為零，而不是f(x)，即f f(x)dx不是f(x)的原 aabb函數(shù)，應(yīng)選A.20.直線 3=工=三2與平面x-y-z + 1=0的關(guān)系是 1-12( )A.垂直 B. 相交但不垂直 C.直線在平面上D. 平行解：s=1,1,2, n=1,-1,1)= sin* ,另一方面點(diǎn)(3,0,-2)不在平面內(nèi)，所以 應(yīng)為平行關(guān)系，應(yīng)選D.21.函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x°, y°)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 名和名存在是它在該點(diǎn)處 二 x 二y可微的( )A.充分條件 B.必要條件C.充要條件D.無(wú)關(guān)條件解：兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定可微，

11、但可微一定有偏導(dǎo)數(shù)存在，因此為必要條 件，應(yīng)選B.22.設(shè) z = ln & y,則 dZ(1,2)=A.上 dx B.2x11dx dy22C.,1 ,-,1 ,dx -dyD.dxdy222x11.1斛：z = ln=ln 2x Tny =dz = dx dy=dz “ 2= dx 一 一 dy ,應(yīng)選C.yxy(, )223.函數(shù)f (x, y) = x2 + xy + y2 + x - y +1的極小值點(diǎn)是A. (1, -1)B.(-1,1)C.(-1, -1) D. (1,1)Z =2x y 1 =0 ，一 x 解：n(x,y) = (1,1)，應(yīng)選 B.z 一 =x 2y

12、-1 =0 .：y 2x224.一次積分、dx1 f (x, y)dy與成另一種次序的積分是42A. 0 dy 卜 f (x, y)dx42C. 0 dy x2 f (x, y)dxB.D.4 y0 dy0 f(x, y)dx4 -y0 dy2 f(x, y)dx解:應(yīng)選A.25.積分區(qū)域 D = (x, y) | 0 _ x _ 2,0 _ y _ x2 = (x, y) | 0 _ y _ 4, y _ x _ 2,設(shè)D是由上半圓周y "2ax-x2和x軸所圍成的閉區(qū)域，則1f(x,y)db=()DA.一 2a02 d L f (r cos1,rsin ?)rdrB.一 2a02

13、 dlf (rcos1,r sin 力dr2a cos 口！C. 02dl 0-f (rcosu,rsin u)rdrD.3L22a cos fdr- f (r cosi, r sin i)dr解：積分區(qū)域在極坐標(biāo)下可表小為:兀-,D =(r, 9)|0< 9<-,0<r <2acos ,2ji從而 f(x, y)dc = 02d102 a cos 二f (r cosi,r sin Rrdr , 應(yīng)選 C.D26 .設(shè)L為拋物線A. -12y 二 xB.1上從 O(0, 0)到 B(1,1)的一段弧，12xydx + x2dy =()C. 2D. -1解：L:x = x

14、2, x從0變到1 , J = x一 .2 ,1L2xydx x dy = 027 . 下 列 級(jí)2x3dx 2x3dx = 4x3dx =x=1,應(yīng)選B.解:A. -1)n 1cdC(-1)1 1二(-1)32nW. nn 1oOx (-1)nn 1之發(fā)散,oO"1)nn 1oO和n 16. '、 n 1(-1)nn(n 1)(7)nn(n 1)絕對(duì)收斂,二 n 11-1)n3 12n t . nZ (-1)n二條件收斂, nJ 3n2二 12是收斂的,1 $是p=2的級(jí)數(shù)發(fā)散的，從而級(jí)數(shù) n3 3n23應(yīng)選B.28.qQOQqQA.若級(jí)數(shù)Hun與gin收斂，則級(jí)數(shù)（Un+

15、Vn）1.設(shè) f(x+1) = x2 +2 ,則 f (x-2)=解：f(x 1) =(x 1)2 -2(x 1) 3= f(x) =x2 -2x 3 = f(x -2) =x2 -6x 11.x2 ax - 6 lim = 5 ,則 a =.x 立 x -2解：因 lim (x-2)=0=, lim(x2 ax _ 6) = 0 = a -1 . x2x 23.設(shè)函數(shù)y = arctanx在點(diǎn)（1,-）處的切線方程是4收斂 n 1n 1n 1B.若級(jí)數(shù) 三Un與克Vn收斂，則級(jí)數(shù)£ （U2 +V：）收斂 n 1n 1n 1qQqQqQC.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)£ Un與Z Vn收斂，

