剖析思維障礙構(gòu)建基本策略

1、剖析思維障礙 構(gòu)建基本策略兼談數(shù)列不等式的證明萬(wàn)岳（廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)） 郵箱：Tel：1331 6677 025【內(nèi)容摘要】 本文通過(guò)分析學(xué)生在數(shù)列不等式證明問(wèn)題上存在的思維障礙，總結(jié)方法，沉淀思維；系統(tǒng)優(yōu)化，突破障礙；制定策略，整體駕馭構(gòu)建數(shù)列不等式證明的三大基本策略數(shù)學(xué)歸納法策略，函數(shù)單調(diào)性策略和放縮法策略，以期幫助學(xué)生突破數(shù)列不等式證明的思維瓶頸，達(dá)到高效教學(xué)的目標(biāo)【關(guān)鍵詞】剖析 思維障礙 構(gòu)建 基本策略 數(shù)列不等式數(shù)列不等式的證明是歷年高考試題重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也是學(xué)生較難突破的內(nèi)容之一通過(guò)調(diào)查、分析學(xué)生在處理數(shù)列與不等式證明時(shí)存在的思維障礙，反思教學(xué)教法，結(jié)合高考試題進(jìn)行實(shí)例分析總

2、結(jié)，剖析思維障礙，系統(tǒng)優(yōu)化方法，掃除思維障礙，總結(jié)并構(gòu)建數(shù)列不等式證明的三大基本策略，即數(shù)學(xué)歸納法策略，函數(shù)單調(diào)性策略，放縮策略1 數(shù)列不等式證明的思維障礙 通過(guò)調(diào)查、與學(xué)生座談，結(jié)合學(xué)生的作業(yè)和測(cè)試卷分析，學(xué)生在數(shù)列與不等式證明方面存在以下學(xué)習(xí)障礙1.1 認(rèn)知能力障礙 在數(shù)列不等式證明試題中，推理變形對(duì)學(xué)生能力要求很高，這種認(rèn)知能力方面的障礙是難以有效突破數(shù)列不等式證明的重要因素例如，學(xué)生對(duì)形如的裂項(xiàng)較熟練，而對(duì)形如的裂項(xiàng)變形卻是較難突破的認(rèn)知障礙歸根結(jié)底是對(duì)數(shù)列結(jié)構(gòu)特征及數(shù)列裂項(xiàng)的基本要求沒(méi)有吃透1.2 方法選擇障礙數(shù)列不等式的證明因其知識(shí)背景和試題載體廣，使其具有靈活性，多樣性，復(fù)雜性的

3、特點(diǎn)，這在一定程度上增加了學(xué)生的“思維負(fù)擔(dān)”；學(xué)生即便掌握了一些證明方法和證明技巧，但是有些試題卻存在證明思路單一，入口窄的情形，導(dǎo)致學(xué)生方法選擇不適用，因而不能有效解決問(wèn)題1.3 證明方向障礙 事實(shí)上，不等式的證明還存在證明方向控制的問(wèn)題，如有些試題需要先求和再用放縮法證明，有些題則需要經(jīng)歷“放縮求和放縮”的推理過(guò)程；在放縮時(shí)，“放縮到什么程度把握不準(zhǔn)”，造成證明方向的選擇上出現(xiàn)錯(cuò)誤如2012年高考廣東卷理科19題：（2）數(shù)列通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有；分析此題結(jié)論知，應(yīng)該將縮小成一個(gè)新變量，結(jié)合通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，明確此題的變形方向應(yīng)為：；再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)得，當(dāng)n2時(shí)，從

4、而得；在教學(xué)過(guò)程中，可讓學(xué)生嘗試變形為，得到，這與不等式的證明方向相悖兩者對(duì)照，輔以反思，至此證明的方向性障礙得以清除 引導(dǎo)學(xué)生逆向推理，逆向思考，明確證明方向1.4 知識(shí)應(yīng)用障礙數(shù)列與不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中較難學(xué)習(xí)的兩大模塊，其綜合應(yīng)用更加大了學(xué)習(xí)難度，學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢或基本技能不佳都會(huì)形成知識(shí)應(yīng)用方面的障礙如2012年高考廣東卷理科19題：（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有；此題直接用放縮法易出錯(cuò)，如成立的前提條件是“當(dāng)且僅當(dāng)n2”；否則，當(dāng)n=1時(shí)，顯然不能滿足上述不等關(guān)系，因此在證明時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)分段討論，這種綜合運(yùn)用知識(shí)的障礙同樣大量存在 上述存在的種種知識(shí)、方法、技巧、思維方面的障礙都需要

