向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)分析

1、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)1. 線性組合設a<i, a2,at匕R ,匕，k2,K匕R ,稱匕耳十k a + kat為a a2,at的一 個線性組合。一k2【備注1】按分塊矩陣的運算規(guī)則，匕印+k2a2 + ktat =(a“ a2,q)亠。這+占丿樣的表示是有好處的。2. 線性表示設aa, g Rn， b Rn，如果存在匕山，K R，使得b = Ka k2a2 - ktat則稱b可由q , a?, , a線性表示。k2b = ki&+k2a2+k(at，寫成矩陣形式，即 b =(ai, ©) 。因此，b 可+<kt由a,a2,at線性表示即線性方程組(ai,a2

2、,aj « =b有解，而該方程組有解+當且僅當 r(q,a2, ,at),at,b)。3. 向量組等價設包，,ad, b2,bs Rn，如果總，,耳中每一個向量都可以由匕,鳥，,bs線性表示，則稱向量組aa2,a可以由向量組gp,bs線性表示。如果向量組a,a2,at和向量組b|,b2,bs可以相互線性表示，則稱這兩個向量組是等價的。向量組等價的性質(zhì):(1) 自反性 任何一個向量組都與自身等價。 對稱性 若向量組I與II等價，則向量組II也與I等價。 傳遞性 若向量組I與II等價，向量組II與III等價，則向量組I與III 等價。證明：自反性與對稱性直接從定義得出。至于傳遞性，簡單計

3、算即可得到。設向量組I為矽總，,ar ,向量組II為b,b,bs，向量組III為g,q,G。t向量組II可由III線性表示，假設bj八yqCk，j =12,s。向量組I可由向s量組II線性表示，假設av Xjibj，i =1,2,r。因此, j 二sstt sa = ' Xjjbj= ' Xjiykjck = '(.一 ykjXji)Ck，i = h2，,rj 1jk akm j T因此，向量組I可由向量組III線性表示。向量組II可由I線性表示，III可由II線性表示，按照上述辦法再做一次, 同樣可得出，向量組III可由I線性表示。因此，向量組I與III等價。結(jié)論成立

4、！4. 線性相關(guān)與線性無關(guān)設印心，,.Rn，如果存在不全為零的數(shù) 匕也，,R，使得則稱aa2, ,a線性相關(guān)，否則，稱aa2,at線性無關(guān)按照線性表示的矩陣記法，a,a2,越線性相關(guān)即齊次線性方程組k2佝旦，,aj ：=0+有非零解，當且僅當r(a1,a2 ,at) <t 0 a,a2, ,a線性無關(guān)，即k?(印旦，,aj +=0+<kt只有零解，當且僅當(印總，,越)=t。特別的，若t =n，則a，,aRn線性無關(guān)當且僅當r(ai,a2, ,an)二n ,當且僅當 ,a2, , a.)可逆，當且僅當 佝,&2, )式0。例1.單獨一個向量aRn線性相關(guān)即a=0 ,線性無關(guān)

5、即a = 0。因為，若a線性 相關(guān)，則存在數(shù)k = 0，使得ka=0，于是a = 0。而若a=0，由于1a = a = 0，1-0 因此，a線性相關(guān)。例2.兩個向量a,b Rn線性相關(guān)即它們平行，即其對應分量成比例。因為，若a,b 線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù) k1,k2，使得k(a k2 0。k(,k2不全為零，不妨k假設匕=0，則a-b，故a,b平行，即對應分量成比例。如果a,b平行，不妨k1假設存在，使得a二 b，則a -%b二0，于是a,b線性相關(guān)。上1 "例3.0線性無關(guān)，且任意x = |x2 - R3都可以由其線性表示，且表示方法唯一。事實上,X1-X+ X21+ X3丿

6、b01丿5. 線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì)(1)若一向量組中含有零向量，則其必然線性相關(guān)。 證明：設q,a2,q，Rn，其中有一個為零，不妨假設q =0，則0 a10 a" 0 at . 10=0因此，a,a2, ,a線性相關(guān)。(2) 若一向量組線性相關(guān)，則增添任意多個向量所形成的新向量組仍然線性相 關(guān)；若一向量組線性無關(guān)，則其任意部分向量組仍然線性無關(guān)。證明：設ai,a2,和2，Rn，印總，a線性相關(guān)。存在不全為零的數(shù)k1, k2, ,kt，使得Ka k2a2 -kta0這樣,kicik?a2Kat 0 i 0 -2 0 s = 0ki,k2, ,kt不全為零，因此，ca,a. , -2,

