物理競賽14剛體動力學(xué)運(yùn)動學(xué)問題ppt課件

1、 剛體剛體不發(fā)生形變的理想物體不發(fā)生形變的理想物體實(shí)踐物體在外力作用下發(fā)生的形變效應(yīng)不顯著可被忽略實(shí)踐物體在外力作用下發(fā)生的形變效應(yīng)不顯著可被忽略時時,即可將其視作剛體即可將其視作剛體剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的間隔堅持不變剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的間隔堅持不變 剛體的平動與轉(zhuǎn)動剛體的平動與轉(zhuǎn)動剛體運(yùn)動時，其上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動形狀速度、加速度、剛體運(yùn)動時，其上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動形狀速度、加速度、位移總是一樣，這種運(yùn)動稱為平動位移總是一樣，這種運(yùn)動稱為平動 剛體運(yùn)動時，假設(shè)剛體的各個質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動中都繞同不剛體運(yùn)動時，假設(shè)剛體的各個質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動中都繞同不斷線做圓周運(yùn)動，這種運(yùn)動稱為轉(zhuǎn)動，而所繞直線便斷線做圓周運(yùn)動，這種運(yùn)動稱為轉(zhuǎn)

2、動，而所繞直線便稱為軸假設(shè)轉(zhuǎn)軸是固定不動的，剛體的運(yùn)動就是定稱為軸假設(shè)轉(zhuǎn)軸是固定不動的，剛體的運(yùn)動就是定軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)角速度總一樣剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)角速度總一樣 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運(yùn)動定律質(zhì)心運(yùn)動定律能代表整個剛體的平動能代表整個剛體的平動,運(yùn)動規(guī)律等效于全部質(zhì)量及外運(yùn)動規(guī)律等效于全部質(zhì)量及外力集中于此的某一點(diǎn)力集中于此的某一點(diǎn).從質(zhì)心的等效意義出發(fā)從質(zhì)心的等效意義出發(fā):0 xx1x2m1m2iiCiiiCiiiCimxxmmyymmzzm 以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)r=0im =cFma xitan-1kH =Hhnn 2=iHHmkinn O1limniinicm xxV 212l

3、im/3nniHHHkiinnnkH 34113limnniHin 34CxH xy0 =2nn Ri =2iin i 212lim2cos(cos)sin=niiiniCmRRRRxm 214limcossinniiniR 1limsin3sinniiniR 1limsin3sinniiniR 11sin3sin3sinsin2 32222lim23322sinsin22nnnnnR 2 11lim23 22nR 43CxR 對題中圓盤對題中圓盤: 212344cRx 22123412344443cRRRy 0cx 815cRy 如圖，一個圓盤半徑為如圖，一個圓盤半徑為R，各處厚度一樣，各處

4、厚度一樣，在每個象限里，各處的密度也是均勻的，但不同象限里的密度那在每個象限里，各處的密度也是均勻的，但不同象限里的密度那么不同，它們的密度之比為么不同，它們的密度之比為 1 2 3 4，求這，求這圓盤的質(zhì)心位置圓盤的質(zhì)心位置 1 2 3 4 1yx432解解: : 21234443RR 2hh 以靜止水的質(zhì)心為坐標(biāo)原以靜止水的質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖坐標(biāo)，點(diǎn)，建立如下圖坐標(biāo)， Oxy 當(dāng)振動高度為當(dāng)振動高度為h時，質(zhì)心時，質(zhì)心坐標(biāo)為：坐標(biāo)為： 1112223 222623 24LLLLLLLhhhxL hhh 212222236hhhhh Lh LhyL hhh 由上可得由上可得 226y

5、hxL 元貝駕考 元貝駕考2021科目一 科目四駕考寶典網(wǎng) 駕考寶典2021科目一 科目四OxymgF回回yFmgx 質(zhì)心沿拋物線做往復(fù)運(yùn)質(zhì)心沿拋物線做往復(fù)運(yùn)動動,回復(fù)力為重力之分力回復(fù)力為重力之分力: 2226xxxhmgLx 212mghxL 質(zhì)心做諧振質(zhì)心做諧振,周期為周期為 2212TLhg 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量量度剛體轉(zhuǎn)動中慣性大小的物理量量度剛體轉(zhuǎn)動中慣性大小的物理量,等于剛體中每個等于剛體中每個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量mi與該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的間隔與該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的間隔ri的平方的乘的平方的乘積的總和積的總和.2i iJm r 2Jmr 21limni iniJm r 221lim2nnimrr