5、教師引領(lǐng)解決，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，于細(xì)微處剖析，掃清并破除思維障礙，為順利正確解決問(wèn)題打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)2 數(shù)列不等式證明的基本策略 基于學(xué)生存在的上述學(xué)習(xí)和思維方面的種種障礙，在分析總結(jié)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建數(shù)列不等式證明的基本策略以部分高考試題為例分析說(shuō)明數(shù)列不等式證明的基本策略2.1 數(shù)學(xué)歸納法策略數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的常用方法，數(shù)列不等式的證明可考慮用數(shù)學(xué)歸納法例1（2012年高考全國(guó)大綱卷理22題）函數(shù)定義數(shù)列如下：是過(guò)兩點(diǎn)P(4，5)，的直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（1）證明：； （2）略分析：第（1）問(wèn)數(shù)列不等式組的證明涉及數(shù)列的項(xiàng)的取值范圍及項(xiàng)的大小即單調(diào)性問(wèn)題由已知條件容

6、易求得數(shù)列的遞推關(guān)系式，問(wèn)題（1）的證明突破口應(yīng)選在何處？思路：用數(shù)學(xué)歸納法證明，可得；再用作差法證明因?yàn)?，由于用?shù)學(xué)歸納法已經(jīng)證明了，從而易知，綜上，對(duì)任意正整數(shù)n，都有從而得證反思：此題如果試圖先證明，則將陷于尷尬境地，因?yàn)樽鞑钭冃魏螅瑹o(wú)法確定的取值范圍，從而無(wú)法確定多項(xiàng)式的符號(hào)根據(jù)題設(shè)條件應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明是很自然的思路；類似試題如，已知（1）試判斷的單調(diào)性并說(shuō)明理由；（2）數(shù)列滿足，求證：2.2函數(shù)單調(diào)性策略數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)的離散型函數(shù)，仍然具有函數(shù)的一些基本性質(zhì)，如單調(diào)性，有界性等所以數(shù)列不等式的證明可以利用函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)解決例2 （2009年高考廣東卷理21題）已知曲線從點(diǎn)向

7、曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：分析：（1），（2）需將不等式作等價(jià)變形：在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從整體角度考慮，可以用換元法：設(shè)，則不等式等價(jià)于，再構(gòu)造新函數(shù)證明構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，易得在區(qū)間（0，1）上恒成立，即，從而得證 對(duì)另一部分不等關(guān)系可考慮用數(shù)學(xué)歸納法或?qū)ε挤ǖ确椒ㄗC明 由此可見(jiàn)，在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將具有函數(shù)關(guān)系特征的數(shù)列不等式證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題處理，利用函數(shù)的單調(diào)性較易證明2.3放縮策略放縮法在證明數(shù)列不等式時(shí)應(yīng)用廣泛，難點(diǎn)在于如何把握放大或縮小的 “度”；具體包括：放縮的方法和方向，放縮的原則要求，放

8、縮的目標(biāo)等事實(shí)上，放縮是將數(shù)或代數(shù)式放大（縮小），因而其本質(zhì)是不等關(guān)系的再建構(gòu)，如何建構(gòu)一組（或多組）新的不等關(guān)系成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵放縮法的基本原則是便于求和，放縮后的不等關(guān)系要與證明方向保持一致或者說(shuō)，放縮之后的新式子能夠裂項(xiàng)或者放縮為等比（或等差）數(shù)列以便于求和，2.3.1 常用放縮結(jié)論一般地，如,由不等關(guān)系可得如下不等關(guān)系，；，或（由基本不等式法得到），后者放縮后的范圍更小，更精確；同時(shí)也便于求和這些都是常用的放縮結(jié)論放縮之后成功脫去無(wú)理根式的“羈絆”，轉(zhuǎn)化為自然數(shù)或成等差數(shù)列的有理數(shù)例3對(duì)任意不小于2的正整數(shù)，證明：簡(jiǎn)證：，綜合兩式，不等式得證本例中，通過(guò)將分母放大或縮小，成功地將各式

