存在性與恒成立

1、知識(shí)點(diǎn)梳理專(zhuān)題訓(xùn)練 恒成立存在性問(wèn)題1、恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：2、能成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：3、恰成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化： a f x 在 M 上恒成立a f x 在 CRM 上恒成立 另一轉(zhuǎn)化方法：若x D, f (x) 若x恒成立 a 能成立 a 在 M 上恰成立x max ；x min ； aa f x 恒成立 a f x 能成立 x 的解集為 Mx minx maxA在D上恰成立，等價(jià)于 f(x)在 D上的最小值 fmin (x) D, f(x) B在 D上恰成立，則等價(jià)于 f (x)在D上的最大值 fmax(x)A，B.簡(jiǎn)解：(1)由x2a 即可對(duì) (x)min (x) (1)2、設(shè)函數(shù) h(x)2ax

2、3x2x2 122 ，所以 a的取值范圍是 03ax b ，對(duì)任意 ax求導(dǎo)，(x)x2 x 成立，只需滿(mǎn)足 (x) x2 x的最小值大于 2x 2 12x2 1422x x 1 22(2x2 1) 22 a30，故 (x)在 x 1,2是增函數(shù)，1112,2 ，都有h(x) 10在x 14 ,1恒成立，求實(shí)數(shù) b的取值范圍分析：思路、解決雙參數(shù)問(wèn)題一般是先解決一個(gè)參數(shù)， 實(shí)質(zhì)還是通過(guò)函數(shù)求最值解決方法 1：化歸最值，再處理另一個(gè)參數(shù)以本題為例，方法 2：變量分離，4、設(shè)函數(shù) f x 、 g x fmin x gmin x，對(duì)任意的 x1a, b ，存在 x2c, d ，使得 f x1g x2

3、 ，則方法 3：變更主元，h(x) 10b 10 (ax(a) 1xxhmax (x)x)或a10；2x(10b)x；1012,2簡(jiǎn)解：方法5、設(shè)函數(shù) f x 、 g x fmax x g max x 。，對(duì)任意的 x1a, b ，存在 x2c, d ，使得 f x1g x2 ，則由此可知，6、設(shè)函數(shù) f x 、g x 在 x1 a , b 上的值域7、設(shè)函數(shù) f x8、設(shè)函數(shù) f x 、g x9、若不等式 f x，對(duì)任意的 x1 M是 g x 在 x2、g x ，存在 x1 ，存在 x1 g x 在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D上函數(shù)y fa,b ，存在 x2c, d 上的值域 N的子集

4、。 a,b ，存在 x2 c,d ，使得 f x1 a, b ，存在x2 c,d ，使得 f x1c, d ，使得 fx1 =g 即： M N。g x2 ，則f max x gmin x g x2 ，則 f min x gmax x x 和圖象在x2，則 f10h(1) 10ax11h(x) 在 1 ,1上的最大值為 h( 1 )與h(1)中的較大者4414a b 104ab1: 對(duì) h(x) g(x)10b求導(dǎo)，h(x) 1(x a)(x a) ，3、已知兩函數(shù)f (x)f (x1) g x2 ，則實(shí)數(shù)39492x ， g(x)112,2 ，得b的取值范圍是b4a4a，對(duì)于任意 aax11

5、m ，對(duì)任意 x1 0,2 ，存在 x22m的取值范圍為1,2 ，使得函數(shù) y g x 圖象上方；10、若不等式 f x g x 在區(qū)間 D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D上函數(shù) y f x 和圖象 在函數(shù) y g x 圖象下方；題型一、常見(jiàn)方法解析： 對(duì)任意 x1 0,2，存在 x2 1,2 ，使得 f(x1) g x2 等價(jià)于 g(x)1、已知函數(shù)f(x)x1214m 在 1,2 上1的最小值 1 m 不大于44. 已知 f(x) 2ax bx21f (x) x2 在 0,2 上的最小值 0，既 m 0 ， m4lnx在x 1與x 12處都取得極值. 函數(shù)2mx+m ，若對(duì)任g(x)= x2x