7、's線性相關(guān)。后一個結(jié)論是前一個結(jié)論的逆否命題，因此也正確。(3) 若一個向量組線性無關(guān)，在其中每個向量相同位置之間增添元素， 所得到的 新向量組仍然線性無關(guān)。證明:設ai,a2,Q Rn為一組線性無關(guān)的向量。不妨假設新的元素都增加在向量最后一個分量之后，成為Ci ,"，印，0,鳥，,bt是同維的列向量。令也丿電丿lbt丿aik2a2ktat匕耳+k2a2 + 峠隔' 出E +k?b2 + +kb 丿-0則k1a1 k2a2一隔=0。由向量組aa?, ,a線性相關(guān)，可以得到 & = k2 =K = 0。結(jié)論得證！(4) 向量組線性相關(guān)當且僅當其中有一個向量可以

8、由其余向量線性表示。 證明：設a1,a2 ,a Rn為一組向量。必要性 若印厶，,a線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù) 人也，k，使得k1a1 k2a2g =0ki,k2, ,kt不全為零，設kj =0，則k-q *''+ kj 冋-*kj屮引印 +'+ ktatkj充分性 若即a2,at中某個向量可以表示成其余向量的線性組合，假設 aj可以表示成a1,ajaj “，,q的線性組合，則存在一組數(shù) 人，,kjkjkt，使得引二 k-a- 網(wǎng) Rq也就是k-a- 'kj jaj 二- ajkj -aj -ktat 二 0但k1,kj二,-1,kj -，,kt不全為零，

9、因此，a,a2,at線性無關(guān)?！緜渥?】請準確理解其意思，是其中某一個向量可以由其余向量線性表示，而 不是全部向量都可以。(5) 若a-,a2，,aRn線性無關(guān)，b Rn，使得aa?,q,b線性相關(guān)，則b可由a1,a2,q線性表示，且表示方法唯一。證明：a1,a2, ,b線性相關(guān)，因此，存在不全為零的數(shù) 匕也，kt,kt1，使得Ka k2a2 一飛耳匕初=0kt廠0，否則匕1=0，則k-a 我4 飛4=0。由c,a2,a線性無關(guān)，我們 就得到匕=k2 =K = 0，這樣，k1,k2 ,kt,kt d均為零，與其不全為零矛盾！ 這樣，匕厲 +k2a2 + *+ktatb 二kt 1因此，b可由a

10、1, a2 , at線性表示。假設 b = x-i - x2a2 人印二 -y2a2 ytQ，貝U(Xi - y-)a- (X2 - 丫2歸2氣人 - yjq =0由 a1,a2,Q 線性無關(guān)，有 x, - y- =X2 - y2 二二 k -= 0，即xi = %,X2 二 %,人二 yt因此，表示法唯一?！緜渥?】剛才的證明過程告訴我們，如果向量b可由線性無關(guān)向量組ai,at線性表示，則表示法唯一。事實上，向量 b可由線性無關(guān)向量組 知,a線性表示,即線性方程組(,at)x=b有解。而q,，a線性無關(guān)，即r(a, ,at)二t。因此,若有解，當然解唯一，即表示法唯一。 右線性無關(guān)向量組a

11、a2,q可由向量組b|,b2,bs線性表示，則t_s。證明:假設結(jié)論不成立，于是t s。 ai, a2 , at可由0山2,bs線性表示。假設印=Xiib X2ib2x/s =(d,b2,bs)a2 =Xi2biX22b2 亠亠Xs2bs =(bi,b2,bs)任取ki,k2,kt，則XiiX21<Xs1 丿X12X22為tX2t印=冷0 +X2Q2 + + Xstbs = (b1,b2, ',bs):kiai k?a2Kat =(ai,a2, ,ajfki、*Xi2illxjk2-(b1,b2,bs)X2iX22川X2tk2+Ia4rfha+4t4<kt<XsiXs