16、則級(jí)數(shù)（U （Un+Vn）2收斂 n1nJnJqQOQqQD.若級(jí)數(shù)Z UnVn收斂，則級(jí)數(shù)£ Un與工V。都收斂 n =4nJn=4解：正項(xiàng)級(jí)數(shù)U Un與Vn收斂二£ u2與克v2收斂， n 4n 1n =4n 1而（Un +Vn）2 <2（U2+V2）,所以級(jí)數(shù) £（Un+Vn）2收斂,應(yīng)選 Cn 129. 微 分 方 程 （x -2y）yr = 2x - y 的 通 解 為 （ ）A. x2 y2 =CB.x y =CC. y = x 1D.x2 -xy y2 = C2解：注意對(duì)所給的方程兩邊求導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證，可得通解應(yīng)為x2-xy + y2=C2,應(yīng)選D

17、.30. 微 分 方 程 吟+p2x=0的 通 解 是dt2（ ）A. x =C1cos 伏+C2 sin 伏 B. x = Ce+C2e，C. x = cos 3 sin ptD. x = et eft解：微分方程的特征方程為%+ 02 = 0 ,有兩個(gè)復(fù)特征根 入=土囚，所以方程的通解為x =C1 cos供+C2sin伏,應(yīng)選A.得 評(píng)卷人 二、填空題(每小題2分，共30分)分則切線方程為y六次一=i - 2 j k = S =| a b |= 6 .）,即 x 2y -1 2=024 .設(shè)y解：y1=x xex,貝dy =. ln xln x1二 x x ln x - x 1 - ln

18、x .=e = dy = e d( x) = x e 2 1dx .xx5 .函數(shù)y = 2x2 -Inx的單調(diào)遞增區(qū)間是4x0x1,11、=x> = (,+g)或_,+°°).2226 .曲線y = e”的拐點(diǎn)是解：y，=e”:2, x3xe '( . x -1)4x % x=0= x=1，得拐點(diǎn)為（1,e）.7 .設(shè) f(x)連續(xù)，且 I f(t)dt=x，則 f (27)=x31解：等式g f (t)dt =x兩邊求導(dǎo)有f (x3)3x2 =1，取x = 3有f (27)=為18.設(shè) f (0) =1, f(2) = 2, f'(2) =3,貝工

19、xf”(2x)dx =解:1 1.(xf *(2x)dx = xdf '(2x)xf '(2x) 0-f2x)d2x1.1=f'(2) f(2x)1.1=f (2)- - f(2)2415-f(0) = 5解：a b =12.設(shè) x=ln2 z yz二zr =-:x：:yte%t的極小值是角單：y = xe = 0= x = 0= f (0) = 0.1 -sin x ,10. dx _.x cosx右刀 1 -sin x , d(x cosx) 角單：dx = = ln | x cosx | C .x cosx x cosx11.由向量a=1,0,-1, b =0,1

20、,2為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積為11Fx = ,Fy = ,Fz =z-:z Fxm _Fz:z:y2z zFy2 z2 zFz y(x z),所以史十底 = z(y+z)；:x ；:y y(x z)13.設(shè) D 是由 y =1 - x2, y = x, y0,所圍成的第一象限部分，則(y)2dxdy = 04d 0。D xCOS 0 J兀21=g解：積分區(qū)域在極坐標(biāo)系下表示為D=(r, 9)|0< 9<-,0ErE1,則 (sec 0-1)d 0.0 rdr14.將 f (x)=解：f(x) =1 J o=-o4 (sec 0- 1)d 01 冗2 一萬(wàn)32 x - x23展開(kāi)

21、為x的幕級(jí)數(shù)是2 x -x2(1 x)(2 -x) 1 x 2 - x 1 x 2 xI2一' n 1- x1c所以 f(x)八.(-x)n -(-)n-(-1)n xn,(-1 ：x< 1).n=02 n=0 2n=0 _215.用待定系數(shù)法求方程y,-4y'+4y =(2x+1)e2x的特解時(shí)，特解應(yīng)設(shè)為解:2是特征方程猿-4入+ 4=0的二重根，且(2x+1)是一次多項(xiàng)式，特解應(yīng)設(shè)為22xx2 (Ax B)e2x.評(píng)卷人三、計(jì)算題(每小題5分，共40分)1. limx0.1 xsin x - v cosx解：lim .x J1 xsinx2( . 1 xsinx c

