第5章 彎曲應(yīng)力

1、第5章 彎曲應(yīng)力課前導(dǎo)讀內(nèi)容提要本章主要內(nèi)容包括：梁純彎曲和橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力以及梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算；彎曲強(qiáng)度條件；提高彎曲強(qiáng)度的若干措施；薄壁桿件的切應(yīng)力流和彎曲中心；梁的極限荷載。本章的教學(xué)重點(diǎn)為純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力公式的分析推導(dǎo)；橫力彎曲橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算；彎曲的強(qiáng)度計(jì)算；彎曲橫截面上的剪應(yīng)力。教學(xué)難點(diǎn)為彎曲正應(yīng)力、剪應(yīng)力推導(dǎo)過(guò)程和彎曲中心的概念。能力要求：通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)達(dá)到以下能力：掌握梁的彎曲強(qiáng)度條件并能應(yīng)用該條件解決實(shí)際工程問(wèn)題；從彎曲強(qiáng)度條件出發(fā)，掌握提高彎曲強(qiáng)度的若干措施；理解彎曲中心對(duì)開(kāi)口薄壁桿件的重要性，掌握確定彎曲中心的方法；了解梁極限荷

2、載的計(jì)算方法。前一章詳細(xì)討論了梁在彎曲時(shí)的內(nèi)力剪力和彎矩。但是，要解決梁的彎曲強(qiáng)度問(wèn)題，只了解梁的內(nèi)力是不夠的，還必須研究梁的彎曲應(yīng)力，應(yīng)該知道梁在彎曲時(shí)，橫截面上有什么應(yīng)力，如何計(jì)算各點(diǎn)的應(yīng)力。在一般情況下，橫截面上有兩種內(nèi)力剪力和彎矩。由于剪力是橫截面上切向內(nèi)力系的合力，所以它必然與切應(yīng)力有關(guān)；而彎矩是橫截面上法向內(nèi)力系的合力偶矩，所以它必然與正應(yīng)力有關(guān)。由此可見(jiàn)，梁橫截面上有剪力時(shí)，就必然有切應(yīng)力；有彎矩M時(shí)，就必然有正應(yīng)力。為了解決梁的強(qiáng)度問(wèn)題，本章將分別研究正應(yīng)力與切應(yīng)力的計(jì)算。5.1 彎曲正應(yīng)力5.1.1 純彎曲梁的正應(yīng)力既然正應(yīng)力只與橫截面上的彎矩有關(guān)，而與剪力無(wú)關(guān)。因此，就以橫

3、截面上只有彎矩，而無(wú)剪力作用的彎曲情況來(lái)討論彎曲正應(yīng)力問(wèn)題。在梁的各橫截面上只有彎矩，而剪力為零的彎曲，稱為純彎曲。如果在梁的各橫截面上，同時(shí)存在著剪力和彎矩兩種內(nèi)力，這種彎曲稱為橫力彎曲或剪切彎曲。例如在圖5-1所示的簡(jiǎn)支梁中，BC段為純彎曲，AB段和CD段為橫力彎曲。分析純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的方法、步驟與分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力一樣，需要綜合考慮問(wèn)題的變形方面、物理方面和靜力學(xué)方面。 圖5-1變形方面 為了研究與橫截面上正應(yīng)力相應(yīng)的縱向線應(yīng)變，首先觀察梁在純彎曲時(shí)的變形現(xiàn)象。為此，取一根具有縱向?qū)ΨQ面的等直梁，例如圖5-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的側(cè)面上畫(huà)出垂直于軸線的橫向線m

4、-m、n-n和平行于軸線的縱向線a-a、b-b。然后在梁的兩端加一對(duì)大小相等、方向相反的力偶，使梁產(chǎn)生純彎曲。此時(shí)可以觀察到如下的變形現(xiàn)象：縱向線彎曲后變成了弧線、, 靠近頂面的aa線縮短了，靠近底面的bb線伸長(zhǎng)了。橫向線m-m、n-n在梁變形后仍為直線，但相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一定的角度，且仍與彎曲了的縱向線保持正交，如圖5-2(b)所示。梁內(nèi)部的變形情況無(wú)法直接觀察，但根據(jù)梁表面的變形現(xiàn)象對(duì)梁內(nèi)部的變形進(jìn)行如下假設(shè)：(1) 平面假設(shè) 梁所有的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的梁軸線。(2) 單向受力假設(shè) 認(rèn)為梁由許許多多根縱向纖維組成，各纖維之間沒(méi)有相互擠壓，每根纖維均處于拉伸或壓縮的單向受力狀

5、態(tài)。 根據(jù)平面假設(shè)，前面由實(shí)驗(yàn)觀察到的變形現(xiàn)象已經(jīng)可以推廣到梁的內(nèi)部。即梁在純彎曲變形時(shí)，橫截面保持平面并作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，靠近上面部分的縱向纖維縮短，靠近下面部分的縱向纖維伸長(zhǎng)。由于變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，這層纖維稱為中性層(圖5-3)。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。由于外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)因此梁的變形也應(yīng)該對(duì)稱于此平面，在橫截面上就是對(duì)稱于對(duì)稱軸。所以中性軸必然垂直于對(duì)稱軸，但具體在哪個(gè)位置上，目前還不能確定。 圖5-2 圖5-3 考察純彎曲梁某一微段dx的變形(圖5-4)。設(shè)彎曲變形以后，微段左右兩橫截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為dq，則距中性層為y處的任一層縱向纖維b

6、b變形后的弧長(zhǎng)為式中，為中性層的曲率半徑。該層纖維變形前的長(zhǎng)度與中性層處縱向纖維OO長(zhǎng)度相等，又因?yàn)樽冃吻?、后中性層?nèi)纖維OO的長(zhǎng)度不變，故有由此得距中性層為y處的任一層縱向纖維的線應(yīng)變 (a)圖5-4 圖5-5上式表明，線應(yīng)變 隨y按線性規(guī)律變化。物理方面 根據(jù)單向受力假設(shè)，且材料在拉伸及壓縮時(shí)的彈性模量E相等，則由虎克定律，得 (b) 式(b)表明，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力按線性規(guī)律變化，橫截面上中性軸處，y=0，因而s=0，中性軸兩側(cè)，一側(cè)受拉應(yīng)力，另一側(cè)受壓應(yīng)力，與中性軸距離相等各點(diǎn)的正應(yīng)力數(shù)值相等（圖5-5）。靜力學(xué)方面 雖然已經(jīng)求得了由式(b)表示的正應(yīng)力分布規(guī)律，但因曲率半徑r和中性軸的