6、riin nnr 23411lim2nnimrin 212Jmr 22122rrJm 212Jmr 212Jmr 轉(zhuǎn)軸214Jmr 22412m rm lJ 21limni iniJm r xy0Ri i =2nn =2iin 214 limsin4ninimrn 2222211limsinsin 2sinsin22nnimrn n項項212Jmr 2cJJmd miRirid xCyiO 222112cosnni iiiiiiJm rmRddR 221112cosnnniiiiiiiiim Rm ddm R 1niiim x 0mR2cJJm d 由由22mRmR 22m R 22112 l

7、im4222nnimmlJrinnn 22231lim44nnimrmlin 22412m rm l MM2a2aO22MaJ 圓圓 22cJJMa 桿桿C212 lim2ncniMaaJiann 其其 中中2243MaMa OJJJ 圓圓桿桿2296Ma 212nxyzi iiJJJm r 對恣意的剛體，任取直角三維坐標(biāo)對恣意的剛體，任取直角三維坐標(biāo)Oxyz，剛體對，剛體對x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為Jx、Jy、Jz，那么有，那么有 221nxiiiiJmyz xyzOxiyizirimi 221nyiiiiJmxz 221nziiiiJmxy 22212xyzniiiii

8、JJJmxyz 2ir2132 limni iniJm r 22mr 223Jmr 球殼球殼實(shí)心實(shí)心球球2132 limni iniJm r 22312 lim44/ 3nnimrrriinnnr 245116limnnimrin 225Jmr 解解: :xx 知知:Jx=J00yxJJJy202i iJm r y OxJ 求求:?:?yxJJ 22xi iJm r 0 xJJ 解解: :RZ1Z2ZZ222xzi iJJm r 2342zi iJJJm r 342xJJJ22mR 222412mRmR 21324xmRJ Z 如下圖，質(zhì)量為如下圖，質(zhì)量為m的均勻圓柱體，截面半徑為的均勻圓柱體

9、，截面半徑為R，長為，長為2R試求圓柱體繞經(jīng)過質(zhì)心及兩底面邊緣的轉(zhuǎn)軸如圖試求圓柱體繞經(jīng)過質(zhì)心及兩底面邊緣的轉(zhuǎn)軸如圖中的中的Z1、Z2的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J yxO由正交軸定理由正交軸定理: 22ABiiiJJmxy 由橢圓方程由橢圓方程:22221xyAB 解解: :2222iAAyB 2222ABABAJJmAJB 222ABJAmAJB 橢圓細(xì)環(huán)的半長軸為橢圓細(xì)環(huán)的半長軸為A A，半短軸為，半短軸為B B，質(zhì)量為質(zhì)量為m m未必勻質(zhì)，知該環(huán)繞長軸的轉(zhuǎn)動慣量為未必勻質(zhì)，知該環(huán)繞長軸的轉(zhuǎn)動慣量為JAJA，試求該環(huán)繞短軸的轉(zhuǎn)動慣量試求該環(huán)繞短軸的轉(zhuǎn)動慣量JBJB 221ni iiJm rkma

10、轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式常表現(xiàn)為方式轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式常表現(xiàn)為方式m是剛體的質(zhì)量，是剛體的質(zhì)量，a是剛體相應(yīng)的幾何長度，只需確是剛體相應(yīng)的幾何長度，只需確定待定系數(shù)定待定系數(shù)k，轉(zhuǎn)動慣量問題便迎刃而解，轉(zhuǎn)動慣量問題便迎刃而解O OaM2OOJkMa 設(shè)設(shè)那么那么有有22244244MaMakkMa112k 212OOMaJ PQO C32d將立方體等分為邊長為將立方體等分為邊長為a/2a/2的的八個小立方體，其中六個小八個小立方體，其中六個小立方體體對角線到大立方體立方體體對角線到大立方體體對角線間隔體對角線間隔 解解: :26263ada222226828286mamamakmakk 16k 26PQ

