普通物理梁斌1^5答案

1、習(xí)題11-1 P點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的位矢m, P點(diǎn)到Q點(diǎn)的位移m, 求Q點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的位矢并畫(huà)圖.解：設(shè)Q點(diǎn)相對(duì)與原點(diǎn)的位矢為，則： 1-2一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)方程是, b, c是常數(shù). (1) 求此質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度函數(shù)；(2) 作出，和圖解：這是一個(gè)一維的問(wèn)題. 速度 ， 加速度 .圖略.1-3物體按照的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，x的單位為米，t的單位為秒. (1) 計(jì)算下列各時(shí)間段內(nèi)的平均速度：1s到1.1s,1s到1.01s,1s到1.001s; (2) 求1s末的瞬時(shí)速度；(3) 解釋上述結(jié)果解：這也是一個(gè)一維的問(wèn)題.(1) 平均速度 . 1s到1.1s內(nèi)： 10.29 （m/s）,1s到1.01s

2、內(nèi)：9.849（m/s）,1s到1.001s內(nèi)：9.8049（m/s）.(2) 速度 .1-4一質(zhì)點(diǎn)以的恒定速率向東運(yùn)動(dòng). 當(dāng)它剛到達(dá)距出發(fā)點(diǎn)為d的一點(diǎn)時(shí)，立即以的恒定速率返回原處. 問(wèn): 質(zhì)點(diǎn)在全過(guò)程中的平均速度和平均速率為多少？ 解：取出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)，向東為x軸正方向. 從原點(diǎn)到xd處，作勻速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間 d/10. 從xd處返回原點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間d/20 (全過(guò)程中，平均速率 13.3 （m/s）返回原處時(shí)，位移0，平均速度0.15 礦井里的升降機(jī)由井底從靜止開(kāi)始勻加速上升，經(jīng)過(guò)3s速度達(dá)到，然后以這個(gè)速度勻速上升6s，最后減速上升經(jīng)過(guò)3s后到達(dá)井口時(shí)剛好停止. (1) 求礦井深度

3、；(2) 作出，和圖.解：（1）以井底為原點(diǎn)，向上為x軸正向.在03s內(nèi)，升降機(jī)作勻加速直線運(yùn)動(dòng): (1) . (2) 其中. 由（1）、（2）兩式得：4.5(m).在39s內(nèi)，升降機(jī)以3m/s作勻加速直線運(yùn)動(dòng), 18（m/s） (3)在912s內(nèi)，升降機(jī)作勻減速直線運(yùn)動(dòng) (4) , (5)其中. 由（4）和（5）兩式得4.5(m)礦井深度 4.5184.527(m).1-6湖中有一小船，岸上有人用一根跨過(guò)定滑輪的繩子拉船靠岸。若人以勻速拉繩，船運(yùn)動(dòng)的速度為多少？設(shè)滑輪距水面高度為h，滑輪到船初位置的繩長(zhǎng)為.解：取滑輪下水面為原點(diǎn)，向右為正，任意t時(shí)刻，斜邊即船到滑輪的長(zhǎng)度為, 則船相對(duì)岸的位

4、置為 ,船運(yùn)動(dòng)的速度為 .1-7如圖1-7所示, 一身高的人用繩子拉著雪撬勻速奔跑, 雪撬在距地面高度為H的平臺(tái)上無(wú)摩擦地滑行. 若人的速度為, 求雪撬的速度和加速度.解：取定滑輪為原點(diǎn)，向右為正. t0時(shí)，雪橇到定滑輪原長(zhǎng)，人在滑輪正下方. 任意時(shí)刻t，雪橇位置為x，速度為，有 ,.1-8一火箭以20m/s 的常速度從距地面高度為50m的懸崖邊上垂直向上起飛, 7s 后燃料耗盡. 求從發(fā)射到火箭落地的時(shí)間.解：以懸崖邊為原點(diǎn)，向上為正. 火箭先以20m/s向上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，7s時(shí), 其位置為 20×7140(m).然后作勻加速運(yùn)動(dòng), t時(shí)刻其位置為 .到落地時(shí)應(yīng)有 5014020

5、t.于是得 t15.6s.1-9兩個(gè)物體A 和 B 同時(shí)從同一位置出發(fā)同向運(yùn)動(dòng), 物體A做速度為10m/s 的勻速直線運(yùn)動(dòng), 物體B做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng), 加速度為1. (1) 當(dāng)物體B追上物體A時(shí),他們距離出發(fā)位置多遠(yuǎn)? (2) 此前, 他們什么時(shí)候相距最遠(yuǎn)?解：(1) A作勻速直線運(yùn)動(dòng): , (1) B作勻加速直線運(yùn)動(dòng) . (2)當(dāng)B追上A時(shí)， . (3)由(1),(2),(3)可得： ,.（2）兩者相距 .令上式對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為0, 得t10s, 此時(shí)，它們相距最遠(yuǎn): 50m.1-10一電梯以加速度1.22上升. 當(dāng)電梯速度為2.44m/s時(shí),一個(gè)螺絲從電梯天花板落下, 天花板到地板