7、位置尚未確定，所以不能用式(b)計(jì)算正應(yīng)力，還必須由靜力學(xué)關(guān)系來(lái)解決。 在圖5-5中，取中性軸為z軸，過(guò)z、y軸的交點(diǎn)并沿橫截面外法線方向的軸為x軸，作用于微面積上的法向微內(nèi)力為。在整個(gè)橫截面上，各微面積上的微內(nèi)力構(gòu)成一個(gè)空間平行力系。由靜力學(xué)關(guān)系可知，應(yīng)滿足，三個(gè)平衡方程。 由于所討論的梁橫截面上沒(méi)有軸力，故由，得 (c)將式(b)代人式(c)，得式中，E/r 恒不為零，故必有靜矩，由截面的幾何性質(zhì)可知道，只有當(dāng)z軸通過(guò)截面形心時(shí)，靜矩Sz才等于零。由此可得結(jié)論：中性軸z通過(guò)橫截面的形心。這樣就完全確定了中性軸在橫截面上的位置。 由于所討論的梁橫截面上沒(méi)有內(nèi)力偶My，因此由,得 (d)將式(

8、b)代人式(d)，得上式中，由于y軸為對(duì)稱軸，故，平衡方程自然滿足。純彎曲時(shí)各橫截面上的彎矩M均相等。因此，由，得 (e)將式(b)代人式(e)，得 (f)由式(f)得 （5-1）式中，為中性層的曲率，EIz為抗彎剛度，彎矩相同時(shí)，梁的抗彎剛度愈大，梁的曲率越小。最后，將式(5-1)代入式(b)，導(dǎo)出橫截面上的彎曲正應(yīng)力公式為 （5-2）式中，M為橫截面上的彎矩，Iz為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，y為橫截面上待求應(yīng)力的y坐標(biāo)。應(yīng)用此公式時(shí)，也可將M、y均代入絕對(duì)值，是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可根據(jù)梁的變形情況直接判斷。以中性軸為界，梁的凸出一側(cè)為拉應(yīng)力，凹入一側(cè)為壓應(yīng)力。 以上分析中，雖然把梁的橫截面畫(huà)成

9、矩形，但在導(dǎo)出公式的過(guò)程中，并沒(méi)有使用矩形的幾何性質(zhì)。所以，只要梁橫截面有一個(gè)對(duì)稱軸，而且載荷作用于對(duì)稱軸所在的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，式(5-1)和式(5-2)就適用。 由式(5-2)可見(jiàn)，橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)上。用ymax表示最遠(yuǎn)點(diǎn)至中性軸的距離，則最大彎曲正應(yīng)力為上式可改寫(xiě)為 （5-3）其中 （5-4）為抗彎截面系數(shù)，是僅與截面形狀及尺寸有關(guān)的幾何量，量綱為長(zhǎng)度3。高度為h、寬度為b的矩形截面梁，其抗彎截面系數(shù)為直徑為D的圓形截面梁的抗彎截面系數(shù)為工程中常用的各種型鋼，其抗彎截面系數(shù)可從附錄的型鋼表中查得。當(dāng)橫截面對(duì)中性軸不對(duì)稱時(shí)其最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力將不相等。用式(5

10、-3)計(jì)算最大拉應(yīng)力時(shí)，可在式(5-4)中取ymax 等于最大拉應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離；計(jì)算最大壓應(yīng)力時(shí)，在式(5-4)中應(yīng)取ymax等于最大壓應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離。圖5-65.1.2 橫力彎曲梁的正應(yīng)力公式（5-2）是純彎曲情況下以前面提出的兩個(gè)假設(shè)為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。工程上最常見(jiàn)的彎曲問(wèn)題是橫力彎曲。在此情況下，梁的橫截面上不僅有彎矩，而且有剪力。由于剪力的影響，彎曲變形后，梁的橫截面將不再保持為平面，即發(fā)生所謂的“翹曲”現(xiàn)象，如圖5-6（a）。但當(dāng)剪力為常量時(shí)，各橫截面的翹曲情況完全相同，因而縱向纖維的伸長(zhǎng)和縮短與純彎曲時(shí)沒(méi)有差異。圖5-6（b）表示從變形后的橫力彎曲梁上截取的微段，由圖可見(jiàn)，截

11、面翹曲后，任一層縱向纖維的弧長(zhǎng)AB，與橫截面保持平面時(shí)該層纖維的弧長(zhǎng)完全相等，即AB=AB。所以，對(duì)于剪力為常量的橫力彎曲，純彎曲正應(yīng)力公式(5-2)仍然適用。當(dāng)梁上作用有分布載荷，橫截面上的剪力連續(xù)變化時(shí)，各橫截面的翹曲情況有所不同。此外，由于分布載荷的作用，使得平行于中性層的各層纖維之間存在擠壓應(yīng)力。但理論分析結(jié)果表明，對(duì)于橫力彎曲梁，當(dāng)跨度與高度之比lh大于5時(shí)，純彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式(5-2)仍然是適用的，其結(jié)果能夠滿足工程精度要求。典型例題例5.1 受純彎曲的空心圓截面梁如圖5-7(a)所示。已知：彎矩M= l kN.m，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=25mm。試求橫截面上a、b、c及d四

12、點(diǎn)的應(yīng)力，并繪過(guò)a、b兩點(diǎn)的直徑線及過(guò)c、d兩點(diǎn)弦線上各點(diǎn)的應(yīng)力分布圖。圖5-7解：(1)求 Iz(2)求sa 點(diǎn)b 點(diǎn)c 點(diǎn) d 點(diǎn)給定的彎矩為正值，梁凹向上，故a及c點(diǎn)是壓應(yīng)力，而b點(diǎn)是拉應(yīng)力。過(guò)a、b的直徑線及過(guò)c、d的弦線上的應(yīng)力分布圖如圖5-7(b)、(c)所示。知識(shí)拓展兩種材料的組合梁上面討論的彎曲問(wèn)題中的梁均是由一種材料制成的。而在工程實(shí)際中，經(jīng)常會(huì)遇到由兩種或兩種以上不同材料制成的組合梁的彎曲問(wèn)題，如橋梁工程中常見(jiàn)的鋼筋混凝土梁等。下面討論圖5-8所示的兩種材料制成的矩形截面梁平面彎曲時(shí)橫截面的正應(yīng)力分布情況。設(shè)組成梁的兩種材料的彈性模量分別為和，且。相應(yīng)的橫截面面積分別為和。

13、梁在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)發(fā)生純彎曲，橫截面的彎矩為。當(dāng)梁的兩種材料緊密貼合，變形過(guò)程中不能相對(duì)滑動(dòng)，即梁橫截面可視為一個(gè)整體。試驗(yàn)表明，此時(shí)平面假設(shè)和單向應(yīng)力假設(shè)仍然成立。圖5-8取截面的對(duì)稱軸和中性軸分別為軸和軸（圖5-8a）。由平面假設(shè)可知，橫截面上各點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變沿截面高度呈線性規(guī)律變化（圖5-8b），任一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變?yōu)?(a)式中，為中性層的曲率半徑。當(dāng)梁的材料均處于線彈性范圍，由單向應(yīng)力的胡可定律，可得截面上兩種材料各自范圍任意一點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力分別為 (b)正應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律如圖5-8c所示。與均質(zhì)材料梁在平面彎曲時(shí)的推導(dǎo)相同，由靜力學(xué)條件可以確定截面中性軸的位置，即得 將