11、Jma 如下圖，勻質(zhì)立方體的邊長為如下圖，勻質(zhì)立方體的邊長為a，質(zhì)，質(zhì)量為量為m試求該立方體繞對角線軸試求該立方體繞對角線軸PQ的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J O 描畫轉(zhuǎn)動形狀的物理量描畫轉(zhuǎn)動形狀的物理量0limtt 0limtt ar 2i i ii im v rmLrJ 2222111222i iikim vm rJEMFd AM IMt 剛體的定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動角動量原理角動量原理MtJtJ0 動量定理動量定理 Ftm vtm v0 (恒恒 力力) 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 M=J 牛頓運(yùn)動定律牛頓運(yùn)動定律Fma勻變速直線運(yùn)動勻變速直線運(yùn)動 勻速直線運(yùn)動勻速直線運(yùn)動:

12、 svt 加速度加速度a 角速度角速度 速度速度v角位移角位移位移位移s剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動0limtsvt 0limtt 0limtvat 角加速度角加速度 0limtt 勻角速轉(zhuǎn)動勻角速轉(zhuǎn)動: t 勻變速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動: 0tvvat2012Sv tat2012tt2202tvvaS0tt2202t 動能定理動能定理轉(zhuǎn)動動能定理轉(zhuǎn)動動能定理2201122tFSmvmv2201122tMJJ 動量守恒定律動量守恒定律mv 恒恒量量 角動量守恒定律角動量守恒定律J 恒恒量量 飛輪質(zhì)量飛輪質(zhì)量60 kg,直徑直徑d=0.50 m閘瓦閘瓦與輪間與輪間=0.4;

13、飛輪質(zhì)量分布在外層飛輪質(zhì)量分布在外層圓周圓周,要求在要求在t=5 s內(nèi)制動內(nèi)制動,求求F力大小力大小.解解: :221000220ss6053t 1000r/min F0.50m0.75m 對飛輪對飛輪2215kg m24dJm fMJ 其中其中fN2fdMN 對制動桿對制動桿FNf0.51.25NF 52F100 NF AB質(zhì)量為質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿由豎直受一微擾倒下的均勻細(xì)桿由豎直受一微擾倒下,求夾角為求夾角為時時,質(zhì)心速度及桿的角速度質(zhì)心速度及桿的角速度BC解解: :質(zhì)心不受程度方向作用質(zhì)心不受程度方向作用,做自在下落運(yùn)動做自在下落運(yùn)動!由機(jī)械能守恒由機(jī)械能守恒: 22111cos222l

14、mgmvJ vvBvn由相關(guān)速度由相關(guān)速度:sinsin2nlvv 桿對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量桿對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量:221lim212nnimllmlJilnn 2121cos13singl 231cossin13sinvgl 著地時著地時,兩桿瞬時轉(zhuǎn)軸為兩桿瞬時轉(zhuǎn)軸為A(B) 解解: :BA由機(jī)械能守恒由機(jī)械能守恒: 212222hmgJ 其中各桿其中各桿: 2221223mllmlJm cvl 221223cvmlmghl則則3chvg 得得vch 如圖，兩根等重的細(xì)桿AB及AC，在C點(diǎn)用鉸鏈銜接，放在光滑程度面上，設(shè)兩桿由圖示位置無初速地開場運(yùn)動，求鉸鏈C著地時的速度 軸心降低軸心降低h過程中機(jī)械

15、能守恒過程中機(jī)械能守恒 解解: :Bhv212PmghJ 其中圓柱體對軸其中圓柱體對軸P的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量 222322PmrmrJmrPvr 23vgh T由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律: TrJ 22mrar mgTma由質(zhì)心運(yùn)動定律由質(zhì)心運(yùn)動定律: 13Tmg 如圖，圓柱體如圖，圓柱體A的質(zhì)量為的質(zhì)量為m，在其中部繞以細(xì)，在其中部繞以細(xì)繩，繩的一端繩，繩的一端B固定不動，圓柱體初速為零地下落，當(dāng)其軸心降固定不動，圓柱體初速為零地下落，當(dāng)其軸心降低低h時，求圓柱體軸心的速度及繩上的張力時，求圓柱體軸心的速度及繩上的張力 純滾動時圓柱角速度由機(jī)械能守恒純滾動時圓柱角速度由機(jī)械能守恒: :解解: :v

