打印版 信號與系統(tǒng)3

1、 第第內(nèi)容摘要1 頁頁一.周期信號的傅里葉級數(shù)三角形式：單邊頻譜形式指數(shù)形式：雙邊頻譜頻譜：離散性、諧波性、收斂性周期矩形脈沖信號的頻譜特點(diǎn)二.傅里葉變換定義及傅里葉變換存在的條件典型非周期信號的頻譜沖激函數(shù)和階躍信號的傅里葉變換性質(zhì)應(yīng)用：調(diào)制和解調(diào)頻分復(fù)用周期信號的傅里葉變換：由一些沖激函數(shù)組成抽樣信號的傅里葉變換抽樣定理應(yīng)用：時(shí)分復(fù)用X 第第例題2 頁頁例題1：傅里葉級數(shù)頻譜圖例題2：傅里葉變換的性質(zhì)例題3：傅里葉變換的定義例題4：傅里葉變換的性質(zhì)例題5：傅里葉變換的性質(zhì)例題6：傅里葉變換的性質(zhì)例題7：傅里葉變換的性質(zhì)、頻響特性例題8：傅里葉變換的性質(zhì)例題9：抽樣定理例題10：周期信號的傅

2、里葉變換X 第第例3-11 頁頁周期信號 6 2 3 ( )f t = 3cost + sin5t + 2cos8t 1.畫出單邊幅度譜和相位譜；2.畫出雙邊幅度譜和相位譜。 6 2 2 3 ( )f t = 3cost + cos5t + + 2cos8t + = 3cost + cos5t + 2cos8t + 1 3 3 X 第第2 頁頁單邊幅度譜和相位譜cn321n13O1 2 3 4 5 6 7 8O1 2 3 4 5 6 7 8 13雙邊幅度譜和相位譜Fn n1332 85 5O1 2 3 46 7 8121O 1 2 1 8 53 4 5 6 7 83X 第第例3-21 頁頁(

3、)求信號f (t)的傅里葉變換F 。f (t)2101t分析：f(t)不滿足絕對可積條件，故無法用定義求其傅里葉變換，只能利用已知典型信號的傅里葉變換和性質(zhì)求解。下面用三種方法求解此題。方法一：利用傅里葉變換的微分性質(zhì)方法二：利用傅里葉變換的積分性質(zhì)方法三：線性性質(zhì)X 第第方法一：利用傅里葉變換的微分性質(zhì)2 頁頁f (t)要注意直流，設(shè)fA(t)為交流分量，fD(t)為直流分量，則21( ) ( ) ( )f t f t + f tAD01f A(t)tt( ) ( ) ( )F = F + F AD1 2其中0 1 21132( ) ( ) ( )f D t = f + f =2( )f t

4、AFD() = 3()10( ) ( )f t = f t1tAX 第第3 頁頁 1( )Q f A t = G1t 2 ( ) = Sa jFA j e 2 2 j j Sa e( )FA = 2 j j Sa e( ) ( ) ( )+ 3()F = F + F =ADX 第第方法二：利用傅里葉變換的積分性質(zhì)4 頁頁f (t)( )f t = 1+ f1(t) f1(t)為f 2(t)的積分21 F2() = Sa j e 2 01t 1j 2 f1(t)( ) ( )F1 =+ Sa je10 j Sa e1tt 2 j( )f2(t)= + Sa e j 2 10( ) ( ) ( )

5、F = F 1 + F = 3 +11jX 第第方法三：利用線性性質(zhì)進(jìn)行分解5 頁頁f (t)此信號也可以利用線性性2質(zhì)進(jìn)行分解，例如101t( )f t = u(t) + (t + 1) u(t) u(t 1) + 2u(t 1)bbb( ) e j + 1 e j2j1 1 2j j( )2 + e j j(j)21 e j( )F = (j)2+ 3()X 第第例3-31 頁頁已知信號f(t)波形如下，其頻譜密度為F(j)，不必求出F(j)的表達(dá)式，試計(jì)算下列值：f (t)(1) F() =01(2) ( )F d1 O1t( ) ( ) ( ) jt1 F = f tedt( ) (

6、) ( ) F 0 = F = f t dt = 1.5=0X 第第2 頁頁12(2)f (t)= ( )j tF de令t=0，則1( ) ( )f 0 = 2F d則 ( )( )F d = 2 f 0 = 2X 第第例3-41 頁頁已知F1() = Ff1(t),利用傅里葉變換的性質(zhì) ,求F2() = Ff1(6 2t)。方法一：按反褶尺度時(shí)移次序求解F1() = Ff1(t)已知 ( ) ( )F f t = F 對t反褶11.1 F f 2t = F 對t壓縮2倍 1( ) 12 2 對t時(shí)移 6 ,得 F f 6 2t F e j31 ( ) =1122 2 X 第第2 頁頁方法二

