水平寬鉛垂高求三角形面積(共10頁)

1、作三角形鉛垂高是解決三角形面積問題的一個(gè)好辦法-二次函數(shù)教學(xué)反思鉛垂高如圖，過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高”（h）我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：SABC=12 ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半最近教學(xué)二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問題，經(jīng)過研究，我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個(gè)好辦法。在課堂上我還風(fēng)趣地說遇到“歪歪三角形中間砍一刀”，同學(xué)們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結(jié)如下：如圖1，過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直

2、線之間的距離叫ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半. DBAOyxPCBAOyxBC鉛垂高水平寬h a 圖1例1（2013深圳）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長最??？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且

3、在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.解：（1）B（1，）（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+a)，代入點(diǎn)B（1, ），得，因此（3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1，當(dāng)點(diǎn)C位于對稱軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，BOC的周長最小.設(shè)直線AB為y=kx+b.所以，因此直線AB為，當(dāng)x=1時(shí)，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，/3）.（4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D.當(dāng)x=時(shí)，PAB的面積的最大值為，此時(shí).例2(2014益陽) 如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0)，交y軸于點(diǎn)B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2

4、)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求CAB的鉛垂高CD及；(3)是否存在一點(diǎn)P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：把A（3,0）代入解析式求得所以設(shè)直線AB的解析式為：由求得B點(diǎn)的圖-2xCOyABD11坐標(biāo)為 把，代入中解得：所以(2)因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(,4)所以當(dāng)x時(shí)，y14，y22所以CD4-22(平方單位)(3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，PAB的鉛垂高為h，則由SPAB=SCAB得化簡得：解得，將代入中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為例3（2015江津）如圖，拋物線與x軸交于

5、A(1,0),B(- 3，0)兩點(diǎn)，（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得QAC的周長最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及PBC的面積最大值.若沒有，請說明理由.解：(1)將A(1，0)，B(3，0)代中得 拋物線解析式為： (2)存在。 理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱 直線BC與的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)， 此時(shí)AQC周長最小 C的坐標(biāo)為：(0，3) 直線BC解析式為： Q點(diǎn)坐標(biāo)即為的解 Q(1，2)（3）答

6、：存在。理由如下：設(shè)P點(diǎn)若有最大值，則就最大，當(dāng)時(shí)，最大值 最大 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為同學(xué)們可以做以下練習(xí)：1（2015浙江湖州）已知如圖，矩形OABC的長OA=，寬OC=1，將AOC沿AC翻折得APC。（1）填空：PCB=_度，P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；（2）若P，A兩點(diǎn)在拋物線y=x2+bx+c上，求b，c的值，并說明點(diǎn)C在此拋物線上；（3）在（2）中的拋物線CP段（不包括C，P點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形MCAP的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。2（湖北省十堰市2014）如圖， 已知拋物線（a0）與軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B (3，0)，與y軸交于點(diǎn)

7、C(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)M ，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由(3) 如圖，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)圖 圖3.(2015年恩施) 如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式（2）連結(jié)PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四邊形POPC， 那么是否存在

8、點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積. 圖11解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 解得： 所以二次函數(shù)的表達(dá)式為： （2）存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），PP交CO于E若四邊形POPC是菱形，則有PCPO連結(jié)PP 則PECO于E，OE=EC= = 解得=，=（不合題意，舍去）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）（3）過點(diǎn)P作軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，），易得，直線BC的解析式為則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x3）.= 當(dāng)時(shí)，四邊形

9、ABPC的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積25（2015綿陽）如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為DE（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在直線EF上求一點(diǎn)H，使CDH的周長最小，并求出最小周長；（3）若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，EFK的面積最大？并求出最大面積KNCEDGAxyOBFCEDGAxyOBF【解析】（1）由題意，得 解得，b =1所以拋物線的解析式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）（

10、2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M因?yàn)镋F垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對稱點(diǎn)為B，連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使DH + CH最小，即最小為DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周長最小值為CD + DR + CH =設(shè)直線BD的解析式為y = k1x + b，則 解得 ，b1 = 3所以直線BD的解析式為y =x + 3由于BC = 2，CE = BC2 =，RtCEGCOB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5）同理可求得直線EF的解析式為y =x +聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使CDH

11、的周長最小的點(diǎn)H（，）（3）如圖所示，設(shè)K（t，），xFtxE過K作x軸的垂線交EF于N則 KN = yKyN =（t +）=所以 SEFK = SKFN + SKNE =KN（t + 3）+KN（1t）= 2KN = t23t + 5 =（t +）2 +即當(dāng)t =時(shí)，EFK的面積最大，最大面積為，此時(shí)K（，） 平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的求法 我們常常會(huì)遇到在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的問題.解題時(shí)我們要注意其中的解題方法和解題技巧.1 有一邊在坐標(biāo)軸上：例1：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0），（0，3），（0，1），求ABC的面積.分析：根據(jù)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)特征可

12、以看出，ABC的邊BC在y軸上，由圖形可得BC4，點(diǎn)A到BC邊的距離就是A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，也就是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值3，然后根據(jù)三角形的面積公式求解.2 有一邊與坐標(biāo)軸平行：例2：如圖2，三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求ABC的面積.分析：由A（4，1），B（4，5）兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，可知邊AB與y軸平行，因而AB的長度易求.作AB邊上的高CD，就可求得線段CD的長，進(jìn)而可求得三角形ABC的面積.             

13、          3 三邊均不與坐標(biāo)軸平行：例3：分析：由于三邊均不平行于坐標(biāo)軸，所以我們無法直接求邊長，也無法求高，因此得另想辦法.4 三角形面積公式的推廣：過ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別作與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高”（h）我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：SABC=ah 即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半例4：已知：直線l1：y=2x+6與x軸交于點(diǎn)A，直線l2：y=x+3與y軸交于點(diǎn)B，直線l1、

14、l2交于點(diǎn)C()建立平面直角坐標(biāo)系，畫出示意圖并求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；()利用閱讀材料提供的方法求ABC的面積5 鞏固練習(xí)：（1）已知：如圖，直線與反比例函數(shù)（0）的圖象相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.（）試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；（）求的面積 （2）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)（，是常數(shù)）的圖象經(jīng)過，其中過點(diǎn)作軸垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸垂線，垂足為，連結(jié)，若的面積為4，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）已知，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰RtABC，BAC=90°且點(diǎn)P（1，a）為坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（）求三角形ABC的面積SABC；（）請說明不論a取任何實(shí)數(shù)，三角形BOP的面積是一個(gè)常數(shù)；（）要使得ABC和ABP的面積相等，求實(shí)數(shù)a的值根據(jù)企業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略的要