14、式（b）代入上式就得確定中性軸的條件 （c）顯然，這不是中性軸應(yīng)通過(guò)截面形心的條件。所以一般情況下，兩種材料組合梁的中性軸不通過(guò)截面形心。中性軸位置確定后，便可另一靜力學(xué)關(guān)系，即求得中性層的曲率。將式（b）代入上式得從而得中性層曲率 （d）式中和分別是兩種材料各自的面積對(duì)于中性軸的慣性矩。將式（d）代回式（b）得橫截面上兩種材料彎曲正應(yīng)力的表達(dá)式， （e）現(xiàn)由圖5-8c所示正應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律進(jìn)行分析。當(dāng)橫截面上的彎矩為正值時(shí)，截面上的中性軸以上部分為壓應(yīng)力，以下為拉應(yīng)力。將橫截面上正應(yīng)力乘以截面寬度b，可得沿截面高度的變化規(guī)律（圖5-8d）。由純彎曲時(shí)橫截面上軸力可知，其中性軸以上部分

15、的壓力與以下部分的拉力數(shù)值相等，而指向相反。其組成的力偶矩即為橫截面上的彎矩。工程計(jì)算中為了應(yīng)用上的方便，常將兩種材料的組合梁按照中性軸位置不變和抗彎剛度不變的等價(jià)原則，換算成一種材料的均質(zhì)梁來(lái)計(jì)算。例如若將組合梁的截面變換為彈性模量為的均質(zhì)截面時(shí)，其中性軸位置仍由式（c）確定，可以寫(xiě)成令，中性軸應(yīng)滿足 （f）由上式可知，在保持梁高度尺寸不變的條件下，把材料2范圍內(nèi)的寬度變換為 （g）其正應(yīng)力與寬度的乘積沿截面高度的變化規(guī)律將仍然與圖1-6d所示相同。顯然，按式(g)折算所得截面（圖5-8e）的中性軸（即其水平形心軸）與兩種材料的實(shí)際截面的中性軸相重合。于是，兩種材料的組合梁可變換為同一材料的

16、均質(zhì)梁來(lái)進(jìn)行計(jì)算。圖5-8e所示同一材料的截面相當(dāng)于兩種材料的實(shí)際截面，稱為相當(dāng)截面。應(yīng)當(dāng)注意，應(yīng)用相當(dāng)截面，按同一材料梁算出的橫截面上的正應(yīng)力，對(duì)于材料1部分，即為實(shí)際的應(yīng)力，面對(duì)材料2 部分（變換寬度部分），必須將其乘以兩材料彈性模量之比值，才是實(shí)際截面上的應(yīng)力。最后指出，在計(jì)算相當(dāng)截面時(shí)，將原來(lái)的截面折算為哪一種材料的相當(dāng)截面，對(duì)于最后的計(jì)算結(jié)果并無(wú)影響。5.2彎曲切應(yīng)力 橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上的內(nèi)力除彎矩外還有剪力，因而在橫截面上除正應(yīng)力外還有切應(yīng)力。本節(jié)按梁截面的形狀，分幾種情況討論彎曲切應(yīng)力。5.2.1矩形截面梁的切應(yīng)力 在圖5-9(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力皆與截面的對(duì)

17、稱軸y重合， 見(jiàn)圖5-9(b)?，F(xiàn)分析橫截面內(nèi)距中性軸為y處的某一橫線，p1q1上的切應(yīng)力分布情況。 根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在截面兩側(cè)邊緣的p1和q1處，切應(yīng)力的方向一定與截面的側(cè)邊相切，即與剪力的方向一致。而由對(duì)稱關(guān)系知，橫線中點(diǎn)處切應(yīng)力的方向，也必然與剪力的方向相同。因此可認(rèn)為橫線p1q1上各點(diǎn)處切應(yīng)力都平行于剪力。由以上分析，我們對(duì)切應(yīng)力的分布規(guī)律做以下兩點(diǎn)假設(shè)： (1)橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的方向均與剪力的方向平行；(2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。(a) (b)圖5-9現(xiàn)以橫截面m-n和m1-n1從圖5-9(a)所示梁中取出長(zhǎng)為dx的微段，見(jiàn)圖5-10(a)。設(shè)作用于微段左、右兩側(cè)橫截面

18、上的剪力為，彎矩分別為M和M+dM，再以平行于中性層且距中性層為y的p1p截面取出一部分p1pn1n，見(jiàn)圖5-10 (b)。該部分的左右兩個(gè)側(cè)面pn和p1n1上分別作用有由彎矩M和M+dM引起的正應(yīng)力。除此之外，兩個(gè)側(cè)面上還作用有切應(yīng)力。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，截出部分頂面p1p上也作用有切應(yīng)力，其值與距中性層為y處橫截面上的切應(yīng)力數(shù)值相等。設(shè)截出部分p1pn1n的兩個(gè)側(cè)面pn和p1n1上的法向微內(nèi)力dA合成的在x軸方向的法向內(nèi)力分別為FN1及FN2，則FN2可表示為 （a）式中，為截出部分p1pn1n側(cè)面pn或p1n1的面積，以下簡(jiǎn)稱為部分面積，為A1對(duì)中性軸的靜矩。同理 （b） (a) (b)

19、圖5-10考慮截出部分p1pn1n的平衡，見(jiàn)圖5-10(b)由，得 （c）將式(a)及式(b)代入式(c)，化簡(jiǎn)后得注意到上式中，并注意到與數(shù)值相等，于是矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式為 （5-5）式中，為橫截面上的剪力，b為截面寬度，為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，為橫截面上部分面積對(duì)中性軸的靜矩。對(duì)于給定的高為h寬為b的矩形截面(圖5-11)，計(jì)算出部分面積對(duì)中性軸的靜矩如下圖5-11將上式代入（5-5），得 （5-6）由(5-6)可見(jiàn)，切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。當(dāng)y=±h2時(shí)，t=0，即截面的上、下邊緣線上各點(diǎn)的切應(yīng)力為零。當(dāng)y=0時(shí)，切應(yīng)力t有極大值，這表明最大切應(yīng)力發(fā)

20、生在中性軸上，其值為將代人上式，得 (5-7)可見(jiàn)，矩形截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的1.5倍。根據(jù)剪切虎克定律，由式(5-6)可知切應(yīng)變 (5-8)式(5-8)表明，橫截面上的切應(yīng)變沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。沿截面高度各點(diǎn)具有按非線性規(guī)律變化的切應(yīng)變，這就說(shuō)明橫截面將發(fā)生扭曲。由式(5-8)可見(jiàn)，當(dāng)剪力FS為常量時(shí)，橫力彎曲梁各橫截面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切應(yīng)變相等，因而各橫截面扭曲情況相同。5.2.2工字形截面梁的切應(yīng)力工字形截面由上、下翼緣及腹板構(gòu)成，見(jiàn)圖5-13(a)，現(xiàn)分別研究腹板及翼緣上的切應(yīng)力。圖5-12 5.2.2.1工字形截面腹板部分的切應(yīng)力 腹板是狹長(zhǎng)矩形，因此關(guān)于矩形截面