6、的高度為2.74m. 求螺絲從天花板落到地板的時(shí)間和它相對(duì)電梯外柱子的位移.解：取螺釘脫離時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí), 取此時(shí)的電梯頂為原點(diǎn)，向上為正，電梯向上作勻加速運(yùn)動(dòng): , (1)螺釘向上作勻減速運(yùn)動(dòng): , (2)螺釘落到電梯地板上時(shí), . (3)由(1), (2), (3)可得： t0.705s, 0.717m. 1-11一質(zhì)點(diǎn)以初速率和相對(duì)地面為的仰角斜上拋出. 忽略空氣阻力, 試證明質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最高位置的時(shí)間和高度分別為, , 而水平最大位移為.證明：質(zhì)點(diǎn)以初速率和相對(duì)地面為的仰角斜上拋出，可將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分解為水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直方向勻加速直線運(yùn)動(dòng). 以起拋點(diǎn)為原點(diǎn)，向上為y軸正向,則有 , (1

7、) , (2) . (3)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)最高位置時(shí)，, 由(3)得.將上式代入(2)，可得 .質(zhì)點(diǎn)回到地面時(shí), y0. (4)由(1),(2),(4)可得水平最大位移 .1-12一小球以相對(duì)地面為的仰角斜上拋出. 小球在最高位置的速度為12.25m/s, 落地點(diǎn)到拋出點(diǎn)的距離為38.2m. 忽略空氣阻力, 求小球的初速率和達(dá)到的最大高度. 解：同上題，小球在最高位置速度為：12.25 m/s, (1)落地點(diǎn)到拋出點(diǎn)距離： 38.2 m/s, (2)最大高度： (3) 由(1),(2),(3)可得 , , h11.9m.1-13一小球以10m/s 的初速率從距地面高度為50m的懸崖邊上水平拋出. 求

8、: (1) 小球落地時(shí)飛行的時(shí)間; (2) 落地位置; (3) 小球飛行中任意時(shí)刻的速度. 解：可將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分解為水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直方向勻加速直線運(yùn)動(dòng).以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，向上為y軸正向,則有 , (1) , (2) . (3)小球落地時(shí)y-50 m，帶入（2）式，可得小球飛行時(shí)間t3.19s.落地位置 31.9m, 任意時(shí)刻小球的飛行速度 速度的方向角 .1-14 一列火車以70km/h的速率奔跑, 車上一個(gè)信號(hào)燈掛在距地面高度為4.9m 的位置, 當(dāng)燈過(guò)地面某處時(shí)開(kāi)始落下. (1)當(dāng)燈落地時(shí),求燈與車之間的距離以及燈的落地點(diǎn)與開(kāi)始下落處的距離. (2) 求燈相對(duì)車和相對(duì)地的運(yùn)動(dòng)軌跡.

9、解：設(shè)該地為原點(diǎn)，車行進(jìn)方向?yàn)閤軸正向，y軸向上為正(1) 燈相對(duì)于車在水平方向無(wú)位移，燈與車之間的距離為0; 相對(duì)于地，燈在垂直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng):, (1) , (2)落地時(shí)，取y0，由上兩式得 x20 m. 從上兩式中消去t，得到運(yùn)動(dòng)軌跡: .(2) 燈相對(duì)于車作自由落體運(yùn)動(dòng): . (3)1-15 地面上一根旗桿高20.0m, 中午時(shí)太陽(yáng)正位于旗桿上方. 下午2點(diǎn)時(shí)旗桿影子的運(yùn)動(dòng)速度多大? 什么時(shí)候旗桿影子的長(zhǎng)度等于20.0m?解：設(shè)旗桿和旗桿影子的長(zhǎng)度分別為和, 則有 ,而旗桿影子的運(yùn)動(dòng)速度為 ,所以,下午2點(diǎn)時(shí)旗桿影子的運(yùn)動(dòng)速度是 .令和相等,則 點(diǎn)鐘(15時(shí)

