教研二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型

1、.二次函數(shù)的有關(guān)知識：1.定義：一般地，如果 yax2bxc(a, b, c 是常數(shù)， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù) .2.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).a 的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a0 時，開口向上；當(dāng) a0 時，開口向下；a 相等，拋物線的開口大小、形狀相同 .平行于 y 軸（或重合）的直線記作xh .特別地， y 軸記作直線 x0.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)yax 2x0（ y 軸）（0,0 ）yax 2k當(dāng)a0時x0（ y 軸）(0,k )ya xh2開口向上xh( h ,0)y a x h 2k當(dāng)a 0時x h( h

2、 , k )yax 2bxc開口向下xbb4acb2(2a2a，)4a3.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法22b4acb2（ 1 ）公式法： yax2bx caxb4acb，頂點(diǎn)是（），2a4a2a4a對稱軸是直線 xb.2a（ 2 ）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y a xh 2k 的形式，得到頂點(diǎn)為 ( h , k )，對稱軸是直線xh .（ 3 ）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。若已知拋物線上兩點(diǎn)(x1, y)、(x2 , y) （及y 值相同），則對稱軸方程可以表示為：x x1x22可編輯.4.拋物線 yax 2bx c

3、中， a,b,c 的作用（ 1 ） a 決定開口方向及開口大小，這與y ax 2 中的 a 完全一樣 .（ 2 ） b 和 a 共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線 y ax 2bxc 的對稱軸是直線b，故： b 0 時，對稱軸為y軸；bx0 （即 a 、 b 同號）時，對稱軸在 y 軸2aba左側(cè)；0 （即 a 、 b 異號）時，對稱軸在y 軸右側(cè) .a（ 3 ） c 的大小決定拋物線 y ax 2bxc 與 y 軸交點(diǎn)的位置 .當(dāng) x0時， y c ，拋物線 yax 2bx c 與 y 軸有且只有一個交點(diǎn)（ 0， c ）：c0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn) ; c0 ,與y 軸交于正半軸；c0 ,與

4、y 軸交于負(fù)半軸 .以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立 .如拋物線的對稱軸在y 軸右側(cè)，則b0.a5.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（ 1 ）一般式：yax2bxc .已知圖像上三點(diǎn)或三對 x 、 y 的值，通常選擇一般式 .（ 2 ）頂點(diǎn)式：ya x2k .已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.h（ 3）交點(diǎn)式：已知圖像與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1 、x2 ，通常選用交點(diǎn)式： y a x x1 x x2 .6.直線與拋物線的交點(diǎn)（ 1） y 軸與拋物線yax 2bxc 得交點(diǎn)為 (0,c ).（ 2）拋物線與 x 軸的交點(diǎn)二次函數(shù) yax 2bxc 的圖像與 x 軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1

5、、 x2 ，是對應(yīng)一元二次方程ax 2bx c0 的兩個實(shí)數(shù)根 .拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點(diǎn)(0 )拋物線與 x 軸相交；有一個交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x 軸上）(0 )拋物線與 x 軸相切；沒有交點(diǎn)(0 )拋物線與 x 軸相離 .（ 3）平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（ 2 ）一樣可能有 0 個交點(diǎn)、 1 個交點(diǎn)、 2 個交點(diǎn) .當(dāng)有 2 個交點(diǎn)時，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為 k ，則橫坐標(biāo)是ax 2bxck 的兩個實(shí)數(shù)根 .（ 4 ）一次函數(shù)ykxn k0 的圖像 l 與二次函數(shù)yax 2bxc a0 的圖像 G 的可編輯.ykxn交點(diǎn)，由

6、方程組ax 2bx的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時ycl 與 G 有兩個交點(diǎn) ; 方程組只有一組解時l 與 G 只有一個交點(diǎn)；方程組無解時l 與 G 沒有交點(diǎn) .（ 5 ）拋物線與x 軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yax 2bx c 與 x 軸兩交點(diǎn)為A x ， B x ， ，則ABx1x21 02 0一、考察二次函數(shù)定義1.已知以 x 為自變量的二次函數(shù)y(m 2) x2m 2m 2 的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則m 的值是.2.已知函數(shù)是二次函數(shù)，則m 等于。二、考查圖像性質(zhì)（ 1）考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值3 、將函數(shù) y2x28x7 寫成 ya x m2，開口方n

7、 的形式為向，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸是4、若拋物線 y=4x2-2x+c的頂點(diǎn)在 X 軸上，則 c 的值為。5、若拋物線 y=mx2-（2m+1）x+m2+4m過原點(diǎn)，則 m 的值為。6求 y5的最大值2x24x 37當(dāng) k時，拋物線 y2x23kx 2k 的頂點(diǎn)位置最高8、（ 2008年山東省青島市）某服裝公司試銷一種成本為每件50元的 T 恤衫，規(guī)定試銷時的銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，又不高于每件70 元，試銷中銷售量 y （件）與銷售單價(jià) x （元）的關(guān)系可以近似的看作一次函數(shù)（如圖）（ 1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）設(shè)公司獲得的總利潤（總利潤總銷售額總成本）為 P 元，求 P 與