21、梁切應(yīng)力分布的兩個(gè)假設(shè)完全適用。在工字形截面梁上，用截面m-m和n-n截取dx長(zhǎng)的微段，并在腹板上用距中性層為y的rs平面在微段上截取出一部分mnsr，見(jiàn)圖5-12(b)、(c)，考慮mnsr部分的平衡，可得腹板的切應(yīng)力計(jì)算公式 (5-9)式(5-9)與式(5-5)形式完全相同，式中d為腹板厚度。計(jì)算出部分面積Al對(duì)中性軸的靜矩代人式(5-9)整理，得 （5-10）由式(5-10)可見(jiàn)，工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力 t 按拋物線規(guī)律分布，見(jiàn)圖5-12(c)。以y=0及y=±h/2分別代人式(5-10)得中性層處的最大切應(yīng)力及腹板與翼緣交界處的最小切應(yīng)力分別為由于工字形截面的翼緣寬度b遠(yuǎn)

22、大于腹板厚度d，即，所以由以上兩式可以看出，與實(shí)際上相差不大。因而，可以認(rèn)為腹板上切應(yīng)力大致是均勻分布的。若以圖5-12(c)中應(yīng)力分布圖的面積乘以腹板厚度d，可得腹板上的剪力FS1。計(jì)算結(jié)果表明，F(xiàn)S1約等于(0.95-0.97) FS?？梢?jiàn)，橫截面上的剪力FS絕大部分由腹板承受。因此，工程上通常將橫截面上的剪力FS除以腹板面積近似得出工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力為 （5-11） 5.2.2.2工字形截面翼緣部分的切應(yīng)力現(xiàn)進(jìn)一步討論翼緣上的切應(yīng)力分布問(wèn)題。在翼緣上有兩個(gè)方向的切應(yīng)力：平行于剪力FS方向的切應(yīng)力和平行于翼緣邊緣線的切應(yīng)力。平行于剪力FS的切應(yīng)力數(shù)值極小，無(wú)實(shí)際意義，通常忽略不計(jì)。

23、在計(jì)算與翼緣邊緣平行的切應(yīng)力時(shí)，可假設(shè)切應(yīng)力沿翼緣厚度大小相等，方向與冀緣邊緣線相平行，根據(jù)在冀緣上截出部分的平衡，由圖5-12(d)可以得出與式(5-9)形式相同的冀緣切應(yīng)力計(jì)算公式 （5-12）式中t為翼緣厚度，圖5-12(c)中繪有翼緣上的切應(yīng)力分布圖。工字形截面梁翼緣上的最大切應(yīng)力一般均小于腹板上的最大切應(yīng)力。 從圖5-12(c)可以看出，當(dāng)剪力FS的方向向下時(shí)，橫截面上切應(yīng)力的方向，由上邊緣的外側(cè)向里，通過(guò)腹板，最后指向下邊緣的外側(cè)，好象水流一樣，故稱為“切應(yīng)力流”。所以在根據(jù)剪力FS的方向確定了腹扳的切應(yīng)力方向后，就可由“切應(yīng)力流”確定翼緣上切應(yīng)力的方向。對(duì)于其他的L形、丁形和Z形

24、等薄壁截面，也可利用“切應(yīng)力流”來(lái)確定截面上切應(yīng)力方向。5.2.3圓形截面梁的切應(yīng)力 在圓形截面梁的橫截面上，除中性軸處切應(yīng)力與剪力平行外，其他點(diǎn)的切應(yīng)力并不平行于剪力?？紤]距中性軸為y處長(zhǎng)為b的弦線AB上各點(diǎn)的切應(yīng)力如圖5-13(a)。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，弦線兩個(gè)端點(diǎn)處的切應(yīng)力必與圓周相切，且切應(yīng)力作用線交于y軸的某點(diǎn)p。弦線中點(diǎn)處切應(yīng)力作用線由對(duì)稱性可知也通過(guò)p點(diǎn)。因而可以假設(shè)AB線上各點(diǎn)切應(yīng)力作用線都通過(guò)同一點(diǎn)p，并假設(shè)各點(diǎn)沿y方向的切應(yīng)力分量相等，則可沿用前述方法計(jì)算圓截面梁的切應(yīng)力分量，求得后，根據(jù)已設(shè)定的總切應(yīng)力方向即可求得總切應(yīng)力。圖5-13圓形截面梁切應(yīng)力分量的計(jì)算公式與矩形截

25、面梁切應(yīng)力計(jì)算公式形式相同。 （5-13）式中b為弦線長(zhǎng)度，；仍表示部分面積A1對(duì)中性軸的靜矩，見(jiàn)圖5-13(b)。圓形截面梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，且中性軸上各點(diǎn)的切應(yīng)力分量與總切應(yīng)力大小相等、方向相同，其值為 （5-14）由式(5-14)可見(jiàn)，圓截面的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的 43倍。5.3.3環(huán)形截面梁的切應(yīng)力圖5-14所示為一環(huán)形截面梁，已知壁厚t遠(yuǎn)小于平均半徑R，現(xiàn)討論其橫截面上的切應(yīng)力。環(huán)形截面內(nèi)、外圓周線上各點(diǎn)的切應(yīng)力與圓周線相切。由于壁厚很小，可以認(rèn)為沿圓環(huán)厚度方向切應(yīng)力均勻分布并與圓周切線相平行。據(jù)此即可用研究矩形截面梁切應(yīng)力的方法分析環(huán)形截面梁的切應(yīng)力。在環(huán)形截面上截取

26、dx長(zhǎng)的微段，并用與縱向?qū)ΨQ平面夾角 q 相同的兩個(gè)徑向平面在微段中截取出一部分如圖5-15(b)，由于對(duì)稱性，兩個(gè)rs面上的切應(yīng)力相等?？紤]截出部分的平衡圖5-14(b)，可得環(huán)形截面梁切應(yīng)力的計(jì)算公式 (5-15)式中，t為環(huán)形截面的厚度。圖5-14環(huán)形截面的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處。計(jì)算出半圓環(huán)對(duì)中性軸的靜矩及環(huán)形截面對(duì)中性軸的慣性矩將上式代入式(5-15)得環(huán)形截面最大切應(yīng)力 (5-16)注意上式等號(hào)右端分母pRt為環(huán)形橫截面面積的一半，可見(jiàn)環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的兩倍。典型例題例5.2 梁截面如圖5-15所示，剪力F s = 200kN，并位于x-y平面內(nèi)。試計(jì)算腹板上的