10、).1-16一質(zhì)點(diǎn)的加速度為, 時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度等于零, 位矢為m. 求: (1) 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位矢. (2) 質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡方程并畫(huà)出軌跡示意圖.解： （1）t0時(shí)，m由 得 +) r = +r0= + (2)由r = + 得x；y， 消去t得到軌跡方程: .1-17 一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程(SI)為, ,求: (1) 質(zhì)點(diǎn)初速度的大小和方向; (2) 質(zhì)點(diǎn)加速度的大小和方向.解 （1）=(10+60t )(1540t) ,質(zhì)點(diǎn)初速度 |t010i 15j, 大小，方向角(與x軸夾角) arctg（-2/3）=.（2）=+60i 40j, 大小 a,與x軸夾角：arctg（ax/ay）ar

11、ctg（-3/2）=.1-18 小球以30m/s的初速率水平拋出. 求小球拋出后5s 時(shí)的切向加速度和法向加速度. 解：小球的運(yùn)動(dòng)方程r = , 當(dāng)時(shí), 8.4 , 5.1 .1-19 一人在靜水中的劃船速度為1.1m/s, 他現(xiàn)在想劃船渡過(guò)一寬為4000m, 水流速度為0.55m/s的河. (1) 如果他想到達(dá)正對(duì)岸的位置, 應(yīng)對(duì)準(zhǔn)什么方向劃船? 渡河時(shí)間多長(zhǎng)? (2) 如果他想盡快渡河, 應(yīng)對(duì)準(zhǔn)什么方向劃船? 沿河方向上的位移是多少?解： 設(shè)靜水中的劃船速度為1.1m/s, 水流速度為0.55m/s, 河寬為4000m.（1）如果他想到達(dá)正對(duì)岸的位置, 應(yīng)對(duì)準(zhǔn)的方向?yàn)槠蛏嫌?角度為,渡河

12、時(shí)間 .(2) 如果他想盡快渡河, 方向?yàn)? 沿河方向上的位移為 .1-20 一條船沿著平行于海岸的直線航行, 到海岸的距離為, 航速為. 為攔截這條船, 一快艇以速率從港 C口A駛出, 如圖所示. 已知. (1) 試證快艇必須在船到達(dá)距離港 口為處之前開(kāi)出, ; A(2) 若快艇盡可能晚開(kāi)出, 它在什么 題1-20圖位置和什么時(shí)間攔截到這條船?解：（1）由A點(diǎn)做直線AB垂直于AC, 則 ,所以 .（2） 由于 而,所以 ,則 .1-21 一架飛機(jī)從甲地向南飛到乙地又返回甲地, 甲乙兩地的距離為. 若飛機(jī)相對(duì)空氣的速率為, 空氣相對(duì)地面的速率為, 且飛機(jī)相對(duì)空氣的速率保持不變, 試證明: (1

13、) 若空氣靜止,即, 則飛機(jī)往返時(shí)間為;(2) 若刮北風(fēng), 則飛機(jī)往返時(shí)間為;(3) 若刮西風(fēng), 則飛機(jī)往返時(shí)間為證：（1）飛機(jī)相對(duì)空氣的速率為, 空氣相對(duì)地面的速率為?？諝忪o止,即，這飛機(jī)相對(duì)地面的速率為, 飛機(jī)往返時(shí)間為.（2）x軸向東，y軸向北建立坐標(biāo)系。若刮北風(fēng)，空氣相對(duì)地面的速度為牽連速度為，飛機(jī)從甲地向南飛到乙地時(shí)，飛機(jī)相對(duì)于大地的速度為；又返回甲地飛機(jī)相對(duì)于大地的速度為，飛機(jī)往返時(shí)間為 （3）若刮西風(fēng)，方向沿y軸，則飛機(jī)相對(duì)空氣的速率在直角三角形斜邊上， ,飛機(jī)往返時(shí)間為 =.習(xí) 題 22-1 如圖所示, 水平桌面上有兩個(gè)緊靠著的物體, 水平力作用在左邊物體上,試求兩物體間的作用

14、力. 已知，F(xiàn)=15N，兩物體與桌面的摩擦系數(shù)為0.20. A 確 B 題2-1圖 題2-3圖解：設(shè)兩物體間的作用力大小為，由牛頓第二定律 , (1), (2)消去a，得 =5N.2-2一質(zhì)量50kg的貨物，放在與水平面成的斜面上，貨物與斜面的摩擦系數(shù)為0.20. 要使貨物以的加速度沿斜面上升，需用多大的水平推力？解：設(shè)水平推力為F，q，m0.2，在斜面方向上以向上為正,則有 解得 .2-3 如圖所示，一個(gè)斜面與水平面的夾角為，A和B兩物體的質(zhì)量都是0.20kg，物體A與斜面的摩擦系數(shù)為0.40. 求兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，以及繩對(duì)物體的拉力. 繩與滑輪之間的摩擦力以及繩與滑輪的質(zhì)量均略去不計(jì).