9、轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列（各項(xiàng)都相同，便于求和），從而達(dá)到證明目的由此可見(jiàn)，放縮時(shí)要有針對(duì)性，有目的地放縮，目標(biāo)是達(dá)到需要的精度，并且便于求和2.3.2利用重要的不等式放縮中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的重要不等式如基本不等式，絕對(duì)值三角不等式，貝努利不等式，柯西不等式等是證明不等式的重要依據(jù)，對(duì)數(shù)列不等式的證明同樣適用（1）基本不等式法例4（2011年高考廣東理20題）設(shè)b>0,數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，解析（I）（推理過(guò)程略）（）當(dāng)2時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，這道題綜合性很強(qiáng)，首先是次因式的分解與化簡(jiǎn)；另外，兩次運(yùn)用基本不等式進(jìn)行放縮是另一大難點(diǎn)，主要是學(xué)生對(duì)于結(jié)構(gòu)較復(fù)雜

10、的式子 “不適應(yīng)”綜觀此法，善于探尋代數(shù)式的內(nèi)在規(guī)律（分母中的各項(xiàng)實(shí)質(zhì)上是齊次式，運(yùn)用基本不等式時(shí)能夠同時(shí)取得等號(hào)），領(lǐng)悟數(shù)學(xué)特征是解決問(wèn)題的法寶（2）貝努利不等式法例5（2009年高考山東卷理20題）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意的，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上（）求r的值（）當(dāng)b=2時(shí)，記，證明：對(duì)任意的nN*，不等式成立解析：（1）略；（2）當(dāng)b=2時(shí)，由（I）知?jiǎng)t待證明的不等式即為由貝努利不等式（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）得，故所以即原不等式得證此例中，當(dāng)指數(shù)n2時(shí)，貝努利不等式即為不等式（其中x>0），更進(jìn)一步地，上式即由不等式放縮得到，令變量，顯然符合所證結(jié)論的結(jié)構(gòu)形式通過(guò)貝努利不等

11、式將“冪”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的線性問(wèn)題解決擺脫了“冪”的束縛，將問(wèn)題引向熟知的環(huán)境對(duì)所要證明的不等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的認(rèn)知及合理變形，對(duì)貝努利不等式的深刻理解關(guān)乎證明成?。?）柯西不等式法例6（2008年高考陜西卷理22題）第（3）問(wèn)，已知n為正整數(shù)，求證：證明：由柯西不等式，即據(jù)此結(jié)論，有從而不等式得證通過(guò)對(duì)柯西不等式變形，達(dá)到不等式的新結(jié)構(gòu)形式，將問(wèn)題引向目標(biāo)用柯西不等式證明問(wèn)題的關(guān)鍵是要根據(jù)待證明不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)分拆項(xiàng)或者配湊所需要的因式（或因子），巧妙地達(dá)到需要利用的條件，同時(shí)要滿足等號(hào)成立其中配置適當(dāng)?shù)囊蚴交蛞蜃邮浅晒ψ冃蔚年P(guān)鍵，也是解決問(wèn)題的難點(diǎn)，這要求學(xué)生深刻理解柯西不等式3對(duì)教學(xué)的幾點(diǎn)建議 數(shù)列不等式證明是高考的熱點(diǎn)，創(chuàng)新點(diǎn)，也是學(xué)生感到迷茫的難點(diǎn)、癥結(jié)點(diǎn)在此提出幾點(diǎn)教學(xué)建議一是在數(shù)列不等式證明的障礙點(diǎn)和學(xué)生最近思維發(fā)展區(qū)進(jìn)行深入細(xì)致的剖析，引導(dǎo)學(xué)生解讀不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找準(zhǔn)證明方向和轉(zhuǎn)化目標(biāo)，在放縮前弄清數(shù)列通項(xiàng)是應(yīng)該放大還是要縮小，這是證明的基石二是教學(xué)過(guò)程中不能急功近利，急于求成，要腳踏實(shí)地，循序漸近，將問(wèn)題與方法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，多傾聽(tīng)學(xué)生的聲音，多了解學(xué)生的想法，尤其是學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤要剖析其思維偏差，這樣才能對(duì)癥下藥，有的放矢三是要突破難點(diǎn)，一方面要求學(xué)生系統(tǒng)性掌握知識(shí)，提升能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)；