27、最大彎曲切應(yīng)力，以及腹板與翼緣（或蓋板）交界處的彎曲切應(yīng)力。題5-15圖(a)解：截面形心至其頂邊的距離為慣性矩和截面靜矩分別為于是得腹板上的最大彎曲切應(yīng)力為腹板與翼緣交界處的彎曲切應(yīng)力則為(b)解：采用負(fù)面積法，得截面形心至其頂邊得距離為慣性矩（采用負(fù)面積法）和截面靜矩分別為 于是得腹板上的最大彎曲切應(yīng)力為腹板與上蓋板交界處的彎曲切應(yīng)力為腹板與下蓋板交界處的彎曲切應(yīng)力為5.3彎曲強(qiáng)度計(jì)算梁在受橫力彎曲時(shí)，橫截面上既存在正應(yīng)力又存在切應(yīng)力，下面分別討論這兩種應(yīng)力的強(qiáng)度條件。5.3.1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件橫截面上最大的正應(yīng)力位于橫截面邊緣線上，一般說(shuō)來(lái)，該處切應(yīng)力為零。有些情況下，該處即使有切應(yīng)力

28、其數(shù)值也較小，可以忽略不計(jì)。所以，梁彎曲時(shí)，最大正應(yīng)力作用點(diǎn)可視為處于單向應(yīng)力狀態(tài)。因此，梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （5-17） 對(duì)等截面梁，最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在截面上，這時(shí)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （5-18）式(5-17)、式(5-18)中，為許用彎曲正應(yīng)力，可近似地用簡(jiǎn)單拉伸(壓縮)時(shí)的許用應(yīng)力來(lái)代替，但二者是略有不同的，前者略高于后者，具體數(shù)值可從有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范或手冊(cè)中查得。對(duì)于抗拉、壓性能不同的材料，例如鑄鐵等脆性材料，則要求最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力都不超過(guò)各自的許用值。其強(qiáng)度條件為 ， （5-19）5.4.2彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件一般來(lái)說(shuō)，梁橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處，而該

29、處的正應(yīng)力為零。因此最大切應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。這時(shí)彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （5-20）對(duì)等截面梁，最大切應(yīng)力發(fā)生在最大剪力所在的截面上。彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （5-21）許用切應(yīng)力t通常取純剪切時(shí)的許用切應(yīng)力。對(duì)于梁來(lái)說(shuō)，要滿足抗彎強(qiáng)度要求，必須同時(shí)滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。也就是說(shuō)，影響梁的強(qiáng)度的因素有兩個(gè)：一為彎曲正應(yīng)力一為彎曲切應(yīng)力。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的實(shí)心截面梁或非薄壁截面的梁來(lái)說(shuō)，橫截面上的正應(yīng)力往往是主要的切應(yīng)力通常只占次要地位。例如圖5-16所示的受均布載荷作用的矩形截面梁，其最大彎曲正應(yīng)力為圖5-16而最大彎曲切應(yīng)力為二者比值為即，該梁橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力與

30、最大彎曲切應(yīng)力之比等于梁的跨度l與截面高度h的比。當(dāng)l>>h時(shí)，最大彎曲正應(yīng)力將遠(yuǎn)大于最大彎曲切應(yīng)力。因此，一般對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的實(shí)心截面梁或非薄壁截面梁，只要滿足了正應(yīng)力強(qiáng)度條件，無(wú)需再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算。但是，對(duì)于薄壁截面梁或梁的彎矩較小而剪力卻很大時(shí)，在進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算的同時(shí)，還需檢查切應(yīng)力強(qiáng)度條件是否滿足。另外，對(duì)某些薄壁截面(如工字形、T字形等)梁，在其腹板與翼緣聯(lián)接處，同時(shí)存在相當(dāng)大的正應(yīng)力和切應(yīng)力。這樣的點(diǎn)也需進(jìn)行強(qiáng)度校核，將在第后面的章節(jié)進(jìn)行討淪。例5.3 T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖5-17(a)所示，鑄鐵抗拉許用應(yīng)力為=30MPa，抗壓許用應(yīng)力為=140MPa。

31、已知截面對(duì)形心軸z的慣性矩為763cm4，且52mm，試校核梁的強(qiáng)度。圖5-17解 由靜力平衡方程求出梁的支反力為做彎矩圖如圖5-17(b)所示。最大正彎矩在截面C上，MC=2.5Kn.m，最大負(fù)彎矩在截面B上，。T形截面對(duì)中性軸不對(duì)稱，同一截面上的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力并不相等。在截面B上，彎矩是負(fù)的，最大拉應(yīng)力發(fā)生于上邊緣各點(diǎn)，且最大壓應(yīng)力發(fā)生于下邊緣各點(diǎn)，且在截面C上，雖然彎矩MC的絕對(duì)值小于MB，但Mc是正彎矩，最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面的下邊緣各點(diǎn)，而這些點(diǎn)到中性軸的距離卻比較遠(yuǎn)，因而就有可能發(fā)生比截面B還要大的拉應(yīng)力，其值為 所以，最大拉應(yīng)力是在截面C的下邊緣各點(diǎn)處，但從所得結(jié)果看出，無(wú)論是

32、最大拉應(yīng)力或最大壓應(yīng)力都未超過(guò)許用應(yīng)力，強(qiáng)度條件是滿足的。由例5.3可見(jiàn)，當(dāng)截面上的中性軸為非對(duì)稱軸，且材料的抗拉、抗壓許用應(yīng)力數(shù)值不等時(shí)，最大正彎矩、最大負(fù)彎矩所在的兩個(gè)截面均可能為危險(xiǎn)截面，因而均應(yīng)進(jìn)行強(qiáng)度校核。例5.4圖示簡(jiǎn)支梁，由兩根50b工字鋼經(jīng)鉚釘連接而成，鉚釘?shù)闹睆絛 = 23mm，許用切應(yīng)力t=90MPa，梁的許用應(yīng)力s=160MPa。試確定梁的許用載荷q及鉚釘?shù)南鄳?yīng)間距e。提示：按最大剪力確定間距。圖5-18解：1.計(jì)算組合截面的和由附錄表4查得50b工字鋼的有關(guān)數(shù)據(jù)為由此得組合截面的慣性矩與靜矩分別為2許用載荷的確定由此得許用載荷為3鉚釘間距的確定由鉚釘?shù)那袘?yīng)力強(qiáng)度要求來(lái)計(jì)

33、算。最大剪力為按最大剪力計(jì)算兩工字鋼交界面上單位長(zhǎng)度上的剪力（剪流），其值為間距長(zhǎng)度內(nèi)的剪力為，它實(shí)際上是靠一對(duì)鉚釘?shù)氖芗裘鎭?lái)承擔(dān)的，即由此得梁長(zhǎng)方向鉚釘?shù)拈g距為例5-5 簡(jiǎn)支梁AB如圖7-18(a)所示。l=2m，a=0.2m。梁上的載荷為q=10kNm，F(xiàn)=200kN。材料的許用應(yīng)力為160MPa， 100MPa。試選擇適用的工字鋼型號(hào)。圖5-19解 計(jì)算梁的支反力，然后做剪力圖和彎矩圖，如圖5-19(b)、(c)所示。根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號(hào)，45kN·m，由彎曲正莊力強(qiáng)度條件，有查型鋼表，選用22a工字鋼，其309cm3。校核梁的切應(yīng)力。由表中查出，18.9m，腹板厚度d=