6、2 2ax 1， g(x) a ，其中 a 0， x 0 x都有 f (x) g(x) 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；對(duì)任意 x對(duì)任意 x1 【分析：】 1)思路、等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù) f(x) g(x) 0恒成立，在通過(guò)分離變量，創(chuàng)設(shè)新函數(shù)求最值解決 2)思路、對(duì)在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù) f (x)和g(x) 分別求最值，即只需滿(mǎn)足 fmin(x) gmax(x)即 可1)2)1,2，1,2, x2 2,4 ，都有 f(x1) g(x2) 恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；11意的 x1 1 ,2 ，總存在 x2 1 ,2 ，使得、22解析： Q f (x)x1g(x1) f(x2) ln x2，求實(shí)數(shù)

7、 m 的取值范圍。b2ax ln x, f (x) 2a x1Q f(x) 2axxln x 在 x1處21取得極值 f (1) 0 ，f (1) 0 ，2a2ab14b 2 0解得：b 1 當(dāng)a31 時(shí)，321f (x) 23 3x2 a b 131 2(x 1)(x 21) x=3x2又 函數(shù) y=f (x) ln x所以函數(shù) f (x)在x 1與x 1處都取得極值 .22112 x+ 1 在 ，2 上遞減，3 3x2f(x) ln xmin =f (2)= 76又 函數(shù) g(x)= x2 2mx+m 圖象的對(duì)稱(chēng)軸是 x=m1 1 11)當(dāng)m< 2時(shí)： g(x)min =g( 2 )

8、= 4 ，依題意有12)當(dāng) 12m 2時(shí)： g(x) min =g(m)=m2m，m成立，62 m1 m<27 ，即 6m266m 7 0 ， 解得：題型四、數(shù)形結(jié)合(恒成立問(wèn)題與二次函數(shù)聯(lián)系(零點(diǎn)、根的分布法) )1、若對(duì)任意 x R,不等式|x| ax恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 解析：對(duì) x R,不等式 |x| ax恒成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知 1 a 1，即 1 a 1 2、已知函數(shù) f x x2 2kx 2 ，在 x 1恒有 f x k ，求實(shí)數(shù) k的取值范圍。分析：為了使 f x k在x 1, 恒成立，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù) F x f x k ，則把原題轉(zhuǎn)化成 左邊二次函數(shù)在

9、區(qū)間 1, 時(shí)恒大于等于 0 的問(wèn)題，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討 論，使問(wèn)題得到圓滿(mǎn)解決。解：令 F x f x k x2 2kx 2 k，則F x 0對(duì)x 1, 恒成立，而 F x 是開(kāi)口向上的拋物 線(xiàn)。當(dāng)圖象與 x軸無(wú)交點(diǎn)滿(mǎn)足 0，即 4k2 2 2 k 0，解得 2 k 1。當(dāng)圖象與 x 軸有交點(diǎn)，且在 x 1, 時(shí) F x 0 ，則由二次函數(shù)根與系數(shù)的分布知識(shí)及圖 象可得：3 5163+ 516又 122，3+ 5163)當(dāng) m>2 時(shí)： g(x)min =g(2)=43m ， 43m7，6，3+ 51631 m 18 ，0F12k20 解得 3 k12，故由知又 m&g

10、t;2 ， ma0小結(jié)：若二次函數(shù) y ax2 bx c a 0 大于 0 恒成立，則有 a 00 ，同理，若二次函數(shù)綜上： m 3+ 51 所以，實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 (6、主參換位法 ( 已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù) 2x恒成立的 1，則 f p 在 -2,2題型1、對(duì)于滿(mǎn)足 p 解：不等式即 x2的所有實(shí)數(shù)2恒大于 0，故有：1 p xf22xf2ln(ex a )(a為常數(shù))p, 求使不等式 x21 0, 設(shè) f p2x2 4x 3 0x2 1 0pxx11p2)x 的取值范圍px3或x1或x2x2、已知函數(shù) f (x) 的減函數(shù)， ()求a 的值；()若g(x) t

11、2 ( )分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母： 另一個(gè)作為常數(shù)。 顯然可將 視作自變量， 函數(shù)大于等于 上單調(diào)遞減， 只需sin1(t1)t2t 題型三、 1、當(dāng) x1。a0y ax2 bx c a 0 小于 0 恒成立，則有 a 00 。若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題， 還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。 題型五、不等式能成立問(wèn)題(有解、存在性)的處理方法若在區(qū)間 D上存在實(shí)數(shù) x使不等式 f x A成立,則等價(jià)于在區(qū)間 D上 f x max A； 若在區(qū)間 D上存在實(shí)數(shù) x使不等式 f x B成立,則等價(jià)于在區(qū)間 D上的 f x min B. 1、存在實(shí)數(shù) x ，使得不等式