15、解：設(shè)兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度a，繩對(duì)物體的拉力為T(mén)，假定B往下運(yùn)動(dòng)，則有 , (1) . (2) 由(1),(2)式得 a，T=1.81N.2-4 一木塊能在與水平面成角的斜面上以勻速滑下. 若使它以速率沿此斜面向上滑動(dòng), 試證明它沿該斜面向上滑動(dòng)的距離為.證：木塊能在與水平面成角的斜面上以勻速滑下，有 , (1)若使它以速率沿此斜面向上滑動(dòng)，有 , (2) , (3)而,于是得 .2-5 如圖所示，將質(zhì)量為10kg的小球掛在傾角光滑斜面上. 問(wèn): (1)當(dāng)斜面以的加速度水平向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩中的張力及小球?qū)π泵娴恼龎毫槎啻螅?2) 當(dāng)斜面的加速度至少多大時(shí)，小球?qū)π泵娴恼龎毫榱?解：（1）設(shè)繩

16、中的張力T，小球?qū)π泵娴恼龎毫镹，將小球受力分解在水平和垂直方向上,則有 （1） . （2）聯(lián)立上兩式,解得 N, N. （2）同上，在（1），（2）兩式中取N0，可解得 .2-6 如圖所示，在水平桌面的一端固定著一只輕定滑輪. 一根細(xì)繩跨過(guò)定滑輪系在質(zhì)量為1.0kg的物體A上，另一端系在質(zhì)量為0.50kg的物體B上. 設(shè)物體A與桌面間的摩擦系數(shù)為0.20, 求物體A、B的加速度. 繩與滑輪間的摩擦力以及繩與滑輪的質(zhì)量均略去不計(jì).aAB 題2-5圖 題2-6圖解：設(shè)物體A、B的加速度.為a，繩中的張力T，有 , （1） . （2）可解得 a.2-7如圖所示，一根細(xì)繩跨過(guò)一光滑的定滑輪，繩兩端

17、分別懸掛著質(zhì)量為和的物體，>.求物體的加速度及繩對(duì)物體的拉力. 繩與滑輪間的摩擦力可以略去不計(jì)，繩不伸長(zhǎng)，滑輪和繩的質(zhì)量 也可略去不計(jì). 解：設(shè)物加速度.為a，繩對(duì)物體的拉力為T(mén)，有 . （1） （2）可解得： a, T. 題2-7圖乙甲 h題2-8圖 題2-9圖2-8 如圖所示, 重量為和的兩物體用跨過(guò)定滑輪的細(xì)繩連接，>. 如開(kāi)始時(shí)兩物體的高度差為h，求由靜止釋放后，兩物體達(dá)到相同高度所需的時(shí)間. 不計(jì)滑輪和繩的質(zhì)量及摩擦.解：設(shè)物加速度.為a，繩對(duì)物體的拉力為T(mén)，兩物體達(dá)到相同高度所需的時(shí)間為t，有 . （1） （2）兩物體達(dá)到相同高度時(shí)下降高度為 , （3）于是得 t .2

18、-9有兩塊混凝土預(yù)制板塊放在木板上，甲塊質(zhì)量200kg, 乙塊質(zhì)量100kg.木板被起重機(jī)吊起送到高空. 試求在下述兩種情況中，木板所受的壓力及乙塊對(duì)甲塊的作用力：(1) 勻速上升；(2) 以的加速度上升.解：（1）設(shè)木板所受的壓力為N，乙塊對(duì)甲塊的作用力，=200kg，100kg. 木板勻速上升時(shí),有 , (1) . (2)可得： 980N , N.（2）木板以a的加速度上升時(shí),則有, (3). (4)可得 ; N2-10 一質(zhì)量為60kg的人乘電梯上樓. 電梯先以的加速度上升, 速率達(dá)到后勻速上升. 試求在上述兩過(guò)程中，人對(duì)電梯地板的作用力.解：（1）設(shè)人對(duì)電梯地板的作用力N，電梯先以的加

19、速度上升,則有 ,則 612N. （2）速率達(dá)到后勻速上升,則 ,588N.2-11 半徑為R的半球形碗內(nèi)有一粒質(zhì)量為m的小鋼球. 若小鋼球以角速度在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它距碗底有多高？解：設(shè)距碗底有高h(yuǎn)，則小鋼球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，小球受力重力mg，和指向碗中心的壓力N，則有 , （1） , （2） . （3）可解得： h.2-12 一根柔軟而均勻的鏈條，長(zhǎng)為，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為. 將此鏈條跨過(guò)一無(wú)摩擦的輕而小的定滑輪，一邊的長(zhǎng)度為，另一邊的長(zhǎng)度為. 現(xiàn)將鏈條由靜止釋放，試證明鏈條的加速度為 .證：以鏈條為研究對(duì)象，分析受力，任意時(shí)刻下垂部分長(zhǎng)為x，質(zhì)量lx，另一邊的長(zhǎng)度為，質(zhì)量