22、osx)1 xsinx - cosx=limx 01 xsin x - cosxxsin x cosx)2x= 2lim=2limxT 1 xsinx-cosxx_0 2sinx xcosx00= 4limx0 3cosx -xsinx2.已知y =32 i f'(x) = arctanx2,求515x + 2 Jdx解：令需-u,則y=f(u),dy dy du=X dx du dx=(u) <5x + 2 JX=0=arctan i16、5x+2 J(5x + 2)所以也dx3.求不定積分4“16 ”冗 =arctan 1 r = 4 =%.2243x .dx.J x2x x

23、dx 二解： .1 x2 xx 1 x2dx = x2d . 1 x2=x2 1 x2一：1 x2d(x2)=x2 1 x2 I . 1 x2d(1 x2)23.1 x2 -(1 x2)23ln(1 x)4.設(shè) f (x) =< 1,2 xx : 0f (x - 1)dx.2*2解：令 x1=t ,貝 f(x1)dx =1,4f(t)dt01=j(t)dt °f(t)dt =.工有出10ln(1 t)dt011= ln(2+t)|jtln(1+t)|。1 t -dt01 t=ln 2 In 211- 0(1-大)dt= 2ln 2 -tln(1 t)10 =3ln2 -1.5

24、.設(shè)z = f (exsiny,x2 + y2),其中 f(u,v)可微，求華,華.二 x 二 y解：令exsin y =u, x2 +y2 = v，貝ij z = f (u,v),復(fù)合關(guān)系結(jié)構(gòu)如圖05-1所示,:Z 二 z ：u cz ：N =X十X.x二 u二 x二 v:x二exsin yfu (u,v) 2x(u,v),/ -z二 z二 u二 z ：N= X 十 X .y二 u二 y二 v t y= excosyf；(u,v) 2yfv(u, v).2x6 .求ffdxdy ,其中D是由xy =1, y =xj文義=2所圍成的團(tuán)區(qū)域. d y解：積分區(qū)域如圖05-2所示，曲線xy=1,y

25、 = x在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為(1,1),1積分區(qū)域可表小為：1Mx £ 2, y £ x .x2 x x22dx 1 F dy =x y1221 Nx x - - dx1 一 x,42、x x21 x () y-11n7.求幕級(jí)數(shù)x2n平n2n 1解：這是缺項(xiàng)的規(guī)范的幕級(jí)數(shù),圖 05-2的收斂域(考慮區(qū)間端點(diǎn)).因?yàn)閜 = li.un 書(shū).im ! = lim -Unn-*|(-1)n1x2n 32n 1n 2n 12n +3(-1) x2 2n 12=x lim= x ,n r 2n 3當(dāng)p<1 ,即-1 <x<1時(shí)，幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)p>1 ,即

26、x>1或x<-1時(shí)，幕級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)p = 1 ,即x = 土1時(shí)，若x=1時(shí)，幕級(jí)數(shù)化為Jet是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足來(lái)布尼茲定理的條件，nf 2n 1(,1)n 一房地產(chǎn)公司有元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去，當(dāng)月租金每增加是收斂的，若x = -1時(shí)，幕級(jí)數(shù)化為z 也是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，也滿足來(lái)布尼茲nf 2n - 1定理的條件，是收斂的.故事級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1,1.8.求微分方程(x2+1)y'+2xycosx = 0通解.解：微分方程可化為 y 1當(dāng)y =等x ,這是一階線性非齊次微分方程,x 1 x 12xC匕對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程 y * +-y = 0的通解為y =-.x2 1x2 1設(shè)

27、非齊次線性微分方程的通解為y = 粵,則y ' = £3-2xC(x)2 ,代入 x2 1x2 1 (x2 1)方程得 C '(x) =cosx ,所以 C(x) =sin x + C .故原微分方程的通解為y = Sin2x + C (C為任意常數(shù)).x 1評(píng)卷人四、應(yīng)用題(每小題7分，共計(jì)14分)50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為2000100元時(shí)，就會(huì)多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修費(fèi).試問(wèn)租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？解：設(shè)每套公寓租金為x元時(shí)，所獲收入為y元,y =50整理得y =-x-2000(x-200), (x , 2000), 100(-x2 7200x -1400000),1001(-2x+7200)均有意義, 100令y = 0得唯一