8、 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x 的取值范圍；根據(jù)題意判斷：當(dāng)x 取何值時， P 的可編輯.值最大？最大值是多少？（2 ）考查二次函數(shù)增減性。9 、（ 2009年深圳市） 二次函數(shù)yax 2bxc 的圖象如圖2 所示，若點(diǎn)A（ 1 ，y1 ）、B（ 2 ，y2）是它圖象上的兩點(diǎn)，則y 1 與 y 2 的大小關(guān)系是（）A y1y2B y1y2C y1y2D 不能確定10 、(2008年荷澤市 ) 若 A（131），（52 ），（13 ）為二次函數(shù)y x24x 5, yB, yC4, y44的圖象上的三點(diǎn)，則 y1 , y2 ,y3 的大小關(guān)系是 ()A y1y2y3 B y2y1y3C y

9、3y1y2D y1y3y211 已知 a1 ，點(diǎn) a1, y1,a, y2,( a1, y3 ) 都在函數(shù) yx2的圖象上，則（）A、 y1y2 y3 B、 y1y3y2 C、 y3y2y1 D、 y2y1y3（ 3）綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像12 、（ 2008 年吉林省長春市） 已知反比例函數(shù)yk 的圖象如下右圖所示，則二次x函數(shù) y2kx2xk 2 的圖象大致為【】可編輯.yyyyyOxOxOxOxOx13 、（ 2009 湖北省荊門市）函數(shù)y= ax 1 與 y = ax 2 bx 1（ a 0 ）的圖象可能是（）

10、yyyy1111xoxoxoxoA B CD14 、（ 2009年齊齊哈爾市） 已知二次函數(shù)y ax 2bxc(a0) 的圖象如圖所示，則下列結(jié)論： ac0 ； 方程 ax2bxc0 的兩根之和大于0 ； y 隨 x 的增大而增大；a b c 0 ，其中正確的個數(shù)（）A4 個B3 個C2 個D1 個yO1 x13 、（ 2009 麗水市）已知二次函數(shù)y ax2 bx c(a0)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論： a 0.該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x1 對稱 .O當(dāng) x1或 x3 時，函數(shù) y 的值都等于0.可編輯.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A 3 B2 C1 D014 、（ 2009煙 臺 市 ） 二 次

11、 函 數(shù) yax 2bxc 的 圖 象 如 圖 所 示 ， 則 一 次 函 數(shù)ybx b24ac 與反比例函數(shù) yab c 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（）xyyyyyxxxxx1O 1OOOOA B CD 17 、（ 2009年廣西南寧） 已知二次函數(shù)yax 2bxc （ a0 ）的圖象如圖4 所示，有下列四個結(jié)論： b0 c0 b24ac0 abc0 ，其中正確的個數(shù)有（）A1 個B2 個C3 個D4 個yx3O1圖 418 、 (2009年鄂州 )已知 = 次函數(shù)2的圖象如圖則下列5 個代數(shù)式： ac ，y ax +bx+ca+b+c，4a 2b+c ，2a+b ， 2a b 中，其值大于

12、0 的個數(shù)為（）A2B3C、4D、5可編輯.45 、（ 2009年黃石市）已知二次函數(shù)yax2bxc 的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：abc0 ； abc1； abc0 ； 4a2bc0 ； ca1 其中所有正確結(jié)論的序號是（）A B CDy111Ox三、考查二次函數(shù)解析式的幾種求法1、已知三點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式例 1 、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (2, 3) 、B ( 7,6) 、C ( 5,30) ，求這個二次函2數(shù)的解析式2、已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、或極值求二次函數(shù)的解析式例 2 、已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（ 2 ，5），且與 y 軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 13 ，求這個二次函數(shù)的解析式。例 3

13、、已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（ 1 ， 2），對稱軸為 x 1且最小值為 2 ，求這個函數(shù)的解析式。3、已知圖象與 x 軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)求解析式可編輯.例 4、已知二次函數(shù)的圖象與 x 軸交于 A( 1,0) 、 B(3,0) 兩點(diǎn)，與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2，求此二次函數(shù)的解析式。4. 由二次函數(shù)的圖象平移變換求解析式例 6 、將二次函數(shù) y 2x2 8x 5 的圖象向左平移 3 個單位，再向下平移 2 個單位，求所得二次函數(shù)的解析式。5、二次函數(shù)的圖象繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800 或沿 x 軸翻折變換求解析式例 7、把函數(shù) y 2x 24x1的圖象繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180 0，求所得拋物線的解析式。例 8、把二次函數(shù) yx 22x5 的圖象沿 x 軸翻折，求所得拋物線的解析式。四、二次函數(shù)與一元二次方程以及幾何相結(jié)合的綜合問題例 1 求證：無論 a 取什么實(shí)數(shù)，二次函數(shù) y x2 a