20、l(lx)，則有 Tlxglxa, (1) l(lx)T=l(lx)a. (2)可解得: .2-13 氣球及載荷的總質(zhì)量為，以加速度a向上升，問(wèn)氣球的載荷增加多少，才能使它以相同的加速度向下降落.解：氣球及載荷系統(tǒng)受到向上升力T和重力 Tmgma. （1） 載荷增加X(jué)，它以相同的加速度向下降落 （Xm）gT（Xm）a. （2）消去T，可得： X=.2-14 長(zhǎng)為的細(xì)繩一端系一質(zhì)量為m的小球, 使小球從懸掛著的位置以初速度為在鉛直平面內(nèi)繞細(xì)繩的另一端開(kāi)始作圓周運(yùn)動(dòng). 用牛頓定律求小球在任意位置時(shí)的線速度和繩的張力（不計(jì)空氣阻力）解：取小球?yàn)閷?duì)象，設(shè)任意位置時(shí)的線速度為，小球受重力和繩的張力T，線

21、與垂直方向夾角為q，根據(jù)牛頓定律，有切向： mgsinqm, （1）法向： . （2）對(duì)（2）求導(dǎo)數(shù)，得 . （3）由（1）得 . （4）又 . （5） 由（4），（5）得小球在任意位置時(shí)的線速度v .將（4）與.(5)代入（3），再積分可得張力 N=. A O B2-15 一質(zhì)量為m的小球最初位于如圖所示 r 的A點(diǎn)，然后沿半徑為r的光滑圓弧的內(nèi)表面 CADCB下滑. 試求小球過(guò)C點(diǎn)的角速度和對(duì)圓 D弧表面的作用力. 題2-15圖解：取小球?yàn)閷?duì)象，設(shè)任意位置時(shí)的線速度為，小球受重力和繩的張力T，線與垂直方向夾角為q，根據(jù)牛頓定律，有切向： mgsinqm, （1）法向： . （2）對(duì)（2）求

22、導(dǎo)數(shù)， . （3）由（1）得 . （4）又 , （5） 由（4），（5）得小球在任意位置時(shí)的線速度 .角速度 .將（4）與.(5)代入（3），再積分可得圓弧表面的對(duì)小球作用力 N=.2-16 質(zhì)量為m的物體以初速度沿水平方向拋出. 試求在任意時(shí)刻作用在物體上的切向力和法向力. 解：取物體為對(duì)象，設(shè)任意位置時(shí)的線速度為，小球受重力和碗的支持力T，根據(jù)牛頓定律，小球的運(yùn)動(dòng)方程為r = , . , (1) . (2)由牛頓第二定律： , .2-17 一質(zhì)量為10kg的質(zhì)點(diǎn)在力F=120t+40（N）作用下沿x軸作直線運(yùn)動(dòng).在t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于, 初速度. 求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位置. 解：由 Fm

23、 （1）得 . （2）又 . （3） . 得： x. （4）2-18 如圖所示，一斜面的底邊長(zhǎng)，傾角為. 一個(gè)質(zhì)量為的物體從斜面頂端由靜止開(kāi)始下滑，摩擦系數(shù)為. 問(wèn)：傾角多大時(shí)物體從斜面頂端滑到底端的時(shí)間最短，這個(gè)時(shí)間是多少？ 解： 沿斜面方向有mgsinm mgcosm. （1）積分, 得 （gsinm gcos）t. 又 , （2）積分得 . （3） cos ； sin. （4） 題2-18圖將（4）代入（3），整理可得當(dāng)時(shí)，t取最小值t0.99s.2-19一質(zhì)量為m的物體，最初靜止于處. 在力的作用下沿直線運(yùn)動(dòng)，試證它在x處的速度為 .證： 由于 Fm,有 dt=, 即 . 積分,得 .