34、0.75cm。由剪力圖210kN。代入切應(yīng)力強(qiáng)度條件 超過(guò)很多，應(yīng)重新選擇更大的截面?，F(xiàn)以25b工字鋼進(jìn)行試算。由表查出，21.27cm，d=lcm。再次進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。因此，要同時(shí)滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件，應(yīng)選用型號(hào)為25b的工字鋼。5.4提高彎曲強(qiáng)度的一些措施前面曾經(jīng)指出，彎曲正應(yīng)力是控制抗彎強(qiáng)度的主要因素。因此，討論提高梁抗彎強(qiáng)度的措施，應(yīng)以彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為主要依據(jù)。由可以看出，為了提高梁的強(qiáng)度，可以從以下三方面考慮。5.4.1 合理安排梁的支座和載荷 從正應(yīng)力強(qiáng)度條件可以看出，在抗彎截面模量不變的情況下，Mmax越小，梁的承載能力越高。因此，應(yīng)合理地安排梁的支承及加載方式，以

35、降低最大彎矩值。例如圖5-20(a)所示簡(jiǎn)支梁，受均布載荷q作用，梁的最大彎矩為。圖5-20如果將梁兩端的鉸支座各向內(nèi)移動(dòng)0.2l，如圖5-20(b)所示，則最大彎矩變?yōu)?，僅為前者的15。 由此可見(jiàn)，在可能的條件下，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整梁的支座位置，可以降低最大彎矩值，提高梁的承載能力。例如，門(mén)式起重機(jī)的大梁圖5-21(a)，鍋爐筒體圖5-21(b)等，就是采用上述措施，以達(dá)到提高強(qiáng)度，節(jié)省材料的目的。圖5-21再如，圖5-22(a)所示的簡(jiǎn)支梁AB，在集中力F作用下梁的最大彎矩為如果在梁的中部安置一長(zhǎng)為l/2的輔助梁 CD(圖5-22b)，使集中載荷F分散成兩個(gè)F/2的集中載荷作用在AB梁上，此時(shí)梁

36、AB內(nèi)的最大彎矩為如果將集中載荷F靠近支座，如圖(5-22c)所示，則梁AB上的最大彎矩為圖5-22由上例可見(jiàn)，使集中載荷適當(dāng)分散和使集載荷盡可能靠近支座均能達(dá)到降低最大彎矩的目的。典型案例貨車(chē)通過(guò)橋梁時(shí)，為何要采用較多的輪對(duì)？將載荷分散，使橋梁受到的彎矩降低。圖5-235.4.2 采用合理的截面形狀由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，梁的抗彎能力還取決于抗彎截面系數(shù)WZ。為提高梁的抗彎強(qiáng)度，應(yīng)找到一個(gè)合理的截面以達(dá)到既提高強(qiáng)度，又節(jié)省材料的目的。比值可作為衡量截面是否合理的尺度，值越大，截面越趨于合理。例如圖5-24中所示的尺寸及材料完全相同的兩個(gè)矩形截面懸臂梁，由于安放位置不同，抗彎能力也不同。豎放時(shí)平

37、放時(shí)當(dāng)h>b時(shí)，豎放時(shí)的大于平放時(shí)的，因此，矩形截面梁豎放比平放更為合理。在房屋建筑中，矩形截面梁幾乎都是豎放的，道理就在于此。表5-1列出了幾種常用截面的值，由此看出，工字形截面和槽形截面最為合理，而圓形截面是其中最差的一種，從彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律來(lái)看，也容易理解這一事實(shí)。以圖5-25所示截面面積及高度均相等的矩形截面及工字形截面為例說(shuō)明如下：梁橫截面上的正應(yīng)力是按線性規(guī)律分布的，離中性軸越遠(yuǎn)，正應(yīng)力越大。工字形截面有較多面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)處，作用著較大的應(yīng)力，而矩形截面有較多面積分布在中性軸附近，作用著較小的應(yīng)力。因此，當(dāng)兩種截面上的最大應(yīng)力相同時(shí)，工字形截面上的應(yīng)力所形成的彎矩

38、將大于矩形截面上的彎矩。即在許用應(yīng)力相同的條件下，工字形截面抗彎能力較大。同理，圓形截面由于大部分面積分布在中性軸附近，其抗彎能力就更差了。 圖5-24 圖5-25表5-1 幾種常用截面的值截面形狀矩形圓形槽鋼工字鋼0167h0.125d(0.270.31)h(0.270.31)h以上是從抗彎強(qiáng)度的角度討論問(wèn)題。工程實(shí)際中選用梁的合理截面，還必須綜合考慮剛度、穩(wěn)定性以及結(jié)構(gòu)、工藝等方面的要求，才能最后確定。 在討論截面的合理形狀時(shí)，還應(yīng)考慮材料的特性。對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料，如各種鋼材，宜采用對(duì)稱于中性軸的截面，如圓形、矩形和工字形等。這種橫截面上、下邊緣最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力數(shù)值相同，

39、可同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值。對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料，如鑄鐵，則宜采用非對(duì)稱于中性軸的截面，如圖5-26所示。我們知道鑄鐵之類的脆性材料，抗拉能力低于抗壓能力，所以在設(shè)計(jì)梁的截面時(shí)，應(yīng)使中性軸偏于受拉應(yīng)力一側(cè)，通過(guò)調(diào)整截面尺寸，如能使y1和y2之比接近下列關(guān)系：圖5-26則最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力可同時(shí)接近許用應(yīng)力，式中和分別表示拉伸和壓縮許用應(yīng)力。5.4.3 采用等強(qiáng)度梁橫力彎曲時(shí)，梁的彎矩是隨截面位置而變化的，若按式（5-18）設(shè)計(jì)成等截面的梁，則除最大彎矩所在截面外，其它各截面上的正應(yīng)力均未達(dá)到許用應(yīng)力值，材料強(qiáng)度得不到充分發(fā)揮。為了減少材料消耗、減輕重量，可把梁制成截面隨截面位置變化的變截

40、面梁。若截面變化比較平緩，前述彎曲應(yīng)力計(jì)算公式仍可近似使用。當(dāng)變截面梁各橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力相同，井與許用應(yīng)力相等時(shí)，即時(shí)，稱為等強(qiáng)度梁。等強(qiáng)度梁的抗彎截面模量隨截面位置的變化規(guī)律為 （5-22）由式(5-22)可見(jiàn)，確定了彎矩隨截面位置的變化規(guī)律，即可求得等強(qiáng)度梁橫截面的變化規(guī)律，下面舉例說(shuō)明。 設(shè)圖5-27(a)所示受集中力F作用的簡(jiǎn)支梁為矩形截面的等強(qiáng)度梁，若截面高度h=常量，則寬度b為截面位置x的函數(shù)，b=b(x)，矩形截面的抗彎截面模量為彎矩方程式為 將以上兩式代人式(5-22)，化簡(jiǎn)后得 圖5-27 （a）可見(jiàn)，截面寬度b(x)為x的線性函數(shù)。由于約束與載荷均對(duì)稱于跨度中點(diǎn)，因