16、c0c0h 22220011222m rm ghJm r 2043ghr 與墻彈性碰撞與墻彈性碰撞, ,質(zhì)心速度反向質(zhì)心速度反向, ,角速度不變角速度不變, ,以后受摩擦力作用以后受摩擦力作用經(jīng)時間經(jīng)時間t t 達(dá)純滾動達(dá)純滾動: :vc0c0vctct由動量定理由動量定理 0tf tmrr 由角動量定理由角動量定理 0ctfr tJ 2233tghr 純滾動后機(jī)械能守恒純滾動后機(jī)械能守恒: :221322tm rm gh 9hh 如圖，實(shí)心圓如圖，實(shí)心圓柱體從高度為柱體從高度為h的斜坡上從靜止純的斜坡上從靜止純滾動地到達(dá)程度地面上，繼續(xù)純滾動地到達(dá)程度地面上，繼續(xù)純滾動，與光滑豎直墻做完全彈

17、性滾動，與光滑豎直墻做完全彈性碰撞后前往，經(jīng)足夠長的程度間碰撞后前往，經(jīng)足夠長的程度間隔后重新做純滾動，并純滾動地隔后重新做純滾動，并純滾動地爬上斜坡，設(shè)地面與圓柱體之間爬上斜坡，設(shè)地面與圓柱體之間的摩擦系數(shù)為的摩擦系數(shù)為，試求圓柱體爬坡，試求圓柱體爬坡所能到達(dá)的高度所能到達(dá)的高度h.由機(jī)械能守恒由機(jī)械能守恒:解解: :22220011()()22ttmgsIm vv 2vs 又又2202224tmvvgsIms g 0tvvg t 224mggIms 豎直方向勻加速下落豎直方向勻加速下落! 如圖，在一個固定的、豎直的螺桿上的一個如圖，在一個固定的、豎直的螺桿上的一個螺帽，螺距為螺帽，螺距為s

18、，螺帽的轉(zhuǎn)動慣量為，螺帽的轉(zhuǎn)動慣量為I，質(zhì)量為，質(zhì)量為m假定螺帽與螺桿假定螺帽與螺桿間的摩擦系數(shù)為零，螺帽以初速度間的摩擦系數(shù)為零，螺帽以初速度v0向下挪動，螺帽豎直挪動的向下挪動，螺帽豎直挪動的速度與時間有什么關(guān)系？這是什么樣的運(yùn)動？重力加速度為速度與時間有什么關(guān)系？這是什么樣的運(yùn)動？重力加速度為g 解解: :vvR12v2vR11v1vR12v22vR完成彈性碰撞后設(shè)兩球各經(jīng)完成彈性碰撞后設(shè)兩球各經(jīng)t1、t2到達(dá)純滾動，質(zhì)心速度為到達(dá)純滾動，質(zhì)心速度為v1、v2， 對球?qū)η?：1121125f tmvvmRvfR tRR ， 127vv對球?qū)η?： 2222225f tm vvvmRfR

19、tR 257vv 在程度地面上有兩個完全一樣的均勻?qū)嵭那?，其一做在程度地面上有兩個完全一樣的均勻?qū)嵭那?，其一做純滾動，質(zhì)心速度為純滾動，質(zhì)心速度為v，另一靜止不動，兩球做完全彈性碰撞，因碰，另一靜止不動，兩球做完全彈性碰撞，因碰撞時間很短，碰撞過程中摩擦力的影響可以不計試求碰后兩球撞時間很短，碰撞過程中摩擦力的影響可以不計試求碰后兩球到達(dá)純滾動時的質(zhì)心速度；全部過程中損失的機(jī)械能的百分?jǐn)?shù)到達(dá)純滾動時的質(zhì)心速度；全部過程中損失的機(jī)械能的百分?jǐn)?shù) 系統(tǒng)原機(jī)械能為系統(tǒng)原機(jī)械能為 222201272510m rvm vEm rr 到達(dá)純滾動后的機(jī)械能到達(dá)純滾動后的機(jī)械能22221 72529257770

