二重積分的概念及計算PPT課件

1、Page 1解法: 類似定積分解決問題的思想:一、引例一、引例1.曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底： xoy 面上的閉區(qū)域 D頂: 連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂?D 的邊界為準線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限” D),(yxfz 第1頁/共56頁Page 2D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個2)“常代變”在每個k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk則中任取一點小曲頂柱體k),(kk第2頁/共56頁Pag

2、e 34)“取極限”k 定定義義的的直直徑徑為為 1212()maxkkP PP ,P令 1max()kk n 01lim(,)nkkkkVf ),(yxfz ),(kkfk),(kk第3頁/共56頁Page 42. 平面薄片的質(zhì)平面薄片的質(zhì)量量 有一個平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,),(Cyx計算該薄片的質(zhì)量 M .度為),(),(常數(shù)若yx設(shè)D 的面積為 , 則M若),(yx非常數(shù) , 仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .Dyx第4頁/共56頁Page 52)“常代變

3、”中任取一點k在每個),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk則第 k 小塊的質(zhì)量yx第5頁/共56頁Page 6兩個問題的共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 第6頁/共56頁Page 7二、二重積分的定義及可積性二、二重積分的定義及可積性定義:),(yxf設(shè)將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域),2,1(nkk任取一點,),(

4、kkk若存在一個常數(shù) I , 使nkkkkfI10),(lim可積 , ),(yxf則稱Dyxfd),(),(yxfI為稱在D上的二重積分.稱為積分變量yx,積分和Dyxfd),(積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 第7頁/共56頁Page 8DyxfVd),(引例1中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果 在D上可積,),(yxf也常d,ddyx二重積分記作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 這時分區(qū)域D , 因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃 記作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(第8頁/共56頁Page 9二重積分存在

5、定理二重積分存在定理:若函數(shù)),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在則Dyxf),(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù), 則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重積分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重積分不存在 . 第9頁/共56頁Page 10三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)Dyxfkd),(. 1( k 為常數(shù))Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd

6、1 為D 的面積, 則 ),(2121無公共內(nèi)點DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(第10頁/共56頁Page 11特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(則Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(則有第11頁/共56頁Page 127.(二重積分的中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),),(D),(),(fdyxfD證: 由性質(zhì)6 可知,MyxfmDd),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點D),(Dyxffd),(1),

7、(),(d),(fyxfD在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點使使連續(xù),因此第12頁/共56頁Page 13例例1. 比較下列積分的大小比較下列積分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解: 積分域 D 的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與 x 軸交于點 (1,0) ,.1相切與直線 yx而域 D 位, 1 yx從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方, 故在 D 上 1y2xo1D第13頁/共56頁Page 14例例2. 判斷積分判斷積分2222341ddxyxyxy 的正負號.解: 分積分域為,321DDD則原

8、式 =12231ddDxyxy 22231ddDxyxy 32231ddDxyxy 1ddDxy 3331ddDxy 32 (43)23D32D11Dyxo3(12)0 猜想結(jié)果為負但不好估計 .舍去此項第14頁/共56頁Page 15220yx 0)ln(22 yx例例3. 判斷判斷的正負.)0(dd)ln(122yxyxyx解：1yx當時，故0)ln(22 yx又當時，1 yx于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx1111xyoD第15頁/共56頁Page 16例例4. 估計下列積分之估計下列積分之值值22ddI:10100coscosDxyDxyxy 解: D 的面積為50(

9、)4200 三三角角形形面面積積由于221100coscosxy積分性質(zhì)5200200I102100即: 1.96 I 210101010D11001102xyo第16頁/共56頁Page 175 . 04 . 0I例例5. 估計 的值, 其中 D 為DxyyxI162d22. 20, 10yx解: 被積函數(shù)16)(1),(2yxyxf2D 的面積41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yox2D1第17頁/共56頁Page 18xyoD8. 設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù)),(yxfD 位于 x 軸上方的部分為D1 , ),(),

10、() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf當區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在閉區(qū)域上連續(xù), 域D 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有1:,221 yxDD 為圓域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0第18頁/共56頁Page 19xbad 四、曲頂柱體體積的計算四、曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(

11、000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD第19頁/共56頁Page 20ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd第20頁/共56頁Page 21例例6. 求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的的直角圓柱面所圍的體積體積.xyzRRo解: 設(shè)兩個直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積

12、為yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD第21頁/共56頁Page 22內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性質(zhì) (與定積分性質(zhì)相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法第22頁/共56頁Page 23被積函數(shù)相同, 且非負, 思考與練習(xí)思考與練習(xí)yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解: 321,III由它們的積分域范圍可知312III11xyo1. 比較下列