7、：按反褶時(shí)移尺度次序求解( ) ( )F1 = F f t已知1 ( ) ( )F f t F 對t反褶11 ( ) ( )F f 6 t F e j6 = 對t時(shí)移6,得111 12 2 ( ) =e j3對t壓縮2倍 F f 6 2t F 1方法三利用傅里葉變換的性質(zhì)t0a 1 jF e = 0a a ( )F f at t這里a = -2,t0 = 6代入上式，得1 12 2 ( )F f 6 2t = F e j31其它方法自己練習(xí)。X 第第例3-51 頁頁 Et( )已知升余弦信號f t( )0 t ,1+ cos 2利用頻移性質(zhì)求其頻譜密度函數(shù)，并與矩形脈沖信號 f1(t) = E

8、 ut + ut 的頻譜比較。 2 2解：j tj tE EE( ) ( ) ( )f t = + e + e u t + u t 2 44E E 2 E Sa( )Sa Sa + 2 X 第第升余弦脈沖的頻譜2 頁頁f(t)EE2E Sa( ) OtE 22F()Sa + 2 EE ESa2 2O 234X 第第比較3 頁頁f(t)Ef1(t)E2 Ot22升余弦脈沖信號的頻譜比矩形脈沖的頻譜更加集中 ( )F()F =ESa 1 2 EO 324 X 第第例3-51 頁頁 Et( )已知升余弦信號f t1+ cos 0 t ，2利用頻移性質(zhì)求其頻譜密度函數(shù)，并與矩形脈沖信號 f1(t) =

9、 E ut + ut 的頻譜比較。 2 2解：j tj tE EE( ) ( ) ( )f t = + e + e u t + u t 2 44E E 2 E Sa( )Sa Sa + 2 X 第第2 頁頁f(t)EE2E Sa( ) OtE 22F()Sa + 2 EE ESa 2 2O 324 X 第第例3-6已知雙Sa信號1 頁頁f (t) = Sa(ct) Sac(t 2)c試求其頻譜。 f0(t) = c Sa(ct)令因f0(t)為Sa波形，其頻譜F0()為矩形。f0(t)和f (t)的波形如圖(a),(b)所示。f0(t)F0()C.1Co CotX(a)(b) 第第f0(t 2

10、)的波形如圖(c)所示。已知2 頁頁 f0(t 2)( < c1) ( )2F f t =o0( < c )0t由時(shí)移特性得到(c)e j2( < c )( < c ) ( )F f t 2 =00因此f (t)的頻譜等于F() = Ff 0(t) Ff0(t 2)1 e j2( < c )( < c )= 0X 第第3 頁頁從中可以得到幅度譜為2sin( )( < c )( < c )( )F = 0在實(shí)際中往往取 = ,此時(shí)上式變成c ( < c )( < c )2sin0F() = c 雙Sa信號的波形和頻譜如圖（d）（e）所示

11、。X 第第4 頁頁F()f (t)2Co2tCCo(e)(d)X 第第例3-7-81 頁頁f (t)求圖(a)所示函數(shù)的傅里葉變換。1( )引入輔助信號 f1 t ,如圖 (b).ott1( )F 由對稱關(guān)系求(a)1f1(t)F1() = G2 ()1又因?yàn)閛f (t) = f1(t 1)1 1得(b)F() = F1()e j = G2 ()e j頻譜圖X ( )F1 由對稱關(guān)系求f 1 (t)F1( )f1(t)1ot1 1F1 (t)2f 1 ( )(b)f1(t)(t )2f1()( )F1( )F t1( t) (t ) G (t) Sa 2 已知且由圖(b)可得 f1(t) =

12、Sa(t) 2所以由對稱性，( ) ( ) ( ) ( )2f1 = 2 Sa G t = F t21 F1() = G2 ()X 第第幅頻、相頻特性3 頁頁幅頻、相頻特性分別如圖（c)(d)所示。| F() |()100(c)(d)幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜右 t0相移t0左 t0X 第第例3-81 頁頁1 cost t +已知信號 f (t) t >0求該信號的傅里葉變換。分析：該信號是一個(gè)截?cái)嗪瘮?shù)，我們既可以把該信號G2 (t)的截取，看成是周期信號( )+ 經(jīng)過門函數(shù)1 cost( ) ( )也可以看成是G2 t被信號 1 cost+調(diào)制所得的信號.有以下三種解法:方法一：利