20、tmRvvEmvRR204149 則則% %圓柱半徑與小球半徑分別以圓柱半徑與小球半徑分別以R、r表示表示 解解: : vcmgfN對球由質(zhì)心運(yùn)動定律有對球由質(zhì)心運(yùn)動定律有 ：對球由轉(zhuǎn)動定律：對球由轉(zhuǎn)動定律：2coscmvmgNRr sinmgfm r 225frmr 小球做純滾動，摩擦力為靜摩擦力，不做功，球的機(jī)械能守恒：小球做純滾動，摩擦力為靜摩擦力，不做功，球的機(jī)械能守恒： 222121cos25cvmg Rrmrmrr 2sin7mgf 101coscos7mg RrmgNRr 1710cos77Nmg 小球做純滾動必有小球做純滾動必有fN 2sin17cos10 0.7 45 45

21、如下圖，實(shí)心勻質(zhì)小球靜止在圓柱面頂點(diǎn)，遭到微擾而自在如下圖，實(shí)心勻質(zhì)小球靜止在圓柱面頂點(diǎn)，遭到微擾而自在滾下，為了令小球在滾下，為了令小球在 45范圍內(nèi)做純滾動，求柱面與球間摩擦因數(shù)至少多大？范圍內(nèi)做純滾動，求柱面與球間摩擦因數(shù)至少多大？ 解解: :00ccccmRvJmRvJ 0023ccvvR即即到達(dá)純滾時必有到達(dá)純滾時必有:cvR 純滾時質(zhì)心速度純滾時質(zhì)心速度 003255ccvvR 0ccvvgt 對質(zhì)心對質(zhì)心: 0025ctvRg 0023cvR 若若0023cvR 若若 2cmRJ 既滾又滑時與到達(dá)純滾時對與地接觸點(diǎn)既滾又滑時與到達(dá)純滾時對與地接觸點(diǎn)O角動量守恒角動量守恒: 如下圖

22、，半徑為如下圖，半徑為R的乒乓球，繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量的乒乓球，繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量J ，m為乒乓球的質(zhì)量，以一定的初始條件在粗糙的程度面上運(yùn)動，開場時球的質(zhì)心速度為為乒乓球的質(zhì)量，以一定的初始條件在粗糙的程度面上運(yùn)動，開場時球的質(zhì)心速度為vc0，初角速度為初角速度為0，兩者的方向如圖知乒乓球與地面間的摩擦系數(shù)為，兩者的方向如圖知乒乓球與地面間的摩擦系數(shù)為試求乒乓球開場做試求乒乓球開場做純滾動所需的時間及純滾動時的質(zhì)心速度純滾動所需的時間及純滾動時的質(zhì)心速度 223mRRvc00O設(shè)以某棱為軸轉(zhuǎn)動歷時設(shè)以某棱為軸轉(zhuǎn)動歷時t，角速度，角速度if，解解: :vivf3030fNa對質(zhì)心由動量定理：對質(zhì)

23、心由動量定理： sin30fiN tMa 對剛體由動量矩定理：對剛體由動量矩定理： cos30fiftMa cos30sin30ftaN ta 2512fiMa 1117fi 可可得得211121172 9,8srs 則則時間短，忽略重力沖量及沖量矩時間短，忽略重力沖量及沖量矩 i f 如下圖，一個直、剛性的固體正六角棱柱，外形就像通常的如下圖，一個直、剛性的固體正六角棱柱，外形就像通常的鉛筆，棱柱的質(zhì)量為鉛筆，棱柱的質(zhì)量為M，密度均勻橫截面六邊形每邊長為，密度均勻橫截面六邊形每邊長為a六角棱柱相對于它的中六角棱柱相對于它的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量心軸的轉(zhuǎn)動慣量I為為 現(xiàn)令棱柱開場不均勻地滾下斜面假設(shè)摩擦力足以阻止任現(xiàn)令棱柱開場不均勻地滾下斜面假設(shè)摩擦力足以阻止任何滑動，并且不斷接觸斜面某一棱剛碰上斜面之前的角速度為何滑動，并且不斷接觸斜面某一棱剛碰上斜面之前的角速度為i，碰后瞬間角速度，碰后瞬間角速度為為f，在碰撞前后瞬間的動能記為，在碰撞前后瞬間的動能記為Eki和和 Ekf，試證明，試證明fsi， EkfrE，并求出系，并求出系數(shù)數(shù)s和和r的值的值 2512Ma碰后系統(tǒng)質(zhì)心位置從桿中點(diǎn)右移碰后系統(tǒng)質(zhì)心位置從桿中點(diǎn)右