24、即 .2-20 初速度為、質(zhì)量為m的物體在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所受阻力的大小正比于質(zhì)點(diǎn)速率的平方根，求物體從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止所需的時(shí)間.解：阻力Fk, 則有 km, 即 dt. 積分: .可得 t.2-21 作用在質(zhì)量為m的物體上的合力是 ，其中和k都是恒量，t是時(shí)間，求物體的加速度，并用積分法求出速度和位置方程. 已知時(shí)，.解：由 F = m, 得 . 積分得 . 對(duì)上式積分,得 .2-22 質(zhì)量的物體以初速度=由地面豎直上拋 ，空氣阻力. 求物體上升的最大高度和所用的時(shí)間.解：取向上為正方向,有, (1)分離變量，得 , (2)積分,得 . (3)令，得上升到最大高度所用的時(shí)間: . 由(3)式可

25、得最大高度 .2-23 質(zhì)量為的物體以初速度由地面豎直上拋 ，空氣阻力是常數(shù). 求：物體上升的最大高度和回到地面所用的時(shí)間.解：（1）上升段：同上題，向上為正,有mgm, （1）得 （2）令, 可得上升到最大高度所用的時(shí)間:. 又 , （3）將（2）代入上式積分, 得物體上升的最大高度 .（2）下降時(shí)有 ,即 dt. （5）積分, 得下降時(shí)間 . （6）又,由（5）得 .得落地時(shí)速度 （7）將（7）代入（6）可得下降時(shí)間:.最后,得回到地面所用的時(shí)間.2-24 一個(gè)半徑為的圓環(huán)固定在水平桌面上，一個(gè)物體緊貼著圓環(huán)內(nèi)表面運(yùn)動(dòng)，滑動(dòng)摩擦系數(shù)為. 若物體初速率為，問(wèn)：(1)時(shí)刻物體速率是多少? (2

26、) 什么時(shí)候物體速率等于? 此時(shí)的路程是多少?解：(1)設(shè)物體質(zhì)量為 m，取桌面為參考系，根據(jù)牛頓定律，有切向： , （1）法向： , （2）由上兩式得 ,即 .積分,得 ,即 （3）（2）將代入（3），得 t （4） 又 所以 .積分, 得路程 （5）2-25 一個(gè)箱子靜止在行駛的卡車上，箱子到前面擋板的距離為，與車之間的摩擦系數(shù)為. 若剎車時(shí)車的加速度為, 箱子碰到擋板時(shí)相對(duì)車的速度是多少?解： 剎車時(shí)箱子受到的摩擦力的大小為 ,因此, 剎車時(shí)箱子相對(duì)于車的加速度為.注意到箱子相對(duì)于車的初速度為零, 則箱子相對(duì)于車的的位移 ,所以, 箱子碰到擋板時(shí)相對(duì)車的速度為 .2-26 一個(gè)電梯以加速

27、度由地面開(kāi)始上升，兩個(gè)質(zhì)量為和的物體用一根細(xì)繩連著跨過(guò)固定在電梯天花板上的一個(gè)定滑輪，>. 忽略滑輪質(zhì)量及其與細(xì)繩之間的摩擦，求兩個(gè)物體相對(duì)于地的加速度和繩子的張力. 解：設(shè)繩子的張力為T(mén)，兩個(gè)物體相對(duì)于地的加速度大小為和,則有 其中的和分別是兩個(gè)物體所受慣性力的大小, 是物體相對(duì)于電梯的加速度的大小. ,得 .注意到對(duì)于, ; 對(duì)于, , 于是, 兩個(gè)物體相對(duì)于地的加速度為, .得繩子的張力 .習(xí) 題 33-1 已知地面上的石塊質(zhì)量為20kg，用力推石塊，力的方向平行于地面. 當(dāng)石塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，推力隨位移的增加而線性增加，即（SI）. 試求石塊由移動(dòng)到的過(guò)程中推力所作的功.解：.3-2如圖

28、所示，一細(xì)繩跨過(guò)無(wú)摩擦 的定滑輪，系在質(zhì)量為1.0kg的物體上， 起初物體靜止在無(wú)磨擦的水平面上. 若用5.0N的恒力拉繩索的另一端，使物 5N 1m體向右作加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)系在物體上的繩 索從與水平面成角變?yōu)榻菚r(shí)，力 題3-2圖對(duì)物體作多少功？已知滑輪與水平面的距離為1m.解：, 有, .3-3一物體按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng). 設(shè)媒質(zhì)對(duì)物體的阻力正比于速度的平方,試求物體由運(yùn)動(dòng)到時(shí)阻力所作的功, 已知阻力系數(shù)為K.解：由題意， ， （1）阻力 （2）阻力作功 .3-4一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為的柔軟鏈條，4/5長(zhǎng)度在光滑桌面上，其余1/5自由懸掛在桌子邊緣. 試證將此鏈條懸掛部分拉回桌面至少需要作功.解：將此鏈