12、2 HIXstlkt由于冷人2X21X22+III 川1I-x1tX2t4i為一個SXt階矩陣，而tAS，因此，方程組兇Xs2川xst ；%X12IIIXit、X21X22IIIX2tx = 0+*i11I-r hF宀1Xs2IIIXst ；必有非零解，設為 k2 ，于是匕印+k2a2十宀KQ = 0。因此，存在一組不全為+lkt零的數(shù)也，,kt,使得k£i kza?-十耳=0。因此，向量組印耳，,越線性相關(guān)，這與向量組a,a2,越線性無關(guān)矛盾！因此，t乞s。 若兩線性無關(guān)向量組&月2,越和bi,b2,bs可以相互線性表示，則t = s。 證明：由性質(zhì)，t <s，sia

13、，因此，s二t?！緜渥?】等價的線性無關(guān)向量組所含向量個數(shù)一樣。(8)設a,a2, ,at Rn， P為n階可逆矩陣，則aa2, ，a線性無關(guān)當且僅當Pd,Pa2,Pat線性無關(guān)。b可由印總，,at線性表示，當且僅當Pb可由Pq, Pa2,Pq線性表示。若可以線性表示，表示的系數(shù)不變。 證明：由于P可逆，因此Ka k2a2爲 爲匕越=0二P(Ka k2a2心 圧匕越)=0=ki(Pa) k2(Pa2)飛(PaJ =0k1a1 k2a2 囂 囂ktat =b= P(k1a1 k2a2 - 囂ktq) =b二 k1(Pa1) k2(Pa2)kt(PQ)二 Pb如此，結(jié)論得證！6. 極大線性無關(guān)組定

14、義1設印忌,q亡Rn，如果存在部分向量組a»，a2,air，使得線性無關(guān)； ai,a2,at中每一個向量都可以由aai2,a.線性表示；則稱ah,a2,a#為印，a?,a的極大線性無關(guān)組?！緜渥?】 設q,a2, ,at Rn，蟲,雹，,蟲為其極大線性無關(guān)組。按照定義，a1, a2, '',at可由a», ai2,air線性表示。但另一方面， aii, ai2 , air也顯然可以由aa2,4線性表示。因此， ai,a2,耳與a»,ai2,air等價。也就是說，任何一 個向量組都與其極大線性無關(guān)組等價。向量組的極大線性無關(guān)組可能不止一個， 但都與原

15、向量組等價，按照向量組 等價的傳遞性，它們彼此之間是等價的，即可以相互線性表示。它們又都是線性 無關(guān)的，因此，由之前的性質(zhì)（7），向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組含有相同 的向量個數(shù)。 這是一個固定的參數(shù)，由向量組本身所決定，與其極大線性無關(guān) 組的選取無關(guān)，我們稱其為向量組的 秩，即向量組的任何一個極大線性無關(guān)組所 含的向量個數(shù)?！緜渥?】按照定義，向量組印82,q線性無關(guān)，充分必要條件即其秩為t o定義2設q,a2,q Rn，如果其中有r個線性無關(guān)的向量aii,ai2",air，但沒有 更多的線性無關(guān)向量，則稱aj%,a為a1,a2 ,at的極大線性無關(guān)組，而r為 ai,a2,越的秩

16、?！緜渥?】 定義2生動地體現(xiàn)了極大線性無關(guān)組的意義。 一方面，有r個線性無 關(guān)的向量，體現(xiàn)了“無關(guān)性”，另一方面，沒有更多的線性無關(guān)向量，又體現(xiàn)了“極大性”?！緜渥?】兩個定義之間是等價的。一方面，如果 aa2,a.線性無關(guān)，且 ai,a2, ",at中每一個向量都可以由 乳，, , a-線性表示，那么， 印?,就沒有更多的線性無關(guān)向量，否則，假設有，設為b,b,bs， s r。b,b,bs當然可以由a,線性表示，且還線性無關(guān)，按照性質(zhì)（6） , s蘭r，這與假設矛 盾！另一方面，假設aii ,ai2, ,air為ai,a2,at中r個線性無關(guān)向量，但沒有更多 的線性無關(guān)向量，任取