12、x 3 x 1 a2 3a 有解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 。解：設(shè) f x x 3 x 1 ，由 f x a2 3a 有解， a2 3a f x min ， 又 x 3 x 1 x 3 x 1 4 ， a2 3a 4 ，解得 a 4或a 1。2、已知函數(shù) f x ln x 1 ax2 2x a 0 存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a 的取值范圍21,1 上f (x) sin x 是區(qū)間 求 t 的取值范圍； 及 t , 關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，, 1 內(nèi)關(guān)于 的一次 x， g(x) x sin x ，Q g(x)在 1，1是實(shí)數(shù)集 R上的奇函數(shù)，函數(shù)g x t 1在 x 1,1 上恒成立，

13、0 恒成立的問(wèn)題。 ( ) 略解： g (x)t1cosx 0(t 1)t2sin1 10(1), 則cosx 在 sin1 1 0 t1 t 1 t 2則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在 由()知：f (x) 1，1 上恒成立，(其中0sin1 1 0 ，1， g(x) max g( 1)sin1 ，1)恒成立，由上述結(jié)論：可令 t 1 2t2 t sin1 0，而 t2 t sin1 0恒成立，f x ' 1ax 2x 1ax 2 0xx0,有解.即a122 x 0, 能成立 , 設(shè) u x x2 x12 x2 x .由u12 x2x2x1 1 得 , umin x1. 于是 , a1,x由題

14、設(shè) a 0,所以 a的取值范圍是 1,0 0,小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別：恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn) 化，切不可混為一體。分離參數(shù)法(欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來(lái))1,2 時(shí)，不等式 x2解析: 當(dāng)x (1,2)時(shí)，由 x2mx 4 0恒成立，則 m 的取值范圍是 x4mx 4 0得 m. m 5.x不等式 f x M 對(duì)x I時(shí)恒成立 fmax(x) M?，x I。即 f x 的上界小于或等于 M；不等式 fxM 對(duì)xI時(shí)有解fmin(x) M?，x I。 或 f x 的下界小于或等于 M；不等式 fxM 對(duì) xI 時(shí)恒成立fmi

15、n (x) M?， x I 。即 f x 的下界大于或等于 M ；不等式 fxM對(duì)xI時(shí)有解fmax(x) M，x I.。 或 f x 的上界大于或等于 M；題型六、等式能成立問(wèn)題(有解、存在性)的處理方法1 已知函數(shù) f (x) ax ln x,x (1,e),且 f(x) 有極值(I)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；()若 l<m<n<e，證明 mn nm ；8、設(shè)f x px q 2lnx，且 f e qe p 2 (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) xe(I) 求 p 與 q 的關(guān)系；(II) 若 f x 在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 p 的取值范圍；2e(III) 設(shè)gx 2xe ，若在

16、 1, e上至少存在一點(diǎn) x0，使得f x0 gx0 成立, 求實(shí)數(shù) p 的取值 x范圍.)函數(shù) g(x) x32,證明：x1(1,e), x0 (1,e),使得 g(x0) f(x1) 成立課后作業(yè)：1、設(shè) a 1，若對(duì)于任意的 取值集合為(A) a|1 aa,2a ，都有y a,a2滿(mǎn)足方程 loga x loga y 3，這時(shí) a的2、若任意滿(mǎn)足) 2 x xC)a|2 a 3D)2,3(B)a|a 205 0的實(shí)數(shù) x, y ，不等式 a(x2 y2) (x y) 2恒成立，則實(shí)數(shù) a的最大 0值是 _。3、不等式 sin2 x4、不等式 ax5、已知兩函數(shù)(1)(2)(3)(4)1 a 0有解，則 a的取值范圍是x 4 x 在x 0,3 內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。2 3 2f x 7x2 28x c， g x 2x3 4x2 40x。3,3 ，都有 f x g x 成立，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；3,3 ，使 f x g x 成立，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；3,3 ，都有 f x1 g x2 ，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；3,3 ，都有 f x1 g x2 ，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍；1 3 2 2x3 2ax2 3a2x b (0 a 1, b R).3f x 的單調(diào)區(qū)間和極