29、條懸掛部分拉回桌面至少要作的功為.3-5電子質(zhì)量為速率為. 問(wèn)：電子的動(dòng)能是多少？電子從靜止到獲得這樣大的動(dòng)能需要對(duì)它作多少功？ 解：電子的動(dòng)能 電子從靜止到獲得這樣大的動(dòng)能需要對(duì)它作的功等于電子動(dòng)能的增量.3-6 一質(zhì)量為0.20kg的球，系在長(zhǎng)為2m的繩索上，繩索的另一端系在天花板上. 把小球移開(kāi)，使繩索與鉛直方向成角，然后從靜止放開(kāi). 求: (1) 在繩索從角到角的過(guò)程中，重力和張力所作的功. (2) 物體在最低位置時(shí)的動(dòng)能和速率. (3) 在最低位置時(shí)繩子上的拉力.解：(1) 張力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直, 不作功. 重力作功為 0.525J. (2) 以最低處為勢(shì)能零點(diǎn)，在整個(gè)過(guò)程中只有重

30、力作功，機(jī)械能守恒，最低位置時(shí)的動(dòng)能 ,因此, 速率 =2.29（m/s）.(3) 設(shè)在最低位置時(shí)繩子上的拉力為T(mén), 則有 ,于是得 =5.42 N.3-7 一乒乓球自高于桌面70cm處自由下落，落至桌面后又跳起50cm高，如果球的質(zhì)量為2.5g，試計(jì)算在此過(guò)程中它損失的機(jī)械能.解：在此過(guò)程中它損失的機(jī)械能即為重力勢(shì)能的增量:.3-8 彈性系數(shù)為 的彈簧垂直地放在地板上，一個(gè)25g的物體放在彈簧的頂端，但沒(méi)有系在彈簧上. 若把彈簧壓縮5.0cm然后物體從靜止被釋放出來(lái), 問(wèn)此物體拋出的高度比原彈簧高多少？ 解：設(shè)物體放在彈簧頂端時(shí)彈簧被向下壓縮了且靜止, 則有 ,即 .取物體從靜止被釋放時(shí)的位

31、置為重力勢(shì)能的零點(diǎn). 物體彈起的過(guò)程中只有保守力作功，機(jī)械能守恒. 設(shè)物體拋出的高度比原彈簧高, 則有 ,即 .3-9 設(shè)兩個(gè)粒子之間的相互作用力是排斥力, 大小是為常數(shù). 設(shè)力為零的地方，勢(shì)能為零，試求兩粒子相互作用的勢(shì)能函數(shù).解法1: 設(shè)兩粒子相互作用的勢(shì)能函數(shù)為. 顯而易見(jiàn), 在處力為零,故令.根據(jù)教材第40頁(yè)的公式(3-3-8)式, 取參考點(diǎn)勢(shì)能, 則 .解法2：由于 ,得 .由于, 得 .注意下面的寫(xiě)法是錯(cuò)誤的: .3-10如果一物體從高為h處?kù)o止下落. 試以(1)時(shí)間為自變量，(2)高度為自變量，畫(huà)出它的動(dòng)能和勢(shì)能圖線. 并證明兩曲線中動(dòng)能和勢(shì)能之和相等.解：(1)以時(shí)間為自變量.

32、 物體下落過(guò)程中速率為, 高度為,故動(dòng)能 ,勢(shì)能 mgh,動(dòng)能和勢(shì)能之和為 .(2) 以高度為自變量. 由得, 則動(dòng)能 ,勢(shì)能 ,動(dòng)能和勢(shì)能之和為 .顯然兩曲線中動(dòng)能和勢(shì)能之和均為mgh.3-11設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力（N）的作用下，由原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x=8m、y=6m處. (1) 如果質(zhì)點(diǎn)是沿直線從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終了位置，問(wèn)力作多少功？(2) 如果質(zhì)點(diǎn)先沿x軸從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x=8m、y=0處，然后再沿平行于y軸的路徑運(yùn)動(dòng)到終了位置，問(wèn)力在每段路程上所作的功以及總功為多少？(3) 如果質(zhì)點(diǎn)先沿y軸運(yùn)動(dòng)到x=0、y=6m處，然后再沿平行于x軸的路徑運(yùn)動(dòng)到終了位置，問(wèn)力在每段路程上所作的功以及總功為多少？比較上述結(jié)果，說(shuō)

33、明這個(gè)力是保守力還是非保守力？ 解：(1) xiyjxix j, 50J. (2) AA1+A2+32J18J50J.(3) AA1+A218J32J50J.可見(jiàn),該力作功與路徑無(wú)關(guān)，是保守力.3-12一斜面高1.0m長(zhǎng)為2.0m. 把一質(zhì)量為10kg的物體放在斜面上，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為0.1. 若物體在斜面最低點(diǎn)時(shí)的速率為零，在最高點(diǎn)時(shí)的速率為, 問(wèn)沿斜面需用多大的力推物體才行？解：由題可知斜面傾角，令斜面高h(yuǎn)=1.0m, 長(zhǎng)度l=2.0m, 物體末速率為.根據(jù)動(dòng)能定理,有 , 于是得 =57.6N. F1mm km x 題3-12圖 題3-13圖3-13如圖3-13所示，一質(zhì)量為m的