17、c,a2,a中一個向量，記為b，則印, ,b線性相 關(guān)。按照性質(zhì) ，b可有aii, ai2, , air線性表示（且表示方法唯一）?！緜渥?】設向量組ai,a2,at的秩為r，則其極大線性無關(guān)向量組含有r個向量。反過來，其中任何r個線性無關(guān)向量所成的向量組也是 a,a2,at的一個極大線 性無關(guān)組。這從定義即可得到。6.向量組的秩的矩陣的秩的關(guān)系稱矩陣A的列向量組的秩為A的列秩，行向量組轉(zhuǎn)置后所得到的列向量組的 秩稱為矩陣A的行秩。定理1任意矩陣的秩等于其行秩等于其列秩。證明：設A = （a） Rm n， r （A） = r。將其按列分塊為A =,a2,an）。存在m階可逆矩陣P，使得PA為行

18、最簡形，不妨設為n0III0b1,r+1IIIb1,n、1III0¥b2,r 比iIIIb2,nI-PA=(Pai, Pa?,，Pa.)=4V1Rbr ,r 出IIII-br,n00HI00III0川IIIIIIIIIIIIHIHI30HI00III0丿線性無關(guān)，且PA中其余列向量都可以由其線性表示，因此,為PA的極大線性無關(guān)組，其個數(shù)為r，因此,ai,a2< ,ar線性無關(guān)，且A中其余列向量均可由其線性表示（且表示的系數(shù)不變）。因此，A的列秩 等于A的秩。bi將A按行分塊，A=；，則N =山4,，因此，按照前面的結(jié)論，A 的行秩為A的秩，而A的秩等于A的秩。至此，結(jié)論證明完畢

19、!【備注10證明的過程其實也給出了求極大線性無關(guān)組的方法。7. 擴充定理定理2設a1, a2 , a Rn，秩為r， a,aik為其中的k個線性無關(guān)的向量,k < r，則能在其中加入ai,a2,a中的（r-k）個向量，使新向量組為aa?,a的 極大線性無關(guān)組。證明：如果k = r，則ail, a,2, ,aik已經(jīng)是q,a?,耳的一個極大線性無關(guān)組，無須再 添加向量。如果k汀，則即,qk不是耳包，,q的一個極大線性無關(guān)組，于是， 印忌 ,a必有元素不能由其線性表示，設為aik+，由性質(zhì)（5），向量組 aiai2,ak,aik+線性無關(guān)。如果k +1 =r，則aia2,8卄已經(jīng)是印總，,a

20、的一個極大線性無關(guān)組， 無須再添加向量。如果k+Kr，則ail,a2, ；ak a“不是印忌 ,at的一個極大線性無關(guān)組，于 是，aa2,q必有元素不能由其線性表示，設為 ak2，由性質(zhì)，向量組 a , ®k 1.,螢2線性無關(guān)。同樣的過程一直進行下去，直到得到r個線性無關(guān)的向量為止?！緜渥?1】證明的過程其實也給出了求極大線性無關(guān)組的方法。只是，這方法 并不好實現(xiàn)。8. 求極大線性無關(guān)組并將其余向量由極大線性無關(guān)組線性表示求向量組a,a2,Q Rn的極大線性無關(guān)組，可以按照下面的辦法來實現(xiàn)。 將印總，a合在一起寫成一個矩陣A=(a,a2, aj ；(2)將A通過初等行變換化成行階梯

21、形或者行最簡形，不妨設化得的行階形為'01b12III九b1,r 卅111b!,n '0+b22III b2rk4b2,r + HI“ b2,niAt+0044IIIbrr1br,卄III4br ,n=B，I* M0,i =1,2，,r， r = r(A)0+0III0*0III* 0i+<001III 040 IIIi0 在上半部分找出r個線性無關(guān)的列向量，設為ji,j2,jr列，則jl,j2,jr為B列向量組的極大線性線性無關(guān)組， 也是A列向量組的極大線性線性無關(guān)組， 也 就是a1,a2 at的極大線性無關(guān)組。為了在上半部分尋找r個線性無關(guān)向量，必須且僅須在上半部分尋找 r階的 非奇異子矩陣。r階非奇異子矩陣的列向量組線性無關(guān)。顯而易見，上面矩陣第1到第r列即