41、而截面形狀也對(duì)跨度中點(diǎn)對(duì)稱(圖5-27b)。在左、右兩個(gè)端點(diǎn)處截面寬度b(x)=0，這顯然不能滿足抗剪強(qiáng)度要求。為了能夠承受切應(yīng)力，梁兩端的截面應(yīng)不小于某一最小寬度，見(jiàn)圖5-27(c)。由彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件得 （b）若設(shè)想把這一等強(qiáng)度梁分成若干狹條，然后疊置起來(lái)，并使其略微拱起，這就是汽車(chē)以及其他車(chē)輛上經(jīng)常使用的疊板彈簧，如圖5-28所示。 若上述矩形截面等強(qiáng)度梁的截面寬度b為常數(shù)，而高度h為x的函數(shù)，即h=h(x)，用完全相同的方法可以求得（c）圖5-28 (d)按式(c)和式(d)確定的梁形狀如圖5-29(a)所示。如把梁做成圖5-29(b)所示的形式，就是廠房建筑中廣泛使用的“魚(yú)腹梁”。

42、圖5-29 圖5-30使用公式(5-17)，也可求得圓截面等強(qiáng)度梁的截面直徑沿軸線的變化規(guī)律。但考慮到加工的方便及結(jié)構(gòu)上的要求，常用階梯形狀的變截面梁(階梯軸)來(lái)代替理論上的等強(qiáng)度梁，如圖5-30所示。內(nèi)容拓展5.5 開(kāi)口薄壁桿件的彎曲中心 在前面討論中指出，當(dāng)桿件有縱向?qū)ΨQ面，且載荷也作用于對(duì)稱面內(nèi)時(shí)，桿件的變形是平面彎曲。對(duì)非對(duì)稱桿件來(lái)說(shuō)，即使橫向力作用于形心主慣性平面內(nèi)，桿件除彎曲變形外，還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖5-31(a)所示。只有當(dāng)橫向力的作用平面平行于形心主慣性平面，且通過(guò)某一特定點(diǎn)A時(shí)，桿件才只有彎曲而無(wú)扭轉(zhuǎn)圖5-31(b)。這一特定點(diǎn)A稱為彎曲中心。 圖5-31開(kāi)口薄壁桿件的彎

43、曲中心有較大的實(shí)際意義，而且它的位置用材料力學(xué)的方法就可確定。為此，首先討論開(kāi)口薄壁桿件彎曲切應(yīng)力計(jì)算。 圖5-32圖5-32(a)為一開(kāi)口薄壁桿件，y和z為橫截面的形心主慣性軸，設(shè)載荷F平行于y軸，且通過(guò)彎曲中心。這時(shí)桿件只有彎曲而無(wú)扭轉(zhuǎn)，z軸為彎曲變形的中性軸。橫截面上的彎曲正應(yīng)力仍由式(5-2)計(jì)算。至于彎曲切應(yīng)力由于桿件的壁厚t遠(yuǎn)小于橫截面的其它尺寸，所以可以假設(shè)沿壁厚t切應(yīng)力的大小無(wú)變化。又因桿件的內(nèi)側(cè)表面和外側(cè)表面都為自由面，未作用任何與表面相切的載荷，所以橫截面上的切應(yīng)力應(yīng)與截面的周邊相切。以相距為dx的兩個(gè)橫截面和沿薄壁厚度t的縱向面，從桿中截出一部分abcd圖5-32(b)、

44、(c)。在這一部分的ad和bc面上作用著彎曲正應(yīng)力，在底面dc上作用著切應(yīng)力。這些應(yīng)力的方向都平行于x軸。由5-3所述的方法，求得bc和ad面上的合力FN1和FN2分別是式中M和(M+dM)分別是bc和ad兩個(gè)橫截面上的彎矩；是截面上截出部分面積(圖中畫(huà)陰影線的面積)對(duì)中性軸的靜矩：是整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩。根據(jù)橫截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律和切應(yīng)力互等定理，底面dc上的內(nèi)力為把作用于abcd部分上的力投影于，x軸由平衡條件，可知即 由此求得 由切應(yīng)力互等定理可知，等于橫截面上距自由邊緣為處的切應(yīng)力，即 （5-23）這就是開(kāi)口薄壁桿件彎曲切應(yīng)力的計(jì)算公式。 圖5-33 求得開(kāi)口薄壁桿件橫截面上彎曲

45、切應(yīng)力后，就可以確定彎曲中心的位置?，F(xiàn)以槽鋼為例，說(shuō)明確定彎曲中心的方法。設(shè)槽形截面尺寸如圖5-33(a)所示，且外力平行于y軸。當(dāng)計(jì)算上翼緣距右邊為處的切應(yīng)力時(shí)，代人公式(5-23)，得可見(jiàn)，上翼緣上的切應(yīng)力，沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化，見(jiàn)圖5-33(b)。如以代表上冀緣上切向內(nèi)力系的合力，則 （a）用同樣的方法可以求得下翼緣上的內(nèi)力。與大小相等，但方向相反。計(jì)算腹板上距中性軸為y處的切應(yīng)力時(shí)代人公式(5-23)，得可見(jiàn)腹板上切應(yīng)力沿高度按拋物線規(guī)律變化。以代表腹板上切向內(nèi)力系的合力，則槽形截面對(duì)中性軸z的慣性矩約為以代人上式，得 (b)至此，我們已經(jīng)求得了截面上的三個(gè)切向內(nèi)力、和，見(jiàn)圖5-3

46、3(c)。和組成力偶矩h，將它與合并，得到內(nèi)力系的最終合力。這一合力仍等于 ()，只是作用線向左平移了一個(gè)距離e。如對(duì)腹板中線與z軸的交點(diǎn)取矩，由合力矩定理知以式(a)代人上式，得 (5-24)由于截面上切向內(nèi)力系的合力 (即截面上的剪力)在距腹板中線為e的縱向平面內(nèi)，如外力F也在同一平面內(nèi)，則桿件就只有彎曲而無(wú)扭轉(zhuǎn)，這就是圖5-33(b)所表示的情況。若外力沿z軸作用，因z軸是橫截面的對(duì)稱軸，因此桿將產(chǎn)生平面彎曲而無(wú)扭轉(zhuǎn)變形。這表明彎曲中心一定在截面的對(duì)稱軸上。所以，和對(duì)稱軸的交點(diǎn)A即為彎曲中心也稱為剪切中心。在槽形截面的情況下，彎曲中心A在對(duì)稱軸z上，其位置由公式5-24確定。該式表明，彎