34、物體，在與水平面成角的光滑斜面上系于彈性系數(shù)為k的彈簧一端，彈簧另一端固定. 設(shè)物體在彈簧未伸長(zhǎng)時(shí)的動(dòng)能為，彈簧的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，試證物體在彈簧伸長(zhǎng)為x時(shí)的速度可由下式得到: .證明：取物體與彈簧為系統(tǒng)，光滑斜面，只有重力和彈力作功，機(jī)械能守恒. 以彈簧未伸長(zhǎng)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則該處機(jī)械能為,則有 故 3-14 如圖3-14所示，質(zhì)量為0.1kg的木塊， k在一個(gè)水平面上和一個(gè)倔強(qiáng)系數(shù)為m的輕彈簧碰撞，木塊將彈簧由靜止位置壓縮0.4m. 題3-14圖假設(shè)木塊與水平面間的摩擦系數(shù)為0.25. 問(wèn)在開(kāi)始碰撞時(shí)木塊的速率為多少？解：設(shè)開(kāi)始碰撞時(shí)木塊的速率為，碰撞后非保守力只有摩擦力f作功,則有 fx

35、.可解得：5.83（m）3-15有一物體與斜面之間的摩擦系數(shù)為0.2，斜面的傾角為. 設(shè)物體以的速率沿斜面上滑，求物體級(jí)達(dá)到的高度. 當(dāng)該物體返回最低點(diǎn)時(shí)，其速率又為多少？ 解：非保守力只有摩擦力fcos作功，設(shè)物體達(dá)到的高度h，以斜面最低點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能定理,有 .解得：h=4.25m. 同理, 物體返回最低點(diǎn)時(shí),有 . 可得 .3-16 如圖3-16所示，自動(dòng)卸貨礦車滿載時(shí)的質(zhì)量為，斜面傾角為，斜 A面對(duì)車的阻力為車重的1/4. 當(dāng)車下滑距離 為時(shí)，車壓彈簧一起向下運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最大 壓縮量時(shí)自動(dòng)卸貨，然后借助彈簧作用回 到初位置重新裝貨. 問(wèn)：要完成這個(gè)過(guò)程, 題3-16圖空載時(shí)車的

36、質(zhì)量為多大？ 解：設(shè)空載時(shí)車的質(zhì)量為m，彈簧最大壓縮量, 非保守力只有斜面對(duì)車的阻力fmg/4作功. 以彈簧最大壓縮量處為勢(shì)能零點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能定理,有, (1). (2) 得 m. 習(xí) 題 44-1一質(zhì)量為m，速率為的球與一平面垂直碰撞，碰撞后小球以原先的速率沿反方向運(yùn)動(dòng). 設(shè)球與平面碰撞時(shí)間為t, 問(wèn)球與平面碰撞時(shí)，球?qū)ζ矫孀饔玫钠骄鶝_力為多少？解：設(shè)平均沖力為，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理I Dt =DP =DP/Dt =.4-2 質(zhì)量為5.6g的子彈水平射入一靜止在水平面上, 質(zhì)量為2kg的木塊內(nèi)，木塊和平面間的摩擦系數(shù)為0.2. 子彈射入木塊后，木塊向前移動(dòng)了50cm，求子彈的初速.解：設(shè)子彈的初速

37、度為，射入后子彈與木塊一起以初速度運(yùn)動(dòng)。取木塊和子彈為系統(tǒng)，射入過(guò)程在水平方向動(dòng)量守恒: . (1)子彈射入木塊后與木塊一起作末速度為零的勻減速運(yùn)動(dòng),阻力為 , (2) . (3) 由以上三式可解得：.4-3 在沖擊擺實(shí)驗(yàn)中，質(zhì)量為9.6g的子彈射入質(zhì)量為5kg的砂箱，砂箱擺高10cm，求子彈的初速. 解：解：子彈進(jìn)入沙箱和沙箱上擺是同時(shí)進(jìn)行的，但為了便于分析，可把這個(gè)實(shí)際過(guò)程看作兩個(gè)先后進(jìn)行的過(guò)程：先是子彈進(jìn)入沙箱，沙箱保持靜止, 然后沙箱帶著子彈以某個(gè)共同初速度開(kāi)始上擺. 第一個(gè)過(guò)程是子彈與沙箱發(fā)生完全非彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守恒. 設(shè)子彈進(jìn)入沙箱的初速率為，沙箱上擺的初速率為，有 . 在第二個(gè)過(guò)程中，只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒. 取沙箱初位置