13、積分值的大小關(guān)系:第23頁/共56頁Page 242. 設(shè)設(shè)D 是第二象限的一個有界閉域是第二象限的一個有界閉域 , 且且 0 y 1, 則則,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序為 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D第24頁/共56頁Page 253. 計算計算.dd)(sin2200yxyxI解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002第25頁/共5

14、6頁Page 264. 證明證明:221(sincos)d2,Dxy 其中D 為01, 01.xy解: 利用題中 x , y 位置的對稱性, 有22(sincos)dDxy 222212(sincos)d(sincos)dDDxyyx 212222(sin)d(sin)dcoscosDDxxyy22(sincos)dDxx 242sin()dDx 2214201,sin()1,xx 又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .yox1D1第26頁/共56頁Page 27五、利用直角坐標計算二重積分五、利用直角坐標計算二重積分且在D上連續(xù)時, ( , )0f x y 當當被被積積函函數(shù)數(shù)bxaxyx

15、D)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則第27頁/共56頁Page 28當被積函當被積函數(shù)數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2第28頁/共

16、56頁Page 29oxy說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)型區(qū)域域 , Dyxyxfdd),(為計算方便,可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD則 第29頁/共56頁Page 30 xy211xy o221d y例例7. 計算計算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x解法1. 將D看作X

17、型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y第30頁/共56頁Page 31例例8. 計算計算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 第31頁/共56頁Page

18、32例例9. 計算計算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.第32頁/共56頁Page 33例例10. 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y

19、型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy第33頁/共56頁Page 34例例11. 計計算算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224第34頁/共56頁Page 35axy2解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax例例12. 給定改變積分的次序.)0(d),(d20222ay

20、yxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxy第35頁/共56頁Page 36xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos對應(yīng)有六、利用極坐標計算二重積分六、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrr kkkr221內(nèi)取點kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為krkrkkkr第36頁/共56頁Page 37kkkkkkknkrrrrf)sin,cos

21、(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd第37頁/共56頁Page 38Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf設(shè)設(shè),)()(:21rD則Drrrrfdd)sin,cos(d特別, 對20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD第38頁/共56頁Page 39若 f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問 的變化范圍是

22、什么?(1)(2)22)2(第39頁/共56頁Page 40例例13. 計算計算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解: 在極坐標系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角2reddrr20d由于故坐標計算.第40頁/共56頁Page 41注注:利用例13可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式2d02xex事實上, 當D 為 R2 時,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例7的結(jié)果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .第41頁/共56頁Page 42

23、例例14. 求球體求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 設(shè)由對稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2第42頁/共56頁Page 433261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx例例15. 計計算算其中D 為由圓所圍成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直線30,xy解：平面閉區(qū)域.03 xysin2 roxy2436d第

24、43頁/共56頁Page 44baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法七、二重積分換元法七、二重積分換元法 ( , ):( , )xx u vTyy u v DDvu),(滿足(1)( , ),( , )x u vy u vD 在在上上一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(2)D 在在上上( , )( , )0;( , )x yJ u vu v (3) 變換:TDD 則( , )ddDf x yxy ( ( , ), ( , )Df x u vy u v 定理:( , ),f x yD設(shè)設(shè)在在閉閉域域上上連連續(xù)續(xù)變換:是一一對應(yīng)的 ,( , ) d dJ u vu vovuDoyxD

25、T第44頁/共56頁Page 45oyxDovuD證證: 根據(jù)定理條件根據(jù)定理條件(2)(3)可知變換可知變換 T 可逆可逆. 用平行于坐標軸的 ,uo v 在在坐坐標標面面上上直線分割區(qū)域 ,D任取其中一個小矩T形, 其頂點為),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通過變換T, 在 xoy 面上得到一個四邊形, 其對應(yīng)頂點為)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M22,hk 令令則12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux第45頁/共56頁Page 4614xx ),(),(vuxkvux)(

26、),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy當h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為4121MMMM2121414100ijkxxyyxxyykhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(第46頁/共56頁Page 47vuvuJdd),(d因此面積元素的關(guān)系為因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如, 直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標時, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxy

27、xfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(第47頁/共56頁Page 48例例16. 計計算算其中D 是 x 軸 y 軸和直線2 yx所圍成的閉域. 解: 令,xyvxyu則2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov第48頁/共56頁Page 49ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例17. 計算由計算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解: 令Duvopqab則bvaqupD :D),(),(vuyxJ31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq第49頁/共56頁Page 50例例18. 試計算橢球體試計算橢球體1222222czbyax解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由對稱性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax則D 的原象為20,1: rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2