47、曲中心的位置與外力的大小和材料的性質(zhì)無(wú)關(guān)，它是截面圖形的幾何性質(zhì)之一。由以上分析可知，對(duì)于具有一個(gè)對(duì)稱軸的截面，例如槽形、T形、開(kāi)口環(huán)形和等邊角鋼等，截面的彎曲中心一定位于對(duì)稱軸上。因此，只要確定出e值后，即可定出彎曲中心的位置。對(duì)于具有兩個(gè)對(duì)稱軸的截面，例如矩形、圓形和工字形等，彎曲中心必在兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)上，即截面形心和彎曲中心重合。如截面為反對(duì)稱，例如Z字形截面，則彎曲中心必在反對(duì)稱的中點(diǎn)，也與形心重合。表5-2給出了幾種常見(jiàn)開(kāi)口薄壁截面梁彎曲中心的位置。表5-2 開(kāi)口薄壁靛面的彎曲中心的位置截面形狀彎曲中心與截面形心重合截面形狀彎曲中心與截面形心重合綜上所述，當(dāng)外力通過(guò)彎曲中心時(shí)，無(wú)論是

48、平行于y軸或沿著z軸，外力和橫截面上的剪力在同一縱向平面內(nèi)，桿件只有彎曲變形。反之，若外力F不通過(guò)彎曲中心，這時(shí)把外力向彎曲中心簡(jiǎn)化，將得到一個(gè)通過(guò)彎曲中心的力F和一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶矩。通過(guò)彎曲中心的橫向力F仍引起上述彎曲變形，而扭轉(zhuǎn)力偶矩卻將引起桿件的扭轉(zhuǎn)變形，這就是圖5-33(a)所表示的情況。 對(duì)實(shí)體截面或閉口薄壁截面桿件，因其彎曲中心和形心重合或靠近形心，且切應(yīng)力數(shù)值通常又較小，所以不必考慮彎曲中心的位置。但對(duì)于開(kāi)口薄壁截面桿件，因其承受扭轉(zhuǎn)變形的能力很差，所以外力的作用線應(yīng)盡可能通過(guò)彎曲中心，以避免產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。因此，確定開(kāi)口薄壁桿件彎曲中心的位置，是具有實(shí)際意義的。典型例題例5-6 試確

49、定圖5-34(a)所示開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心，設(shè)截面中線為圓周的一部分。解 以截面的對(duì)稱軸為z軸，y、z軸為形心主慣性軸，因而彎曲中心A必在z軸上。設(shè)剪力過(guò)彎曲中心A，且平行于y軸。用與z軸夾角為q的半徑截取部分面積A1，其對(duì)z軸的靜矩為 圖5-34整個(gè)截面對(duì)z軸的慣性矩為代入公式(5-23)，得以圓心為力矩中心，由合力矩定理積分后求得 (a)當(dāng)時(shí)，得到半圓形開(kāi)口薄壁截面如圖5-34(b)，此時(shí)由式(a)得當(dāng)時(shí)，得到圓形開(kāi)口薄壁截面如圖5-34(c)，此時(shí)由式(a)得梁的極限彎矩與塑性鉸純彎曲梁的極限彎矩前面推導(dǎo)的用于計(jì)算彎曲正應(yīng)力的公式只有在材料始終保持在線性彈性范圍內(nèi)才適用。如果外力偶矩使

50、材料發(fā)生了屈服，就要采用塑性分析來(lái)求應(yīng)力分布。但是，無(wú)論是彈性還是塑性情況，等直梁的彎曲都必須滿足三個(gè)條件：1）橫截面上應(yīng)變線性分布；2）橫截面軸向合力即軸力為零；3）橫截面上應(yīng)力對(duì)中性軸的合力偶矩等于彎矩。 當(dāng)彈性彎曲時(shí)，橫截面上最大應(yīng)力在離中性軸最遠(yuǎn)處。當(dāng)最大應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí)，該處材料開(kāi)始屈服，相應(yīng)的彎矩值為屈服彎矩彎矩繼續(xù)增加，由于是理想彈塑性材料，已進(jìn)入屈服狀態(tài)的點(diǎn)的應(yīng)力不再增大；而附近點(diǎn)的應(yīng)力在增大并達(dá)到屈服點(diǎn)。這樣，橫截面出現(xiàn)了塑性區(qū)與彈性區(qū)，其應(yīng)力分布如圖5-35圖5-35當(dāng)截面上各點(diǎn)應(yīng)力均達(dá)到時(shí)，梁進(jìn)入塑性極限狀態(tài)，此時(shí)的彎矩即為極限彎矩。 因?yàn)闄M截面上沒(méi)有軸力，、為橫截面上

51、拉應(yīng)力和壓應(yīng)力區(qū)的面積，由(2)式確定中性軸z的位置。式中，St、Sc分別表示受拉區(qū)和受壓區(qū)面積對(duì)中性軸z的靜矩，均取正值。令 (塑性彎曲截面系數(shù)) 則 對(duì)于b×h的矩形截面得 典型例題例5.7 求圖示T形截面梁的極限彎矩，235 MPa。圖5-36解：1. 確定中性軸的位置設(shè)中性軸z到截面底邊的距離為y。并設(shè)中性軸以下為受拉區(qū)，以上為受壓區(qū)，根據(jù)At=Ac，有得2. 求 St、Sc3. 求 Mu梁的彈塑性彎曲 塑性鉸圖5-37a所示梁的材料為理想彈塑性材料，Mmax=Fl/4發(fā)生在C截面處，當(dāng)C截面處的時(shí)，相應(yīng)的荷載Fs為屈服荷載， C截面上的彎矩Ms為屈服彎矩， Ms的值為可得在

52、Fs 作用下，C 截面未產(chǎn)生明顯的塑性變形，F(xiàn) 還可繼續(xù)增加 1. 當(dāng)Fs<F<Fu (Fu為整個(gè)C 截面上的時(shí)的荷載)時(shí)。隨F的增加， (M=Ms)的截面由C截面向左、右兩側(cè)擴(kuò)展，塑性區(qū)向中性軸處擴(kuò)展，彈性區(qū)的高度為2ys(圖5-37b)，C截面的彎矩為式中，第一個(gè)積分為半個(gè)彈性區(qū)的彎矩，第二個(gè)積分為半個(gè)塑性區(qū)的彎矩。由上式得2. 當(dāng)F增加到F=Fu時(shí)，整個(gè)C截面上，C截面發(fā)生塑性變形，F(xiàn)u 為極限荷載，C 截面上的彎矩為極限彎矩Mu(圖5-37c)。C截面兩側(cè)部分將繞C截面轉(zhuǎn)動(dòng)。這種由于塑性變形而形成的，但可以承受彎矩Mu的抽象鉸稱為塑性鉸。極限彎矩為解得設(shè)在Fu作用下，塑性區(qū)的長(zhǎng)度為ls(