等差數列前n項和公式

1、復習回顧(1) 等差數列的通項公式等差數列的通項公式: 已知首項已知首項a1和公差和公差d,則有則有: an=a1+ (n-1) d 已知第已知第m項項am和公差和公差d,則有則有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差數列的性質等差數列的性質: 在等差數列在等差數列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么那么: an+am=ap+aq問題問題1：1+2+3+100=？ 這個問題，德國著名數學家高斯（這個問題，德國著名數學家高斯（1777年年1855年）年）10歲時曾很快求出它的結果。（你知道應如何算嗎？）歲時曾很快求出它的結果。（你

2、知道應如何算嗎？） 這個問題，可看成是求等差數列這個問題，可看成是求等差數列 1，2，3，n，的前的前100項的和。項的和。假設1+2+3+ +100=x, (1)那么100+99+98+ +1=x. (2)由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,100個101所以,1001012xx=5050.設等差數列設等差數列a1,a2,a3,它的前它的前n 項和是項和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序顛倒是若把次序顛倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差數列的性質由等差數列的性質 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2) 得得

3、2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即即 Sn=n(a1+an)/2 因為因為 an= a1+（n-1）d所以所以 Sn=na1+n (n-1)d/2下面將對等差數列的前下面將對等差數列的前n項和公式進行推導項和公式進行推導即前即前n項的和與首項末項及項數有關項的和與首項末項及項數有關若已知若已知a1，n，d，則如何表示，則如何表示Sn呢？呢？由此得到等差數列的由此得到等差數列的 an 前前n n項和的公式項和的公式2)(1nnaanS即：等差數列前即：等差數列前n項的和等于項的和等于首末項首末項的的和和與與項數項數乘乘積積的一半。的一半。上面的公式又可以寫成上面的公式

4、又可以寫成dnnnaSn2)1(1由等差數列的通項公式由等差數列的通項公式an = a1+(n-1)d解題時需根據已知條件決定選用哪個公式。解題時需根據已知條件決定選用哪個公式。個個可求另已知其中個量：公式共涉及到23.,51nnSanda知三求二例例1 如圖，一個堆放鉛筆的如圖，一個堆放鉛筆的 V形形架的最下面一層放一支鉛筆，往架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多一支，上每一層都比它下面一層多一支，最上面一層放最上面一層放120支。這個支。這個V形架形架上共放著多少支鉛筆？上共放著多少支鉛筆？解解：由題意可知，這個由題意可知，這個V形架上共放著形架上共放著120層鉛層鉛筆，且

5、自下而上各層的鉛筆數成等差數列，記筆，且自下而上各層的鉛筆數成等差數列，記為為an,其中其中 a1=1 , a120=120.根據等差數列前根據等差數列前n項項和的公式，得和的公式，得260 72)1201 (120120S答：答：V形架上共放著形架上共放著 7 260支鉛筆。支鉛筆。例例2 等差數列等差數列 10， 6， 2，2，前多少項的和是前多少項的和是54？解解：設題中的等差數列為設題中的等差數列為an，前，前n項和是項和是 Sn， 則則a1= 10，d= 6 ( 10) 4,設設 Sn=54， 根據等差數列前根據等差數列前 n項和公式，得項和公式，得5442) 1(10nnn0276

6、2 nn n1 9，n23 (舍去舍去)等差數列等差數列-10，-6，-2，2，前前9項的和是項的和是54。已知等差數列已知等差數列a an n中中, ,已知已知a a6 6=20,=20,求求S S1111=?=?例例3 已知等差數列已知等差數列an中中a2+a5+a12+a15=36. 求前求前16項的和項的和?解解: 由等差數列的性質可得由等差數列的性質可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2 ） 18=144 答答:前前16項的和為項的和為144。分析：可以由等差數列性質，直接代入前分析：可以由等差數列性質，直接代入前n 項和公式項和公式例例4 已知一個等差數列的前已知一個等差數列的前10項的和是項的和是310，前，前20項項的和是的和是1220，求，求Sn.220 1190203102451011dada6, 41da解： S10=310，S20=1 220nnnnnSn2362)1(41：在：在a，b之間插入之間插入10個數，使它們同這兩個數成個數，使它們同這兩個數成AP,求這求這10個數的和。個數的和。)(52)(10,2)(5)(2)(12)(1101101baxxSbaxxbabababaSSn：解法：解法鞏固練習鞏固練習并求這