13、用頻移性質(zhì)方法二：利用頻域卷積定理方法三：利用傅里葉變換的時(shí)域微積分特性X 第第方法一：利用頻移性質(zhì)2 頁頁利用頻移性質(zhì)：由于( )f (t) = 1+ cost G2 (t)( )+利用歐拉公式，將 1 cost化為虛指數(shù)信號，( )被虛指數(shù)信號調(diào)制的f (t)就可以看成是門函數(shù) G2 t結(jié)果。在頻域上，就相當(dāng)于對 G2 (t)的頻譜進(jìn)行平移。( )f (t) = 1+ cost G2 (t)1 e jt e G2 (t)= + 2 2 11 jt又因G2 (t) 2 Sa = 2sin( )X 第第3 頁頁所以根據(jù)頻移性質(zhì)，可得F() = Ff (t)11( )( ) 2sin 1 2si

14、n + 1+= 2sin+ 22 1 + 1= 2sin( ) 21X 第第方法二：用頻域卷積定理4 頁頁( )經(jīng)過窗函數(shù) G2 t的截取，( )將 f (t)看成是信號 1 cost+即時(shí)域中兩信號相乘( )f (t) = 1+ cost G2 (t)根據(jù)頻域卷積定理有1( ) ( )F = F 1+ cost F G t22122sin ( ) ( ) ( )= 2 + 1 + + 1 = 2sin( )2 1X 第第方法三：利用傅里葉變換的時(shí)域微積分特性 5 頁頁f (t)信號f(t)是余弦函數(shù)的截?cái)嗪瘮?shù)，而余2弦函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)又是余弦函數(shù)。利用傅里葉變換的時(shí)域微積分特性可以列方 tf

15、t2程求解。( )21( ) ( ) ( ) f t , f t , f t的波形為：2 t由圖可知21( )f t( )f t = costG2 (t)= f t G (t)21 ( ) t212X 第第6 頁頁對上式兩端取傅里葉變換，可得2sin (j)2 ( ) ( )F = F 即2sin( ) ( )1 F =2由于f (t)和f (t)均為能量信號，其傅里葉變換在 0( )( )處都等于0,根據(jù)時(shí)域積分特性，F(xiàn) 中不可能含有 項(xiàng)，因此可將（1 2）項(xiàng)移到方程右邊，即2sin( )F = ( )2 1X 第第例3-91 頁頁求信號f (t) = Sa(100t)的頻寬（只計(jì)正頻率部分

16、），若對f (t)進(jìn)行均勻沖激抽樣，求奈奎斯特頻率fN和奈奎斯特周期TN。(1)要求出信號的頻寬，首先應(yīng)求出信號的傅里葉變換F()已知 ( )G t Sa 2 令 = 100 ,則2002G200(t) 200Sa(100)X 第第2 頁頁1 G200(t) Sa(100)即200利用傅里葉變換的對稱性1( )( )( )Sa 100t 2 G200 = G200 200100f(t)的波形和頻譜圖如下f t( )F()1100t100 0100100100所以信號的頻帶寬度為 50 Hz fm = = m = 100rad/ sm X2 第第（2）3 頁頁最高抽樣頻率（奈奎斯特頻率）為100

17、f N= 2 f m = Hz奈奎斯特間隔（即最大允許抽樣間隔）為1 TN = = sf 100NX 第第例3-101 頁頁已知周期信號f(t)的波形如下圖所示，求f(t)的傅里葉變換F()。f (t)1LL34 11 2 14O12t1412分析：求信號的傅里葉變換一般有兩種解法。( )方法一：將信號轉(zhuǎn)化為單周期信號與單位沖激串 tT的卷積，用時(shí)域卷積定理來求解；方法二：利用周期信號的傅里葉級數(shù)求解。X 第第方法一2 頁頁將信號轉(zhuǎn)化為單周期信號與單位沖激串的卷積。 1 t 3截取f(t)在的信號構(gòu)成單周期信號 f1(t)，即有22132f (t) t f1(t) =20t為其它值1 ( ) Sa 1 e則 jf1(t) = G 1 (t) (t) (t 1) 2 4 2易知f(t)的周期為2，則有f (t) f1(t) T (t)T 22( )T (t) 1 = =1 T1( )= nXn= 第第3 頁頁由時(shí)域